De& Da HSG Nam Dinh_07_08

Sở Giáo Dục - Đào Tạo đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh
NAM Định Năm học 2007 2008
Môn: Toán Lớp 12 thpt
Thời gian làm bài 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề bài này gồm 01 trang)
Bài 1(2,0 điểm -Trắc nghiệm khách quan) Trong các câu hỏi sau đây, mỗi câu có nêu 4 phơng
án trả lời (có các chữ cái A, B, C, D đứng trớc), trong đó chỉ có một phơng án đúng. Hãy chọn ph-
ơng án trả lời mà em cho là đúng, bằng cách viết ra chữ cái in đứng trớc phơng án đó.
Câu 1: Điểm cực trị của hàm số y = x
4
8x
3

20 là
A/ x = 0 và x = 1 B/ x = 0 và x = 6 C/ x = 6 D/ x= 0
Câu 2: Tìm điểm cực đại của hàm số y = x + 2
+
2
x 1
đợc kết quả là
A/ x =
1
3
B/ x =
1
3

C/ x =
1
3
và x =

1
3

D/ không có điểm cực đại
Câu 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x
3


3x
2
10x + 3. Số các tiếp tuyến của (C) kẻ qua
điểm M(3;

27) là
A/ 3 B/ 2 C/ 1 D/ 0
Câu 4: Cho hàm số y =
2 2
x mx m 1
x 1
+ +

(với tham số m). Các giá trị của m để đồ thị hàm số có
đờng tiệm cận đứng là
A/ m

0 và m
1
B/ m

0 C/ m

1 D/ với mọi m.
Bài 2 (5,0 điểm) Cho hệ phơng trình:
2 2 2
x y m
x y 2m 3m
+ =


+ =

( với m là tham số)
1) Giải hệ phơng trình khi m =
1
2
.
2) Xét tất cả các nghiệm (x; y) của hệ phơng trình đã cho, hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức M = x
2
y + xy
2
.
Bài 3 (7,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng elip (E) có phơng trình:
2 2
x y
1
25 9
+ =
với hai tiêu điểm là F

1
và F
2
. M là điểm nằm trên (E).
a) Chứng minh rằng: khi M thay đổi thì OM
2
+ MF
1
.MF
2
có giá trị không đổi. Tính giá trị đó.
b) Khi điểm M không thuộc trục Ox, chứng minh rằng: đờng thẳng chứa đờng phân giác ngoài
của góc tại đỉnh M của tam giác MF
1
F
2
chỉ có một điểm chung duy nhất với (E).
2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2 ; 0 ; 0), N( 1; 1 ; 1) và mặt phẳng (P) thay đổi đi
qua đờng thẳng AN, sao cho (P) lần lợt cắt trục Oy tại điểm B có tung độ là b > 0 và cắt trục Oz
tại điểm C có cao độ là c > 0.
Chứng minh: 2(b + c) = bc. Hãy xác định b và c để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
Bài 4 (2,5 điểm) Giải bất phơng trình:
+
x 2
3
4 x 1 0
4
.
Bài 5 (3,5 điểm)
1) Tính tích phân I =

8
8
x cos5x cos4x
dx
1 2cos3x



+
+

2) Chứng minh rằng: nếu 0 <
2
và x
(0; )
2


thì
sin x
( ) cosx
x

>
.
-------Hết-------
Họ tên thí sinh: .. Chữ ký giám thị 1..
Số báo danh : .. Chữ ký giám thị 2..
Đề chính thức
Sở Giáo Dục - Đào Tạo đáp án và hớng dẫn chấm

NAM Định đề Thi chọn học sinh giỏi Toàn Tỉnh
Năm học 2007 2008
Môn: Toán Lớp 12 thpt

Bài 1(2 điểm-Trắc nghiệm khách quan) mỗi câu đúng cho 0,50 điểm:
Câu1: C/ Câu2: D/ Câu3: B/ Câu4: A/
Bài 2 (5,0 điểm)
1) (1,50 điểm)
Khi m = 1/2 ta có hệ phơng trình

