SKKN một số phương pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Để học tập môn Vật lý đạt kết quả cao thì ngoài việc nắm vững lý thuyết cần
phải biết ứng dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách thành thạo nhưng để giải bài
tập thành thạo thì việc định hướng, phân loại bài tập là vô cùng cần thiết.
Trong môn Vật lý ở trường trung học cơ sở, bài tập Điện học tương đối khó đối
với học sinh. Trong phần Điện Học thì bài tập về mạch cầu điện trở là phần học sinh
gặp khó khăn nhất, trong quá trình học tập và ôn thi học sinh giỏi. Làm thế nào để
giải bài tập về mạch cầu điện trở một cách đơn giản hơn? Đó là câu hỏi không chỉ đặt
ra đối với riêng tôi mà là câu hỏi chung cho những giáo viên và học sinh muốn nâng
cao chất lượng dạy và học.
Hiện nay trên thị trường có rất nhiều loại sách bài tập nâng cao nhằm đáp ứng
nhu cầu học tập của học sinh nhưng qua tham khảo một số sách tôi nhận thấy, đa phần
các sách này đều đưa ra các bài tập cụ thể và hướng dẫn giải. Các bài tập thuộc nhiều
dạng khác nhau được đặt kế tiếp nhau, các bài tập cùng loại lại đặt cách xa nhau hoặc
trong một quyển sách không có đủ các dạng cũng như các phương bài tập mạch cầu
điện trở. Nói chung là các sách viết ra chưa phân loại các dạng và phương pháp làm
bài tập một cách cụ thể. Chính vì cách viết sách như vậy dẫn đến việc các giáo viên
trong quá trình giảng dạy rất mất nhiều thời gian cho việc đầu tư trong dạy học và ôn
thi học sinh giỏi, còn học sinh làm bài tập một cách tràn lan và làm bài nào biết bài
đó, không có phương pháp giải chung nên kết quả học tập chưa đạt hiệu quả cao. Việc
học tập trở nên khó khăn hơn và gây cho các em có nhiều nản chí khi muốn tự nâng
cao kiến thức của mình.
Vì lý do trên, qua nhiều năm công tác với những hiểu biết và chút kinh nghiệm
của bản thân, tôi mạnh dạn nêu lên một số suy nghĩ của mình về : “MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ ” với mong muốn
hoạt động dạy và học của giáo viên cũng như học sinh sẽ thu được kết quả cao hơn.
Ngoài ra, cũng muốn tạo ra hướng đi mới trong việc tham khảo các loại sách bài tập
nâng cao.
2. Mục đích nghiên cứu
Việc nghiên cứu đề tài “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ” nhằm giúp giáo viên giảng dạy có hệ thống và có hiệu
quả hơn. Ngoài ra còn giúp người học dễ xem, dễ học hơn trong việc tự học, tự tìm
tòi nghiên cứu.
Nghiên cứu một số phương pháp giải toán mạch cầu điện trở, mỗi phương pháp
sẽ có cơ sở lí thuyết, ví dụ minh họa để khắc sâu kiến thức và rèn luyện kĩ năng vận
dụng.
Thông qua hệ thống các phương pháp, các bài tập nhằm làm tài liệu tham khảo
cho giáo viên vật lí bồi dưỡng HSG.
3. Đối tượng và phạm vi áp dụng.
3.1. Đối tượng sử dụng đề tài:
- Giáo viên dạy môn Vật lý THCS & THPT tham khảo để hướng dẫn học sinh giải
bài tập.
- Học sinh học luyện thi kiểm tra định kì, luyện thi học sinh giỏi các môn văn hóa .

-1-


3.2. Phạm vi áp dụng:
- Chương trình vật lý THCS.
- Chương trình ôn thi học sinh giỏi THCS.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Xác định đối tượng áp dụng đề tài.
- Tập hợp tài liệu: Lý thuyết, bài tập điển hình trong sách giáo khoa, trong sách bài
tập, tạp chí Vật Lý, trong các đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, đề thi thử ĐH –CĐ các
trường chuyên, trên các đề thi HSG trong những năm qua, các nguồn tin trên internet
từ các trang Vật Lý, Toán uy tín,..... và phân chúng thành các bài tập minh họa của
những nhóm bài tập cơ bản.
- Nhận dạng các loại bài tập có thể vận dụng.
- Có lời giải các bài tập minh họa để các em học sinh có thể kiểm tra so sánh với bài
giải của mình.

-2-


NỘI DUNG
1. Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng, mạch cầu không cân
bằng.
1.1. Khái quát về mạch cầu điện trở:
- Mạch cầu là mạch dùng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phòng thí nghiệm
điện.
- Mạch cầu được vẽ như (H - 0.a) và (H - 0.b)

- Các điện trở R1, R2, R3, R4 gọi là các cạnh của mạch cầu điện trở R 5 có vai trò khác
biệt gọi là đường chéo của mạch cầu (người ta không tính thêm đường chéo nối giữa
A-B. Vì nếu có thì ta coi đường chéo đó mắc song song với mạch cầu).
1.2. Phân loại mạch cầu:
- Mạch cầu có thể phân thành hai loại
a. Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lường điện). I5 = 0 ; U5 = 0
- Vậy điều kiện cân bằng là gì ?
Cho mạch cầu điện trở như (H1.1) Nếu qua R5 có
dòng I5 = 0 và U5 = 0 thì các điện trở nhánh lập
thành tỷ lệ thức :
R1 R 2

