SKKN rèn kĩ năng một số dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 trường THCS định tiến

TT

Nội dung

trang

1

Mục lục

1

2

2
2
2
2
2
2
3
3
3

5

Mở đầu.
1.1.
Lí do chọn đề tài.
1.2.
Mục đích nghiên cứu.

1.3.
Đối tượng nghiên cứu.
1.4.
Phương pháp nghiên cứu.
1.5.Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
2.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm.
2.3. Các sáng kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử
dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1.Tính giá trị của biểu thức và rút gọn biểu thức có
chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2.3.2.Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.3.3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
2.3.4.Tìm x trong bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. Kết luận, kiến nghị
Kết luận
Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

6

Danh mục

3

4

1.

3
3
4
11
14
16
17
17
17
18
19

1


1.MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình Toán ở THCS, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số
được gặp nhiều lần từ lớp 6 đến lớp 9. Ở lớp 6 học sinh được bắt đầu làm quen
qua bài học “§3 Thứ tự trong tập hợp các số nguyên” tiết 42,43. Học sinh hiểu
được cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên. Sang lớp 7 là bài “§4 Giá trị
tuyệt đối của một số hữu tỉ” tiết 4. Lớp 8 là bài “§5 Phương trình chứa dấu giá
trị tuyệt đối” tiết 64. Đến lớp 9 là ứng dụng : đưa thừa số ra ngoài (vào trong)
dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn…
Qua theo dõi các kỳ thi học kỳ, các kỳ thi học sinh giỏi lớp 7, luôn vận

dụng kiến thức về giá trị tuyệt đối, phần lớn các em không làm được hoặc làm
không trọn vẹn bài tập liên quan.
Với thực tế đó, tôi được Nhà trường giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh
giỏi Toán 7, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm : “Rèn kĩ năng một số
dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 trường THCS Định
Tiến”. Với mong muốn góp phần làm phong phú thêm nguồn tài liệu ôn thi học
sinh giỏi lớp 7.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Trao đổi với đồng nghiệp một số dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối
của lớp 7. Giúp giáo viên có cái nhìn mới trong việc giải toánliên quan đến giá
trị tuyệt đối trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7.
Giúp cho học sinh có kiến thức, biết vận dụng kiến thức vào làm các bài
tập, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ
đó nâng cao hứng thú, kết quả học tập của học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi ứng dụng.
Đề tài này tôi nghiên cứu về một số phương pháp giải bài toán có chứa
dấu giá trị tuyệt đối, ở chương trình lớp 7. Trên cơ sở lý thuyết học sinh được
học về định nghĩa, các tính chất về giá trị tuyệt đối ở lớp 6, lớp 7. Từ đó đúc kết
lại một số kinh nghiệm, hướng dẫn học sinh giải được các bài tập có liên quan
đến dấu giá trị tuyệt đối, mà trước đó các em thường lúng túng chưa giải được,
hoặc giải bài chưa suy luận logic…
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu tài liệu và phương pháp thu thập thông tin. Để
hoàn thành đề tài này tôi đã sử dụng nghiên cứu nhiều tài liệu như : Toán nâng
cao và phát triển Toán 7, của tác giả Vũ Hữu Bình, Toán nâng cao và một số
chuyên đề Toán 7, của tác giả Bùi Văn Tuyên, các đề thi học sinh giỏi Toán 7
của huyện Yên Định…
Phương pháp thống kê để xử lý thông tin, đánh giá kết quả thực nghiệm
các đề thi học sinh giỏi lớp 7 cấp trường trong nhiều năm. So sánh kết quả đạt
được trước và sau khi áp dụng đề tài.

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
Với tinh thần luôn nghiên cứu, học hỏi. Tôi thấy đề tài viết trong năm học 20162017 cần phải được chỉnh sửa hoàn thiện hơn. Đó là cần phải thêm một dạng
toán: “Tính giá trị của biểu thức và rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt
đối”, vào phần đầu của giải quyết vấn đề. Vì học sinh có nắm được dạng toán
2


ny thỡ mi lm tt cỏc dng toỏn liờn quan phn sau. Bờn cnh ú cỏc dng
toỏn, cỏc bi toỏn trong mt dng, ri cỏch gii trỡnh by hp lớ hn na, hc
sinh hc tp t kt qu cao hn. Vỡ vy nm hc ny tụi mnh dn vit sỏng
kin kinh nghim ny.
2. NI DUNG SNG KIN KINH NGHIM.
2.1 C s lớ lun sỏng kin kinh nghim.
a) nh ngha : Giỏ tr tuyt i ca s thc a, l khong cỏch t im 0 n
im a trờn trc s.
ỡù a( vụự
i a 0)
ù
a = ùớ
ùù a( vụự
i a < 0)
ùợ

b) Tớnh cht:
a 0, " a ẻ R

1)

.
a = - a , " a ẻ R.

2)
a +b Ê a + b

ab 0

3)
, du ng thc xy ra khi
.
2.2 Thc trng ca vn trc khi ỏp dng sỏng kin kinh nghim.
i vi chng trỡnh thi lng dnh cho giỏ tr tuyt i rt ớt, ú l mt
mc ca bi Đ4 Giỏ tr tuyt i ca mt s hu t. Cng,tr, nhõn, chia s thp
phõn tit 4.
i vi giỏo viờn: cỏc bi tp v phn ny kin thc khụng khú, nhng ụi
khi giỏo viờn ch quan tõm gii cỏc bi toỏn c th m cha chỳ trng n phõn
loi cỏc dng toỏn v phng phỏp gii cho tng dng ú.
i vi hc sinh: khi gp cỏc dng toỏn liờn quan n giỏ tr tuyt i
thng la khú v ngi khụng lm. c bit l bi tp tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr
ln nht, tỡm x cú cha du giỏ tr tuyt i, thng hc sinh lỳng tỳng, khụng
bit phỏ giỏ tr tuyt i cha x nh th no, tỡm x xong khụng bit i chiu vi
khong ang xột.
T thc tin dy hc, c bit t khi nh trng giao nhim v bi dng
hc sinh gii toỏn lp 7, tụi nhn thy phnbi tp tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln
nht, tỡm x cú cha du giỏ tr tuyt i l khú i vi hc sinh lp 7, m thi hc
sinh gii lp 7 cỏc nm thng hay cú trong thi.
2.3 Cỏc sỏng kin kinh nghim hoc cỏc gii phỏp ó s dng gii quyt
vn .
2.3.1. Tớnh giỏ tr ca biu thc v rỳt gn biu thc cú cha du giỏ tr
tuyt i.
Caự

