MỘT số KINH NGHIỆM KHI dạy PHẦN GIÁ TRỊ TUYỆN đối CHO học SINH lớp 7

Phòng giáo dục Thành phố Thanh Hoá

Một số kinh nghiệm
Khi dạy phần giá trị tuyệt đối
Cho học sinh lớp 7
Giáo viên: Nguyễn Thị Nghiêm.
Tổ:
Toán - Tin.
Trờng: THCS Trần Mai Ninh.

Thành phố Thanh Hoá, tháng 3 năm 2011.


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

A. Đặt vấn đề:
Trong toán học, khái niệm về giá trị tuyệt đối là
một khái niệm đơn giản và là một phạm trù kiến thức
rất hẹp. Song đối với học sinh cấp trung học cơ sở
thì quả thực đây là một vấn đề phức tạp, tơng đối
trìu tợng. Thế nhng nó đóng một vai trò hết sức
quan trọng trong quá trình giải quyết các bài toán
phức tạp sau này. Khi gặp một bài toán có giá trị
tuyệt đối, không ít học sinh lúng túng không biết
phải bắt đầu từ đâu và đặc biệt không biết xoay
sở ra sao. Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã đợc học
phần lý thuyết cơ bản song số bài tập để củng cố,
để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì lại
không nhiều, không có sức thuyết phục để lôi kéo sự
hăng say học tập của học sinh.
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán ở cấp

trung học cơ sở bản thân tôi nhận thấy với mỗi đơn
vị kiến thức đợc nêu trong sách giáo khoa, giáo viên
cần mở rộng, nâng cao để học sinh khá giỏi phát huy
khả năng học toán của mình.
Trong giảng dạy tôi nhận thấy phần giá trị tuyệt
đối là một đề tài lý thú, phong phú và đa dạng của
đại số không thể thiếu đợc trong khi bồi dỡng học
sinh khá giỏi môn toán 7.
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ
trình bày: '' Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị
tuyệt đối '' trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi lớp 7.
B. Giải quyết vấn đề:
Phần giá trị tuyệt đối của một số nguyên học
sinh đã đợc làm quen ở toán 6, đến lớp 7 các em đợc
cung cấp thêm kiến thức về giá trị tuyệt đối của một
số hữu tỉ. Đây là một kiến thức đóng vai trò hết sức
quan trọng trong quá trình học toán của học sinh sau
này nh: Biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt
2


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

đối, phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối, bất phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối, ...
Bởi vậy khi dạy bồi dỡng học sinh giỏi lớp 7 về
phần giá trị tuyệt đối, giáo viên cần cung cấp cho
học sinh một cách có hệ thống về định nghĩa, về
tính chất, về phơng pháp giải một số dạng toán về
giá trị tuyệt đối thờng gặp, ...
I. Điều trớc tiên là học sinh phải nắm vững định

nghĩa về giá trị tuyệt đối ở sách giáo khoa,
một số tính chất của giá trị tuyệt đối.
1. Định nghĩa:
Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu x, là
khoảng cách từ điểm x tới điểm 0 trên trục số.
Cách xác định giá trị tuyệt đối của một số hữu
tỉ:
x =

x nếu x 0
- x nếu x < 0

2. Tính chất:
a, x 0với x
b, x x (Nếu x 0 thì x= x; Nếu x< 0 thì
x= -x)
c, x= -x
d, x+ y x + y
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy 0
đ, x > 0 x hoặc x -
e, x (>0) - x
II. Nguyên tắc chung để giải toán trong đó có
chứa giá trị tuyệt đối:
Là bằng cách dựa vào định nghĩa, tính chất,
biến đổi bài toán về dạng không có giá trị tuyệt
đối.
3


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

III. Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối th ờng
gặp
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức.
Ví dụ 1.1: Tính giá trị của biểu thức:
A= -5x + 3y với x =

1
3

;y=

1
2

Loại toán này đơn giản chỉ cần học sinh nắm
vững cách tính giá trị của biểu thức đại số và cách
tính giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ là có thể
giải đợc bài toán.
Giải: Với x =
1

