CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN
Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 dạng bài Tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng 2: Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số
Trắc nghiệm về tiếp tuyến của hàm số
Chủ đề: Tương giao của đồ thị hàm số
100 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có giải chi tiết (mức độ nhận biết)
120 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có giải chi tiết (mức độ vận dụng)
5 dạng bài Sự tương giao của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số
Trắc nghiệm Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số
Dạng 2: Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị
Trắc nghiệm Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị
Dạng 3: Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện
Trắc nghiệm Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện
Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 dạng bài Tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết


Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
I. Phương pháp giải
Cho hàm số y = f(x), gọi đồ thị của hàm số là (C).
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại M(x 0;
y0)
♦ Phương pháp
• Bước 1. Tính y’= f’(x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y’(x0)
• Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(x0; y0) có dạng
y - y0 = f'(x0).(x - x0).

◊ Chú ý:
• Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 0 thì khi
đó ta tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y 0 = f(x0). Nếu đề cho y0 ta
thay vào hàm số để giải ra x0.
• Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C):
y = f(x) và đường thẳng d: y= ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm
của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C)
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) có hệ số
góc k cho trước.
♦ Phương pháp
• Bước 1. Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm và tính y' = f'(x).
• Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k' f'(x 0). Giải phương trình này tìm được x0; thay
vào hàm số được y0
• Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng
d: y – y0 = f'(x0).(x - x0)


◊ Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:
• Tiếp tuyến d // Δ: y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a.
• Tiếp tuyến d ⊥ Δ: y = ax + b, (a ≠ 0) hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a.
• Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k =
±tanα
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) biết tiếp
tuyến đi qua điểm A(xA; yA).
♦ Phương pháp
Cách 1.
• Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA) hệ số góc k có dạng
d: y = k(x - xA) + yA (*)
• Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

• Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được
tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2.
• Bước 1. Gọi M(x0; f(x0)) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x 0) =
f'(x0) theo x0.
• Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = y'(x 0).(x – x0) + y0 (**). Do điểm
A(xA; yA) d nên yA = y'(x0).(xA- x0) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0.
• Bước 3. Thế x0 vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.
II. Ví dụ minh họa


Ví dụ 1: Cho hàm số y = -2x3 + 6x2 - 5 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại điểm M thuộc (C) và có hoành độ bằng 3.
A. y = -18x + 49
C. y = 18x + 49

B. y = -18x – 49
D. y = 18x - 49

Hiển thị đáp án
Ta có: y' = -6x2 + 12x.
Với x0 = 3 thì y0 = -5 ⇒ M(3; -5) và hệ số góc k = y'(3) = -18.
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là: y = -18(x - 3) – 5 = -18x + 49.
Suy ra chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 - 3x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) biết hệ số góc của tiêp tuyến đó bằng 9 :

Hiển thị đáp án
Ta có đạo hàm y' = 3x2 - 3.
Vậy k = y'(x0) = 9

+ Với x0 = 2 thì y0 = 4 ta có tiếp điểm M(2; 4).
Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 9(x - 2) + 4 hay y = 9x - 14.
+ Với x0 = -2 thì y0 = 0 ta có tiếp điểm N(-2; 0).
Phương trình tiếp tuyến tại N là: y = 9(x + 2) + 0 hay y = 9x + 18.


Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 9x - 14 và y = 9x + 18.
Suy ra chọn đáp án A.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = -4x3 + 3x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(-1;2).

Hiển thị đáp án
Ta có y' = -12x2 + 3.
+ Tiếp tuyến của (C) đi qua A(-1;2) với hệ số góc k có phương trình là: (d) y = k(x
+ 1) + 2
+ Do d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Thay k từ (2) vào (1) ta được :
⇔ -4x3 + 3x + 1 = (-12x2 + 3).(x + 1) + 2
⇔ -4x3 + 3x + 1 = -12x3 - 12x2 + 3x + 3 + 2
⇔ 8x3 + 12x2 - 4 = 0

+ Với x = -1 thì k = -9. Phương trình tiếp tuyến là y = -9x - 7.
+ Với x = 1/2 ⇒ k = 0. Phương trình tiếp tuyến là y = 2.
Suy ra chọn đáp án A.


Ví dụ 4: Cho hàm số

có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
d: y = x + 10 = 0 ?

Hiển thị đáp án
+ Điều kiện: x ≠ -1

+ Đạo hàm:
+ Do tiếp tuyến Δ cần tìm vuông góc với đường thẳng d: y = x + 10 = 0. Nên ta
có: kΔ.kd = -1. Mà kd = 1 nên kΔ = -1
Suy ra:

+ Với x = 3 thì y = 3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm (3; 3) là:
y = -1(x - 3) + 3 hay y = -x + 6
+ Với x = -1 thì y = -1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1;-1) là:
y = -1(x + 1) - 1 hay y = -x - 2
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y = -x + 6 và y = -x - 2
Suy ra chọn đáp án B.