ch giaỷ
i:
*
Tựy vo giỏ tr ca bin bi cho, ta thay giỏ tr ca bin vo biu
thc tớnh giỏ tr hoc rỳt gn cỏc biu thc.

3


Thí dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức

A, B,C ;

a) A = x + y- z

vớ
i x =- 1 ;y =2 vàz =4.

b) B = x + x- 1 + x- 2

vớ
i x =- 0,25.

c) C =4x2 - 2x- 1

vớ
i x = 0,5.

Lời giải
a) Thay x =- 1; y = 2 vàz =4 và

o biể
u thứ
c A ta cóA=- 1+ 2- 4 = - 3 = 3.

b) Thay x =- 0,25 và
o biể
u thứ
c B ta cóB=- 0,25 + - 0,25- 1 + - 0,25- 2 = 3,75.
c) Vì x = 0,5 Þ x = ±0,5.
Nế
u x =0,5 thì C =4.0,52 - 2.0,5- 1=- 1.
2

Nế
u x = - 0,5 thì C=4.( - 0,5) - 2.( - 0,5) - 1= 1.
Vậ
y : C =- 1 nế
u x = 0,5 ;

C = 1 nế
u x =- 0,5.

Thí dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = x + x .
b) B =2.( 3x- 1) - 5- x .
c) C =2. 2x- 1 - 32x + 3.
a) Ta xé
t hai trườ
ng hợp:

Lời giải

Nế
u x ³ 0 thì x = x, ta cóA = x + x = 2x.
Nế
u x < 0 thì x =- x, ta cóA = x +( - x) = 0.
Vậ
y A = 2x nế
u x ³ 0 vàA = 0 nế
u x< 0 .
b) Ta xé
t hai trườ
ng hợp:
Nế
u x ³ 5 thì 5- x =- ( 5- x) = x- 5, ta cóB = 2( 3x- 1) - ( x- 5) = 5x + 3.
Nế
u x < 5 thì 5- x = 5- x, ta cóB = 2( 3x- 1) - ( 5- x) = 7x- 7.
Vậ
y B = 5x + 3 nế
u x ³ 5 vàB = 7x- 7 nế
u x< 5 .

4


c) Ta xé
t ba trườ
ng hợp:
Nế
u x ³ 0,5 thì 2x- 1 = 2x- 1 và2x + 3 = 2x+ 3, ta cóC =- 2x- 11.

Nế
u - 1,5 Nế
u x £ - 1,5 thì 2x- 1 = 1- 2x và2x + 3 =- ( 2x + 3) , ta cóC = 2x +11.
ìï - 2x- 11 nế
u x ³ 0,5
ïï
Vậ
y C = ïí - 10x- 7 nế
u - 1,5 ïï
u x £ - 1,5 .
ïïỵ 2x +1 nế

2.3

.2.Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
·

Phương pháp chung để tìm giá trị của biến trong đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của khoảng giá trị của biến rồi khử dấu giá trị
tuyệt đối.
·

Ngồi cách giải chung đã nêu ở trên ta còn có cách giải đơn giản hơn.
f ( x) = m

DẠNG 1

:

f ( x) = m

Cách giải:
Nếu
Nếu
Nếu

(
m<0

là một số cho trước).

thì khơng có giá trị nào của

x

f ( x) = 0

m=0

m> 0

m

thì

.

f ( x) = m

thỏa mãn vì

f ( x) = - m

thì

hoặc

Tìm x, biế
t:

3
2
- 2x- 1 = .
2
3

Thí dụ 3:

f ( x) ³ 0 vớ
i " x.

.

Lời giải
3
2
- 2x- 1 = Û
2
3

é
5
ê2x- 1=
ê
6 Û
Û ê
ê
5
ê2x- 1=ê
6
ë

3 2
5
2x- 1 = - Û 2x- 1 =
2 3
6
é
11 é 11
ê2x =
êx =
ê
6 Û ê 12
ê
ê
ê
ê
1
1
ê2x =

êx = .
ê
ê 12
6
ë
ë

ìï 1 11ü
ïï
Vậ
y x Ỵ ïí ;
ý.
ïỵï 12 12ïïþ
5


Tìm x, biế
t : x + 3 - 8 = 20.

Thí dụ 4:
Lời giải

éx + 3 - 8= 20
x + 3 - 8 = 20 Û ê
Û
ê
x + 3 - 8=- 20
ê
ë
éx + 3= 8

éx = 5
Û ê
Û ê
êx + 3=- 8 êx =- 11.
ë
ë

éx + 3 = 28
ê
Û x + 3 = 28
ê
êx + 3 =- 12( loại)
ë

Vậ
y x Ỵ { - 11; 5} .
f ( x) = g( x)

NG 2 :
DẠ
Vậ
n dụng tính chấ
t a = b Û a = ±b.

Cách giải: Tìm x thỏa mãn
T ìm x, biế
t

éf ( x) = g( x)
f ( x) = g( x) Û ê

êf x = - g x
( )
ê
ë( )

x + 3 = 5 - 2x .