1
;
3

y=

A = -5 3 + 3

1
2

1
=
2

thì giá trị của A là:
-5

1
+
3

3

1
2

=

5
3
+
3
2

=

1

6

Ví dụ 1.2: Tính giá trị của biểu thức B = 4x 2 + x +2
tại x= 3
Học sinh cần phân biệt đợc sự giống
nhau và khác nhau giữa ví dụ này và ví dụ vừa xét ở
trên.Từ đó HS tự rút ra nhận xét để tính giá trị của
biểu thức B trớc hết cần tìm xem x bằng bao nhiêu ?
Giải:
Vì x= 3 nên x { 3; -3 }
- Nếu x = 3 thì giá trị của B là 4. 3 2 + 3 + 2 =
41
- Nếu x =-3 thì giá trị của B là 4.(-3)2 + (-3) + 2
= 35
Vậy với x=3 thì giá trị của B là 41; 35
Dạng 2: Rút gọn biểu thức có dấu giá trị tuyệt
đối
Để giải dạng toán này học sinh cần nắm vững hai
vấn đề sau:
- Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính
nó nếu biểu thức không âm và bằng biểu thức đối
của nó nếu biểu thức âm
- Quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất a x + b:
+ Nếu x

b
a

thì nhị thức cùng dấu với hệ số a
4

Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

+ Nếu x<

b
a

thì nhị thức khác dấu với hệ số a

Ví dụ 2.1: Rút gọn biểu thức
A=x+2+4 (x-1)
Học sinh cần nắm đợc:
x + 2 nếu x -2
x+2=
-(x + 2) nếu x < -2
Do đó:
- Nếu x -2 thì A=x+2 +4(x-1)
=x+2 +4x-4
=5x -2
- Nếu x < -2 thì A= -x-2 +4(x-1)
= -x-2 +4x -4
= 3x-6
Vậy:
5x - 2 nếu x -2
A=
3x - 6 nếu x < -2
Ví dụ 2.2: Rút gọn biểu thức: B = 3x+1 -x-2
ở ví dụ này biểu thức B có chứa hai dấu giá trị

tuyệt đối, do đó để thuận tiện trong việc trình
bày giáo viên nên hớng dẫn học sinh lập bảng xét dấu
nh sau:
x
-1
2
x+ 1
0
+
+
x-2
0
+
Ta xét ba trờng hợp ứng với ba khoảng giá trị của
biến x:
- Nếu x < -1 thì B = 3(-x -1) - (-x+2)
= -3x -3 +x -2
= -2x -5
-Nếu -1 x 2 thì B = 3.(x+1) -(-x + 2)
= 3x+3 +x-2
=4x +1
-Nếu x > 2 thì B = 3(x+1) -(x-2)
= 3x +3 -x+2
= 2x+5
Vậy:
5


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

-2x-5 nếu x < -1
B = 4x+1 nếu -1 x 2
2x+5 nếu x > 2
Trên cơ sở cách giải này học sinh có thể làm đợc
nhiều bài toán rút gọn biểu thức có chứa nhiều giá trị
tuyệt đối
Ví dụ 2.3 : Rút gọn biểu thức sau:
C = 5 +3x+ 2 +1-7x-3x-3
Giáo viên hớng dẫn học sinh giải theo các bớc sau:
- Lập bảng xét dấu
- Ta xét bốn trờng hợp ứng với bốn khoảng giá trị
của biến x
Dạng 3: Tìm giá trị của biến trong một đẳng
thức
Ví dụ 3.1: Tìm x biết:
3x + 2 -7 = -2
3x + 2 = -2 + 7
3x + 2= 5
3x + 2 = 5

3x + 2 = -5
x=1

7
x= 3
Vậy x -1;

7

3

Ví dụ 3.2: Tìm x biết x - 5 + 7 = 5
Giải: x - 5 + 7 = 5
x-5


= 5- 7

x-5 = -2

Vì x -5 0 x; -2 < 0 nên không tìm đợc giá
trị của x thoả mãn điều kiện bài toán
ở dạng toán này khi giải đến x-5 = -2 một số HS
không nắm vững tính chất x 0với x và tiếp tục
giải nh sau:
6


