TÌM tập GIÁ TRỊ hàm số BẰNG PHƯƠNG PHÁP lập BẢNG BIẾN THIÊN

BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH ĐẠT – VTED.VN 1

TÌM TẬP GIÁ TRỊ HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP
LẬP BẢNG BIẾN THIÊN
Bài viết này giới thiệu đến bạn đọc cách tìm tập giá trị của hàm số trên tập D bằng cách lập bảng biến
thiên của hàm số trên D.
Bài toán: Cho hàm số f ( x) xác định và có đạo hàm trên D. Tìm tập giá trị của hàm số f ( x) trên D.
Ý tưởng: lập bảng biến thiên của hàm số.
1. Tính đạo hàm f ( x).
2. Tìm những điểm xi  D mà tại đó f ( x)  0 hoặc đạo hàm không xác định.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số, điền các giá trị hàm số tại những điểm đạo hàm đổi dấu, các giới hạn vô
cực và các giới hạn khi x tiến ra vô cực (nếu có).
4. Kết luận tất cả những giá trị hàm số có thể nhận trên D.
1
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số f ( x)  .
x
Có tập xác định D   \ {0}.
1
Có f ( x )   2  0, x  D.
x
Tính lim f ( x)  lim f ( x)  0; lim f ( x)  ; lim f ( x)  .
x

x

Lập bảng biến thiên:

x 0

x

f ( x)

x 0





0
||







f ( x)

0
0


Hàm số f ( x) không đạt giá trị 0 do 0 chỉ là giới hạn của hàm số khi x  .
Vậy tập giá trị của hàm số là ;0  0;  hay viết cách khác là  \ {0}.

1
xác định trên khoảng 1;1.
x  xm
ycbt  x 2  x  m  0, x  1;1  m  x 2  x, x  1;1.

Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị m để hàm số y 

2

Đặt f ( x)  x 2  x thì ycbt tương đương m không thuộc tập giá trị của hàm số f ( x) trên khoảng 1;1.
1
Có f ( x)  0  2 x 1  0  x    1;1.
2
Lập bảng biến thiên:
1
1

1
x
2
y'

0


y

1
4
0

2

BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH ĐẠT

1


2

BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH ĐẠT

 m  2



1
1


Vậy tập giá trị hàm số f ( x) trên 1;1 là 2;  . Suy ra ycbt  m  2;   
1 .

m 

4 
4 

4
1
Do x  1;1 nên x không bằng 1 vì vậy giá trị hàm số không đạt 2. Ngược lại do   1;1 nên hàm số
2
1
1

đạt được giá trị khi x   .
4
2

1

Vậy m  0; 2   ;  thì thoả yêu cầu bài toán.
 4


Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b, a, b  . Gọi m  min f ( x), M  max f ( x) thì tập giá trị của hàm số
f ( x ) trên đoạn  a; b  là T   m; M .

 a ;b 

 a ;b 

Với hàm số f ( x) đơn điệu trên  a; b thì m  min  f (a ); f (b), M  max  f (a); f (b); khi đó tập giá trị của hàm
số f ( x) trên khoảng a; b là m; M .
Áp dụng vào các bài toán xét sự đơn điệu của hàm phân thức bậc nhất, bài toán tìm tập xác định của
hàm số có ẩn ở mẫu…
Xem thêm cách xét dấu của của một hàm số tại: />
2

BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH ĐẠT