TỔNG hợp lý THUYẾT và các DẠNG bài tập OXYZ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ DẠNG TOÁN
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Trong không gian Oxyz cho: A  xA ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; zB  và a   a1 ; a2 ; a3  , b   b1 ; b2 ; b3  , k 
Khi đó:

x

 xA    yB  y A    zB  z A 

1. AB   xB  xA ; yB  y A ; zB  z A 

2. AB  AB 

3. a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 

4. k.a   ka1 ; ka2 ; ka3 

5.

a  a a a
2
1

2
2

2

B

(k

)

8. a  b  a.b  0  a1 .b1  a2 .b2  a3 .b3  0

a, b  a

Tính chất:   
  a , b   b

a
a
a
10. a cùng phương b  a  k.b   a , b   0  1  2  3
 
b1 b2 b3

a3 a3
;
b3 b3

2

a1  b1

6. a  b  a2  b2
a  b
3
 3

2
3

7. a.b  a1 .b1  a2 .b2  a3 .b3
a
9. a, b    2
  b
 2

2

a1 a1
;
b1 b1

a2
b2





và

u, v   u . v .sin  u, v 

11. a, b, c đồng phẳng  m, n  : a  mb  nc hay  a , b  .c  0
12. a, b, c không đồng phẳng  m, n  : a  mb  nc hay  a , b  .c  0
 x A  kxB y A  kyB z A  kzB 

;
;
.
1 k
1 k 
 1 k

13. M chia đoạn AB theo tỉ số k  1  MA  kMB  M 

 x A  xB y A  y B z A  z B 
;
;
.
2
2 
 2

Đặc biệt: M là trung điểm AB : M 

 x A  xB  xC y A  y B  yC z A  z B  zC 
;
;

3
3
3


x x x x y y y y z z z z 
15. G là trọng tâm tứ diện ABCD : G  A B C D ; A B C D ; A B C D 

4
4
4



14. G là trọng tâm tam giác ABC : G 

16. Vectơ đơn vị: i  (1; 0; 0); j  (0;1; 0); k  (0; 0;1)
17. Điểm trên các trục tọa độ: M( x; 0; 0)  Ox; N(0; y; 0)  Oy; K(0; 0; z)  Oz

18. Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: M( x; y; 0)  Oxy  ; N(0; y; z)  Oyz  ; K( x; 0; z)  Oxz  .
(Thiếu tọa độ nào cho tọa độ đó bằng 0, còn lại giữ nguyên.
19. Diện tích tam giác: SABC 

1
AB, AC 

2 

20. Diện tích hình bình hành ABCD : S
21. Thể tích khối tứ diện ABCD :

ABCD

V ABCD 

22. Thể tích khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' :

  AB, AC 




1
AB, AC  . AD

6 

VABCD. A ' B'C ' D '   AB, AD  .AA '


ANPHA EDUCATION 0973.514.674

-1-

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


II.
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. A , B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương   AB, AC   0 .


Dạng 2. A , B, C là ba đỉnh tam giác  A , B, C không thẳng hàng  AB, AC không cùng phương
Dạng 3.

G  xG ; yG ; zG  là trọng tâm tam giác ABC thì:

  AB, AC   0 .




xA  xB  xC
y  yB  yC
z z z
; yG  A
; zG  A B C
3
3
3
Dạng 4. Cho ABC có các chân E , F của các đường phân giác trong và ngoài góc A của ABC trên
AB
AB
.EC , FB 
.FC
BC . Ta có: EB  
AC
AC
1
Dạng 5. SABC   AB, AC   diện tích của hình bình hành ABCD là: SABCD   AB, AC 



2 
xG 



2.SABC  AB, AC 
1

 AH .BC  AH 

2
BC
BC

Dạng 6.

Đường cao AH của ABC : SABC

Dạng 7.

Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành: Từ t/c hbh có 4 cặp vecto bằng nhau AB  DC

hoặc AD  BC...  tọa độ D .
Dạng 8. Chứng minh ABCD là một tứ diện  AB; AC; AD không đồng phẳng
  AB, AC  .AD  0 .


Dạng 9. G  xG ; yG ; zG  là trọng tâm tứ diện ABCD thì:
x A  xB  xC  xD
y  yB  yC  y D
z  z  z  zD
; yG  A
; zG  A B C
4
4
4
1
Dạng 10. Thể tích khối tứ diện ABCD : V ABCD   AB, AC  .AD


6 
1
3V
Dạng 11. Đường cao AH của tứ diện ABCD : V  S BCD .AH  AH 
3
S BCD
xG 

Dạng 12. Thể tích hình hộp: VABCD. A ' B'C ' D '   AB, AD  .AA ' .