Dạng 2: Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
I. Phương pháp giải
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng K. Để giải được các bài
toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số ta cần chú ý:
+ Tính đạo hàm của hàm số.
+ Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm; đi qua một điểm; tiếp tuyến biết hệ số
góc...
+ Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc
có tích hai hệ số góc bằng – 1.

+ Giao điểm của hai đồ thị hàm số.
+ Hệ thức Vi-et.
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng...
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x4 – x2 + 6 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt
các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OB = 36OA có phương trình là:

Hiển thị đáp án
Do OB = 36OA suy ra: OB/OA = 36 ⇒ y'(x0) = ±36
• Với y'(x0) = -36 nên -4x03 - 2x0 = -36 ⇔ -4x03 - 2x0 + 36 = 0 ⇔ x = 2
Vậy y0 = y(2) = - 14.
Suy ra phương trình tiếp tuyến y= -36x + 58.


• Với y'(x0) = 36
Nên x0 = -2
Vậy y0 = y(-2) = -14
Suy ra phương trình tiếp tuyến y = 36x + 58.
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hàm số

có đồ thị là (C).

Gọi điểm M(x0; y0) với x0 = -1 là điểm thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm
M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB
có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d: 4x + y = 0. Hỏi giá trị của x 0 + 2y0 bằng
bao nhiêu?
A. -7/2

B. 7/2

C. 5/2

D. -5/2

Hiển thị đáp án
• Gọi
với x0 ≠ -1 là điểm cần tìm.
• Gọi Δ tiếp tuyến của (C) tại M ta có phương trình.

• Gọi A = Δ ∩ Ox

Và B = Δ ∩ Oy


• Khi đó Δ tạo với hai trục tọa độ tam giác OAB có trọng tâm là:

• Do G thuộc đường thẳng 4x + y = 0 nên

(vì A, B không trùng O nên x02 - 2x0 - 1 ≠ 0)

• Vì x0 > -1 nên chỉ chọn x0 = -1/2

Suy ra chọn đáp án A.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m (1), m là tham số thực. Kí hiệu (Cm) là đồ
thị hàm số đã cho; gọi d là tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm
m để khoảng cách từ điểm B(3/4; 1) đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất?
A. m = -1

B. m = 1

C. m = 2

D. m = -2

Hiển thị đáp án
+ Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 nên A(1; 1 - m).
Ngoài ra y' = 4x3 – 4mx
Suy ra: y'(1) = 4 - 4m


+ Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A là :
y - 1 + m = y'(1).(x - 1) hay (4 - 4m)x - y – 3(1 - m) = 0
+ Khi đó

Dấu ‘=’ xảy ra khi m = 1.
+ Do đó d(B; Δ) lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m = 1.
Suy ra chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Cho hàm số

có đồ thị là (C).

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng
cách đến đường thẳng d1: 3x + 4y – 2 = 0 bằng 2.
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 0.

Hiển thị đáp án
• Giả sử M(x0; y0) ∈ (C)
• Ta có:

• Với 3x0 + 4y0 - 12 = 0


• Với 3x0 + 4y0 + 8 = 0

Ứng với 4 điểm M tìm được ta viết được 4 tiếp tuyến thỏa mãn đầu bài.
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 5: Cho hàm số

có đồ thị là (C).

Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) có hoành độ lớn
hơn 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI?
A. M(4; 7/3)
C. M(2; 3)

B. M(3; 5/2)
D. M(5; 3)

Hiển thị đáp án
• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2. Giao điểm
của hai tiệm cận là I(1; 2).
• Gọi
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:

• Phương trình đường thẳng MI là:


• Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có

Vì yêu cầu hoành độ lớn hơn 1 nên điểm cần tìm là M(2;3) .
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 6: Cho hàm số

có đồ thị là (C)

Đường thẳng d: y = x + m. Với mọi m ta luôn có d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,
B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B. Tìm m để
tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
A. m = -1
C. m = 3

B. m = -2
D. m = -5

Hiển thị đáp án
• Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là

• Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = -m; x1.x2 = (-m - 1)/2. Giả sử A(x1; y1); B(x2; y2).
• Ta có
Nên tiếp tuyến của (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:

