SKKN hướng dẫn học sinh biết vận dụng các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai đại số 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY
---------------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH BIẾT VẬN DỤNG
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ RÚT GỌN BIỂU THỨC
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI - ĐẠI SỐ 9

Người thực hiện: PHẠM THỊ HUYỀN
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Cẩm Tân
SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
Trang 1
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trang 1
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Trang 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trang 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trang 1
2. NỘI DUNG
Trang 3

2.1. Cơ sở lí luận
Trang 3
2.2.Thực trạng vấn đề
Trang 3
2.3. Các biện pháp thực hiện
Trang 3
2.3.1. Phân tích kiến thức, kỹ năng và những nguyên nhân
Trang 3
dẫn đến học sinh giải sai phần rút gọn biểu thức chứa căn
2.3.2 Phát hiện những sai lầm thường gặp khi vận dụng giải
toán về căn bậc hai
Trang 4
2.3.3. Biết sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có
chứa căn bậc hai.
Trang 7
2.3.4. Một số dạng bài tập thi học kỳ và thi tuyển sinh vào
lớp 10, thi HSG các cấp các năm
Trang 10
2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trang 15
3. KẾT LUẬN, KIẾN THỨC.
Trang 17
3.1. Kết luận
Trang 17
3.2. Đề xuất
Trang 17
Danh mục tham khảo
Trang 18

1. MỞ ĐẦU:
1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học là một môn học dành được nhiều sự quan tâm chú ý của các nhà
nghiên cứu, các bậc phụ huynh và học sinh. Nó đóng vai trò rất quan trọng trong thực
tiễn cuộc sống, ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khác nhau như: Kinh tế, tài
chính, kế toán,... Nhưng học toán với nhiều học sinh cũng không phải là dễ, khi học
tập và nghiên cứu môn học này, học sinh thường gặp nhiều khó khăn trở ngại trong
việc đưa ra phương pháp hợp lí để giải một bài toán cho đúng hoặc nên nhờ vào công
thức nào để vận dụng vào bài tập mình cần làm.
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở cấp THCS, bản thân tôi nhận thấy:
Phần rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai là một đơn vị kiến thức trọng tâm
của chương trình Đại số 9. Đặc biệt trong các kỳ thi vượt cấp, thi HSG, có nhiều bài
toán rất dễ nhưng học sinh vẫn lúng túng, giải chưa tốt, chưa linh hoạt, vì vậy, việc
rèn cho học sinh lớp 9 thực hiện tốt dạng toán này là yêu cầu bắt buộc.
Để giúp các em giải quyết được mối băn khoăn lúng túng của mâu thuẫn này,
với kinh nghiệm của nhiều năm công tác tôi đã chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh biết
vận dụng các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai – Đại số 9”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này đưa ra một số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý
thuyết vào thực hành giải bài tập Đại số 9 phần: “ Rút gọn biểu thức chứa căn thức
bậc hai ”để nhằm mục đích giải quyết được phần nào thắc mắc trong khâu giải bài
tập và tìm ra lời giải thích hợp cho học sinh để góp phần nâng cao sự nghiệp giáo dục
và tinh thần trách nhiệm của người thầy giáo trong sự nghiệp giáo dục.
Giúp học sinh biết sử dụng các hằng đẳng thức đã học một cách thích hợp,
biết tổng hợp và bố cục một bài toán như thế nào.
Khắc phục những sai lầm khi học sinh giải dạng toán này và luyện thi cũng
như các bài tập nâng cao.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán chứa căn thức bậc hai mà đối tượng
nghiên cứu là học sinh lớp 9 trường THCS Cẩm Tân, điều này có thể giúp tôi đi sâu

vào nội dung nghiên cứu và cung cấp cho học sinh những kiến thức, phương pháp, kỹ
năng giải toán rút gọn biểu thức chứa căn.
- Vận dụng chính xác các hằng đẳng thức khi rút gọn biểu thức chứa căn thức
bậc hai
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những
phương pháp sau :
1


- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà
học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong cả khối 9 của trường THCS
Cẩm Tân mà tôi đang trực tiếp giảng dạy để thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu
tâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn
đề về giải toán có liên quan đến căn bậc hai (qua các phiếu học tập, các bài kiểm tra
và câu hỏi trắc nghiệm )
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả
bài kiểm tra, .. tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận
bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để
học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập. Yêu cầu
học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó
những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận
của học sinh, tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà HS thường mắc phải.
- Về lí thuyết: Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản đã học, tham
khảo thêm các sách ngoài luồng và sách nâng cao.
- Đưa ra các dạng bài tập từ dễ đến khó, các dạng toán luyện thi và lưu ý học
sinh các sai lầm dễ mắc phải trong quá trình giải toán.