= n = const
R3 R 4

Ngược lại nếu có tỷ lệ thức trên thì I 5 = 0 và U5 = 0,
ta có mạch cầu cân bằng.
b. Mạch cầu không cân bằng: Trong mạch cầu không cân bằng được phân làm 2

loại:
- Loại có một trong 5 điện trở bằng không (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt,
hoặc thay vào đó là một ampe kế có điện trở ằng không ). Khi gặp loại bài tập này ta
có thể chuyển mạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải.
- Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giải
được nếu ta chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này được giải bằng phương pháp
đặc biệt ( Trình bày ở mục 2.3)
1.3. Cần ghi nhớ
- Nếu mạch cầu điện trở có dòng I5 = 0 và U5 = 0 thì bốn điện trở nhánh của mạch cầu
R

R

1
2
lập thành tỷ lệ thức: R  R  n (n là hằng số) (*) (Với bất kỳ giá trị nào của R5.).
3
4
Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định được điện trở còn lại.
- Ngược lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch
cầu cân bằng và do đó I5 = 0 và U5 = 0
+) Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tương đương của mạch luôn được xác định và
không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R 5 . Đồng thời các đại lượng hiệu điện thế và
không phụ thuộc vào điện trở R5. Lúc đó có thể coi mạch điện không có điện trở R 5
và bài toán được giải bình thường theo định luật Ôm.
+) Biểu thức (*) chính là điều kiện để mạch cầu cân bằng.

-3-

2. Phương pháp tính điện trở tương đương của mạch cầu.
Tính điện trở tương đương của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất
quan trọng, cho dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giải các
bài tập điện ta vẫn thường phải tiến hành công việc này.
Với các mạch điện thông thường, thì đều có thể tính điện trở tương đương bằng
một trong hai cách sau.
- Nếu biết trước các giá trị điện trở trong mạch và phân tích được sơ đồ mạch điện
(thành các đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song) thì áp dụng công thức tính
điện trở của các đoạn mắc nối tiếp hay các đoạn mắc song song.
- Nếu chưa biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhưng biết được Hiệu điện thế
ở hai đầu đoạn mạch và cường độ dòng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính điện
trở tương đương của mạch bằng công thức định luật Ôm.
- Tuy nhiên với các mạch điện phức tạp như mạch cầu, thì việc phân tích đoạn mạch
này về dạng các đoạn mạch mới nối tiếp và song song là không thể được. Điều đó
cũng có nghĩa là không thể tính điện trở tương đương của mạch cầu bằng cách áp
dụng, các công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc
song song. Vậy ta phải tính điện trở tương đương của mạch cầu bằng cách nào?
+) Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R 5 để tính điện trở tương đương của
mạch cầu.
+) Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đưa được về dạng mạch
điện có các đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải.
+) Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tương đương được tính bằng
các phương pháp sau:
2.1. Phương án chuyển mạch.
Thực chất là chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tương đương (điện trở tương
đương của mạch không thay đổi). Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụng các
công thức tính điện trở của đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở
tương đương.
 Muốn sử dụng phương pháp này trước hết ta phải nắm được công thức chuyển
mạch (chuyển từ mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại từ mạch tam giác thành

mạch sao). Công thức chuyển mạch - Định lý Kennơli.
- Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện được tạo thành từ ba điện trở.

H2.1a mạch tam giác ()
H2.1b - Mạch sao (Y)
- Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi
đó hai mạch tương đương nhau. Công thức tính điện trở của mạch này theo mạch kia
khi chúng tương đương nhau như sau:
- Biến đổi từ mạch tam giác R1, R2, R3 thành mạch sao R’1, R’2, R’3
R 1' 

R 2 .R 3
(1) ;
R1  R 2  R 3

R '2 

R1.R 3
(2)
R1  R 2  R 3

-4-

R 3' 

R 1.R 2
(3)
R1  R 2  R 3

( Ở đây R’1, R’2, R’3 lần lượt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3 )
- Biến đổi từ mạch sao R’1, R’2, R’3 thành mạch tam
giác R1, R2, R3
R1 

R1' .R '2  R '2 .R '3  R 1' .R '3
R 1'

(4)

R2 

R1' .R '2  R '2 .R 3'  R1' .R 3'
R '2

(5)

R3 

R 1' .R '2  R '2 .R 3'  R 1' .R 3'
R 3'

(6)

 Áp dụng vào bài toán tính điện trở tương đương
của mạch cầu ta có hai cách chuyển mạch như sau:
Cách 1: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch tam giác R 1, R3, R5 thành
mạch sao :R’1; R’3; R’5 (H2.2a) Trong đó các điện trở R 13, R15, R35 được xác định theo
công thức: (1); (2) và (3) từ sơ đồ mạch điện mới (H2.2a) ta có thể áp dụng công
thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song song để tính điện

'
trở tương đương của mạch AB, kết quả là: R AB  R 5 

(R 3'  R 2 )(R1'  R 4 )
(R 3'  R 2 )  (R 1'  R 4 )

Cách 2: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch sao R 1, R2 , R5 thành mạch tam
giác R’1, R’2 , R’5 (H2.2b ).