Vậy

• Dấu "=" xảy ra ⇔ m = -1.
Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất bằng - 2 khi m = -1.
Suy ra chọn đáp án A.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và điểm. M0 (x0; y0) ∈ (C)
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 có dạng y = f'(x0 )(x - x0 ) + y0
Trong đó:
ω Điểm M0 (x0; y0) ∈(C) được gọi là tiếp điểm ( với y0 = f(x0)).
ω k = f'x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.
ϖ Chú ý:
ω Đường thẳng bất kỳ đi qua M0 (x0; y0) có hệ số góc k, có phương trình
y = k(x - x0 ) + y0
ω Cho hai đường thẳng Δ1:y = k1 x + m1 và Δ2:y = k2 x + m2


Lúc
đó:

2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị
Cho hai hàm số y = f(x),(C) và y = g(x),(C')
(C) và (C' ) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình

có nghiệm.
Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.
Đặc biệt: Đường thẳng y = kx + m là tiếp tuyến với (C):y = f(x) khi chỉ khi

hệ

có nghiệm.

3. Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp
Cho hàm số y = f(x) gọi đồ thị của hàm số là (C)
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) tại M0 (x0;
y0)
Phương pháp
Bước 1. Tính y' = f' (x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y' (x0).
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 (x0; y0) có dạng
y - y0 = f'(x0)(x - x0)


Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) có hệ số
góc k cho trước.
Phương pháp
Bước 1. Gọi M0 (x0; y0) là tiếp điểm và tính y' = f' (x).
Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f' (x 0). . Giải phương trình này tìm được
x0 thay vào hàm số được y0.
Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng
d: y - y0 = f' (x0)(x - x0)
Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:
Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a
Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b(a ≠ 0)⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a
Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tanα
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp
tuyến đi qua điểm A(xA; yA)
Phương pháp
Cách 1.

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA) hệ số góc k có dạng
d:y = k(x - xA ) + yA (*)
Bước 2: là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:


Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp
tuyến cần tìm.
Cách 2.
Bước 1. Gọi M(x0; f(x0 )) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến
k = y'(x0 ) = f' (x0) theo x0
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y'(x 0 )(x - x0 ) + y0 (**). Do điểm
A(xA; yA) ∈ d nên yA = y'(x0 )(xA - x0 ) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0 .
Bước 3. Thế x0 vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = x3 + 3x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số tại điểm M(1; 4).
Hướng dẫn
Ta có y' = 3x2 + 6x; y'(1) = 9
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4) là:
y = 9(x - 1) + 4 = 9x - 5
Ví dụ 2: Cho hàm số (C):y = 4x3 - 6x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9).
Hướng dẫn
Ta có y' = 12x2 - 12x
Gọi M(x0, y0) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:
y = (12x02 - 12x0> )(x - x0 ) + 4x03 - 6x02 + 1


Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9) nên ta có:

-9 = (12x02 - 12x0 )( -1 - x0 ) + 4x03 - 6x03 + 1

Với

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 15/4 (x - 5/4) - 9/16 = 15/4 x - 21/4

Với x0 = -1 thì

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 24(x + 1) - 9 = 24x + 15

Ví dụ 3: Cho hàm số (C):
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0
Hướng dẫn
ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = 3/(x + 2)2 .
Phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 hay Δ:y = 3x + 2
Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0)
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 nên ta
có


Với x0 = -1
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2 (loại).

Với x0 = -3
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14 (thỏa mãn)

B. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số y = -2x3 + 6x2 - 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
điểm M có hoành độ bằng 3.
Câu 1: Cho hàm số y = -2x3 + 6x2 - 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
điểm M có hoành độ bằng 3.
Hiển thị đáp án
Ta có y' = -6x2 + 12x; y' (3) = -18; y(3) = -5
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là
y = -18(x - 3) - 5 = -18x + 49
Câu 2: Cho hàm số (C):y = 1/4x4 - 2x2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
điểm M có hoành độ x0 > 0 biết rằng y'' (x0 )= -1.
Hiển thị đáp án
Ta có y' = x3 - 4x; y'' = 3x2 - 4
Vì y'' (x0 ) = -1 ⇒ 3x02 - 4 = -1 ⇒ x02 = 1 ⇒ x0 = 1 (Vì x0 > 0)


Với x0 = 1 ⇒ y0 = -7/4 ; y0' = -3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:
y = -3(x - 1) - 7/4 = -3x + 5/4
Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y =(x - 5)/(-x + 1) tại điểm A của
(C) và trục hoành. Viết phương trình của d.
Hiển thị đáp án
Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình
(x - 5)/(-x + 1) = 0 ⇒ x = 5
Khi đó tọa độ điểm A = (5; 0)
ĐKXĐ x ≠ 1. Ta có y'= (-4)/(-x + 1)2 ; y'(5) = -1/4
Phương trình đường thẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại điểm A(5;0) có
dạng
y = -1/4 (x - 5) = -1/4 x + 5 /4
Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = 3x - 4x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3).