Dạng 13. Hình chiếu của điểm A  xA ; y A ; z A  lên các mặt phẳng tọa độ và các trục:

Xem lại mục 1, công thức 17, 18.
Dạng 14. Tìm điểm đối xứng với điểm A  x A ; y A ;z A  qua các mặt phẳng tọa độ, các trục và gốc tọa
độ:
(Thiếu tọa độ nào thì đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ nào thì để nguyên tọa độ đó)
OXY  : A1  xA ; yA ; zA 
OXZ  : A2  xA ;  y A ; zA  OYZ  : A3  xA ; yA ; zA 

OX  :

A4  xA ;  y A ;  z A 

Qua gốc O : A7   xA ;  y A ;  z A 

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

OY  :

A5   x A ; y A ;  z A 

-2-

OZ  :

A6   x A ;  y A ; z A 

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


MẶT CẦU
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:
Dạng 1.

S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2

Dạng 2.

x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 ĐK : a2  b2  c 2  d  0

2

2

1

2





 Tâm I  a , b , c  : Tính a , b , c bằng cách lấy hệ số của x, y , z chia cho 2 .


Bán kính R  a2  b2  c 2  d .

Chú ý: Với phương trình mặt cầu  S  : x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0

với

a2  b2  c 2  d  0

thì  S  có tâm I  – a; – b; – c  và bán kính R =

a2  b2  c2  d .

2. Vị trí tương đối giữa một điểm với một mặt cầu
Cho mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R và điểm A .
 Điểm A thuộc mặt cầu
 IA  R .
 Điểm A nằm trong mặt cầu  IA  R .
 Điểm A nằm ngoài mặt cầu  IA  R .
3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) :  x  a    y  b    z  c   R2 và mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 .

2

2

2

Tính: d  d  I ;   

Aa  Bb  Cc  D
A 2  B2  C 2



d  R : mặt cầu  S  và mặt phẳng ( ) không có điểm chung.



d  R : mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu  S  tại H .



Điểm H được gọi là tiếp điểm.
Mặt phẳng ( ) được gọi là tiếp diện.
d  R : mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường tròn.
-

Chú ý:
Tìm tiếp điểm H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng ( ) :
 Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp ( ) : ta có ud  n .
 Tọa độ H là giao điểm của d và ( ) .

Tìm bán kính r và tâm H đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu:
 Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp ( ) : ta có ud  n .
 Tọa độ H là giao điểm của d và ( ) .
 Bán kính r  R2  d 2 với d  IH  d  I ;   .

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

-3-

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


4. Vị trí tương đối của hai mặt cầu:

 TH1: I1 I 2  R1  R2 : Hai mặt cầu đựng nhau (nằm trong nhau).
 TH2: I1 I 2  R1  R2 : Hai mặt cầu tiếp xúc trong.
 TH3: R1  R2  I1 I 2  R1  R2 : Hai mặt cầu cắt nhau.
 TH4: I1I 2  R1  R2 : Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài.
 TH5: I1I 2  R1  R2 : Hai mặt cầu ngoài nhau.
II. CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1. Biết trước tâm I  a; b; c  và bán kính R : Phương trình
S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2
2

2

2

Dạng 2. Tâm I và đi qua điểm A :
 Bán kính R  IA

 Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 .
2

Dạng 3.

2

2

Mặt cầu đường kính AB

 Tâm I là trung điểm AB : xI 
 Bán kính R  IA 

x A  xB
y  yB
z z
; yI  A
; zI  A B
2
2
2

AB
2

 Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 .
2

Dạng 4.

2

2

Mặt cầu tâm I  a; b; c  tiếp xúc mặt phẳng   :

 Bán kính R  d  I ;   

Aa  Bb  Cc  D
A 2  B2  C 2

 Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 .
2

2

2

Dạng 5. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (đi qua 4 điểm A , B , C , D )
 Giả sử mặt cầu  S  có dạng: x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0  2 

 Thế tọa độ của điểm A , B , C , D vào phương trình (2) ta được 4 phương trình
 Giải hệ phương trình tìm a , b , c , d rồi viết phương trình mặt cầu.
Dạng 6. Mặt cầu đi qua A , B, C và tâm I    : Ax  By  Cz  D  0 :
 Giả sử mặt cầu  S  có dạng: x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0  2 
 Thế tọa độ của điểm A , B, C vào phương trình (2) ta được 3 phương trình
 I  a; b; c      Aa  Bb  Cc  D  0
 Giải hệ 4 phương trình tìm a , b , c , d

 Viết phương trình mặt cầu.
ANPHA EDUCATION 0973.514.674

-4-

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


Dạng 7.