Trong đó các điện trở R’1, R’2, R’3 được xác định theo công thức (4), (5) và(6). Từ sơ
đồ mạch điện mới (H2.2b) áp dụng công thức tính điện trở tương đương ta cũng được
R 3 .R '2
R '1 .R 4

)
R 3  R '2 R 1  R ' 4

R .R '
R '1 .R 4
R '5  ( 3 2 
)
R 3  R '2 R1  R '4
R '5 (

kết quả: R AB

2.2. Phương pháp dùng định luật Ôm.
- Từ biểu thức: I =

U

R

suy ra R =

U
      (*)
I

- Trong đó: U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch.
I là cường độ dòng điện qua mạch chính.
- Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tương đương (R) của mạch thì trước
hết ta phải tính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ được kết quả.
( Có nhiều phương pháp tính I theo U sẽ được trình bày chi tiết ở
mục sau ).
Bài tập ví dụ: Cho mạch điện như hình H . 2.3a. Biết R 1 =
R3 = R5 = 3 , R2 = 2 ; R4 = 5 
a. Tính điện trở tương đương của đoạn mạch AB.
b. Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không đổi U
= 3 (V). Hãy tính cường độ dòng điện qua các điện trở và
hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở.
-5-


Phương pháp 1: Chuyển mạch.
Cách 1: Chuyển mạch tam giác R1; R3 ; R5 thành
mạch sao R’1 ; R’3 ; R’5 (H2.3b) Ta có:
R1. .R 3
3.3

 1()

R1  R 2  R 3 3  3  3
R 1.R 5
R 3' 
 1()
R1  R 3  R 5
R 3 .R 5
R 1' 
 1()
R1  R 3  R 5
R 5' 

Suy ra điện trở tương đương của đoạn mạch AB là :
(R 3'  R 2 )(R1'  R 4 )
(1  2)(1  5)
R  '
 1
 3
'
(R1  R 2 )  (R 1  R 4 )
(1  2)  (1  5)
'
5

R AB

Cách 2: Chuyển mạch sao R1; R2; R5 thành mạch tam giác
R 1' ; R '2 ; R 3' (H2.3c). Ta có:
R 1' 
R '2 

R1.R 2  R 2 .R 5  R1.R 5 3.2  2.3  3.3

 7
R1
3

R1.R  R 2 .R 5 R1.R 5
 10,5()
R2

   R 5' 

;

R1.R  R 2 .R 5  R 1.R 5
 7()
R5

R '2 .R3
R1' .R 4

)
R '2  R 3 R 1'  R 4

 3()
R '2 .R 3
R 1' .R 4
'
R5  '


R 2  R 3 R 1'  R 4
R 5' (

Suy ra:

R AB

Phương pháp 2: Dùng công thức định luật Ôm.
U AB

Từ công thức: IAB  R

�R 

AB

U AB
I AB

 *

 Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB ; I là cường độ dòng điện qua đoạn
mạch AB. Biểu diễn I theo U
Đặt I1 là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều như hình vẽ (H2.3d)
Ta lần lượt có:
U1 = R1I1 = 3 I1
(1)
;
U 2 = U – U 1 = U – 3 I1
(2)

I2 

U 2 U  3I1

R2
2

15I1  3U
2
U 21I1  3U
I3 

R3
6
U
5U  21.I1
I4  4 
R4
10
U 5  I.R 5 

(3)

;

(5)

;

(7)

;

I5  I1  I2 

5I1  U
2

21I1  3U
2
5U  21I1
U4  U  U3 
2
U3  U1  U 5 

(4)
(6)
(8)

(9)

Tại nút D, ta có: I4 = I3 +I5 �

5U  21.I1 21I1  3U 5I1  U
5U


            10
  � I1     
10

6
2
27

4
U
Thay (11) vào (7) ta được: I3 = 27

Suy ra cường độ dòng điện mạch chính. I  I1  I3 
-6-

5U 4U 1

 U              12
 
27 27 3

(11)  


Thay (12) vào (*) ta được kết quả: RAB = 3 ()
5
9

b. Thay U = 3 V vào phương trình (11) ta được: I1  (A)
5
(A) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả:
9
2
4

1
1
1
I 2  (A)
I3 = (A)
I 4  (A) I5  (A) ( I5 
có chiều từ C đến D)
3
9
3
9
9
5
4
1
U1  U 4   V 
U 2  U3   V 
U5 = U X =  V  ;
3
3
3

Thay U = 3(V) và I1 =

Lưu ý
- Cả hai phương trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tương đương của
bất kỳ mạch cầu điện trở nào. Mỗi phương trình giải đều có những ưu điểm và nhược
điểm của nó. Tuỳ từng bài tập cụ thể ta lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý.
- Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tương đương của mạch cầu (chỉ câu hỏi a)
thì áp dụng phương pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn.

- Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏi thêm câu b)
thì áp dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và
lô gic hơn.
- Trong phương pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việc tính
toán các đại lượng cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu. Đây là một
bài toán không hề đơn giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thi học sinh giỏi,
thi tuyển sinh. Vậy có những phương pháp nào để giải bài toán tính cường độ dòng
điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.
2.3. Phương pháp giải toán tính cường độ dòng điện dòng điện và hiệu điện thế
trong mạch cầu.
Với mạch cầu cân bằng hoặc mạch cầu không cân bằng mà có 1 trong 5 điện trở bằng
0 (hoặc lớn vô cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch điện quen thuộc
(gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song). Khi đó ta áp dụng định luật Ôm để
giải bài toán này một cách đơn giản.
Ví dụ: Cho các sơ đồ các mạch điện như hình vẽ: (H.3.1a); (H. 3.1b); (H3.1c);
(H3.1d) biết các vôn kế và các am pe kế là lý tưởng.

Ta có thể chuyển các sơ đồ mạch điện trên thành các sơ đồ mạch điện tương đương,
tương ứng với các hình H.3.1a’; H.3.1b’; H.3.1c’; H.3.1d’.