2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận:
Trong chương trình Toán 9, sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập( tập 1)đưa ra
nhiều dạng bài tập rút gọn biểu thức chứa căn, đặc biệt trong các kỳ thi học kỳ I, học
kỳ II, ôn thi vào lớp 10, thi HSG các cấp,... Học sinh thường gặp đề thi có nội dung
rút gọn biểu thức và thực hiện phép tính có chứa căn thức bậc hai. Muốn giải được
bài tập đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, thuộc các hằng đẳng thức đáng
nhớ đã học ở lớp 8, biết vận dụng chúng vào từng loại bài tập. Khó khăn ở đây là các
em học các hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thức chứa chữ,
không có chứa căn, mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng căn
thức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. Chính vì vậy một số em
còn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên không làm được bài tập rút gọn. Vì
vậy ta phải làm sao cho học sinh nhìn thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳng
thức đáng nhớ ở lớp 8 và hằng đẳng thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện và
vận dụng nó vào việc giải bài tập.
2.2. Thực trạng vấn đề :
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy nhiều năm và liên tục dạy chương trình toán
9 ở trường THCS Cẩm Tân.Theo dõi trong quá trình học tập, qua các bài kiểm tra và
trong thi cử khi gặp dạng toán này nhiều em thường mắc sai lầm như: Thiếu điều
kiện, phương pháp giải máy móc, lúng túng khi vận dụng phương pháp giải vào từng
dạng toán cụ thể, nhất là khi vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào biểu thức có
chứa căn, dẫn đến chất lượng chưa cao. Vì vậy sắp xếp các bài tập theo mức độ từ
thấp đến cao theo từng dạng toán với phương pháp giải phù hợp giúp học sinh dễ
hiểu, dễ nhớ là việc làm hết sức cần thiêt.
Cụ thể:
Qua khảo sát giữa hai lớp 9A, 9B của năm học trước 2017 – 2018 kiểm nghiệm
qua các bài kiểm tra phần này khi chưa áp dụng đề tài cho thấy:
Lớp Sỹ số

Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9A
40
5
12,5
10 16 25
16
40
9
22,5
9B
39
5
12,8
7
18.1 19
48,8
8
20,3

Tổng 79
12
15,2
16
20,3 33
41,9
17
21,6
2.3. Các biện pháp thực hiện :
2.3.1. Phân tích kiến thức, kỹ năng và những nguyên nhân dẫn đến học
sinh giải sai phần rút gọn biểu thức chứa căn
+ Về lý thuyết
3


- Nhiều học sinh chưa thuộc và đang quên các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8
nên khi áp dụng để rút gọn còn lúng túng, không giải được.
- Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, cho học sinh ôn kỹ lại những hằng đẳng
thức đã học như sau:
1. Bình phương của một tổng:
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2. Bình phương của một hiệu:
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
3. Hiệu hai bình phương :
a2 – b2 = ( a + b ).( a – b )
4. Lập phương của một tổng :
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. Lập phương của một hiệu :
( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6. Tổng hai lập phương :

a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 )
7. Hiệu hai lập phương :
a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 )
- Biết vận dụng nó để đưa vào những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 viết
dưới dạng có dấu căn:
1) a + 2 ab + b =
2) a − 2 a + 1 =

(

(

a+ b

)

a −1

)

2

2

( ) ( ) = ( a + b ) .(
4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a +
5)1 − a a = ( 1) − ( a ) = (1 − a ). ( 1 +
3) a − b =

a

2

−

b

2

3

3

3

3

a− b

(

)

b ). a − ab + b
a +a

)

)

6) a b + b a = ab ( a + b )
7) a + a = a ( a + 1)

Có những hằng đẳng thức ít sử dụng vào lớp 9 nên tôi không đưa vào phần
ghi nhớ ở lớp 9.
- Nêu tóm tắt lý thuyết cần nhớ đã được học trong chương trình SGK sau đó
đưa ra các dạng bài tâp cơ bản, bài tập nâng cao, các đề luyện thi, đi từ dễ đến khó
sau mỗi dạng bài tập rút ra được phương pháp giải và tránh những sai lầm hay mắc
phải khi giải toán.
2.3.2. Phát hiện những sai lầm thường gặp khi vận dụng giải toán về căn
bậc hai.
a. Sai lầm trong các kỹ năng tính toán :
Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ 1 : Tìm x, biết :