Mặt cầu  S  đi qua hai điểm A , B và tâm thuộc đường thẳng d

Cách 1:
 Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t )
 Ta có A, B  (S)  IA  IB  R  IA2  IB2 . Giải pt tìm ra t  tọa độ I , tính được R .
Cách 2:
 Viết phương trình mặt phẳng trung trực  P  của đoạn thẳng AB .
 Tâm mặt cầu là giao của mặt phẳng trung trực trên và đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I )
 Bán kính R  IA . Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm.
(Chú ý: Nếu d   P  thì không sử dụng được cách 2 này)
Dạng 8.

Mặt cầu  S  có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu T  cho trước:

 Xác định tâm J và bán kính R ' của mặt cầu T 
 Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu  S  .
Dạng 9.

(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Mặt cầu  S '  đối xứng Mặt cầu  S  qua mặt phẳng  P 

 Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp  P  (xem cách làm ở phần mặt phẳng)
 Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’  R .
Dạng 10. Mặt cầu  S '  đối xứng mặt cầu  S  qua đường thẳng d
 Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua đường thẳng d (xem cách làm ở phần đường thẳng)
 Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’  R .

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

-5-

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp ( ) : n  0 là véctơ pháp tuyến của    n    .
Nếu n là một vtpt của ( ) thì kn  k  0  cũng là vtpt của ( ) .
2. Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng ( ) : hai vectơ không cùng phương a , b là cặp vtcp của

mặt phẳng    a, b có giá song song hoặc nằm trên ( ) .

3. Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a, b : n   a , b  .
 
4. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax  By  Cz  D  0

( A2  B2  C 2  0)



 Mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 thì có vtpt n   A ; B ; C  .


 Mặt phẳng ( ) qua M0  x0 ; y0 ; z0  có vtpt n   A ; B ; C  :
( ) : A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )  0

 Các trường hợp riêng:
Các hệ số

Phƣơng trình mặt phẳng
()

Tính chất mặt phẳng ()

D0

Ax  By  Cz  0

( ) đi qua gốc tọa độ O

A0

By  Cz  D  0

( ) / /Ox hoặc ( )  Ox

B0

Ax  Cz  D  0

( ) / /Oy hoặc ( )  Oy

C0

Ax  By  D  0

( ) / /Oz hoặc ( )  Oz

AB0

Cz  D  0

( ) / /  Oxy  hoặc ( )   Oxy 

AC 0

By  D  0

( ) / / Oxz  hoặc ( )   Oxz 

BC 0

Ax  D  0

( ) / / Oyz  hoặc ( )   Oyz 

Chú ý: Nếu trong phương trình của ( ) không chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục
tương ứng.
5. Phương trình mặt chắn cắt các trục tọa độ tại các điểm A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  :
x y z

   1 , abc  0
a b c
6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:  Oyz  : x  0;  Oxz  : y  0;

Oxy  : z  0.

7. Chùm mặt phẳng (lớp chuyên):
Giả sử     '   d trong đó: ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và ( ') : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 .

Pt mp chứa d có dạng: m  Ax  By  Cz  D   n  A ' x  B ' y  C ' z  D '   0 (với m2  n2  0) .

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

-6-

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


8. Vị trí tương đối của hai mp   và  '  :

Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và ( ') : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 .
( )  ( ')  A : B : C  A ' : B ' : C ' 

A B
B C
C
A

hay


hay

A' B'
B' C '
C ' A'

( )  ( ')  AA ' BB ' CC '  0
A B C
D
( )  ( ') 



(trường hợp mẫu là 0 thì ta có quy ước...)
A' B' C ' D'
A B C
D
( ) / /( ') 



A' B' C ' D'
9. Khoảng cách từ M0  x0 ; y0 ; z0  đến ( ) : Ax  By  Cz  D  0





d M ,   

Ax0  By0  Cz0  D
A 2  B2  C 2

Chú ý:
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
 Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0 .
10. Góc giữa hai mặt phẳng:
cos( ,  ) 

n1 . n2

AA ' BB ' CC '



với n1 , n2 là các vtpt của ( ),(  ) .

A 2  B2  C 2 . A '2  B '2  C '2
 Góc giữa ( ),(  ) bằng hoặc bù với góc giữa hai vtpt n1 , n2 .





n1 . n2



00  ( ),( )  900 .