Từ các sơ đồ mạch điện mới, ta có thể áp dụng định luật Ôm để tìm các đại lượng
mà bài toán yêu cầu:
-7-


Lưu ý: Các bài loại này có nhiều tài liệu đã trình bày, nên trong đề tài này
không đi sâu vào việc phân tích các bài toán đó tuy nhiên trước khi giảng dạy bài
toán về mạch cầu tổng quát, nên rèn cho học sinh kỹ năng giải các bài tập loại này
thật thành thạo.
- Với mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, ta

không thể đưa về dạng mạch điện gồm các đoạn mắc nối tiếp và
mắc song song. Do đó các bài tập loại này phải có phương pháp giải
đặc biệt - Sau đây là một số phương pháp giải cụ thể:
Bài tập ví dụ: Cho mạch điện hư hình vẽ (H3.2a) Biết
U = 45V, R1 = 20, R2 = 24 ; R3 = 50 ; R4 = 45
R5 là một biến trở
a. Tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế của mỗi
điện trở và tính điện trở tương đương của mạch khi R5
= 30
b. Khi R5 thay đổi trong khoảng từ 0 đến vô cùng, thì
điện trở tương đương của mạch điện thay đổi như thế
nào?
c. Tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế của mỗi
điện trở và tính điện trở tương đương của mạch khi
R5 = 30
Cách 1: Lập hệ phương trình có ẩn số là dòng điện (Chẳng hạn chọn I1 làm ẩn số)
Bước 1: Chọn chiều dòng điện trên sơ đồ
Bước 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đại lượng còn lại
theo ẩn số (I1) đã chọn (ta được các phương trình với ẩn số I1).
Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng của đầu bài yêu cầu.
Bước 4: Từ các kết quả vừa tìm được, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở bước 1
- Nếu tìm được I > 0, giữ nguyên chiều đã chọn.
- Nếu tìm được I < 0, đảo ngược chiều đã chọn.
Lời giải :
- Giả sử dòng điện mạch có chiều như hình vẽ H3.2b
- Chọn I1 làm ẩn số ta lần lượt có:
U1 = R1 . I1 = 20I1
(1)
;
U2 = U – U1 = 45 – 20I1 (2)

U 2 45  20I1
44I  45

         
  3                  ;                I5  I1  I  1
         
 (4)
R2
24
24
20I  225
300I1  225
U5  R 5 .I5  1
          (5)                  ;              U3  U1  U 5 
                  6 
4
4
U 12I  9
405  300 I1
I3  3  1                     7                   ;                U 4     U   U 3 
 
(8)
R3
8
4
U
27  20I1
I4  4 
(9)
R4

12
27  20I1 12I1  9 44I1  48
�


12
8
24
- Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5
(10)
I2 

Suy ra I1= 1,05 (A)
- Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta được các kết quả:
I1 = 1(A)
;
I3 = 0,45 (A)
;
I4 = 0,5 (A) ;
I5 = 0,05 (A)
-8-


Vậy chiều dòng điện đã chọn là đúng. => Hiệu điện thế : U1 = 21(V) U2 = 24 (V)
U3 = 22,5 (V)
UBND = 22,5 (V)
U5 = 1,5 (V)
U

U

45

=> Điện trở tương đương R AB  I  I  I  1, 05  0, 45  30
1
3
Cách 2: Lập hệ phương trình có ẩn số là hiệu điện thế các bước tiến hành giống như
phương pháp 1. Nhưng chọn ẩn số là Hiệu điện thế. Áp dụng
Chọn chiều dòng điện trong mạch như hình vẽ H3.2b
 Chọn U1 làm ẩn số ta lần lượt có:
U1 U1

R1 20
U
45  U1
I2  2 
R2
24
11U1  225
U 5  I5 .R 5 
4
405  300U1
U 4  U  U3 
4
U
27  U1
I4  4 
R4
12
I1 

(1)

U2 = U – U1 = 45 – U1

(2)

11I1  U1
120
15U1  225
U 3  U1  U5 
4
U
3U  45
I3  3  1
R3
40
I5  I1  I 2 

(3)
(5)
(7)

(4)
(6)
(8)

(9)
�

27  U1 3U1  45 11U1  225


12
40
120
(10)

 Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5
Suy ra: U 1 = 21 (V) Thay U1 = 21 (V) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết
quả .
Cách 3: Chọn gốc điện thế.
Bước 1: Chọn chiều dòng điện trong mạch
Bước 2: Lập phương trình về cường độ tại các nút (Nút C và D)
Bước 3: Dùng định luật ôm, biến đổi các phương trình về VC, VD theo VA, VB
Bước 4: Chọn VB = 0 � VA = UAB
Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm VC, VDtheo VA rồi suy ra U1, U2, U3, U4, U5
Bước 6: Tính các đại lượng dòng điện rồi so sánh với chiều dòng điện đã chọn ở
bước 1. Áp dụng
 Giả sử dòng điện có chiều như hình vẽ H3.2b
�I1  I2  I5

 Áp dụng định luật về nút ở C và D, ta có: �I  I  I
�4 3 5
- Áp dụng định luật Ôm, ta có:

(1)
(2)

�VA  VC VC  VD VC  VD



�
R2
R5
� R1
�
�VD  VB  VA  VD  VC  VD
�
R3
R5
� R4

 Chọn VD = 0 thì VA = UAB = 45 (V).
�45  VC VC VC  VD


              3  
�
� 20
24
30
=> Hệ phương trình thành: �V 45  V V V
D
�D 
 C D               4 
�45
50
30

 Giải hệ 2 phương trình (3) và (4) ta được: VC = 24(V); VD = 22,5(V)
Suy ra:
U2 = VC – VB = 24 (V)
U4 = VD – VB = 22,5 (V)
-9-