4(1 − x) 2

-6=0

* Lời giải sai :
4(1 − x) 2 - 6 = 0 ⇔ 2 (1 − x) 2 = 6 ⇔ 2 (1 – x ) = 6 ⇔ 1 – x = 3 ⇔ x = - 2

4


* Phân tích sai lầm: Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một
A 2 = | A|, có nghĩa là :

cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có

A 2 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
A 2 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).

Vậy thì theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
* Lời giải đúng :
4(1 − x) 2

-6=0

⇔ 2 (1 − x) 2

=6

⇔

|1- x | = 3.

Ta phải đi giải hai phương trình sau:

1) 1- x = 3

⇔

x = -2

2) 1- x = -3

⇔

x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4.

Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của :

A= x+

x

* Lời giải sai : A = x +
Vậy min A = -

x

=(x+

x

+

1
)
4

-

1
4

=(

+

1 2
) ≥
2

-

1
4

1
4

* Phân tích sai lầm : Sau khi chứng minh f(x) ≥ hợp xảy ra f(x) = -

x

1
xảy ra khi và chỉ khi
4

* Lời giải đúng : Để tồn tại

x =-

1
, chưa chỉ ra trường
4

1

(vô lý).
2

x thì x ≥0. Do đó A = x

+

x ≥ 0 hay

min A = 0 khi và chỉ khi x = 0
b. Sai lầm trong kỹ năng biến đổi và sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn
biểu thức chứa căn thức bậc hai :
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức :
* Lời giải sai :

x2 − 3
x+ 3

x 2 − 3 ( x − 3 )( x + 3 )
=
= x− 3
x+ 3
x+ 3

5


* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = -

3 thì x +

3 = 0, khi đó biểu thức

x2 − 3
sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng
x+ 3

sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, không có điều kiện, vì vậy biểu thức
trên có thể sẽ không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, mà để phân thức tồn tại thì
cần phải có x + 3 ≠ 0 hay x ≠ - 3 Khi đó ta có:
x 2 − 3 ( x − 3 )( x + 3 )
=
= x − 3 (với x ≠ x+ 3
x+ 3

3 )

Ví dụ 2: Cho biểu thức:
Q= (

x

1− x

+

x
1+ x

3− x
x −1

)+

với x ≠ 1, x > 0

a, Rút gọn Q
b, Tìm x để Q > -1
Giải: với x ≠ 1, x > 0
Q= (

x

1− x

=(
=

+

x
1+ x

)+

 x (1 + x ) + x (1 − x )  3 − x
3− x
=
+

(1 − x )(1 + x )
x −1
1− x



2 x 3− x
2 x − (3 − x )
x + x + x − x 3− x
=(
=
)−
−
1− x
1− x
1− x
1− x 1− x

3 x −3
−3
3
=
=−
1− x
1+ x
1+ x

* Lời giải sai ý b: Q > -1 nên ta có:
−

3
> -1 ⇔ 3 > 1 +
1+ x

x ⇔ 2>

x ⇔ 4 > x hay x < 4

Vậy với x < 4 thì Q < -1
* Phân tích sai lầm : Học sinh đã bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức
mà không đổi chiều của dấu BĐT ( Kiến thức lớp 8 ) vì thế có được bất đẳng
thức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài toán dẫn đến sai.
* Lời giải đúng : Với Q > -1 nên ta có
−

3
3
> -1 ⇔
<1 ⇔
1+ x
1+ x

1+

x

>3

⇔

x

>2

⇔

x>4

Vậy với x > 4 thì Q > -1
6


2.3.3. Biết vận dụng các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa căn
bậc hai.
Ví dụ 1: Bài 7/148 sbt : Rút gọn biểu thức :
 x −2
x + 2  ( 1 − x)
P = 
−
÷
÷. 2
x
−
1
x
+
2
x
+
1




2

Nhận xét : Biểu thức đã cho liên quan đến hai hằng đẳng thức sau :
x −1 =

(

)(

x −1

x + 2 x +1 =

(

)

x +1

)

x +1

2

Trước khi giải gv lưu ý nhắc HS điều kiện bài toán để tránh sai lầm. Áp dụng
vào bài toán ta có lời giải sau:

Giải
ĐK: x ≥ 0 ; x ≠ 1
P=(

x −2
x +2
(1 − x)
−
).
x −1
x + 2 x +1
2

x −2
x +2
(1 − x) 2
−
=(
).
( x − 1)( x + 1) ( x + 1) 2
2
( x − 2)( x + 1) − ( x + 2)( x − 1) (1 − x ) 2
=(
).
( x − 1)( x + 1) 2
2

x + x − 2 x − 2 − x + x − 2 x + 2 (1 − x) 2
=(
).