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

x 5 = 2
x 5 = 2


x = 7

x = 3

Do đó GV cần phải khắc sâu cho HS tính chất trên
và trong quá trình giải toán luôn có ý thức là kiểm tra

lại lời giải,kết quả của một bài toán ,từ đó tránh đợc
những sai lầm không đáng có.
Ví dụ 3.3: Tìm x biết x+ 3+ 2x = 7
(1)
Trong ví dụ này giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy ẩn
x vừa nằm trong giá trị tuyệt đối vừa nằm ngoài giá
trị tuyệt đối nên không thể giải nh ví dụ 1.3 đợc mà
phải chia khoảng để xét để đa bài toán về dạng
không có giá trị tuyệt đối
- Nếu x -3 thì (1) có dạng
x+ 3 + 2x = 7
3x + 3 = 7
3x
=4


x

=

4
3

(thuộc khoảng đang xét)

- Nếu x < -3 thì (1) có dạng
-x - 3 + 2x = 7

x = 10 (không thuộc khoảng đang
xét)

Vậy

x=

4
3

Ví dụ 4.3: Tìm x biết x + 1 = 3x - 6
Trong ví dụ này học sinh có thể vận dụng cách giải
của ví dụ 2.2 để giải (tức là chia từng khoảng để
xét), song ở bài này có thể giải theo cách khác ngắn
gọn hơn đó là:
x + 1 = 3x - 6
x + 1 = 3x 6

x + 1 = (3 x 6)
7

x = 2

x = 5

4

7


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

7

5

4

Vậy x 2 ;

* Trong quá trình dạy toán để học sinh tránh đợc
cách học máy móc, tiếp thu kiến thức một cách thụ
động, giúp học sinh phát huy sự sáng tạo trong quá
trình học toán thì trong mỗi đơn vị kiến thức giáo
viên nên chọn một số bài tập có những cách giải ngắn
gọn, độc đáo, liên quan đến nhiều kiến thức đã học,
ví dụ ở phần tìm giá trị của biến trong một đẳng
thức ta có thể cho học sinh làm bài tập sau:
Ví dụ 3.5: Tìm các số x sao cho 2 < x < 3 thoả mãn:
x - 2x -2+ 3 x - 3 = 4
(2)
ở bài
này học sinh có thể giải bằng cách lập
bảng xét dấu nhng khi tìm x thì chỉ cần xét một
khoảng duy nhất là 2 < x <3; hoặc học sinh có thể
dựa vào điều kiện 2 < x <3 để đa (2) về dạng không
có giá trị tuyệt đối
Cụ thể ta giải nh sau:
Vì 2 < x <3 nên x = x ;x -2 = x-2 ; x - 3 = 3- x
(2)
x - 2(x-2) + 3(3- x) = 4

x

Vậy x =

=

9
4

(thuộc khoảng đang xét)

9
4

Ví dụ 3.6: Tìm x biết: 3x 2 - 3x = -2
ở bài
này học sinh có thể giải bằng cách xét
khoảng nh đã biết nhng nếu HS đọc kĩ đề bài thì
sẽ thấy đợc bài toán này đa đợc về dạng A = A, từ
đó đa ra đợc cách giải hợp lí.
3x 2

- 3x = -2

3x 2

= 3x 2

3x -2



0

x

2
3

Dạng 4: Tìm giá trị của biến trong bất đẳng
thức
Ví dụ 4.1: Tìm x biết x+ 3 < 7
(1)
Giải: Ta có:
x+3 nếu x -3
x + 3 =
-x -3 nếu x< -3
8


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

- Nếu x -3 thì (1) trở thành x + 3 < 7

x < 4
Kết hợp với điều kiện ta có -3 x < 4 (*)
- Nếu x< -3 thì (1) trở thành -x - 3 < 7
x > -10