U1 = U – U2 = 21 (V); U3 = U – UBND = 22,5V; U5 = VC – VD = 1,5 (V)
Từ các kết quả vừa tìm được ta dễ ràng tính được các giá trị cường độ dòng điện
Cách 4: Chuyển mạch sao thành mạch tam giác (Hoặc mạch tam giác thành mạch
sao ).
 Chẳng hạn chuyển mạch tam giác R1 , R3 , R5 thành mạch sao R’1 , R’3 , R’5 ta
được sơ đồ mạch điện tương đương H3.2c (Lúc đó các giá trị R AB, I1, I4, I, U2, U4,UCD
vẫn không đổi)
Các bước tiến hành giải như sau:
Bước 1: Vẽ sơ đồ mạch điện mới.
Bước 2: Tính các giá trị điện trở mới (sao R’1, R’3, R’5)
Bước 3: Tính điện trở tương đương của mạch
Bước 4: Tính cường độ dòng điện mạch chính (I)
Bước 5: Tính I2, I4 rồi suy ra các giá trị U2, U4.
R R

1
4
Ta có: I2  I.  R   R   R '  R
Và: I4 = I – I2
1
4
3
3

Bước 6: Trở lại mạch điện ban đầu để tính các đại lượng còn lại.
Áp dụng:
- Từ sơ đồ mạch điện (H - 3.2C) ta có

R 3 .R 5
50.30

 15()
R1  R 3  R 5 20  50  30
R1 .R 5
20.30
R '3 

 6()
R1  R 3  R 5 20  50  30
R1.R 3
20.50
R '5 

 10()
R 1  R 3  R 5 20  50  30
R '1 

 Điện trở tương đương của mạch: R AB  R 
'

5

(R 3'  R '2 ).(R1'  R '4 )
(R 3'  R '2 )  (R 1'  R '4 )

U

 30()

45

 Cường độ dòng điện trong mạch chính: I  R  30  1,5(A)
AB
Suy ra: I2  I

(R 1'  R 4 )
 1(A) � I4 = I – I2 = 1,5 – 1 = 0,5 (A)
(R 1'  R 4 )  (R 3'  R 2 )

U2 = I2.R2 = 24 (V)
U4 = I4.R4 = 22,5 (V)
 Trở lại sơ đồ mạch điện ban đầu (H - 3.2 b) ta có kết quả:
Hiệu điện thế: U1 = U – U2 =21(V) ; U3 = U – U4 = 22,5(V); U5 =U3 – U1 =1,5(V)
U

U

3
1
Và các giá trị dòng điện I1  R  1, 05(A) ; I3  R  0, 45(A) ; I5 = I1 – I3 = 0,05 (A)
1

3

Cách 5: Áp dụng định luật kiếc sốp

Do các khái niệm: Suất điện động của nguồn, điện trở trong của nguồn, hay
các bài tập về mạch điện có mắc nhiều nguồn,… học sinh lớp 9 chưa được học. Nên
việc giảng day cho các em hiểu đày đủ về định luật Kiếc sốp là không thể được. Tuy
nhiên ta vẫn có thể hướng dẫn học sinh lớp 9 áp dụng định luật này để giải bài tập
mạch cầu dựa vào cách phát biểu sau:
Định luật về nút mạng. Từ công thức: I = I1+ I2+ … +In(đối với mạch mắc
song song), ta có thể phát biểu tổng quát: “ Ở mỗi nút, tổng các dòng điện đi đến
điểm nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏi nút”
- 10 -


Trong mỗi mạch vòng hay mắt mạch. Công thức: U = U1+ U2+ …+ Un (đối
với các điện trở mắc nối tiếp) được hiểu là đúng không những đối với các điện trở
mắc nối tiếp mà có thể mở rộng ra: “ Hiệu điện thế U AB giữa hai điểm A và B bằng
tổng đại số tất cả các hiệu điện thế U 1, U2,… của các đoạn kế tiếp nhau tính từ A đến
B theo bất kỳ đường đi nào từ A đến B trong mạch điện ”
Vậy có thể nói: “Hiệu điện thế trong mỗi mạch vòng (mắt mạng) bằng tổng đại số độ
giảm thế trên mạch vòng đó”
Trong đó độ giảm thế: UK = IK.RK ( với K = 1, 2, 3, …)
Chú ý: - Dòng điện IK mang dấu (+) nếu cùng chiều đi trên mạch
- Dòng điện IK mang dấu (–) nếu ngược chiều đi trên mạch.
Các bước tiến hành giải.
Bước 1: Chọn chiều dòng điện đi trong mạch
Bước 2: Viết tất cả các phương trình cho các nút mạng
Và tất cả các phương trình cho các mứt mạng.
Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng dòng điện và hiệu điện
thế trong mạch.
Bước 4: Biện luận kết quả. Nếu dòng điện tìm được là:
IK > 0: ta giữ nguyên chiều đã chọn.
IK < 0: ta đảo chiều đã chọn.

Áp dụng:
- Chọn chiều dòng điện đi trong mạch như hình vẽ H3.2b.