 ( )  (  )  n1  n2  AA ' BB ' CC '  0

11. Các hệ quả hay dùng:
 Mặt phẳng   //    thì   có một vtpt là n  n với n là vtpt của mặt phẳng    .

 Mặt phẳng   vuông góc với đường thẳng d thì   có một vtpt là n  ud với ud là vtcp của
đường thẳng d .
 Mặt phẳng  P  vuông góc với mặt phẳng  Q   n P   nQ ; n P   uQ ; nQ  u P 
 Mặt phẳng  P  chứa hoặc song song với đường thằng d  n P   ud ; u P   ud
 Hai điểm A , B nằm trong một mặt phẳng  P   AB  n P  u P   AB
(trong các công thức trên đều ngầm quy ước n là vtpt, u là vtcp).
II. CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT THẲNG
Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến.
Dạng 1. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vtpt n   A; B;C 

(): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 hay Ax  By  Cz  D  0 với D    Ax0  By0  Cz0  .

Dạng 2.

Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp vtcp a , b

 Khi đó một vtpt của () là n   a , b 
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 3. Mặt phẳng ( ) qua 3 điểm không thẳng hàng A , B, C
 Cặp vtcp: AB, AC
 Mặt phẳng ( ) đi qua A (hoặc B hoặc C ) và có vtpt n   AB, AC 
ANPHA EDUCATION 0973.514.674

-7-

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 4. Mặt phẳng trung trực đoạn AB
 Tìm tọa độ M là trung điểm của đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm)
 Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt n  AB
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 5. Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB )
 Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt là vtcp của đường thẳng d
(hoặc n  AB )
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 6. Mặt phẳng ( ) qua M và song song (  ) : Ax  By  Cz  D  0
 Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt n  n   A; B; C 
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 7. Mặt phẳng   đi qua M , song song với d và vuông góc với   
là vtcp của đường thẳng d và n   là vtpt của    .
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 8. Mặt phẳng ( ) chứa M và đường thẳng d không đi qua M
 Lấy điểm M0  x0 ; y0 ; z0    d 


  có một vtpt là n  u , n    với u

d

d

 Tính MM0 . Xác định vtcp ud của đường thẳng d

 Tính n   MM0 , ud 
 Mặt phẳng ( ) đi qua M (hoặc M0 ) và có vtpt n
Dạng 9. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (  ) , (  ) :
 Xác định các vtpt n , n của (  ) và (  )
 Một vtpt của ( ) là: n  n , n   




 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 10. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1 , d2 :
 Xác định các vtcp a , b của các đường thẳng d1 , d2
 Một vtpt của ( ) là: n   a , b 
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 11. Mặt phẳng ( ) qua M , N và vuông góc (  ) :
 Tính MN
 Tính n   MN , n 
 Mặt phẳng ( ) đi qua M (hoặc N ) và có vtpt n
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 12. Mặt phẳng   chứa đường thẳng d và vuông góc với   



  có một vtpt là n  u , n  với u là vtcp của d
Lấy điểm M  x ; y ; z   d  M  x ; y ; z   ( )
d

d

0

0

0

0

0

0

0

0

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

-8-

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


 

Dạng 13. Mặt phẳng ( ) chứa  d  và song song d / (với (d),(d ') chéo nhau)

 Lấy điểm M0  x0 ; y0 ; z0   d  M0  x0 ; y0 ; z0   ( )

 Xác định vtcp ud ; ud ' của đường thẳng d và đường thẳng d '
 Mặt phẳng ( ) đi qua M0 và có vtpt n  ud , ud ' 


 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 14. Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song 1 , 2
 Chọn điểm M1  x1 ; y1 ; z1   1 và M2  x2 ; y2 ; z2    2

 Tìm vtcp u1 của đường thẳng 1 hoặc vtcp u2 của đường thẳng  2
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là n  u1 , M1 M2  hoặc n  u2 , M1 M 2 




 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 15. Mặt phẳng ( ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1 , d2 :
 Xác định các vtcp a , b của các đường thẳng d1 , d2
 Một vtpt của ( ) là: n   a , b 
 Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M  ( )
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 16. Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng  d  cho trước và cách điểm M cho trước một
khoảng k không đổi:
 Giả sử ( ) có phương trình: Ax  By  Cz+D  0  A2  B 2  C 2  0 
 Lấy 2 điểm A, B  (d)  A, B  ( ) (ta được hai phương trình (1), (2))
 Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,( ))  k , ta được phương trình (3)
 Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 17. Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu  S  tại điểm H :
 Giả sử mặt cầu  S  có tâm I và bán kính R . Vì H là tiếp điểm  H  ( )
 Một vtpt của ( ) là: n  IH
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 18. Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( P )
 TH1: ( )  ( P)  d :
- Tìm M , N là hai điểm chung của ( ),( P)
- Chọn một điểm I  ( ) . Tìm I ’ đối xứng I qua ( P )
- Viết phương trình mp ( ') qua I ’, M , N .
 TH2: ( ) / /( P)
- Chọn một điểm I  ( ) . Tìm I ’ đối xứng I qua ( P )
- Viết phương trình mp ( ') qua I ’ và song song với ( P ) .