Thí dụ 5 :
Lời giải
é
êx = 2
éx + 3 = 5- 2x
Û ê
3
x + 3 = 5- 2x Û ê
ê
êx + 3 = - 5- 2x
x
=
8
(
)
ê
ê
ë
ë
2
x = ; x = 8.
3

Vậy
Nhận xét

Do kiến thức ở lớp 7 nên tơi khơng đưa ra cách giải:

f ( x) = g( x) Û f 2 ( x) = g2 ( x) .
f ( x) =g( x)

( *)

NG 3:
DẠ
Cách giải
Cách 1: Ta có hai trường hợp sau:

Nế
u f ( x) ³ 0 thì từ( *) ta cóf ( x) = g( x) .
Nế
u f ( x) < 0 thì từ( *) ta có- f ( x) = g( x) .
6


Ngồi cách giải trên còn cách nào giải khác hay khơng?
Vì f ( x) ³ 0 vớ
i " x nê
n từ( *) ta cóg( x) ³ 0 do đóta cócá
ch giả
i sau:

Cách 2:

Điề
u kiệ
n g( x) ³ 0.
Ta cóhai trườ
ng hợp: f ( x) = g( x) hoặ
c f ( x) =- g( x)

Nhận xét:
Đối với học sinh lớp trên ta còn cách giải khác:
ìï g( x) ³ 0
ï
f ( x) = g( x) Û í 2
ïï f ( x) = g2 ( x)
ïỵ

Tìm x, biế
t : 3x- 2x- 1 = 2

Thí dụ 6 :

(

Đềthi học sinh giỏ
i cấ
p cụm lớ
p 7 Y ê
n Đònh nă
m học 2013 - 2014)

.
3x- 2x- 1 = 2 ( *)

Lời giải

1
, từ( *) ta có3x- ( 2x +1) = 2 Û x = 3( thỏ
a mã
n).
2
1
1
Vớ
i x <- , từ( *) ta có3x +( 2x +1) = 2 Û x = ( khô
ng thỏ
a mã
n).
2
5
Vậ
y x = 3.
Vớ
i x³ -

Chúý: Bà
i toá
n thí dụtrê
n đãgiả
i theo cá
ch 1 ngoà

i ra cò
n giả
i theo cá
ch 2,
nhưng hai cá
ch giả
i lànhư nhau.

Tìm x, biế
t : 2019- x- 2019 = x

Thí dụ 7 :
Lời giải
2019- x- 2019 = x Þ x- 2019 = 2019- x Û x- 2019 £ 0 Û x £ 2019.

Chú ý:

a) f ( x) = f ( x) Û f ( x) ³ 0;

b) f ( x) = - f ( x) Û f ( x) £ 0.

Điều được đưa ra tranh cãi là có cho phép học sinh thực hiện cách giải 2 hay
khơng, một cách giải khơng được nêu trong sách giáo khoa ?
Để giải đáp thắc mắc tơi đưa ra hai thí dụ:
7


ỉ2 5÷
ư
T ìm x, biế

t : xç
= x.
çx - ÷
÷
ç
4÷
è
ø

Thí dụ 8 :
(Trích bài tập 25b trang 14”Bài tập nâng cao và một số chun đề Tốn 7”của
tác giả Bùi Văn Tun)
Lời giải
Rõ ràng nếu giải thí dụ 8 theo cách 1 thì thật là khó đối với học sinh lớp 7,
ỉ2 5÷
ư
xç
x - ÷
³ 0
ç
ç
÷
4÷
è
ø

ỉ2 5÷
ư
xç
x - ÷

£ 0.
ç
ç
÷
4÷
è
ø

vì khi đó phải tìm x sao cho
hoặc
Ngược lại nếu giảithí dụ 8theo cách 2 thì thật dễ dàng.
Điề
u kiệ
n x³ 0.Ta giả
i hai trườ
ng hợp sau:
éỉ2 5ư ù
ỉ2 5ư
ỉ2 9ư
÷
÷
êç
ú= 0 Û xç
Trườ
ng hợp 1: xç
x
=
x
Û
x

x
1
x - ÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷= 0
ê
ú
ç
ç
ç
÷
÷
÷
4ø
4
4
è
è
ø
è
ø
ë
û

* x = 0 ( thỏ
a mã
n) .
2

ỉư
9
3÷
3
3
* x - = 0 Û x2 = ç
Û x = ± , kế
t hợp vớ
i x ³ 0, ta cóx = .
÷
ç
÷
ç
÷
4
2
2
è2ø
2

éỉ2 5ư ù
ỉ2 5ư
ỉ2 1ư
÷
÷

ç
ç
ê
ú
Trườ
ng hợp 2: xç
x
=x
Û
x
x
+
1
=
0
Û
x
x - ÷
=0
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
ê
ú

ç
ç
ç
÷
÷
÷
4ø
4
4
è
è
ø
è
ø
ë
û
* x = 0 ( thỏ
a mã
n) .
2

ỉư
1
1÷
1
1
* x - = 0 Û x2 = ç
÷
Û x = ± , kế
t hợp vớ

i x ³ 0, ta cóx = .
ç
÷
ç
÷
4
2
2
è2ø
2

Vậy

ïì 1 3ïü
x Ỵ ïí 0; ; ïý
ïỵï 2 2ïþ
ï

.

ỉ2 5÷
ư
÷
Tìm x, biế
t x = xç
x
.
ç
÷
ç

4÷
è
ø

Thí dụ 9 :

(1)
Lời giải
Ngược lại với thí dụ 8, giải theo cách 2 thì khá khó, nhưng theo cách 1 thì lại dễ.