Kết hợp với điều kiện ta có -10 < x < -3 (**)
Từ (*) và (**) ta có - 10 < x < 4
Tuy nhiên bài toán trên có thể giải đơn giản hơn
dựa vào tính chất x< (>0)
Cụ thể: x+3<7
-7 < x+3 < 7
-10 < x < 4
Ví dụ 4.2: Tìm x biết x-5 > 8
Bài này cũng có hai cách giải tơng tự nh ví dụ
2.3
Cách 1: Xét hai khoảng x 5; x < 5
Cách 2: Dựa vào tính chất x > (>0)
x-5> 8
x-5 > 8

x-5 < -8
x > 13

x < -3
Vậy x > 13; x < -3
Qua hai bài tập giáo viên cần chốt lại để học sinh
nắm vững: Với là hằng số dơng ta luôn có:
F(x)
F(x)
F(x) >
F(x)>
F(x)<
Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Với loại toán này đòi hỏi học sinh cần nắm vững

tính chất
x 0 x và các tính chất của
bất đẳng thức.
Ví dụ 5.1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =2x+7+ 2005
9


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

Giải: Vì 2x+7 0 với x nên 2x+7+ 2005
2005 với x
A 2005 với x
Dấu bằng xảy ra 2x + 7=0 2x + 7 = 0 x
=

7
2

Vậy Amin = 2005 x =

7
2

Ví dụ 5.2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B=
2006 -x-6
Giải: Vì x-6 0 x nên - x-6 0 x
2006 -x-6 2006 x
B
2006 x

Dấu bằng xảy ra x-6 = 0 x = 6
Vậy Bmax =2006 x =6
Ví dụ 5.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
3x + 5 + 7

C=

Để giải loại toán này học sinh cần có thêm một
tính chất của bất đẳng thức đó là nếu a > b > 0
thì:

1
a

<

1
b

Giải: Vì 3x -5 0 x nên 3x -5 + 7
với x


7

1
1
7 với x
3x + 5 + 7

Dấu bằng xảy ra
Vậy Cmax =

1
7

3x - 5 = 0

x =

x=

5
3

5
3

Qua 3 ví dụ này giáo viên chốt lại: Để tìm giá
trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức A có dạng nh các
ví dụ vừa xét ta cần chỉ ra A (A ) với mọi giá trị
của biến, rồi tìm giá trị của biến để dấu bằng xảy
ra.
10


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

Ví dụ 5.4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

D = 2x -1 + 5 - 2x
Khi gặp loại toán này học sinh có thể giải theo các
cách sau:
- Cách 1: Xét giá trị của biểu thức trong từng
khoảng cụ thể
Ta lập bảng xét dấu:
x
2x -1

1/2
-

0

5/2
+

+

0

+
5- 2x

+
-

- Nếu x <
Vì x <
4 (1)

- Nếu
4

1
2

1
2
1
2

thì D= 1- 2x + 5 - 2x = 6 - 4x
nên -4x > -2

x

5
2

6- 4x >4



D >

thì D = 2x - 1 + 5 -2x =

(2)
5
2

- Nếu x>
Vì x>
(3)

5
2

thì D= 2x - 1 -5 + 2x =4x -6
nên 4x >10 4x - 6 > 4

Từ (1); (2); (3)



Dmin = 4

1
2

D>4
5
2

x

- Cách 2: áp dụng hằng bất đẳng thức (đã nêu ở
phần tính chất)
Ta có: D= 2x -1 + 5- 2x 2x - 1+ 5 - 2x =
4

Dấu bằng xảy ra khi (2x -1) (5 - 2x) 0


1
2

x

5
2

Vậy Dmin = 4



1
2

x

5
2

Ví dụ 5.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E= x- 2 + x + 3 + 2x - 9
11


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

Bài toán này cũng có thể giải theo hai cách:
- Cách 1: Xét giá trị của biểu thức trong từng
khoảng cụ thể, sau đó tìm ra giá trị nhỏ nhất.
- Cách 2: Vận dụng tính chất A+ B+ C
A+B + C
Dấu bằng xảy ra khi A, B, C cùng dấu. Tuy nhiên
để giải bài toán đợc theo cách này phải tìm cách
triệt tiêu ẩn x, bằng cách dựa vào: 2x - 9 = 9- 2x
Ta có:E = x- 2 + x + 3 + 2x - 9
=x-2+x+3+9 - 2xx -2 + x +3 + 9
-2x 10
E 10 x
Dấu bằng xảy ra khi (x - 2) ; (x + 3) ; (9 -2x) cùng
dấu
Lập bảng xét dấu ta có:
x
x-2
x+3
9 - 2x

