Thi online công thức khai triển taylor và ứng dụng học toán online chất lượng cao 2019 vted

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1

THI ONLINE - CÔNG THỨC KHAI TRIỂN TAYLOR VÀ ỨNG
DỤNG
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted ( />Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................
Câu 1 [Q178302926] Khai triển đa thức P (x) = x + x − 1 theo luỹ thừa nguyên dương của x − 1.
Câu 2 [Q373311573] Khai triển đa thức P (x) = x + x − 3x + 1 theo luỹ thừa nguyên dương của x − 1.
Câu 3 [Q601266565] Khai triển Taylor đến cấp 2 tại điểm x =
với phần dư dạng peano của hàm số
3

5

3

2

1
2

f (x) = arcsin x.

Câu 4 [Q788378876] Khai triển Taylor đến cấp 5 tại điểm
f (x) = (x − 1)

3

với phần dư dạng peano của hàm số

x = 1

arccos(x − 1).

Câu 5 [Q131916589] Khai triển hàm số f (x) = √x + 7 theo luỹ thừa của x − 1 đến bậc 3 với phần dư dạng peano.
3

x

Câu 6 [Q656278596] Khai triển Mac – Laurin đến cấp 4 của hàm số f (x) = ∫

ln(1 + t)dt.

0

Câu 7 [Q224772568] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = x

2

sin 2x + 3.
1

Câu 8 [Q585161557] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =

.
2x + 3
1

Câu 9 [Q762675865] Khai triển Taylor theo các luỹ thừa của x − 1 đến bậc ba của hàm số f (x) =

.
√x

Câu 10 [Q867169504] Khai triển Taylor theo theo luỹ thừa của x − 1 đến bậc ba của hàm số f (x) = x
Câu 11 [Q936805484] Khai triển Taylor theo theo luỹ thừa của x − 2 đến bậc ba của hàm số f (x) =

x

− 1.
x
.

x − 1

Câu 12 [Q006306665] Khai triển Taylor theo theo luỹ thừa của

x − 1

đến bậc ba của hàm số

2

f (x) = ln(1 − x + x ).
x

2

−

Câu 13 [Q636046663] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = e 2 .

Câu 14 [Q136488467] Khai triển Mac – Laurin đến luỹ thừa bậc 3 của x của hàm số f (x) = e
Câu 15 [Q036666000] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = e
đến bậc 5 của x.
Câu 16 [Q509578639] Khai triển Mac – Laurin của hàm số y = x sin x đến luỹ thừa x .

sin x

.

tan x

2

11

1

Câu 17 [Q275537329] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =
x

2

.
− 1
e

Câu 18 [Q559953522] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =
x

2

−6x

đến bậc 2 của x.

+ 15x + 26

Câu 19 [Q902477339] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = x ln(1 + 2x) đến luỹ thừa bậc 3 của x.
Câu 20 [Q072449101] Cho hàm số f (x) xác định và có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn [0; 1] thoả mãn
f (0) = f (1) và ∣
, ∀x ∈ [0; 1].
∣f (x)∣
∣ ≤ A, ∀x ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng ∣
∣f (x)∣
∣ ≤
′′

′

A
2

Câu 21 [Q566605696] Cho f
minh rằng: f (0) − 2f (

: [0, 1] → R

1

′′

(x) ≤ 1.

Chứng

1
) + f (1) ≤

2

là hàm khả vi đến cấp 2 sao cho với mọi x ∈ [0, 1] thì f

.
4

Câu 22 [Q318775669] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = xe
đến số hạng x .
Câu 23 [Q179796954] [VMC 2008] Cho hàm số g(x) có g (x) > 0 với mọi x ∈ R. Giả sử hàm số f (x) xác định và
−2x

3

′′

π

liên tục trên

R

thỏa mãn

′

f (0) > g(0), ∫ f (x)dx < g(0). π + g (0).
0

f (t) = g(t)

π

2

2

. Chứng minh rằng tồn tại

t ∈ [0, π]

sao cho

.

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1


BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2

Câu 24 [Q077874767] Khai triển Mac – Laurin của một số hàm số sơ cấp cơ bản sau đây:
y = e

x

⇒ y

(n)

y = sin x ⇒ y

Vậy sin x = x −

x

(x) = e

(n)

3

3!

