Thi online hàm số liên tục học toán online chất lượng cao 2019 vted

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1

THI ONLINE - HÀM SỐ LIÊN TỤC
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted ( />Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................
Câu 1 [Q151383163] Hàm số sau đây có liên tục tại điểm x = 0 hay không? Tại sao?
4x

⎧
⎪
⎪
⎪
f (x) = ⎨

2

− x
,x ≠ 0

sin 6x − sin 3x

.

1

⎪
⎪
⎩
⎪

−

,x = 0
3

⎧ 1 − cos 2x

Câu 2 [Q899393884] Tìm m để hàm số f (x) = ⎨

x

⎩

,x ≠ 0

2

liên tục tại điểm x = 0.

m, x = 0
⎧ e

x

− x − 1
,x ≠ 0

Câu 3 [Q588756766] Tìm m để hàm số f (x) = ⎨

x

⎩

liên tục tại điểm x = 0.

2

m, x = 0
⎧

Câu 4 [Q553009000] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = ⎨

1

2

x . sin

;x ≠ 0

tại điểm x = 0.

x

⎩

0; x = 0

Câu 5 [Q700606502] Chứng minh rằng nếu hàm số f (x) liên tục tại điểm x ; hàm số g(x) gián đoạn tại điểm x thì
hàm số f (x) + g(x) gián đoạn tại điểm x .

0

0

0

sin x

⎧
⎪

;x ≠ 0

Câu 6 [Q856067069] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = ⎨
⎩
⎪

|x|
1; x = 0

⎧ (1 − cos ax)(e
⎪

Câu 7 [Q677340863] Tìm a ∈ R để hàm số f (x) = ⎨
⎩
⎪

tại điểm x = 0.

x

5

3x

+ x

− e

5x

)
;x ≠ 0

3

liên tục tại điểm x = 0.

2019a − 1; x = 0

Câu 8 [Q100109159] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = {

arctan(x − 2). sin

1
x−2

;x ≠ 2

tại điểm x = 2.

0; x = 2
⎧ ln(1 + x) − ln(1 − x)

Câu 9 [Q870605801] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = ⎨

; x ∈ (−1; 1)∖{0}

x

⎩

trên khoảng

a; x = 0
(−1; 1).
⎧

Câu 10 [Q501611164] Hàm số f (x) = ⎨

1
sin

;x ≠ 0

có liên tục tại điểm x = 0 hay không? Tại sao?

x

⎩

0; x = 0
ax + b; x > 1
⎧
⎪

Câu 11 [Q395706969] Tìm a, b ∈ R để hàm số f (x) = ⎨ 2; x = 1
⎩
⎪
ax
⎧

Câu 12 [Q393004070] Cho hàm số f (x) = ⎨
⎩

2

2

liên tục trên R.

− bx + 3; x < 1

1

x . cos

;x ≠ 0
.

x

Chứng minh rằng:

0; x = 0

a) Hàm số liên tục tại điểm x = 0.
b) Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0.
c) Đạo hàm của hàm số không liên tục tại điểm x = 0.
Câu 13 [Q775415610] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = {

2

x ;x ≤ 1

tại điểm x = 1.

ax + 2; x > 1

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1


BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2
x
⎧
⎪

2

;x ≠ 1

Câu 14 [Q053433103] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = ⎨
⎩
⎪

− 4x + 3
|x − 1|

tại điểm x = 1.

a; x = 1

⎧ 1 − cos 4x

Câu 15 [Q013922609] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = ⎨

;x ≠ 0

tại điểm x = 0.

x sin x

⎩

8; x = 0

Câu 16 [Q555401565] Hãy chỉ ra 1 ví dụ mà các hàm số
f (x) + g(x) liên tục tại điểm x .
Câu 17 [Q626161027] Hãy chỉ ra 1 ví dụ mà các hàm số
f (x) + g(x) cũng gián đoạn tại điểm x .

f (x); g(x)

đều gián đoạn tại điểm

x0

mà hàm số

f (x); g(x)

đều gián đoạn tại điểm

x0

mà hàm số

0

0

⎧ 2

Câu 18 [Q907206171] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = ⎨

x

− 4
;x ≠ 2

trên R.

x − 2

⎩
a; x = 2
⎧

Câu 19 [Q291339036] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = ⎨
⎩

πx
cos

; |x| ≤ 1
2

.

|x − 1| ; |x| > 1

⎧ arctan x

Câu 20 [Q896706989] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = ⎨

;x ≠ 0

x

⎩

tại điểm x = 0.