�I1  I 2  I5                                      1

- Tại nút C và D ta có: �I  I  I                                        2
 
�4
3
5
- Phương trình cho các mạch vòng:
+) Mạch vòng ACBA:
U = I1.R1 + I2.R2
(3)
+) Mạch vòng ACDA: I1.R1 + I5.R5 – I3.R3 = 0
(4)
+) Mạch vòng BCDB: I4.R4 + I5.R5 – I2.R2 = 0
(5)
- Thay các giá trị điện trở và hiệu điện thế vào các phương trình trên rồi rút gọn,
�I1  I 2  I5                                     1’
�
�I 4  I3  I5                                     2’
�
ta được hệ phương trình: �20I1  24I2  45              3’
�
2I  3I5  5I3                             4’
�1
�
45I 4  30I5  24I 2                     5’

�

- Giải hệ 5 phương trình trên ta tìm được 5 giá trị dòng điện:
I1 = 1,05(A); I2 = 1(A); I3 = 0,45(A); I4 = 0,5(A) và I5 = 0,05(A)
- Các kết quả dòng điện đều dương do đó chiều dòng điện đã chọn là đúng.
- Từ các kết quả trên ta dễ dàng tìm được các giá trị hiệu điện thế U 1, U2, U3, U4, U5
và RAB
Sự phụ thuộc của điện trở tương đương vào R5
R .R

R .R

20.50

24.45

1 3
2 4
- Khi R5 = 0, mạch cầu có điện trở là: R TÐ  R o  R  R  R  R  20  50  24  45 �29,93()
1
3
2
4

- Khi R5 = , mạch cầu có điện trở là:

R TÐ  R � 

(R1  R 2 ).(R 3  R 4 )
(20  24).(50  45)


�30, 07()
(R 1  R 2 )  (R 3  R 4 ) (20  24)  (50  45)

- Vậy khi R5 nằm trong khoảng (0,) thì điện trở tương đương nằm trong khoảng
(Ro, R)
- 11 -


- Nếu mạch cầu cân bằng thì với mọi giá trị R5 đều có RTĐ = R0 = R
Nhận xét chung.
- Trên đây là 5 phương pháp để giải bài toán mạch cầu tổng quát. Mỗi bài tập về
mạch cầu đều có thể sử dụng một trong 5 phương pháp này để giải. Tuy nhiên với học
sinh lớp 9 nên sử dụng phương pháp lập hệ phương trình với ẩn số là dòng điện
(Hoặc ẩn số là hiệu điện thế), thì lời giải bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lôgíc hơn.
 Để cho học sinh có thể hiểu sâu sắc các tính chất của mạch cầu điện trở, cũng như
việc rèn luyện kỹ năng giải các bài tập điện một chiều, thì nhất thiết giáo viên phải
hướng dẫn các em hiểu và vận dụng tốt cả 5 phương phương pháp trên. Các phương
pháp đó không chỉ phục vụ cho việc ôn thi học sinh giỏi vật lý lớp 9 mà cả chương
trình Vật Lý lớp 11 và ôn thi Đại học cũng gặp rất nhiều bài tập phải áp dụng các
phương pháp này mơí giải được.
3. Bài toán cầu dây.
Mạch cầu dây là mạch điện có dạng như hình vẽ H4.1. Trong
đó hai điện trở R3 và R4 có giá trị thay đổi khi con chạy C dịch
chuyển dọc theo chiều dài của biến trở (R 3 = RAC; R4 = RCB).
Mạch cầu dây được ứng dụng để đo điện trở của 1 vật dẫn. các
bài tập về mạch cầu dây rất đa dạng; phức tạp và phổ biến
trong chương trình Vật lý nâng cao lớp 9 và lớp 11.Vậy sử
dụng mạch cầu dây để đo điện trở như thế nào? Và phương
pháp để giải bài tập về mạch cầu dây như thế nào?

3.1. Phương pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch cầu dây
Để đo giá trị của điện trở Rx người ta dùng một điện trở mẫu Ro,
một biến trở ACB có điện trở phân bố đều theo chiều dài, và một
điện kế nhạy G, mắc vào mạch như hình vẽ H 4.2. Di chuyển con
chạy C của biến trở đến khi điện kế G chỉ số 0 đo l1 ; l2 ta được
l

2
kết quả: R X  R 0 . l hãy giải thích phép đo này ?
1

Phương pháp làm:
 Trên sơ đồ mạch điện, con chạy C chia biến trở (AB) thành hai phần.
=> Đoạn AC có chiều dài l1, điện trở là R1
=> Đoạn CB có chiều dài l2, điện trở là R2
 Điện kế cho biết khi nào có dòng điện chạy qua đoạn dây CD.
 Nếu điện kế chỉ số 0, thì mạch cầu cân bằng, khi đó điện thế ở điểm C bằng điện
thế ở điểm D.
Do đó: VA – VD = VA – VC => Hay
UAn = UAC � R0I0 = R4 I1
Ta được:

R 0 I1

R 1 I0

(1)

(Với I0, I1 lần lượt là dòng điện qua R0 và R4)
R

I

X
1
=> Tương tự: U AB  U BC � R X .I 0   R 2 .I 2   �   R  I             2 
2
0

R

R .R 2

R

0
0
X
=> Từ (1) và (2) ta được: R  R � R X  R
1
2
1

- 12 -

(3)


 Vì đoạn dây AB là đồng chất, có tiết diện đều nên điện trở từng phàn được tính
l

l

  R

l

1
2
2
2
theo công thức. R1   S     và     R 2   S     � R  l                4 
1
1

l

2
 Thay (4) vào (3) ta được kết quả: R X  R 0 . l
1

- Chú ý: Đo điện trở của vật dẫn bằng phương pháp trên cho kết quả có độ chính xác
rất cao và đơn giản nên được ứng dụng rộng rãi trong phòng thí nghiệm
3.2. Các bài toán thường gặp về mạch cầu dây.
Bài toán minh họa 1: Cho mạch điện như hình vẽ H4.3.
Điện trở của ampe kế và dây nối không đáng kể, điện trở
toàn phần của biến trở .
a. Tìm vị trí ucả con chạy C khi biết số chỉ của ampekế (IA)?
b. Biết vị trí con chạy C, tìm số chỉ của ampe kế ?
Phương pháp làm:

Các điện trở trong mạch điện dược mắc như sau: (R1RAC) nt (R2  RCB)
a. Đặt x = RAC (0< x< R)
Trường hợp 1: Nếu bài toán cho biết số chỉ của ampe kế IA = 0
Thì mạch cầu cân bằng, lúc đó ta có điều kiện cân bằng.