( x − 1)( x + 1) 2
2
−2 x
− x ( x − 1)
(1 − x) 2
=(
).
=
( x − 1)( x + 1)
( x + 1)
2
=

− x ( x + 1)( x − 1)
=( x + 1)

x( x-

1) =

x (1-

x)

Ví dụ 2: Bài 85 / 16 - sbt :
Cho biểu thức : P =

x +1
2 x
2+5 x

+
+
4− x
x −2
x +2

với x ≥ 0 ; x ≠ 4

a, Rút gọn P
b, Tìm x để P = 2
Nhận xét: Lưu ý học sinh xem bài toán cho có dạng hằng đẳng thức nào đã nêu
ở trên, từ đó các em sẽ nhận ra được hằng đẳng thức cần áp dụng trong bài:
7


(

)(

)

4 − x = 2 + x . 2 − x và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P

Giải:
Với x ≥ 0; x ≠ 4 ta có:
x +1

a) P =
P=

x −2

(

2 x

+

)(

+

x +2

)

x +1

2 +5 x
=
4−x

x +2 +2 x

(

x +1
x −2

+

2 x

) (

x +2

−

)

x −2 − 2 +5 x

2 +5 x
x−4

x −4

P=

x + 2 x + x + 2 + 2x − 4 x − 2 − 5 x
x −4

P=

3x − 6 x
=
x −4

b) P = 2 ⇔

3 x

(

x −2

3 x

(

(

x +2

)

x −2

)(

)

x +2

3 x

=

) (

=2 ⇔3 x =2

x +2

(

)

)

x + 2 ⇔ x = 4 ⇔ x = 16

Ví dụ 3: Bài 86 / 16 sbt : Cho biểu thức:
 1
1   a +1
a +2
Q=
−
−
÷
÷: 
a   a −2
a −1 ÷
 a −1


voi a > 0; a ≠ 4 ; a ≠ 1

a) Rút gọn Q

b) Tìm giá trị của a để Q dương
Nhận xét: Sau khi quy đồng mẫu thức, cho học sinh quan sát và nhận thấy
xuất hiện dạng hằng đẳng thức thứ 3 đã học ở lớp 8, vận dụng vào lớp 9 và giải như
sau:
Giải: Với a >0; a ≠ 4 ; a ≠ 1 ta có:
1   a +1
a +2
 1
a )Q = 
−
−
÷
÷: 
a   a −2
a −1 ÷
 a −1


(

) ÷:  (

 a − a −1
Q=
 a a −1


(

)


1
Q=
 a a −1


(

b) Q > 0 ⇔

(

)

÷
 

)(

a +1

) (
( a − 2) (
a −1 −

  a −1 − a − 4
) (
)
÷:  (

÷  a −2
a −1
 

a −2
3 a

(

)(

) > 0 ⇔ vi 3

)

a+2

)

a −1

)(

)

a −2 
÷
÷


 
1
÷= 
÷  a a −1
 

(

)


÷. 
÷


(

a −2

)(

) (

a −1 
÷=
÷
3


a −2

3 a

a > 0(a > 0) ⇒ a − 2 > 0 ⇔ a > 2 ⇔ a > 4

8

)


Ví dụ 4: Bài 107 / 20 sbt :
Cho biểu thức: B = (

2x + 1
x
1 + x3
−
)(
− x ) Với x ≥ 0 ; x ≠ 1
x −1 x + x +1 1+ x

a, Rút gọn B
b, Tìm x để B = 3
Nhận xét: Bài toán cho có dạng hằng đẳng thức thứ 6 và thứ 7 đã học ở lớp 8,
ta đưa về dạng hằng đẳng thức lớp 9 có chứa căn thức nêu ở trên để áp dụng trong bài:
Dễ dàng nhận ra hằng đẳng thức sau :