0; x = 0
3

⎧
⎪

x

− 9
;x ≠ 2

Câu 21 [Q405504148] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = ⎨

tại điểm x = 2.

sin(x − 2)

⎩
⎪
1; x = 2
2

ln(2 − cos 3x)
⎧
⎪

Câu 22 [Q090602209] Xét tính liên tục của hàm số f (x) = ⎨

2

;x ≠ 0

tan x

⎩
⎪

tại điểm x = 0.

0; x = 0
ln(ax

⎧
⎪

2

+ x + 1) − x
;x ≠ 0

Câu 23 [Q060208002] Tìm số thực a để hàm số f (x) = ⎨

x

⎩
⎪

2x

− 1 + ax + bx
x

Câu 26 [Q036450460] Tìm

a, b ∈ R

để hàm số

2

liên tục tại điểm x = 0.

0; x = 0
ln(1 + 3x) + ax + bx

2

;x ≠ 0

Câu 25 [Q205760667] Tìm a, b ∈ R để hàm số f (x) = ⎨
⎩
⎪

2

;x ≠ 0

Câu 24 [Q904433338] Tìm a, b ∈ R để hàm số f (x) = ⎨
⎧
⎪

liên tục tại điểm x = 0.

1; x = 0

e
⎧
⎪
⎩
⎪

2

x

2

liên tục tại điểm x = 0.

0; x = 0
arcsin x + ax + bx
⎧
⎪

f (x) = ⎨
⎩
⎪

x

2

; x ∈ [−1; 1]∖{0}

2

liên tục trên

0; x = 0

[−1; 1].

Câu 27 [Q041513700] Tìm

a, b ∈ R

để hàm số

e
⎧
⎪
f (x) = ⎨
⎩
⎪

x

+ sin x − 1 + ax + bx

2

;x ≠ 0
x

2

liên tục tại điểm

0; x = 0

x = 0.
⎧

Câu 28 [Q260431663] Cho hàm số f (x) = ⎨

1

a

x . sin

;x ≠ 0
x

⎩

, (a ∈ R).

Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x = 0.

0; x = 0

Câu 29 [Q538790581] Cho hàm số

⎧
f (x) = ⎨
⎩

(e

3x

1
− 1) sin

;x ≠ 0
3x

.

Chứng minh rằng hàm số liên tục nhưng

0; x = 0

không có đạo hàm tại điểm x = 0.

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3
⎧

Câu 30 [Q467578771] Cho hàm số

f (x) = ⎨
⎩

1

2

ln(1 + x ) cos

;x ≠ 0
x

.

Tính f

′

(x)

và xét tính liên tục của hàm số

0; x = 0

′

f (x)

tại điểm x = 0.
HƯỚNG DẪN

Câu 1 Có

4x
limx→0 f (x) = limx→0

2

− x

8x − 1
= limx→0

sin 6x − sin 3x

−1
=

= −

6 cos 6x − 3 cos 3x

6 − 3

1

= f (0).

3

Do đó

hàm số liên tục tại điểm x = 0.
Câu 2 Có lim

2

2sin x

1 − cos 2x
f (x) = limx→0

x→0

x

= limx→0

2

x

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0 ⇔ f (0) = lim
Câu 3 Có ycbt ⇔ f (0) = lim

Câu

4
1

2

0 ≤ ∣
∣x . sin

x

x

Có
∣ = x
∣

2

∣sin
∣

x

∣ ≤ x
∣

2

= 2.

x

x

e −x−1
x

và

f (0) = 0
1

2

)

f (x) ⇔ m = 2.

x→0

f (x) ⇔ m = limx→0

x→0

2

sin x
= limx→0 2(

= limx→0

2

e −1
2x

=

1
2

.
2

limx→0 f (x) = limx→0 x . sin
2

→ 0 (x → 0) ⇒ limx→0 x . sin

1

1
x

vì

= 0

= 0.

x

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0.
Câu 5 Giả sử ngược lại f (x) + g(x) liên tục tại điểm x . Khi đó:lim
Mặt khác
0

(f (x) + g(x)) = f (x0 ) + g(x0 ).

x→x0

lim g(x) = lim ((f (x) + g(x)) − f (x)) = lim (f (x) + g(x)) − lim f (x)

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

= lim (f (x) + g(x)) = f (x0 ) + g(x0 ) − f (x0 ) = g(x0 ).
x→x0

Suy ra hàm số g(x) liên tục tại điểm x , điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy ta có điều phải chứng minh.
0

Câu

6

f (0) = 1; lim

x→0

f (x) = lim

+

sin x
x→0

+

x

Có
= 1; lim

x→0

−

f (x) = lim

sin x
x→0

−

−x

= −1 ⇒ lim

x→0

+

f (x) ≠ lim

x→0

−

f (x) ⇒ f (x)

gián đoạn tại điểm x = 0.
Câu 7 Có f (0) = 2019a − 1 và
2

(1−cos ax)(e

lim f (x) = lim
x→0

=

a

2

lim (
x→0

x +x

x→0

sin(

2

5

ax
2

3x

−e

5x

2sin (

)

= lim

3

2

)(e

5

x +x

x→0

3x

−e

5x

)

3

2
)

ax

) .