R1
R2

                       1
 
X RX

Giải phương trình (1) ta sẽ tìm được: RAC = x
Trường hợp 2: Am pe kế chỉ giá trị IA  0
Viết phương trình dòng điện cho hai nút C và D. Rồi áp dụng định luật ôm để chuyển
hai phương trình đó về dạng có ẩn sóo là U1 và x.
=> Nút C cho biết: IA  ICB  IX 

U  U X UX
U  U1 U1

� IA 

                    2 
RX
X
RX X

=> Nút D cho biết: IA    I1  I2 � IA   

U1 U  U1

                        3
R1
R2

(Trong đó các giá trị U, Ia, R, R1, R2 đầu bài cho trước )
 Xét chiều dòng điện qua ampe kế (nếu đầu bài không cho trước), để giải phương
trình (3) tìm giá trị U1, rồi thay vào phương trình (2) để tìm x.
 Từ giá trị của x ta tìm được vị trí tương ứng con chạy C.
b. Vì đầu bài cho biết vị trí con chạy C, nên ta xác định được điện trở RAC và RCB.
 Mạch điện: (R// RAC ) nt (R2 //RCB)
Áp dụng định luật ôm ta dễ dàng tìm được I1và I2.
Suy ra số chỉ của Ampe kế: IA =I1 - I2 
Bài tập áp dụng. Cho mạch điện như hình vẽ H4.4. Biết U =
7V không đổi. R1 = 3, R2= 6. Biến trở ACB là một dây
dẫn có điện trở suất là = 4.106 ( m), chiều dài l = AB =
1,5m, tiết diện đều: S = 1mm2
a. Tính điện trở toàn phần của biến trở
b. Xác định vị trí con chạy C để số chỉ của ampe kế bằng 0
c. Con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB, hỏi lúc đó ampe kế chỉ bao nhiêu?
d. Xác định vị trí con chạy C để ampe kế chỉ 1/3(A)
Lời giải.
- 13 -


l
S

1,5

 6 ()
106
R1
R2
b. Ampe kế chỉ số 0 thì mạch cầu cân bằng, khi đó: R  R
AC
CB
3
6
Đặt x = RAC � RCB = 6 – x � 
. Suy ra x = 2 ()
x 6 x

a. Điện trở toàn phần của biến trở: R AB    4.106

Với RAC = x = 2 thì con chạy C ở cách A một đoạn bằng: AC 

R AC. .S
 0,5(m)


Vậy khi con chạy C cách A một đoạn bằng 0,5m thì ampe kế chỉ số 0
c. Khi con chạy ở vị trí mà AC = 2CB, ta dễ dàng tính được RAC = 4 ()
Còn RCB = 2 (). VT RA = 0 � Mạch điện (R1 //RAC ) nt (R2 //RCB)
R .R

R .R

12 12

45

1.
AC
2.
CB
 Điện trở tương đương của mạch: R T Ð  R  R  R  R  7  8  14 ()
1
AC
2
CB

U
7 98

 (A)
45
 Cường độ dòng điện trong mạch chính: R T Ð
45
14
R AC
R CB
98 4 56
98 2 49
Suy ra: I1  I. R  R  45 . 7  45 (A) và I2  I R  R  45 . 8  90 ( A)
1
AC
2
CB
56 49 7

Vì: I1 > I2, suy ra số chỉ của ampe kế là: IA  I1  I2    � I A  0,7  A 
45 90 10
I

Vậy khi con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB thì ampe kế chỉ 0,7 (A)
d. Tìm vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

1
(A)
3

 Vì: RA = 0 => mạch điện (R1// RAC) nt (R2 // RCB)
Suy ra: Ux = U1
=> Phương trình dòng điện tại nút C: IA  ICB  I x 
=> Phương trình dòng điện tại nút D:

I A  I1  I 2 

U  U1 U1
7  U1 U1
 � IA 
            1

R X X
6 X X

U1 U  U1
U 7  U1

� IA  1 

               2 
R1
R2
3
6

1
3 (A) D đến C

+) Trường hợp 1: Ampe kế chỉ IA =
- Từ phương trình (2) ta tìm được U1 = 3 (V)
- Thay U1 = 3 (V) vào phương trình (1) ta tìm được x = 3 ()
- Với RAC= x = 3 ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng
AC =75 (cm)
+) Trường hợp 2: Ampe kế chỉ IA =

1
(A) chiều từ C đến D
3

5
3

- Từ phương trình (2) ta tìm được U1  (V)
5
3

- Thay U1  (V) vào phương trình (1) ta tìm được x  1,16 ()
- Với RAC = x = 1,16  , ta tìm được vị trí của con chạy C cách A một đoạn bằng
AC  29 (cm)