( x − 1) ( x +
= (1+ x ) (1−

x3 − 1 =

1 + x3

)
x + x)
x +1

Áp dụng vào bài toán ta có lời giải sau:
Giải

 2x + 1
  1 + x3
x
a) B = 
−
−
x

÷
÷
÷
3
÷
 x −1 x + x +1 1+ x


(

)(

)


 1 + x 1 − x + x

2 x +1
x

÷
B=
−
− x÷
 x −1 x + x + 1
÷
÷
x + x +1
1+ x



 2 x +1 − x
x −1 

÷ 1− x + x − x
B=
 x −1 x + x + 1 ÷



B =




B =


b)

(

)(

(

)(

(

(

)
)
(
)

)


÷ 1−2 x + x
x −1 x + x + 1 ÷


2 x +1 − x + x

)(

)

(

( x + x +1) ÷ 1 − x
(
)
( x −1) ( x + x +1) ÷

2

=

)
x −1

B = 3 ⇔ x − 1 = 3 ⇔ x = 4 ⇔ x = 16

Ví dụ 5: Bài tập 101/ 19 – SBT: Tìm điều kiện và rút gọn:
A= x+4 x−4 + x−4 x−4

Nhận xét:
Trước hết ta làm xuất hiện hệ số ( thừa số ) 2 trước căn nhỏ dưới dấu căn lớn
ÐK : x ≥ 4
A = x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x + 2.2 x − 4 + x − 2.2 x − 4

9


Sau khi đưa được hệ số của căn nhỏ là 2, ta thấy là 2 và x − 4 là hai số a & b
của hằng đẳng thức: ( a + b ) 2 hoặc ( a - b ) 2 lúc này ta tiến hành thêm bớt đi 4 để có

(

dạng x – 4 =

x−4

)

2

có dạng hằng đẳng thức: ( a + b )2 hoặc ( a - b )2

Cụ thể giải như sau:
ÐK : x ≥ 4
A = x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x + 2.2 x − 4 + x − 2.2 x − 4
A = x − 4 + 2.2 x − 4 + 4 + x − 4 − 2.2 x − 4 + 4
A=

(

x−4

A= 



(

)

2

)

(

+ 2.2 x − 4 + 2 2 +
2

x − 4 + 2 + 



(

)

x−4
2

x − 4 − 2 =


)

2

(

− 2.2 x − 4 + 2 2

)

x−4 +2+

(

)

x−4 −2= 2 x−4

2.3.4. Một số bài toán thi học kỳ và thi tuyển sinh vào lớp 10, thi HSG
các cấp, các năm.
Bài 1: (2, 0 điểm)
( Đề thi học kỳ I lớp 9 năm học 2016 – 2017 Tỉnh Thanh Hóa )
Cho biểu thức P =

x +1 2 x
2+5 x
+
+
4− x
x −2
x +2

a, Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
b, Tính giá trị của P khi x =

1
4

c, Tìm x để P < 2.
Nhận xét: Học sinh vận dụng hằng đẳng thức : x – 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 )
Giải: a, ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4

P=
=

x +1
2 x
2+5 x
+
−
x−4
x −2
x +2

3 x
( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2) − 2 − 5 x
=
x−4
x +2
1
3

4 = 2=3
5 5
1
+2
2
4

3.

b,

P=

c,

P<2 ⇒

3 x
<2⇒
x +2

x −4
< 0 ⇒ x < 16
x +2

Kết hợp với ĐKXĐ: P < 2 ⇔ 0 ≤ x < 16; x ≠ 4
Bài 2: (Đề thi học kỳ I Lớp 9 năm học 2017 – 2018 Cẩm thủy )
10

Cho biểu thức

P=

x x −3
x−2 x −3

−

2( x − 3)
x +1

+

x+3
3− x

a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tính giá trị của P với x = 14 - 6 5
Giải: a, Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x≥ 0; x≠ 9
P=

x x −3
2( x − 3)
−
−
( x + 1)( x − 3)
x +1

x+3

x −3

2

=
=
=
=

x x − 3 − 2( x − 3) − ( x + 3)( x + 1)
( x − 3)( x + 1)
x x − 3 − 2 x + 12 x − 18 − x − 3 x −

x −3

( x − 3)( x + 1)

x x − 3x + 8 x − 24
( x − 3)( x + 1)
x( x + 8) − 3( x + 8)
( x − 3)( x + 1)