⇒ y

(n)

(0) = 1 ⇒ e
nπ

(x) = sin(x +

x

+

x

(−1)

5

−. . . +

5!

) ⇒ y

2

x

(n)

= 1 +

x
1!

(0) = sin

+

nπ
2

x

2

x

+

2!

3

+. . . +

3!

x

n

n!

n

+ o(x ).

0, n = 2k

= {

.

k

(−1) , n = 2k + 1

n

(2n+1)!

x

2n+1

+ o(x

2n+1

).

k

y = cos x ⇒ y

Vậy cos x = 1 −

x

(n)

2
x

+

y = ln(1 + x) ⇒ y

x

(−1)

4

4!

2!

Vậy ln(1 + x) = x −

nπ

(x) = cos x (x +

−. . . +

(n)

2

2

x

(−1)

x

+

3

2n

n−1

+ o(x

−. . . +

2n

(0) = cos

nπ

(−1) , n = 2k

= {

2

.

0, n = 2k + 1

).

(n−1)!

(x+1)

3

(n)

n

(2n)!

(x) =

2

) ⇒ y

(−1)

⇒ y

n

n−1

x

(n)

(0) = (−1)

n−1

(n − 1)!.

n

n

+ o(x ).

n

n

y =

Vậy

1

1
x+1

⇒ y

(n)

(x+1)

= 1 − x + x

x+1

y = (1 + x)

Vậy y = (1 + x)

(−1) n!

(x) =

α

α

2

n+1

⇒ y

(n)

n

3

− x +. . . +(−1) x

⇒ y

(n)

n

n

(0) = (−1) n!.

n

+ o(x ).

(x) = α(α − 1). . . (α − (n − 1))(1 + x)
α(α − 1)

α
= 1 +

x +
1!

α−n

⇒ y

(n)

(0) = α(α − 1). . . (α − (n − 1)).

α(α − 1). . . (α − (n − 1))

2

x +. . . +

x

2!

n

n

+ o(x ).

n!
1

Câu 25 [Q668559227] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =
x

x

2

3

đến số hạng x

3

.

.

− 3x − 4

x − 2

Câu 28 [Q200404971] Khai triển Taylor đến luỹ thừa bậc 3 của

đến số hạng x

− 3x + 2
x + 2

Câu 26 [Q700907537] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =
Câu 27 [Q231766537] Khai triển Taylor đến luỹ thừa bậc 3 của

dạng Peano.

2

của hàm số

x − 2

f (x) = x√5x + 6

của hàm số

1
f (x) =

với phần dư
với phần dư

3

√x + 6

dạng Peano.
Câu 29 [Q756521105] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = e
đến luỹ thừa bậc 4 của x.
Câu 30 [Q091709747] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = ln(1 + 2x − 3x ) đến luỹ thừa bậc 6 của x.
2

2x −3x

2

Câu 31 [Q440366076] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =

2x + 3
x + 1

đến luỹ thừa bậc 10 của x.
1
−

Câu 32 [Q672076603] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = (2x + 3)(x + 1) 2 đến luỹ thừa bậc 3 của x.
Câu 33 [Q223000276] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = ln(cos x) đến luỹ thừa bậc 4 của x.
x

Câu 34 [Q207243466] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =

2

+ x − 4
2

đến luỹ thừa bậc 3 của x.

(x − 1) (x + 1)

Câu 35 [Q706017565] Cho f : [0, 1] → R khả vi đến cấp 2 trên
min
f (x) = b. Chứng minh rằng max f (x) ≥ 8(a − b).

[0, 1]

thỏa mãn

f (0) = f (1) = a

và

′′

x∈[0,1]

x∈[0,1]

Câu 36 [Q937626389] Cho f : R → R là hàm khả vi đến cấp 2 và có đạo hàm cấp 2 dương. Chứng minh rằng
f (x + f (x)) ≥ f (x) với mọi số thực x.
′

Câu 37 [Q968215696] Khai triển Mac – laurin của hàm số f (x) = x

3

e
e

Câu 38 [Q760866493] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) =
x

2

−2x

+ 1

x

đến luỹ thừa bậc 8 của x.

đến luỹ thừa bậc 4 của x.