8


*

Với

x³ 0

thì (1) trở thành

éỉ2 5ư ù
ỉ2 5÷
ư
êç
÷
÷
x = xç
x
Û

x
x - ÷
- 1ú
ç
ç
÷
÷
ê
ú= 0 Û
ç
ç
÷
4÷
4
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
éx = 0
éx = 0
ê
ê
ê
Û ê2
Û
êx = 9

êx = ± 3
ê
ê
4
2
ë
ë

Kết hợp với điều kiện

*

Với

x<0

x³ 0

, ta được

éx = 0
ê
ê2 5
êx - - 1 = 0
ê
4
ë

3
x = 0, x = .

2

éỉ2 5ư ù
ỉ2 5ư
êç
÷
÷
x = - xç
Û
x
+ 1ú
çx - ÷
çx - ÷
÷
÷
ê
ú= 0 Û
÷
÷
ç
ç
4ø
4
è
è
ø
ê
ú
ë
û

thì (1) trở thành

Kết hợp với điều kiện

x<0

x =-

, ta được

1
.
2

Vậy

éx = 0
ê
ê
êx = ± 1
ê
2
ë

ïì
1 3ïü
x Ỵ ïí 0;- ; ïý
ïỵï
2 2ïïþ

.

3- 1- x = 2

Thí dụ 10 : Tìm x, biết:
Lời giải
3- 1- x = 2
a)

Theo chú ý a) ta có
é3- 1- x = 2
ê
Û ê
Û
ê3- 1- x = - 2
ë

Giải

Giải

é1- x = 1 I
( )
ê
ê
ê1- x = 5( II )
ë

é1- x = 1

1- x = 1 Û ê
ê1- x = - 1 Û
(I )
ê
ë

éx = 0
ê
êx = 2 Û
ê
ë

é1- x = 5
1- x = 5 Û ê
ê1- x = - 5 Û
( II )
ê
ë
xỴ

éx = 0
ê
êx = ±2
ê
ë

éx = - 4
ê
êx = 6 Û x = 6 Û x = ±6.
ê

ë

{ - 6;- 2;0;2;6} .

Vậy
x2 + x - 1 = x2 + 2.

Thí dụ 11 : Tìm x, biết

(

Đềthi học sinh giỏ
i cấ
p cụm lớ
p 7 Y ê
n Đònh nă
m học 2012 - 2013)

Lời giải
9


Vì

x2 ³ 0, " x Ỵ R nê
n x2 +2>0 " Ỵ R.

nên

x2 + x - 1 = x2 + 2 Û x2 + x - 1 = x2 + 2 Û x - 1 = 2

éx - 1 = 2
éx = 3
ê
Û ê
Û
êx - 1 = - 2
êx = - 1
ê
ê
ë
ë
Vậ
yx Ỵ

{ - 1; 3} .
- x- 5
x +5

=1 1
()

Thí dụ 12 : Tìm x, biết
(Violypic Tốn 7 vòng 16 năm học 2014-2015)
Lời giải
Mới nhìn bài tốn có vẻ khó, nhưng nếu học sinh nắm vững kiến thức thì lại dễ.
Điều kiện
Với

x¹ - 5

x¹ - 5

.

( 1) Û

- x - 5 = x + 5 Û x + 5 = x + 5 Û x + 5 > 0 Û x > - 5.

thì
x >- 5
Vậy ta có
.
f ( x) + g( x) = 0.
DẠNG 4:

Cách giải:

ìï f x = 0
ï ( )
f ( x) + g( x) = 0 Û ïí
Û
ïï g( x) = 0
ïỵ

ìï
ïí f ( x) = 0
ïï g( x) = 0
ïỵ

x + x +2 = 0

Thí dụ 13 : Tìm x, biết

.
Lời giải

x ³ 0, x + 2 ³ 0, " x Ỵ R.

Vì
ìï x = 0
x + x + 2 = 0 Û ïí
Û
ïï x + 2 = 0
ïỵ

ìï x = 0
ï
Û
í
ïï x + 2 = 0
ỵ

ìï x = 0
ï
í
ïx =- 2
ỵï

Nên
Vậy khơng có giá trị nào của x thỏa mãn bài tốn.

Dạng tốn còn được mở rộng cho các bài tốn:
Chú ý

(loại)

f ( x) ,g( x) cò
n cóthểchứ
a thê
m cá
c biế
n khá
c.

Tìm x, biế
t : x2 + 2x + y2 - 9 = 0

Thí dụ 14 :
10


(

Đềthi học sinh giỏ
i cấ
p cụm lớ
p 7 Y ê
n Đònh nă
m học 2010 - 2011)

Lời giải

Ta có x2 + 2x ³ 0, " x Ỵ R; y2 - 9 ³ 0, " y Ỵ R do đóx2 + 2x + y2 - 9 ³ 0," x, y Ỵ R .
ìï x2 + 2x = 0
ï
Để x2 + 2x + y2 - 9 = 0 Û ïí
Û
ïï y2 - 9 = 0
ïỵ
Vậ
y ( x, y) Ỵ

ìï x( x + 2) = 0
ï
Û
í 2
ïï y = 9
ỵ

ì
ïíï x =- 2, x = 0
ïïỵ y = ±3.

{( 0;3) ,( 0;- 3) ,( - 2;3) ,( - 2;- 3) } .