Vậy P=

=

x+8
x +1

x+8

x +1

b, Từ x = 14 - 6 5 = ( 5 )2 - 2. 5 .3 + 9 = ( 5 - 3)2
⇒ x =3- 5
Khi đó P =

14 − 6 5 + 8
3− 5 +1

=

22 − 6 5

Vậy khi x = 14 - 6 5 thì P =

4− 5

=

58 − 2 5
11

58 − 2 5
11

Bài 3: (2,0 điểm) (Đề thi vào lớp 10 năm học 2016 – 2017 Tỉnh Thanh Hóa )
 y y -1

(

)

y y +1  2 y − 2 y + 1
y −1

Cho biểu thức: A = 
−
:
÷
÷
y
y
y
+
y



với y > 0; y ≠ 1

1, Rút gọn biểu thức A.
2, Tìm các số nguyên y để biểu thức A có giá trị nguyên.
Nhận xét:
Học sinh phân tích mẫu thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, rồi
mới xuất hiện hằng đẳng thức.
11


Giải:
1. Với y > 0; y ≠ 1 ta có:

(

)

 y y -1 y y +1  2 y − 2 y + 1
A=
−
:
÷
 y- y
÷
y −1
y
+
y



2

(

)

y +1

2

 ( y -1)(y + y +1) ( y +1)(y - y +1) 

A=
−
:
y ( y -1)
y ( y + 1)

 ( y + 1)( y − 1)

(

)

 (y + y +1) (y - y +1)  2 y + 1
A=
−
:
y
y

 ( y − 1)
A=

A=
A=

(

y

(

)

y −1
×
2( y + 1)

y + y +1- y + y -1

)

y −1
×
y 2( y + 1)

2 y

y −1
y +1
y −1

2. Với y > 0; y ≠ 1 Ta có A =
nguyên thì

2
nguyên hay:
y +1

2M y + 1 ⇔

y + 1 ∈ U • (2) ⇔

y +1

=

y +1− 2
y +1

y + 1 ∈ { 1, 2} ⇔

= 1−

2
để A nhận giá trị
y +1

y ∈ { 0,1} ⇔ y ∈ { 0,1}

(không thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy không có giá trị nguyên nào của y để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 4: (4.0 điểm)
(Đề thi HSG lớp 9 vòng 2 Huyện Cẩm Thủy – Ngày 14/11/2017 )
 4 x
8x   x − 4
1 
−
:
+
÷


÷
÷
x÷
 2− x 4− x  x+2 x


Cho biểu thức: P = 
a, Rút gọn P.

3

b, Tính giá trị của P khi x =

10 + 6 3

(

)

3 −1

6+2 5 − 5

.

Giải: a, Đk: x > 0 ; x ≠ 4, x ≠ 1
 4 x
 
8x

x −4
1 
P = 
−
:
+
÷

÷
÷
x÷
 2 − x (2 − x )(2 + x )   x ( x + 2)


12


=(

4 x ( x + 2)
8x
x −4
)−(
):(
+
(2 − x )(2 + x )
( 2 − x )(2 + x )
x ( x + 2)

x +2

x ( x + 2)

=(

4 x + 8 x − 8x
x −4+ x +2
8 x − 4x
2 x −2
):(
)=(
):(
)
(2 − x )(2 + x )
x ( x + 2)
(2 − x )(2 + x )
x ( x + 2)

=(

4 x (2 − x )
2( x − 1)
):(
)=
( 2 − x )(2 + x )
x ( x + 2)

2x
x −1

2x

x −1

P=

b, Ta có:
3

x=

(
x=

(

)(

3 +1

3

)

3 −1

( 5 + 1) 2 − 5

)(

3 +1

)

3 −1

5 +1− 5

x=2

⇒P=

4
2 −1

Bài 5: (4 điểm) (Đề thi HSG lớp 9 năm học 2014 – 2015 Tỉnh Thanh Hóa )
 x+ y
x − y   x + y + 2xy 
+
: 1+
Cho biểu thức: P = 
÷
÷.
÷ 
1
−
xy
1
−
xy
1
+

xy



a, Rút gọn biểu thức P.
b, Tính giá trị của P với x =
Giải:
a,
P=

2
.
2+ 3

ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0;xy ≠ 1.
 x+ y
x − y   x + y + 2xy 
P=
+
÷: 1 +
 1 − xy
1 − xy ÷
1 + xy ÷