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

-9-

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


III. CÁC DẠNG TOÁN KHÁC
Dạng 1. Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( )
 Cách 1:

- H là hình chiếu của điểm M trên  P    MH , n cuø ng phöông
 H  (P )

- Giải hệ tìm được H .
 Cách 2:
- Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với ( ) : ta có ud  n
- Khi đó: H  d  ( )  tọa độ H là nghiệm của hpt:  d  và ( )

Dạng 2. Tìm điểm M ’ đối xứng M qua ( )
 Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( )

 H là trung điểm của MM / (dùng công thức trung điểm)  tọa độ H .
Dạng 3. Viết phương trình mp ( P ') đối xứng mp ( P ) qua mp  Q 
 TH1: (Q)   P   d
- Lấy hai điểm bất kỳ  A, B  ( P)  (Q) (hay A , B  d )
- Lấy điểm M  ( P) ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua (Q) .
- Mặt phẳng ( P ') là mặt phẳng đi qua d và M ' .
 TH2: (Q) / /  P 
- Lấy điểm M  ( P) ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua (Q) .
- Mặt phẳng ( P ') là mặt phẳng đi qua M ' và song song ( P ) .

ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1) Vecto chỉ phương của đường thẳng
 Vectơ u  0 là véctơ chỉ phương của d  u / / d hoặc u nằm trên d .
 Nếu u là một vtcp của d thì ku  k  0  cũng là vtcp của d .
2) Phương trình tham số và phương trình chính tắc.


Đường thẳng d đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  và có vtcp u   a; b; c  có:




 x  xo  at

Phương trình tham số:  y  y0  bt (t  R)
 z  z  ct
0


x  x0 y  y0 z  z0
Phương trình chính tắc:


a
b
c

( a.b.c  0)

3) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng d đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  và d ' đi qua M0  x '0 ; y '0 ; z '0  có phương trình tham

 x  x0  a1t

số lần lượt là: d :  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3


ANPHA EDUCATION 0973.514.674

 x  x '0  a '1 t '

và d :  y  y '0  a '2 t '
z  z '  a ' t '
0
3


- 10 -

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


a , a ' cù ng phương

 x  a t  x '0  a '1 t '
 d / / d '   0 1
(ẩn t , t ’ ) vơ nghiệm
y

a
t

y
'

a
'
t
'

 0 2
0
2
 z  a t  z '  a ' t '
0
3

 0 3
a , a ' cù ng phương
a , a ' cù ng phương
 a, a  0


 


 M0  x0 ; y0 ; z0   d '
a , M0 M '0 khô ng cù ng phương
 a, M0 M0   0
 x0  ta1  x0  ta1
a, a cù ng phương

 d  d  hệ  y0  ta2  y0  ta2 (ẩ n t, t) có vô số nghiệ m 
M (x ; y ; z )  d
 0 0 0 0
 z  ta  z  ta
3
0
3
0

 a, a, M0 M0 đô i mộ t cù ng phương
 d, d cắt nhau

 x0  ta1  x0  ta1

 hệ  y0  ta2  y0  ta2 (ẩn t, t) có đúng một nghiệm

 z  ta  z  ta
3
0
3
0
a , a khô ng cù ng phương

 
a , a, M0 M0 đồ ng phẳ ng


  a, a  a, M0 M0   0

 a , a  0
 


 a , a .M0 M0  0

a, a khô ng cù ng phương

  x  ta1  x0  ta1
d, d chéo nhau    0
hệ y  ta2  y0  ta2 (ẩ n t, t) vô nghiệ m
  0


  z0  ta3  z0  ta3

 a, a, M0 M0 khô ng đồ ng phẳ ng   a, a .M0 M0  0

 d  d  a  a  a.a  0
SƠ ĐỒ TĨM TẮT CÁC BƢỚC KIỂM TRA VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI
Tính