Hiển thị đáp án
Ta có y' = 3 - 8x
Gọi M(x0 , y0) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:
y = (3 - 8x0 )(x - x0 ) + 3x0 - 4x02
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3) nên ta có:
3 = (3 - 8x0 )(1 - x0 ) + 3x0 - 4x02


Với x0 = 0 thì

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x - 0) + 0 = 3x

Với x0 = 2 thì

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -13(x - 2) - 10 = -13x + 16
Câu 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Hiển thị đáp án
Gọi M(x0,y0) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có y' = 3x2 - 6x + 6
Khi đó y' (x0 )=3x02 - 6x0 + 6 = 3(x02 - 2x0 + 2) = 3[(x0 - 1)2 + 1] ≥ 3
Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y' (x0) = 3, dấu bằng xảy ra khi x0 = 1

Với x0 = 1 thì
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x - 1) + 5 = 3x + 2

Câu 6: Cho hàm số (C):y = x3 - 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết
tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.
Hiển thị đáp án
Gọi M(x0, y0) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có y' = 3x2 - 3

Khi đó y'(x0 ) = 3x02 - 3 = 9


Với x0 = 2 thì
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x - 2) + 4 = 9x - 14

Với x0 = -2 thì

.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x + 2) + 0 = 9x + 18
Câu 7: Cho hàm số y = (-x + 5)/(x + 2) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y = -1/7 x + 5/7
Hiển thị đáp án
ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = (-7)/(x + 2)2 .
Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0)
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình d:y = -1/7 x + 5/7 nên ta
có

Với
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -1/7 (x - 5) + 0 = -1/7 x + 5/7 (loại).

Với x0 = -9
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -1/7 (x + 9) - 2 = -1/7 x - 23/7 (thỏa

mãn).


Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x 4 - 2x2 + 3 vuông góc
với đường thẳng Δ: x - 8y + 2017 = 0
Hiển thị đáp án
Ta có y'= -4x3 - 4x.
Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0)
Phương trình Δ:x - 8y + 2017 = 0 hay Δ: y = 1/8 x + 2017/8
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình d:y = 1/8 x + 2017/8
nên ta có
y'(x0 ) = -8 hay -4x03 - 4x0 = -8 ⇔ x0 = 1

Với
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8(x - 1) + 0 = -8x + 8 (thỏa mãn).
Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x 3 + 1/2 x2 - 2x + 1
và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y - 1 = 0 một góc 450.
Hiển thị đáp án
Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0).
Có y' = x2 + x - 2


Phương trình đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0 ⇔ y = -1/3 x + 1/3
Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0 một góc 450 nên ta có

Với

. Phương trình tiếp tuyến cần tìm
là:

. Phương trình tiếp tuyến cần tìm
là:

Với
x0 = 0 ⇒ y(x0 )= 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:


y = -2(x - 0) + 1 = -2x + 1
x0 = -1 ⇒ y(x0 ) = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = -2(x + 1) + 19/6 = -2x + 7/6
Vậy

các

phương

trình

là:

tiếp

tuyến

cần

tìm

;

y = -2x + 1; y = -2x + 7/6
Trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Câu 1: Cho hàm số y= (2x - 1)/(x + 1), viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
điểm có hoành độ bằng 2 là:
A. y = (-1/3)x + 5/3
B. y = (-1/2)x + 2
C. y = (1/3)x + 1/3
D. y = (1/2)x
Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :
Ta có y' = 3/(x + 1)2 ; y'(2) = 1/3; y(2) = 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

Câu 2: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = √(x + 2) tại điểm có tung độ
bằng 2 là:
A. x + 4y - 3 = 0

B. 4x + y + 1 = 0


C. x - 4y + 6 = 0

D. x - 4y + 2 = 0

Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi tọa độ tiếp điểm là M(xo, yo). Có √(xo + 2) = 2 ⇔ xo = 2
Có y' = 1/(2√(x + 2)) ; y'(0) = 1/4. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y = (1/4)(x-2) + 2 = (1/4)x + 3/2 hay x - 4y + 6 = 0.
Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= (x + 3)/(1 - x) biết tiếp tuyến
có hệ số góc bằng 4

Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi tọa độ tiếp điểm là M(xo, yo). Có y' = 4/(1 - x)2 nên 4/(1 - xo)2 = 4

Với xo = 0 ⇒ y(xo) = 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4(x - 0)+ 3 = 4x +
3
Với xo = 2 ⇒ y(xo) = -5. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4(x - 2)- 5 = 4x 13
Câu 4: Cho hàm số y = (-2x + 3)/(x - 1) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và đường thẳng y = x - 3