Tìm x, biế
t : x-

1
2
+ y+ + x2 + xz = 0
2

3

Thí dụ 15 :

(

Đềthi học sinh giỏ
i cấ
p cụm lớ
p 7 Y ê
n Đònh nă
m học 2009 - 2010)

Lời giải
Vì x-

1
2
³ 0, " x Ỵ R; y+ ³ 0, " y Ỵ R; x2 + xz ³ 0," x, z Ỵ R;
2
3

1
2
+ y + + x2 + xz ³ 0, " x, z Ỵ R;
2
3
ìï
ïï x- 1 = 0
ïìï

1
x
=0
ïï
ï
2
ï
2
ïï
ïï
ï
ï
1
2
2
2
Để x- + y+ + x2 + xz = 0 thì ïí y + = 0 Û ïí y+ = 0
ïï
ïï
2
3
3
3
ïï
ïï
ïï x2 + xz = 0
ïï x( x + z) = 0
ïï
ỵïï
ïỵ

1
2
1
Û x = , y =- , z =- .
2
3
2
ỉ1
2
1ư
Vậ
y ( x, y, z) = ç
; - ; - ÷
.
÷
ç
÷
ç
3
2÷
è2
ø
do đóx-

Tìm x, biế
t : x- 8

2015

+( 5y +1)

2016

£ 0.

Thí dụ 16 :

(

Đềthi học sinh giỏ
i cấ
p cụm lớ
p 7 Y ê
n Đònh nă
m học 2015 - 2016)

Lời giải

11


x- 8 ³ 0 " x Ỵ R, do đóx- 8
nê
n x- 8

2015

+( 5y +1)

Màtheo đềbà

i x- 8
x- 8

2015

+( 5y +1)

2016

2015

2016

2015

³ 0 " x Ỵ R,( 5y +1)

2016

³ 0 " R

³ 0 " x, y Ỵ R.

+ ( 5y +1)

2016

£ 0. Suy ra

2015

ìï
ïï x- 8 = 0
= 0Û í
Û
ïï 5y+1 2016 = 0
)
ïỵ (

ïìï x- 8 = 0
Û
í
ïï 5y +1= 0
ỵ

ỉ
1ư
Vậ
y ( x, y) = ç
8; - ÷
÷
ç
÷.
ç
÷
5ø
è

ìï x = 8
ïï
í

ïï y =- 1
ïỵ
5

DẠNG 5 : Tìm x chứa nhiều giá trị tuyệt đối
Cách giải:
·
·
·

Tìm nghiệm của mỗi đa thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối.
Lập bảng xét dấu trên mỗi khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối .

Tìm nghiệm trên mỗi khoảng đó.
Ngồi ra, tùy theo đặc điểm của bài tốn ta có thể vận dụng các tính chất đã nêu.
x - 1 + x - 3 = 6. ( 1)

Thí dụ 17 : Tìm x, biết
Lời giải
Sử dụng phân chia khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
·

Với

x <1

( 1)

thì

·

1£ x £ 3

·

x>3

Với
nào thỏa mãn.
Với

thì

có dạng :

1- x + 3- x = 6 Û x = - 1

( 1)

thì

có dạng :

( 1)

x = - 1, x = 5.

có dạng :

(thỏa mãn).

x - 1+ 3- x = 6 Û 0x = 4

, khơng có giá trị

x - 1+ x - 3 = 6 Û 2x = 10 Û x = 5

(thỏa mãn).

Vậy
Thí dụ 18 : Tìm x, biết:
x - 12 + x - 14 + x + 101 + x + 991 + x + 1000 = 2017.

Lời giải
Vận dụng tính chất 3, ta có:
·

x - 12 + x + 1000 = 12- x + x + 1000 ³

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
·

( 12- x) + (x + 1000) = 1012

- 1000 £ x £ 12.

x - 14 + x + 991 = 14 - x + x + 991` ³

,

( 14 - x) + (x + 991) = 1005,
12


đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
·

- 991 £ x £ 14.

x + 101 ³ 0, " x Î R

, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta có

x = - 101.

x - 12 + x - 14 + x + 101 + x + 991 + x + 1000 ³ 2017,

và chỉ khi

ìï - 1000 £ x £ 12
ïï
ïí - 991 £ x £ 14 Û x = - 101.
ïï
ïï x = - 101
î

đẳng thức xảy ra khi

Vậy

x = - 101.

x + 1 + x + 2 + x + 3 + ... + x + 2015 = 2016x.

Thí dụ 19 : Tìm x, biết:

(1)
Lời giải

x + 1 ³ 0, x + 1 ³ 0, x + 3 ³ 0,..., x + 2015 ³ 0, " x Î R,

Vì

nên

2016x ³ 0 Û x ³ 0.
x³ 0

( 1)

Với
thì
có dạng :
x + 1+ x + 2 + x + 3 + ... + x + 2015 = 2016x
Û x
+x +
... + x3+ 1+ 2 + 3 + .... + 2015 = 2016x
144444

244444
2015

Û 2015x +

2015( 1+ 2015)

Û x = 2015.1008
Û x = 2031120

Vậy

2

= 2016x

x = 2031120.

2.3.3.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp giải:
- Phân chia khoảng, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất từng khoảng đó rồi
chọn ra kết quả.
- Sử dụng các tính chất đã nêu.
Thí dụ 20:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A = 3,7 + 4, 3- x

B = 3x + 8,4 - 14,2

b)

a)

c)

C = 4x - 3 + 5y + 7,5 + 17,5

.
13


Lời giải
A = 3,7 + 4, 3- x
a)

4,3 - x ³ 0, " x Î R Þ A = 3,7 + 4, 3- x ³ 3,7, " x Î R

Vì

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3,7 khi và chỉ khi

x = 4,3.