Trùng nhau

Cắt nhau

Song song

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

- 11 -

Chéo nhau

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐƠ


4) Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
Đường thẳng d đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  và có vtcp ud  ( a; b; c) và mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0

có vtpt n   A; B; C  . Khi đó:
Phương pháp 1:
 d cắt ( )  Aa  Bb  Cc  0




( n không vuông góc với ud )

 Aa  Bb  Cc  0
d / /( )  
( n vuông góc với ud và M0  ( ) )
Ax

By

Cz

D

0
0
0
 0
 Aa  Bb  Cc  0
d  ( )  
( n vuông góc với ud và M0  ( ) )
 Ax0  By0  Cz0  D  0


d  ( )  ud / / n  ud , n   0



 x  x0  a1t

Phương pháp 2: Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d :  y  y0  a2t
z  z  a t

0
3

Xét phương trình: A( x0  a1t)  B( y0  a2t)  C( z0  a3t)  0 (ẩn t ) (*)

 d // ( )  (*) vô nghiệm
 d cắt ( )  (*) có đúng một nghiệm
 d  ( )  (*) có vô số nghiệm
5) Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu

 x  x0  a1t

Cho đường thẳng   y  y0  a2t
z  z  a t
0
3


(1) và mặt cầu (S) :  x  a    y  b    z  c   R2  2 
2

2

2

Để xét VTTĐ của  và  S  ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*)
 d cắt  S  tại hai điểm phân biệt

 d  I ,    R  (*) có hai nghiệm phân biệt

 d tiếp xúc với  S 

 d  I ,    R  (*) có đúng một nghiệm

 d và  S  không có điểm chung

 d  I ,    R  (*) vô nghiệm

Chú ý: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
 x  x0  a1t

d :  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3


1

và (S) :  x  a    y  b    z  c   R2  2 
2

2

2

 Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t .
 Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm.

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

- 12 -

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


6) Góc giữa hai đường thẳng
Cho đường thẳng d có vtcp u  ( a; b; c ) và đường thẳng d ' có vtcp u '  ( a '; b '; c ') .
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:




u . u'
cos  





a.a ' bb ' cc '



a  b  c . a'  b'  c'
2

u . u'

2

2

2

2

2

(0    900 )

7) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vtcp u  ( a; b; c ) và mặt phẳng ( ) có vtpt n   A; B; C  .

Gọi  là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng ( ) ta có:
 

u. n
sin  







u.n

Aa  Bb  Cc
A 2  B2  C 2 . a 2  b 2  c 2



8) Khoảng cách từ điểm M1  x1 ; y1 ; z1  đến đường thẳng  có vtcp u :

 Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M1 và vuông góc với  .
- Tìm tọa độ giao điểm H của  và mặt phẳng ( ) .
- d  M1 ;    M1H .
 Cách 2: Sử dụng công thức: d  M1 ,   

 M M , u
 1 0 
u

(với M0   )

(cách này thường dùng casio cho nhanh)
9) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau


Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  , có vtcp u và đường thẳng  ' đi qua


M '0  x '0 ; y '0 ; z '0  , có vtcp u '

 Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa  và song song với  ' .
- Tính khoảng cách từ M '0 đến mặt phẳng ( ) .
- d(,  ')  d( M '0 ,( )) .
 Cách 2:

u , u '  . M M '

 0 0
Sử dụng công thức: d(  ,  ') 
. (cách này thường dùng casio cho
u , u ' 



nhanh)
10) Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng ( ) song song với nó bằng khoảng cách
từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ( ) .
11) Các kết quả hay dùng
 Hai đường thẳng song song có cùng vtcp.
 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vtpt của mặt phẳng là vtcp của đường thẳng.

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

- 13 -

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


II. CÁC DẠNG TOÁN LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng  d  đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  và có vtcp a   a1 ; a2 ; a3  :
 x  xo  a1t


(d ) :  y  yo  a2t
z  z  a t
o
3


( t  R)

(d ) :

hoặc

x  x0
a1



y  y0
a2



z  z0
a3

Dạng 2. Đường thẳng d đi qua A và B :
 Đường thẳng d đi qua A (hoặc B ) có vtcp ad  AB
 Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .
Dạng 3. Đường thẳng d qua A và song song 
 Đường thẳng d đi qua A và có vtcp ud  u

 Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .
Dạng 4. Đường thẳng d qua A và vuông góc mp ( )
 Đường thẳng d đi qua A và có vtcp ud  n
 Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .
Dạng 5. Đường thẳng  d  qua A và vuông góc 2 đường thẳng d1 và d2 :
 Đường thẳng d đi qua A và có vtcp u  ud , ud 
 Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .
Dạng 6. Đường thẳng  d  là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ,  Q  :
1