+ = + =





+ = + =


2 2 2
1 1
x y x y
2 2
1 1
x y (x y) 2xy
4 4
0,50

+ =

=

1
x y
2
xy 0
0,50
Giải và kết luận hệ có 2 nghiệm (x; y) là (0;
1
2
) và (
1
2
; 0) 0,50
2) (3,5 điểm)
Biến đổi hệ đã cho thành hệ tơng đơng
+ =




=


2
x y m
xy 2m m

0,50
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi m
2
4(2m
2
m)

0

-7m
2
+4m

0 0,75
4
0 m
7

0,25
M = xy(x + y)

M = m(2m
2
m) 0,25
Xét hàm số f(m) = m(2m
2
m) với m 0,25
Có f(m) = 6m
2
2m ; f(m) = 0

m 0
1
m
3
=




=

(đều thuộc
4
0;
7



) 0,75
f(0) = 0; f(
1
3
) =
1
27

; f(
4
7
) =

16
343
0,50
Kết luận minM =
1
27

; maxM =
16
343
0,25
Bài 3 (7,0 điểm)
1) (4,0đ)
a) (2,5 đ) ( E) có phơng trình dạng chính tắc với a
2
= 25, b
2
= 9

c
2
= a
2
- b
2
= 16

a = 5, c= 4
0,50
Gọi M(x

0
; y
0
)

MF
1
= a +
c
a
x
0
; MF
2
= a -
c
a
x
0
và OM
2
=
2 2
0 0
x y+
0,50

OM
2
+ MF

1
. MF
2
=
2 2
0 0
x y+
+ (a +
c
a
x
0
) (a -
c
a
x
0
) =
2 2
0 0
x y+
+ a
2
(
c
a
x
0
)
2

=
2 2
0 0
x y+
+ 25
16
25
x
0
2
=
9
25
x
0
2
+ y
0
2
+ 25 (1)
0,75
M thuộc ( E) nên
+ = =
2 2 2
2
0 0 0
0
x y 9x
1 9 y
25 9 25

0,50
đề chính thức
Thay vào (1) ta có OM
2
+ MF
1
. MF
2
= 34
0,25
b) (1,5điểm)
Gọi d là đờng thẳng qua đờng phân giác ngoài của góc tại đỉnh M của tam giác MF
1
F
2
.
Điểm M

( E) khi và chỉ khi MF
1
+ MF
2
= 2a = 10
0,50
Giả sử M là điểm bất kỳ thuộc d. Khi M và F
2
cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ MF
1

(hoặc M và F

1
cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ MF
2
có kết quả tơng tự). Lấy điểm F
2

đối xứng với F
2
qua d, khi đó: F
2
thuộc đờng thẳng MF
1

và MF
1
+ MF
2
= MF
1
+ MF
2


F
1
F
2
(1)
0,50
Mà F

1
F
2
= MF
1
+ MF
2
và MF
2
= MF
2

F
1
F
2
= MF
1
+ MF
2
= 10 (2)
0,25
Từ (1) và (2)

MF
1
+ MF
2

10, dấu = xảy ra khi và chỉ khi M

M. Vậy nếu M
khác M thì MF
1
+ MF
2
> 10, nên M

( E) và nếu M

M thì M

( E)

đpcm
0,25
2) (3,0điểm)
B(0; b; 0) , C(0; 0; c). Theo giả thiết, mp(P) đi qua A(2; 0; 0), B, C

phơng trình mp(P)
x y z
1
2 b c
+ + =
0,50
Mặt khác mp(P) đi qua N(1; 1; 1)

1 1 1
1

2 b c
+ + =

2(b + c) = bc 0,50
Gọi S là dtABC
1
S AB;AC
2

=

uuur uuur
0,25
AB ( 2;b;0) , AC ( 2;0;c)= =
uuur uuur
AB;AC



uuur uuur
= (bc; 2c; 2b)
0,50
2 2 2 2
1
S b c 4b 4c
2
= + +
0,25
Mà 2(b + c) = bc
2 2 2