B = 3x + 8,4 - 14,2

b)
3x + 8,4 ³ 0, " x Î R Þ B = 3x + 8,4 - 14,2 ³ - 14,2, " x Î R

Vì

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B = −14, 2

x =-

khi và chỉ khi

14
.
5

C = 4x - 3 + 5y + 7,5 + 17,5

c)
4x - 3 ³ 0, " x Î R; 5y + 7,5 ³ 0, " y Î R. Þ 4x - 3 + 5y + 7,5 + 17,5 ³ 17,5

Vậ
C = 17,5

y giá trị nhỏ nhất của biểu thức
khi và chỉ khi
Thí dụ 21:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
A = 5,5 - 2x - 1,5

3
3

x = ,y = - .
4
2

B = 4 - 5x - 2 - 3y + 12

b)

a)

1
2
C =x+ - x2
3

c)
(Đề thi học sinh giỏi lớp 7 Yên Định năm học 2011-2012)
Lời giải
A = 5,5 - 2x - 1,5

a)
2x - 1,5 ³ 0, x Î R Û - 2x - 1,5 £ 0, x Î R Û 5,5- 2x - 1,5 £ 5,5; x Î R.

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 5,5

khi và chỉ khi

3

x= .
4

B = 4 - 5x - 2 - 3y + 12

b)

14


5x - 2 ³ 0, x Î R; 3y + 12 ³ 0, " y Î R
Þ - 5x - 2 - 3y + 12 £ 0, " x, y Î R.
Þ 4 - 5x - 2 - 3y + 12 £ 4, " x, y Î R.
2
x = , y = - 4.
5

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức B = 4 khivà chỉ khi
1
2
C =x+ - x2
3

c)
x<

Với
x³

Với

2
3
2
3

1
2
1
2 7
C =x+ - x= x + +x - <
2
3
2
3 6

thì
1
2
1
2 7
C = x+ - x=x+ - x+ =
2
3
2
3 6

thì

C £

Như vậy

7
6

C =

mà

7
6

x³

khi và chỉ khi
C =

7
6

2
3

.
x³

Tóm lại giá trị lớn nhất của biểu thức
khi
Thí dụ 22:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2
3

.

A = x - 2014 + x - 2015

a)
B = x - 2013 + x + 2015 + x - 2017

b)
C = x - a1 + x - a2 + ... + x - an

c)

trong đó
Lời giải

a1 < a2 < ... < an .

A = x - 2014 + x - 2015
a)

Cách 1 :Xét từng khoảng giá trị của x
x < 2014

x - 2014 + x - 2015 = - x + 2014 - x + 2015 = - 2x + 4029

Nếu

, thì
x < 2014
- 2x + 4029 > 1
Vì
nên
.

.

A = x - 2014 + x - 2015 > 1

Do đó :.
Nếu

2014 £ x £ 2015,

.
x - 2014 + x - 2015 = x - 2014 - x + 2015 = 1

ta có :

.
15


x > 2015

x - 2014 + x - 2015 = x - 2014 + x - 2015 = 2x - 4029

Nếu

,thì
x > 2015 Û 2x > 4030 Û 2x - 4029 > 1
Vì
.

.

A = x - 2014 + x - 2015 > 1

Do đó :.

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 khi và chỉ khi
Cách 2 : Áp dụng tính chất 2 và 3, ta có

2014 £ x £ 2015.

A = x - 2014 + x - 2015 = x - 2014 + 2015- x
³ x - 2014 + 2015- x = 1.

Từ đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 khi và chỉ khi

(x-

2014) ( 2015 - x) ³ 0

hay

2014 £ x £ 2015.

x - 2014 ³ 0, x - 2015 ³ 0,

*

Lưu ý: Không sử dụng được

không xảy ra đồng thời :

vì dấu đẳng thức

ïìï x - 2014 = 0
Û
í
ïï x - 2015 = 0
ïî

ïìï x = 2014
í
ïï x = 2015
î

,nhưng

2014 ¹ 2015

x - 2015 = 2015 - x

*

Điểm hay của cách này là sử dụng

đánh giá A.

để triệt tiêu

(

x

.

khi

)

B = x - 2013 + x + 2015 + x - 2017 = x + 2015 + x - 2017 + x - 2013

.

b)

Áp dụng tính chất 2 và 3 ta có:
* x + 2015 + x - 2017 = x + 2015 + 2017 - x ³ x + 2015 + 2017 - x = 4032.

( x + 2015) ( 2017 - x) ³

0 Û - 2015 £ x £ 2017.

Dấu bằng xảy ra khi
* x - 2013 ³ 0, " x Î R.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Do đó

B ³ 4032

. Mà

B = 4032

khi và chi khi
B = 4032

x = 2013.

ìï - 2015 £ x £ 2017
ï
Û x = 2013.
í
ïï x = 2013
î

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
khi và chỉ khi
Lưu ý: Không thực hiện được cách ghép khác, chẳng hạn

(

x = 2013.

)

B = x - 2013 + x + 2015 + x - 2017 = 2013 - x + x + 2015 + x - 2017 ³ 4028.

16


ïì ( 2013- x) ( x + 2015) ³ 0 ïìï - 2015 £ x £ 2013
ïí
Û í
ïï x = 2017
ïï x = 2017
î
ïî

B = 4028

Mà
khi và chỉ khi
không có giá trị nào của x thỏa mãn.
B ³ 4028

Vậy
nhưng dấu đẳng thức không xảy ra, do đó không tìm được giá trị
nhỏ nhất của B.
C = x - a1 + x - a2 + ... + x - an

a1 < a2 < ... < an .

c)

trong đó
Vận dụng kết quả của các biểu thức A và B ta có
·

n = 2k

Nếu

thì giá trị nhỏ nhất của

C = an + an- 1 + ... + ak+1 + ak - ... - a1
·

n = 2k + 1

Nếu

khi

ak £ x £ ak+1.

thì giá trị nhỏ nhất của

C = an + an- 1 + ... + ak+2 - ak - ... - a1

x = ak+1.

khi
Thí dụ23:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,biết
A = 7x - 5y + 2z - 3x + xy + yz + zx - 2000 .

Lời giải
Ta có
7x - 5y ³ 0, " x, y Î R; 2z - 3x ³ 0, " x, z Î R; xy + yz + zx - 2000 ³ 0, " x, y, z Î R.
A = 7x - 5y + 2z - 3x + xy + yz + zx - 2000 ³ 0, " x, y, z Î R.