2

 Cách 1: Tìm một điểm và một vtcp.
– Tìm toạ độ một điểm A  d : Bằng cách giải hệ phương trình (P )

(Q)

(với việc chọn giá trị cho một ẩn ta sẽ giải hệ tìm giá trị hai ẩn còn lại)
– Tìm một vtcp của d : ud  nP , nQ 
 Cách 2: Tìm hai điểm A , B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 7. Đường thẳng  d  đi qua điểm M0  x0 ; y0 ; z0  và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 :
 Vì d  d1 , d  d2 nên một vtcp của d là: ud  ud , ud 
 Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d .
Dạng 8. Đường thẳng  d  đi qua điểm M0  x0 ; y0 ; z0  , vuông góc và cắt đường thẳng  .
1

2

 Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng 

H  

Ta có 
 M0 H  u

H

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0 , H (trở về dạng 2).

 Cách 2: Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc với  ;  Q  là mặt phẳng đi qua M0 và
chứa

 . Khi đó d   P    Q  (trở về dạng 6).

 Cách 3: Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc với 
- Tìm điểm B   P   

- Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm M0 , B (quay về dạng 2).
ANPHA EDUCATION 0973.514.674

- 14 -

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


Dạng 9. Đường thẳng ( d) nằm trong mặt phẳng ( P ) , vuông góc và cắt đường thẳng 
 Tìm giao điểm M của  và ( P )  M  d
u  u

 ud  u , nP 

 Vì  d


ud  nP
Dạng 10. Đường thẳng  d  qua A và cắt d1 , d2 :

 d  ( )  (  ) với mp ( ) chứa A và d1 ; mp (  ) chứa A và d2 (trở về dạng 6)
Dạng 11. Đường thẳng ( d) nằm trong mặt phẳng ( P ) và cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 :

 Tìm các giao điểm A  d1   P  , B  d2   P  . Khi đó d chính là đường thẳng AB (về dạng 2).
Dạng 12. Đường thẳng  d  / /  và cắt d1 , d2 :

 Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa d và d1 , mặt phẳng  Q  chứa d và d2
Khi đó d   P    Q  (trở về dạng 6).

Dạng 13. Đường thẳng ( d) qua A và  d1 , cắt d2 :
 Cách 1:
- Viết phương trình mp ( ) qua A và vuông góc với d1
- Tìm B  d2  ( )

- Khi đó  d  chính là đường thẳng AB (về dạng 2).

 Cách 2:
- Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A và vuông góc với d1
- Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa A và d2
- Khi đó d   P    Q  . (trở về dạng 6)

 Cách 3:
- Viết phương trình tham số t của đường thẳng d2 (nếu chưa có).
- Tìm điểm B  d  d2 ( B có tọa độ theo tham số t ) thỏa mãn AB.ud  0

1

Giải phương trình tìm được t  B
- Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm A , B .
Dạng 14. Đường thẳng  d    P  cắt d1 , d2 :
 Tìm mp ( ) chứa d1 ,   P  ; mp(  ) chứa d2 ,   P 

 d  ( )  (  ) (trở về dạng 6).
Dạng 15. Đường thẳng d ’ là hình chiếu của d lên ( ) :
 Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng    chứa d và vuông góc với ( ) .
- Đường thẳng d ' là giao tuyến của ( ) và (  ) (trở về dạng 6).
 Cách 2:
- Xác định A là giao điểm của d và ( ) .
- Lấy điểm M  A trên d . Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vuông góc với ( ) .
- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của  với ( ) .
- Đường thẳng d ' chính là đường thẳng AH (trở về dạng 2).
Đặc biệt: Nếu d song song ( ) thì d ' là đường thẳng đi qua H và song song với d .

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

- 15 -

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


Dạng 16. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau  d1  và  d2  :

 Cách 1:
- Chuyển phương trình đường thẳng  d1  ,  d2  về dạng tham số và xác định u1 , u2 lần lượt là vtcp

của  d1  ,  d2  .

- Lấy A , B lần lượt thuộc  d1  ,  d2  (tọa độ A , B phụ thuộc vào tham số).
 AB  u  0
1

 AB.u  0
1
 
 AB  u2  0
 AB.u2  0
Giải hệ phương trình  *  tìm ra giá trị của tham số. Từ đó tìm được A , B .

- Giả sử AB là đường vuông góc chung. Khi đó: 

* 

- Viết phương trình đường vuông góc chung AB .
 Cách 2:
- Vì d  d1 và d  d2 nên một vtcp của d là: ad   ad , ad 
1

2

- Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d1 , bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1 .