-3

9/2
+
+
0

2

-

-

+

0
-

0

+

+

+

+

Nhìn vào bảng xét dấu ta có: 2 x
Vậy Emin = 10 2 x

+

9
2

9
2

Qua ví dụ 4.5 và 5.5 giáo viên cần hớng dẫn học

sinh đi đến nhận xét sau:
Cách giải1:áp dụng đợc cho mọi bài nhng dài hơn
so với cách 2
Cách giải 2: Ngắn gọn hơn nhng chỉ áp dụng đợc với những bài mà sau khi áp dụng hằng bất đẳng
thức ẩn bị triệt tiêu.
Ví dụ 5.6
12


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2x 1 + 2x 3 + 2x 5

Giải
Bài toán này cũng có thể giải theo cách: Xét giá trị
của biểu thức trong từng khoảng cụ thể, sau đó tìm
ra giá trị nhỏ nhất.
Vận dụng tính chất A+ B+ C A+B + Ccho bài
toán này HS cha tìm đợc lời giải cho bài toán.
Nếu HS biết áp dụng tính chất M M, P 0 một cách
hợp lí ta có ngay lời giải ngắn gọn cho bài toán.
Ta có
A = 2x 1 + 2x 3 + 5 2x 2x 1 + 0 + 5 2x = 4
2x 1 0
3
Min A = 4 khi 2x 3 = 0 x =
2
5 2x 0

C.Kết luận
* Kết quả: Với những kinh nghiệm vừa trình bày
ở trên, sau nhiều năm dạy toán 7, bản thân nhận
thấy: Khi dạy phần giá trị tuyệt đối, học sinh tiếp
nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ
ràng, có hệ thống, học sinh phân biệt và nhận dạng
đợc các bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối và từ
đó giải đợc hầu hết các bài tập phần này, xoá đi
cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy
tắc giải tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho học sinh
trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác
và học sinh cũng thấy đợc dạng toán này thật phong
phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi
học phần giá trị tuyệt đối và vận dụng tốt những
kiến thức này ở các lớp trên.
Cụ thể: Với những bài tập giáo viên đã đa ra, học
sinh giải đợc 90% một cách tự lập và tự giác; các học
sinh dự thi học sinh giỏi cấp trờng đều làm tốt các
bài tập liên quan đến phần giá trị tuyệt đối.
* Bài học kinh nghiệm:
Phần '' Giá trị tuyệt đối'' ở lớp 7 là một nội dung
quan trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ,
nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về
13


Một số kinh nghiệm khi dạy phần giá trị tuyện đối cho học sinh lớp 7

sau và đặc biệt ứng dụng của nó rất nhiều. Do vậy
trớc hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững

định nghĩa về giá trị tuyệt đối, các tính chất, phơng pháp chung về giải toán có chứa giá trị tuyệt
đối.
Một kinh nghiệm nữa là phải dạy cho học sinh
nhận dạng bài tập sau đó mới bắt tay vào giải, sau
mỗi dạng toán chúng ta cần chỉ ra cho học sinh mắu
chốt của bài toán là gì, giúp học sinh hiểu sâu, nắm
vững bản chất của vấn đề, vận dụng vào giải toán
một cách thành thạo.
Một kinh nghiệm mà bản thân tôi nhận thấy
không thể thiếu đợc là phải thờng xuyên rèn luyện
cho học sinh về cách suy luận để tìm hớng giải, cách
lập luận lôgíc, chặt chẽ, ngắn gọn. Động viên, khích
lệ học sinh tìm thêm nhiều cách giải và chọn ra cách
giải hay nhất.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản
thân tôi tự rút ra đợc trong quá trình giảng dạy,
chắc chắn cha phải là một vấn đề hoàn hảo, do vậy
tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến chân
tình của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc để những
năm học tới dạy đợc tốt hơn, đáp ứng đợc với yêu cầu
của sự nghiệp giáo dục.
Xin chân thành cảm
ơn !
Ngày 15
tháng 3 năm 2011
Ngời viết

Ng
uyễn Thị Nghiêm
14