Suy ra
Mà

A =0

7x - 5y = 2z - 3x = xy + yz + zx - 2000 = 0.

khi và chỉ khi

x y
x
y
= Û
= ;
5 7
10 14
x z
x
z
* 2z - 3x = 0 Û 2z = 3x Û
= Û
= ;
2 3
10 15

* xy + yz + zx - 2000 = 0 Û xy + yz + zx = 2000.
* 7x - 5y = 0 Û 7x = 5y Û

x
y
z
=
=
=k
10 14 15

Từ đó ta có dãy tỉ số bằng nhau
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
k2 =

Ta có

.

x y
y z
z x
xy + yz + zx
2000
× = × = × =
=
= 4.
10 14 14 15 15 10 140 + 210 + 150
500

k = ±2

nên

x = 20, y = 28, z = 30

hoặc

x = - 20, y = - 28, z = - 30.
17


Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( x, y, z) = ( 20;28;30)

A=0

khi

( x, y, z) = ( - 20;- 28;- 30) .

hoặc
2.3.4.Tìm x trong bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Khi tìm x trong bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ở lớp 7, ta cần chú ý
những dạng sau:
f (x) £ a ( a > 0)

DẠNG 1 : a)

f ( x) £ a ( a > 0) Û - a £ f ( x) £ a.

Cách giải :

f ( x) £ g( x)

b)

f ( x) £ g( x) Û - g( x) £ f ( x) £ g( x) .

Cách giải :
Thí dụ 24 : Tìm x, biết:
2x + 3 £ 7

2x - 3 < x

a

b)
Lời giải
2x + 3 £ 7 Û - 7 £ 2x + 3 £ 7 Û - 10 £ 2x £ 4 Û - 5 £ x £ 2.

a)

- 5 £ x £ 2.

Vậy giá trị cần tìm của x là

b)

ìï 2x - 3 ³ - x
2x - 3 < x Û - x £ 2x - 3 £ x Û ïí
Û
ïï 2x - 3 £ x
î

Vậy giá trị cần tìm của x là

ìï x ³ 1
ï
Û 1 £ x £ 3.
í
ïï x £ 3
î

1 £ x £ 3.

f (x) ³ a ( a > 0)

DẠNG 2 : a)

éf ( x) £ - a
f (x) ³ a ( a > 0) Û ê
êf x ³ a
ê
ë( )

Cách giải :

f ( x) ³ g( x)

b)

f ( x) ³ g( x) Û f ( x) ³ g( x) .

f ( x) ³ 0

Cách giải : Với

thì
f ( x) £ 0

Với

f ( x) ³ g( x) Û - f ( x) ³ g( x) .

thì
18


Thí dụ 25 : Tìm x, biết:
2x - 3 > 5

2- x ³ 3x + 1

b)

a)

Lời giải

a)

é2x - 3 < - 5
2x - 3 > 5 Û ê
ê2x - 3 > 5 Û
ê
ë

é2x < - 2
ê
ê2x > 8 Û
ê
ë

Ta có các giá trị của x thỏa mãn bài toán là:
Với

b)

2- x ³ 0 Û x £ 2

éx < - 1
ê
êx > 4
ê
ë
x < - 1, x > 4.

thì

2- x ³ 3x + 1 Û 2- x ³ 3x + 1 Û 4x £ 1 Û x £

Với

2- x < 0 Û x > 2

1
4

(thỏa mãn

x£ 2

)

thì

2- x ³ 3x + 1 Û - (2- x) ³ 3x + 1 Û 2x £ - 3 Û x £

x£

Ta có các giá trị của x thỏa mãn bài toán là:
DẠNG 3 :Tìm x chứa nhiều giá trị tuyệt đối
Cách 1: Phân chia khoảng.
Cách 2: Sử dụng các tính chất.

1
4

- 3
2

(loại vì

x>2
).

.

x - 3 > x + 2 ( 1)

Thí dụ 26 : Tìm x, biết:
·

Với

x <- 2

Lời giải

( 1)
thì

có dạng:

- x + 3 > - x - 2 Û 0x > - 5

,đúng mọi

( 2)

x <- 2
Kết hợp với khoảng đang xét ta được ,
.
·

Với

- 2£ x £ 3

( 1)

thì

- x + 3> x +2 Û x <

có dạng:

Kết hợp với khoảng đang xét ta được,
·

Với

x>3

( 2)
Từ

( 1)

thì

có dạng :,

.

1
2

1
- 2 £ x < . ( 3)
2

x - 3 > x + 2 Û 0x > 5

( 3)
và

x

ta có các giá trị cần tìm là,

, vô lí.

1
x< .
2
19

x - 1 + x - 2 > x + 3 ( 1)

Thí dụ 27: Tìm x, biết:
Lời giải

x < 1 ( 1)
1- x + 2 - x > x + 3 Û 3x < 0 Û x < 0
Với
thì
có dạng:
, thỏa mãn
khoảng đang xét .
( 1)
1£ x £ 2
x - 1+ 2 - x > x + 3 Û x < - 2
·
Với
thì
có dạng :
, không thuộc
khoảng đang xét.
( 1)
x - 1+ x - 2 > x + 3 Û x > 6,
x>2
·
Với
thì
có dạng :
thỏa mãn khoảng

đang xét .
·

Ta có các giá trị cần tìm là,

x < 0, x > 6.

x - 1 + 2x - 6 > x - 7.