- 14 -


Vậy tại các vị trí mà con chạy C cách A một đoạn bằng 75 (cm) hoặc 29 (cm) thì am
1
3

pe kế chỉ (A) .
Bài toán minh họa 2: Cho mạch điện như hình vẽ H4.3.
Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch là U không đổi. Biển trở
có điện toàn phần là R, vôn kế có điện trở rất lớn
a. Tìm vị trí con chạy C, khi biết số chỉ của vôn kế
b. Biết vị trí con chạy C, tìm số chỉ của vôn kế
Phương pháp làm.
Vì vôn kế có điện trở rất lớn nên mạch điện có dạng (R1 nt R2) // RAB
a. Tìm vị trí con chạy C
R

1
 Với mọi vị trí của C, ta luôn tìm được: U1  U. R  R
1
2
 Xét hai trường hợp: UAC = U1 + UV và UAC = U1 - UVư

;

I AC 

U

R

U

AC
Mỗi trường hợp ta luôn có: R AC  T
AC
Từ giá trị của RAC ta tìm được vị trí tương ứng của con chạy C.
b. Biết vị trí con chạy C, ta dễ dàng tìm được R AC và RCB và cũng dễ dàng tính được
U1 và UAC. Từ đó chỉ số của vôn kế: U v  U1  U AC
Bài tập áp dụng. Cho mạch điện như hình vẽ H4.6. Biết V =
9V không đổi, R1 = 3, R2 = 6. Biến trở ACB có điện trở
toàn phần là R = 18, vốn kế là lý tưởng.
a.
Xác định vị trí con chạy C để vôn kế chỉ số 0
b. Xác định vị trí con chạy C để vôn kế chỉ số 1vôn
c. Khi RAC = 10 thì vôn kế chỉ bao nhiêu vôn ?
Lời giải
 Vì vôn kế là lý tưởng nên mạch điện có dạng: (R1 nt R2) // RAB
a. Để vôn kế chỉ số 0, thì mạch cầu phải cân bằng, khi đó:

R1
R2
3
6

�

� RAC = 6 ()
R AC R  R AC

R AC 18  R AC

b. Xác định vị trí con chạy C, để Uv = 1(V)
 Với mọi vị trí của con chạy C, ta luôn có:
U1  U

R1
3
9
 3(V) ;
R1  R 2
3 6

I AC 

U 9
  0,5(A)
R 18

+) Trường hợp 1: Vôn kế chỉ: UV = U1 – UAC = 1 (V)
U

2

U

4

AC
Suy ra: UAC = U1 – UV = 3 – 1 = 2 (V) � RAC = I  0,5  4 ()

AC
+) Trường hợp 2: Vôn kế chỉ UV = UAC – U1 = 1 (V)
AC
Suy ra: UAC = U1 + UV = 3 + 1 = 4 (V) � R AC  I  0,5  8 = 8 ()
AC
Vậy tại vị trí mà RAC = 4 () hoặc RAC = 8 () thì vôn kế chỉ 1 (V)
c. Tìm số chỉ vôn kế, khi RAC = 10 ()
Khi RAC = 10() � RCB = 18 – 10 = 8 () � UAC = IAC . RAC = 0,5 .10 = 5 (V)
Suy ra số chỉ của vôn kế là: UV = UAC – U1 = 5 – 3 = 2 (V)
- 15 -


Vâỵ khi RAC = 10 thì vôn kế chỉ 2(V)

- 16 -


KẾT LUẬN
Vật lí là môn khoa học cơ bản, đây là bộ môn rất khó đối với các em học sinh,
nhưng nó gắn liền với đời sống sản xuất của nhân dân ta. Đối với bài toán về mạch
cầu điện trở đây là dạng bài tập khó trong chương trình vật lí THCS bởi vì khi giải bài
tập này yêu cầu học sinh phải vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, phải xác định
được hướng giải quyết của bài toán, đặc biệt là khi tính dòng điện và hiệu điện thế,
điện trở tương đương, xác định chiều dòng điện trong mạch.
Qua việc nghiên cứu và bồi dưỡng học sinh giỏi đề tài này tôi đã rút ra được
nhiều bài học quý báu cho bản thân về phương pháp, kiến thức, kĩ năng phân tích đề,
phân tích hình vẽ. Giúp tôi tập rượt trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học một yêu cầu
không thể thiếu của một giáo viên.
Đề tài “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MẠCH CẦU ĐIỆN
TRỞ” tuy đã được các đồng nghiệp trong tổ Lý – Công nghệ của trường Phổ Thông

Triệu Sơn và các giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí của nhà trường đóng góp ý
kiến, bổ xung xong không tránh khỏi những thiếu xót. Vì vậy tôi mong muốn được sự
đóng góp quý báu của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để sáng kiến của
tôi ngày càng hoàn thiện và đạt hiệu quả cao hơn.
Xin chân thành cảm ơn. !
Triệu Sơn, ngày 20 tháng 05 năm 2018
Tác giả

Mai Mạnh Cường

- 17 -


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách Vật lý nâng cao 9 (TS- Lê Thanh Hoạch – Nguyễn Cảnh Hoè )
2. Sách Bài tập vật lý nâng cao 9 (NXB – Giáo dục).
3. 500 bài tập vật lí THCS (Ths Phan Hoàng Văn).
4. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn vật lí.(Nguyễn Đức Tài ).
5. Sách 200 bài tập Vật lý chọn lọc (PGS. PTS Vũ Thanh Khiết– PTS. Lê Thị Oanh)
6. Sách 121 bài tập vật lý nâng cao lớp 9 (PGS . TS Vũ Thanh Khiết – PGS Nguyễn
Đức Thâm – PTS Lê Thị Oanh)

- 18 -


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình

viết, không sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Mai Mạnh Cường

- 19 -