+ 2x − 3

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2


BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3

Câu 39 [Q836060800] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = arctan x.
Câu 40 [Q566662600] Khai triển Mac – Laurin của hàm số y = arcsin x đến luỹ thừa bậc 9 của x.
Câu 41 [Q083804319] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = tan x đến luỹ thừa bậc 5 của x.
Câu 42 [Q196830515] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = x cos 3x − 1 đến luỹ thừa bậc 11 của x.
3

1

Câu 43 [Q555807738] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = (2x + 1)(3x + 1) đến luỹ thừa bậc 5 của x.
Câu 44 [Q037061561] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = ln(x + √8x + 1) đến luỹ thừa bậc 3 của x.
Câu 45 [Q662668668] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = (3x + 1) ln √4x + 1 đến luỹ thừa bậc 5 của x.
−

3

0

Câu 46 [Q033830170] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =

4

2

√1 + t dt

∫

đến luỹ thừa bậc 3 của x.

−3x

Câu 47 [Q606370651] Khai triển Taylor của hàm số f (x) = ln(7x − 5x − 1) đến luỹ thừa bậc 2 của x − 1 với
phần dư dạng Peano.
Câu 48 [Q675661275] Khai triển Taylor của hàm số f (x) =arccot (3 − 2x ) đến luỹ thừa bậc 2 của x + 1 với phần
dư dạng Peano.
Câu 49 [Q071307416] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = e
đến luỹ thừa bậc 4 của x.
Câu 50 [Q293073387] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = cos(sin 6x) đến luỹ thừa bậc 4 của x.
2

2

√4x+1−1

2 + x

Câu 51 [Q364130306] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =

đến luỹ thừa bậc 4 của x.

√1 + x

Câu 52 [Q673067633] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = √1 + 2x đến luỹ thừa bậc 16 của x.
4

Câu 53 [Q655331104] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = cos(√2x
Câu 54 [Q367781684] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = x

5

2

)

3

ln(1 − 2x )
2 + x

Câu 55 [Q617669306] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =

(1 + x)

đến luỹ thừa bậc 14 của x.

đến luỹ thừa bậc 4 của x.

40

3 + x

Câu 56 [Q636834474] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =

đến luỹ thừa bậc 8 của x.

đến luỹ thừa bậc 4 của x.

3

√1 + x

Câu 57 [Q343371796] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = (x + 1)e từ đó tính đạo hàm f
(0).
Câu 58 [Q836716348] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = (x + 1) cos x, từ đó tính đạo hàm f
(0).
Câu 59 [Q419808346] Cho đa thức bậc bốn P (x) với hệ số của luỹ thừa bậc cao nhất bằng 1 và thoả mãn
P (3) = 2, P (3) = 0, P (3) = 2, P
(3) = 6. Tìm P (x).
Câu 60 [Q636273697] Khai triển Taylor hàm số f (x) = √x + 1 với phần dư dạng Lagrange đến cấp 3 tại điểm
x = 31, từ đó tính √33 và đánh giá sai số.
Câu 61 [Q628189676] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = (x + x) e , từ đó tính f (0).
Câu 62 [Q399218840] Khai triển Taylor của hàm số f (x) = ln x đến cấp 4 tại điểm x = 1 với phần dư dạng Peano.
3

x

3

2019

2020

2

′

′′

′′′

5

5

2

(20)

2x

2

3 + x

Câu 63 [Q628267466] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) =

đến luỹ thừa bậc 4 của x.

5

√1 + x
x
−

Câu 64 [Q844168585] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = e
Câu 65 [Q979076998] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = (x

2

từ đó tính f
(0).
+ 1) sin(x ), từ đó tính đạo hàm f
(2020)

2
2

2

2020

(0).

Câu 66 [Q385340376] Khai triển Taylor hàm số f (x) = √x + 1 với phần dư dạng Lagrange đến cấp 3 tại điểm
x = 15, từ đó tính √17 và đánh giá sai số.
Câu 67 [Q739306659] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = x e từ đó tính đạo hàm f
(0).
2

2020

x

Câu 68 [Q996357654] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = ln(x + √x

2

+ 1)

đến cấp 5.

2x

Câu 69 [Q045600740] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = ∫

(e

√t+1−1

) dt

đến cấp 5.

0

Câu 70 [Q166123866] Khai triển Mac – Laurin của hàm số f (x) = (x

3

− x) e

−x

2

từ đó tính f

(2019)

(0).

HƯỚNG DẪN
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3