Thí dụ 28: Tìm x, biết:
Lời giải
Cách 1: Phân chia khoảng
·

x < 1,

·

1£ x £ 3

Với
ta có
x <1
ta có
.
Với

7
1- x + 6- 2x > x - 7 Û x < ,
2

ta có

kết hợp với khoảng đang xét

x - 1+ 6- 2x > x - 7 Û x < 6,

1£ x £ 3

kết hợp với khoảng đang

xét ta có
.
x
- 1+ 2x - 6 > x - 7 Û x > 0,
x>3
·
Với
ta có
kết hợp với khoảng đang xét ta
x>3
có
.
x Î R.
Tóm lại giá trị cần tìm là,
Cách 2: Áp dụng tính chất 3, ta có
x - 1 + 2x - 6 = x - 1 + 6 - 2x ³ x - 1+ 6- 2x = - x + 5 = x - 5 ³ x - 5 > x - 7
" x Î R.

x Î R.

Tóm lại giá trị cần tìm là
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Từ năm 2007 đến nay tôi được nhà trường tin tưởng giao nhiệm vụ bồi dưỡng
học sinh giỏi các khối khác nhau, năm nào tôi cũng có học sinh giỏi. Sau đây là
các năm học tôi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7.
20


Năm học 2008- 2009 cùng với nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học,
tôi lần đầu tiên được nhà trường giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7.
Tôi đã mạnh dạn áp dụng đề tài của sáng kiến kinh nghiệm này vào công tác bồi
dưỡng đã mang lại nhiều chuyển biến tích cực, các em đã có phương pháp học
tốt hơn và hứng thú đối với môn học.
Năm học 2008- 2009 học sinh giỏi cấp trường do phòng giáo dục tổ chức
có em Trịnh Văn Chiến đạt giải nhì,hai em Trịnh Thị Hồng và Nguyễn Thị Hải
đạt giải khuyến khích.
Năm học 2011- 2012 học sinh giỏi cấp trường do phòng giáo dục tổ chức
có em Nguyễn Văn Dũng đạt giải nhất, em Lê Minh Tiến đạt giải nhì và Lê
Hồng Mai đạt giải ba.
Năm học 2015- 2016 học sinh giỏi cấp trường do phòng giáo dục tổ chức
có em Nguyễn Thị Hồng May đạt giải nhì, em Lê Thị Thu Hằng đạt giải ba; các
em Vũ Đào Mai Tú, Nguyễn Thị Tuyền và Lê Minh Hồng đạt giải khuyến khích.
Đề tài của tôi cũng đã và đang được đồng nghiệp hướng dẫn cho học sinh
giỏi khối 7 các năm học khác và đạt được giải cao.
Chính vì áp dụng đề tài này mà học sinh có hứng thú học tập do đó thành
tích học sinh giỏi Toán khối 7 của nhà trường luôn xếp thứ nhất, thứ nhì trong
cụm bốn trường.
Cũng chính áp dụng các sáng kiến của bản thân và sự học hỏi nghiêm túc

từ các đồng nghiệp năm học 2017- 2018 đã đạt được kết quả khả quan: đạt hai
giải khuyến khích môn Toán lớp 9 cấp huyện, đồng đội đứng thứ 3 trên 29
trường trong huyện; môn Toán lớp 6, đạt một giải nhì và một giải khuyến khích
cấp cụm, đồng đội xếp thứ nhất.
3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1 .Kết luận.
Trên đây là những dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối ở lớp 7 và chỉ
là kinh nghiệm của tôi trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7. Đề tài này
tôi vẫn còn tiếp tục nghiên cứu và cùng đồng nghiệp áp dụng trong quá trình bồi
dưỡng học sinh giỏi.
Đây mới chỉ là kinh nghiệm của bản thân nên còn khiếm khuyết, tôi rất
mong các đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2.Kiến nghị.
Nhà trường mua thêm tài liệu như: toán học tuổi thơ, toán học tuổi trẻ…để
giáo viên và học sinh tham khảo hiểu biết hơn nữa về phần giá trị tuyệt đối.
Phòng giáo dục cần phổ biến hơn nữa những sáng kiến đã được xếp loại
cấp huyện, cấp tỉnh cho giáo viên như tôi, cũng như các giáo viên các trường
học tập kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Yên Định, ngày 20tháng 3 năm 2019.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
21


Người viết

Mai Văn Toàn

Tài liệu tham khảo
1.

Sách giáo khoa, sách bài tập Toán 7, nhà xuất bản giáo dục.

2.

Các đề thi học sinh giỏi cấp trường huyện Yên Định.

3.

Toán nâng cao và phát triển Toán 7, tác giả Vũ Hữu Bình.

4.

Toán nâng cao và một số chuyên đề Toán 7, tác giả Bùi Văn Tuyên.

5.

Các đề thi Violympic toán 7.

22


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Mai Văn Toàn
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Định Tiến

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Một số dạng toán chia hết
toán 6.
Một số phương pháp giải toán
về số nguyên tố.
Các phương pháp và một số
dạng Toán xác định một đa
thức.
Một số tính chất và dạng toán
số chính phương.
Hướng dẫn học sinh giải
phương trình nghiệm nguyên
lớp 9.
Hướng dẫn học sinh giải
phương trình nghiệm nguyên
Hướng dẫn học sinh một số

2.
3.
4.

5.
6.
7.

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
Năm học
giá xếp loại
xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A, B,
loại
Tỉnh...)
hoặc C)
cấp Huyện
A
2008-2009
cấp Huyện

B

2009-2010

cấp Huyện

C

2010-2011

cấp Huyện

C

2011-2012

cấp Huyện

B

2013-2014

cấp Huyện

C

2014-2015

cấp Huyện

B

2016-2017
23


8.

phương pháp giải bài toán có
chứa dấu giá trị tuyệt đối ở

lớp 7.
Hướng dẫn học sinh một số
phương pháp giải bài toán
chia hết trong tập hợp số
nguyên ở lớp 8

cấp Huyện

B

2017-2018

24