 

( x + y)(1 + xy) + ( x − y)(1 − xy) 1 − xy + x + y + 2xy
:
1 − xy

1 − xy

13


=
=

x +x y+ y+y x + x −x y − y+y x
1 − xy
.
1 − xy
1 + x + y + xy

2( x + y x)
2 x (1 + y)
2 x
=
=
(1 + x)(1 + y) (1 + x)(1 + y) 1 + x

b, x =

2
2(2 − 3)
=
= 3 − 2 3 + 1 = ( 3 − 1) 2
4−3
2+ 3

x = ( 3 − 1) 2 =

3 −1 = 3 −1

2( 3 − 1)
2 3−2
=
=
2
1 + ( 3 − 1) 1 + 3 − 2 3 + 1

P=

2( 3 − 1) 6 3 + 2
=
13
5−2 3
Bài 6: (4 điểm) (Đề thi HSG toán 9 năm 2016 Tỉnh Thanh Hóa )
P=

Cho biểu thức: P = (1 +

x
1
2 x
):(
−
với x ≥ 0 ; x ≠ 1
x +1
x −1 x x + x − x −1

a, Rút gọn P
b, Tìm các giá trị của x sao cho P < 1
Nhận xét: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức ta
sẽ có hằng đẳng thức dạng thứ 2 ở lớp 9.
Giải
Với x ≥ 0 ; x ≠ 1
a, P = (1 +

x
1
2 x
):(
−
x +1
x −1 x x + x − x −1

=(

x +1+ x
1
):(
−
x +1
x −1

=(

x +1+ x
1

2 x
x +1+ x
x +1− 2 x
):(
) =
):(
−
=(
x +1
( x + 1)( x − 1)
x +1
x − 1 ( x + 1)( x − 1)

= (

x + 1 + x ( x + 1)( x − 1)
x +1+ x
).(
)
=
x +1
( x − 1)
( x − 1) 2

2 x
x ( x + 1) − ( x + 1)

b, Với P < 1
⇔

x +1+ x
x +1+ x
x +1+ x − x +1
x+2
<1⇔
−1 < 0 ⇔
<0⇔
<0
( x − 1)
( x − 1)
( x − 1)
( x − 1)

Vì x + 2 > 0 nên x - 1 < 0 ⇒
Bài 7: (4 điểm)

x

<1

⇒

0

≤

x<1
14

(Đề thi HSG toán 9 năm 2013 - 2014 Tỉnh Thanh Hóa – Thi ngày 21/3/2014)


xy + x

 

x +1 +
+ 1÷: 1 −
Cho biểu thức: A = 
÷
xy
+
1
1
−
xy

 
1. Rút gọn biểu thức A.

xy + x
xy − 1

−

x +1 
÷.
xy + 1 ÷


1 + 1 =6
. Tìm giá trị lớn nhất của A.
x
y

2. Cho

Giải
Điều kiện:

) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( 1 − xy ) :
( xy + 1) ( 1 − xy )
( xy + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( 1 − xy ) =
( xy + 1) ( 1 − xy )
( x + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( 1 − xy )
=
=
( xy + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( 1 − xy )

a, A =

=

(

(

) (

xy ≠ 1 .

x + 1) 1 − xy +

xy + x

1+ x
1
=
x y + xy
xy
1
1
b, Theo Côsi, ta có: 6 = x + y ≥ 2

Dấu bằng xảy ra ⇔

1 ⇒ 1 ≤9
xy
xy

1 = 1
1
⇔
x
=
y
=
x
y

9

1
9
Còn rất nhiều bài tâp mà ta có thể sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu
thức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính căn thức bậc hai. Để cho các
em học sinh nhận thấy được tầm quan trọng của hằng đẳng thức đáng nhớ, qua đó
các em có thể tránh được sai lầm trong giải bài tập, biết cách học. mục đích của nội
dung này là nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường.
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
a. Đối với học sinh:
- Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bỡ ngỡ vì không biết phải xuất
phát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên. Nguyên nhân chính ở đây là
các em chưa nắm vững hằng đẳng thức hoặc có thuộc thì chỉ thuộc lòng, không biết
cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu trên. Chính vì vậy phần
lớn các em rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính có
chứa dấu căn không ra đến kết quả cuối cùng.
15
Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y =


- Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy rằng các em bắt đầu hiểu ra, hứng thú
học tập, không còn lo lắng, lúng túng mà các em tự tin hơn và biết cách áp dụng
chúng một cách triệt để. Nhờ vậy chất lượng tăng lên rõ rêt.
Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra rút gọn biểu thức có chứa căn
thức bậc hai và thực hiện phép tính có chứa dấu căn thu được ở hai lớp 9A, 9B trong
chương I năm học 2018 – 2019 đã áp dụng đề tài cho thấy:
Lớp
Tổng
Giỏi

Khá
Trung bình
Yếu
%
SL
%
SL
%
SL
%
Số HS SL
9A
25
7
28
8
32
10
40
0
0
9B
24
6
25
8
33,3
10
41,7
0

0
Tổng
49
13 26,5
16 32,7
20
40,8
0
0
Tỉ lệ học sinh làm bài kiểm tra và thi tiến ích học kỳ I thì phần này đã làm rất
tốt đạt tỉ lệ điểm cao. Đối tượng học sinh đi thi học sinh giỏi các em giải bài tập phần
này rất tự tin, năm học 2018 – 2019 tôi có 01 em đạt học sinh giỏi toán cấp huyện và
đang tiếp tục ôn để chuẩn bị đi dự thi cấp tỉnh.
b. Đối với giáo viên ( bản thân )
Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều trong khâu
phải giải bài tập cho học sinh, trước đây giáo viên phải làm việc nhiều hơn, học sinh
chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức. Sau khi sử dụng đề tài này tôi thấy học sinh có ý
thức học tập hơn, biết tự mình phát hiện ra kiến thức và biết áp dụng chúng, đúng với
tinh thần lấy học sinh làm trung tâm phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học
hiện nay.

16


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận
Với sáng kiến “ Hướng dẫn học sinh biết vận dụng các hằng đẳng thức để rút
gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai – Đại số 9” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm
mà học sinh thường mắc phải, đồng thời phân tích các sai lầm và nêu biện pháp khắc
phục, học sinh đã biết vận dụng các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 vào lớp 9 để rút

gọn được biểu thức chứa căn , định hướng dạy học ở từng dạng toán cơ bản để nâng
cao tính tự giác học tập đồng thời giúp các em tự tin hơn khi giải toán. Việc áp dụng
đề tài này đã giúp cho học sinh hoàn thành tốt các bài tập Đại số - Phần rút gọn biểu
thức chứa căn thức bậc hai và các bài tập có tính chất nâng cao trong sách bài tập,
sách tham khảo. Các em tự tin khi bước vào kỳ thi vượt cấp và thi HSG.
3.2. Kiến nghị:
Để có thể nâng cao được nghiệp vụ giảng dạy và để cho kinh nghiệm bản thân
có được hiệu quả cao hơn, tôi xin đề xuất một vấn đề sau:
Về sách giáo khoa, cần in và chỉnh sửa từng đơn vị kiến thức, từng bài cho
phù hợp, khớp với phân phối chương trình.
Tôi xin cam đoan SKKN trên là
hoàn toàn do bản thân tôi tìm
tòi,nghiên cứu và không copy .

Người viết

Phạm Thị Huyền

17


DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa toán 9 – Nhà xuất bản giáo dục.
- Bài tập toán 9 - Nhà xuất bản giáo dục.
- Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 - Nhà xuất bản giáo dục.
- Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9 - Nhà xuất bản giáo dục.
- Tham khảo đề thi vào lớp 10 và thi HSG các năm tỉnh Thanh Hóa.

18

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Thị Huyền
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Cẩm Tân

TT
1.

2.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại
(Nghành GD cấp
huyện/Tỉnh,...)

Một số phương pháp giải toán 9
phần “ Phương trình bậc hai
một ẩn”
Một số phương pháp giúp học
sinh sử dụng “ Hệ thức Vi-Ét ”
để giải các dạng bài tập – Đại số
9

Kết quả Năm học
đánh giá đánh giá xếp

xếp loại loại
(A,B

hoặc C)

Cấp huyện

B

Năm học
2010 – 2011

Cấp huyện

B

Năm học
2015 – 2016

19


ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
………………………….......................................................................................

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………......................................................................................
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………......................................................................................
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………......................................................................................
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………......................................................................................
……………………………………………………………………………………
20


……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
……
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
………………………………...............................................................................
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………......................................................................................
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………......................................................................................
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………......................................................................................
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……
21


……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP TỈNH
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
22


……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

23