2

e

3x

−e

5x

=

3

x +x

a

2

2

lim
x→0

e

3x

−e

5x

=

3

x +x

Hàm số liên tục tại điểm x = 0 ⇔ f (0) = lim
Câu 8 Có

ax

a

2

2

lim

3e

x→0

3x

−5e

5x

2

x→0

f (x) ⇔ −a

2

= 2019a − 1 ⇔ a =

f (2) = 0; limx→2 f (x) = limx→2 arctan(x − 2). sin

tại điểm x = 2.
Vì 0 ≤ ∣∣arctan(x − 2). sin

1
x−2

2

= −a .

2

3x +1

1
x−2

2019±√2019 +4
2

= 0 ⇒ f (2) = limx→2 f (x) ⇒ f (x)

∣ ≤ |arctan(x − 2)| → 0 (x → 2) ⇒ lim
arctan(x − 2). sin
∣
x→2

Câu 9 Có x ∈ (−1; 1)∖{0} ⇒ f (x) =

ln(1+x)−ln(1−x)
x

.

1
x−2

liên tục

= 0.

liên tục trên (−1; 1)∖{0}.

Xét tại điểm x = 0 có:
ln(1+x)−ln(1−x)

f (0) = a; limx→0 f (x) = limx→0

x

ln(1+x)

= limx→0

x

ln(1−x)

+ limx→0

−x

= 1 + 1 = 2.

+) Nếu f (0) = lim

x→0

f (x) ⇔ a = 2 ⇒ f (x)

liên tục tại điểm x = 0 ⇒ f (x) liên tục trên khoảng (−1; 1).

+) Nếu f (0) ≠ lim

x→0

f (x) ⇔ a ≠ 2 ⇒ f (x)

gián đoạn tại điểm x = 0 ⇒ f (x) liên tục chỉ trên miền (−1; 1)∖{0}.

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3


BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4

Câu 11 Hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng (1; +∞); (−∞; 1).
Có f (1) = 2; lim
f (x) = lim
(ax + b) = a + b; lim
f (x) = lim
x→1

+

x→1

Vậy

+

x→1

hàm

R ⇔ f (1) = lim

x→1

số

f (x) = lim

+

−

x→1

(ax

−

+

x→1

x

+

2

− bx + 3) = a − b + 3.

liên

tục

f (x) ⇔ a + b = a − b + 3 = 2 ⇔ (a; b) = (

−

Câu 13 Có f (1) = 1; lim
f (x) = lim
Hàm số liên tục tại điểm x = 1 ⇔ f (1) = lim
x→1

x→1

2

x→1

= 1; lim

x→1

f (x) = lim

+

−

f (x) = lim

x→1

x→1

1
2

;

3
2

trên

).

(ax + 2) = a + 2.

−

f (x) ⇔ a + 2 = 1 ⇔ a = −1.

−

Nếu a ≠ −1 hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.
2

⎧
lim f (x) =
⎪
⎪

+

Câu 14 Có ⎨

x −4x+3

lim

x→1

x→1

=

(x−1)

+

lim (x − 3) = −2
x→1

+

⇒

2

⎪
⎩ lim f (x) =
⎪

x→1

x −4x+3

lim

−

x→1

=

−(x−1)

−

x→1

lim f (x) ≠
x→1

lim −(x − 3) = 2

+

lim f (x)
x→1

−

nên hàm số gián đoạn tại

−

điểm x = 1.
Câu 15 Có lim

x→0

2

1−cos 4x

f (x) = limx→0

2sin 2x

= limx→0

x sin x

x sin x

= 8 limx→0 (

sin 2x
2x

2

) .

x
sin x

= 8 = f (0).

Vì vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0.
x

Câu 18 Có x ≠ 2 ⇒ f (x) =
Xét lim

2 −4
x−2

liên tục trên R∖{2}.

x

x→2

2 −4

f (x) = limx→2

2

= limx→2

x−2

x

ln 2

= 4 ln 2.

1

+) Nếu a = 4 ln 2 ⇒ f (x) liên tục tại điểm x = 2.
+) Nếu a ≠ 4 ln 2 ⇒ f (x) gián đoạn tại điểm x = 2.
2

2

ln(2−cos 3x)

lim f (x) = lim

Câu 22 Có

x→0

tan x

x→0

ln(1+sin 3x)
2

sin 3x

.(

3x

sin 3x

x→0

tan x

2

2

ln(1+sin 3x)

= lim

2

x→0

2

= 9 lim

2

ln(1+sin 3x)

= lim

2

x→0

.