+ Một vtpt của  P  là: nP   a , ad 
- Tương tự lập phương trình mặt phẳng  Q  chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d2 .
1

Khi đó d   P    Q  (trở về dạng 6).

 Cách 3:
- Vì d  d1 và d  d2 nên một vtcp của d là: ad   ad , ad 
- Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d1 , bằng cách:
1

2

+ Lấy một điểm A trên d1 .

+ Một vtpt của  P  là: nP   a , ad 
- Tìm M  d2  ( P) . Khi đó viết phương trình d qua M có vtcp ad .
III. CÁC DẠNG TOÁN KHÁC
Dạng 1. Tìm H là hình chiếu của M trên đường thẳng  d 
1

 Cách 1:
- Viết phương trình mp ( ) qua M và vuông góc với  d  : ta có n  ad
- Khi đó: H  d  ( )  tọa độ H là nghiệm của hpt:  d  và ( ) .

 Cách 2:
H  d

- Đưa  d  về dạng tham số. Điểm H được xác định bởi: 
 MH  ad
Dạng 2. Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d :
 Cách 1:
- Tìm hình chiếu H của M trên  d 

- Xác định điểm M ' sao cho H là trung điểm của đoạn MM ' (công thức trung điếm).
 Cách 2:
- Gọi H là trung điểm của đoạn MM ' . Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M , M ' (công thức
trung điếm).

- Khi đó toạ độ của điểm M / được xác định bởi:  MM '  ad .
H  d

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

- 16 -

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


Dạng 3.

Đường thẳng (d ') đối xứng đường thẳng ( d) qua mặt phẳng  P 

 TH1: ( d)   P   A
- Xác định A là giao điểm của d và ( P )
- Lấy điểm M  d ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua ( P ) .
- Đường thẳng d ' chính là đường thẳng AM ' .
 TH2: ( d) / /  P 
- Lấy điểm M  d ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua ( P ) .
- Đường thẳng d ' chính là đường thẳng qua M ' và song song d .

MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN

Cho P  và hai điểm A, B.

Tìm M  P  để MA  MB 

+ Nếu A và B trái phía so với P 

min

 

 M , A, B thẳng hàng  M  AB  P

?

+ Nếu A và B cùng phía so với P 
Tìm B ' là đối xứng của B qua P 

 

 M , A, B ' thẳng hàng  M  AB ' P

Cho P  và hai điểm A, B.

+ Nếu A và B cùng phía so với P 

Tìm M  P  để MA  MB ?
max

 

 M , A, B thẳng hàng  M  AB  P

+ Nếu A và B trái phía so với P 

Tìm B ' là đối xứng của B qua P 
 MA  MB '  AB '

Cho điểm M x M ; yM ; z M  không thuộc các trục
và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình P 

P  : 3xx

M

qua M và cắt 3 tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại
A, B,C sao cho VO .ABC nhỏ nhất?

Viết phương trình mặt phẳng P  chứa đường



y
z

1
3yM 3z M

Qua  A  d

P :




n P    u d , AM  , u d 

 

thẳng d , sao cho khoảng cách từ điểm M  d
đến P  là lớn nhất?
Viết phương trình mặt phẳng P  qua A và

Qua  A
P :
n P   AM
Qua  A  d

P :



n P    u d , u   , u d 

 

cách M một khảng lớn nhất ?
Viết phương trình mặt phẳng P  chứa đường

 

thẳng d , sao cho P  tạo với  (  không song

song với d ) một góc lớn nhất là lớn nhất ?
Cho  / / P  . Viết phương trình đường thẳng

Lấy A   gọi A là hình chiếu

d song song với  và cách  một khoảng nhỏ

vuông góc của A trên P  : d : 

nhất ?

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

- 17 -

Qua  A
u  u
 d

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ


Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A cho trước và nằm trong mặt phẳng  P  cho
trước
sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước
đến d là lớn nhất ( AM không vuông góc với
P  ) ?
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A cho trước và nằm trong mặt phẳng  P  cho

trước
sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước
đến d là nhỏ nhất
( AM không vuông góc với P  ) ?
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A  P  cho trước, sao cho d nằm trong  P  và
tạo với đường thẳng  một góc nhỏ nhất
(  cắt nhưng không vuông góc với P  )?

ANPHA EDUCATION 0973.514.674

- 18 -

Qua  A  d

d:


u d  n P  , AM 

Qua  A  d

d:



u d   n P  , AM  , n P  

Qua  A  d


d:



u d   n P  , AM  , n P  

P.608 CT2B TÂN TÂY ĐÔ