2

sin 3x
2

tan x

sin 3x

2

) .(

x

2

sin x

) . cos x = 9.1.1.1.1 = 9 ≠ f (0) = 0.

Vì vậy hàm số gián đoạn tại điểm x = 0.
Câu 23 Ta cần tìm điều kiện để lim

2

ln(ax +x+1)−x

f (x) = f (0) = 1 ⇔ limx→0

x→0

2ax+1

Có lim
Vậy

2

ln(ax +x+1)−x
x→0

2a−1
2

x

ax

= limx→0

2

= 1 ⇔ a =

3
2

Khi đó: 0 = lim

x.

e
x→0

e

2x

x→0

2

−1−2x+bx
x

2

e

2x

−1+ax+bx

x→0

x

x; 0 = limx→0

−1+ax+bx
x

2x

(2a−1)x−ax

= limx→0

2

= 1.

2

2

2x(ax +x+1)

= limx→0

2a−1−ax
2

2(ax +x+1)

=

2a−1
2

.

.

Theo giả thiết có: 0 = lim
x→0

−1

+x+1

2x

Câu 24 Ta cần tìm điều kiện để: lim

Suy ra 0 = lim

2

x

e

2x

= limx→0 (

= limx→0 (

= 0.

−1+ax+bx
x

2

2

2

2

e

e

2x

2x

2

−1

x

2

.

+ a + bx) = a + 2 limx→0

−1−2x
x

2

+ b) = b + limx→0

e

2x

e

2x

−1−2x

x

2

−1

2x

= a + 2 ⇒ a = −2.

= b + 2 ⇒ b = −2.

Vậy a = −2; b = −2.

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4


BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5

Câu 25 Ta cần tìm điều kiện để: lim
Có lim

x = 0; limx→0

x→0

Khi đó: lim

x

x

x

Vậy a = −3; b =
Câu 29 Có

9
2

2

= 0.

ln(1+3x)

= limx→0 (

2

2

Suy ra:

= 0.

2

2

2

ln(1+3x)−3x+bx
x→0

x

ln(1+3x)+ax+bx

ln(1+3x)+ax+bx

0 = limx→0 x.

ln(1+3x)+ax+bx
x→0

+ a + bx) = a + limx→0

x

2

ln(1+3x)−3x

= 0 ⇔ b + limx→0

2

x

= 0 ⇔ b −

2

9
2

ln(1+3x)
x

= a + 3 ⇔ a = −3.

= 0 ⇔ b =

9
2

.

.

3x
0 ≤ ∣
− 1). sin
∣(e

1
3x

3x

∣ ≤ ∣e3x − 1∣ → 0 ⇒ lim
− 1). sin
∣
∣
∣
x→0 f (x) = limx→0 (e

1
3x

= 0 = f (0).

Vì

vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0.
(e

f (x)−f (0)

limx→0

3x

x−0

1

−1).sin

= limx→0

n

1

=

3(n2π+

π
2

3x

= 3 limx→0

x

Giới hạn trên không tồn tại vì xét
y

(e

3x

1

xn =

3n2π

1

→ 0 (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin

3y

)

−1)

. sin

3x

1
3x

= 3 limx→0 sin

→ 0 (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin
= limn→∞ sin(n2π +

n

π
2

1
3x

1
3xn

.

= limn→∞ sin(n2π) = 0

và

) = 1.

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Câu 30 Với x ≠ 0 ⇒ f
Và lim

′

(x) =

+) Chọn dãy y

n

n

′

=

1

Do đó lim

′

x→0

f (x)

x

′

(x)

2

sin

1

2

x

ln(1 + x ).
2

−0

ln(1+x )

= limx→0

x

2

. x cos

1
x

′

= 1.0 = 0 ⇒ f (0) = 0.

tại điểm x = 0.
2x
1+x

2

cos

1
x

+

1
x

2

sin

1

2

x

ln(1 + x )) .

→ 0 (n → +∞) ⇒ limn→+∞ f (xn ) = 0.

1
2

1

1
x

′

2nπ

π

+

x−0

f (x) = limx→0 (

x→0

=

1
x

2

Để xét tính liên tục của hàm số f

+) Chọn dãy x

cos

= limx→0

x−0

Xét giới hạn: lim

2

ln(1+x ) cos

f (x)−f (0)
x→0

2x
1+x

+2nπ

′

→ 0 (n → +∞) ⇒ limn→+∞ f (y ) = 1.
n

không tồn tại, vì vậy hàm số f

′

(x)

không liên tục tại điểm x = 0.

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5