S (b c) b c = + + +
. Ta có (b + c)
2


4bc và b
2
+ c
2


2bc

S 6bc
(1)
0,25
Mặt khác bc = 2(b + c)
4 bc bc 4
(2) 0,25
Từ (1) và (2)
S 4 6
dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c mà 2(b + c) = bc,
vậy b = c = 4
0,25
KL: S đạt min khi và chỉ khi b = c = 4 0,25
Bài 4 (2,5 điểm)
Xét hàm số
( )
x 2
3

f x 4 x 1
4
= +
với
x Ă
Có
( )
x
3
f ' x 4 ln 4 x
2
= +
0,25
( )
x 2
3
f '' x 4 ln 4 0 x
2
= + >

hàm số
( )
f ' x
đồng biến và liên tục trên
Ă
0,25
Ta lại có:
( )
ln 4 3
f ' 1 0

4 2
= <
và
( )
f ' 0 ln 4 0= >
0,50

phơng trình
( )
f ' x
= 0 có nghiệm duy nhất
( )
0
x x 1;0=
0,50

Bảng biến thiên:
0,50
Mặt khác
( ) ( )
f 1 f 0 0 = =
. 0,25
x 0
0 +
( )
f x
( )
f 1
( )
f 0

Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là
(
] [
)
; 1 0; +
. 0,25
Bài 5 (3,5 điểm)
1) (2,0 điểm)
8 8
8 8
x cos5x cos 4x
I dx dx
1 2cos3x 1 2cos3x




= +
+ +

(1) 0,25
Xét
8
1
8
x
I dx
1 2cos3x

=
+

. Đặt
( )
x
f x
1 2cos3x
=
+
x ;
8 8





có
( ) ( )
f x f x =
. Đặt x = - t

dx = - dt
0,25

( ) ( )
8 8
1 1
8 8

I f t dt f x dx I




= = =



1
I 0=
0,50
Xét
8
2
8
cos5x cos4x
I dx
1 2cos3x




=
+

Ta có:
cos5x cos x 2cos3x cos 2x+ =

cos 4x cos 2x 2cos3x cos x+ =

( )
cos5x cos 4x cos2x cos x 2cos3x cos2x cos x = +


( ) ( )
cos5x cos 4x cos 2x cos x 1 2cos3x = +


cos5x cos 4x
cos2x cos x
1 2cos3x

=
+
0,50


( )
8
2
8
sin 2x 2
8
I cos2x cos x dx sin x 2 2
2 2
8

= = =
ữ




0,25
Vậy
1 2
2
I I I 2 2
2
= + =
. 0,25
2) (1,5 điểm)
Khi
x 0;
2



ữ

ta có
sin x
0 1
x

< <
. Vậy với
(
]
0;2
thì
2
sin x sin x
x x



ữ ữ

0,25
Vậy để có đpcm , ta chỉ việc chứng minh
2
sin x
cos x (1)
x

>
ữ

đúng
x 0;
2

ữ

.
Thật vậy, (1)
sin x sin x sin x
cos x x x 0 (2)
x
cos x cos x
> > >
0,25
Xét hàm số
( )
sin x
f x x
cos x
=
với
x 0;
2



ữ

Có
( )
sin x
cos x cosx sin x
2 cos x
f ' x 1

cos x
+
=
2 2
2cos x sin x 2 cos x cos x
cos x cos x
+
=
0,25
( )
2
cos x 2 cos x cos x 1
f ' x
cos x cos x
+
=
0,50
( )
( )
( )
2
cos x cos x 1 cos x
f ' x 0 x 0;
2
cos x cos x
+


= >
ữ

hàm số f(x) đồng biến trên khoảng
0;
2


ữ


f(x) > f(0) = 0
x 0;
2



ữ

.
Vậy (2) đúng

bất đẳng thức đã cho đợc chứng minh.
0,25
Chú ý:
- Mọi lời giải khác của thí sinh nếu lập luận đúng và phù hợp kiến thức trong chơng trình, tổ giám
khảo thống nhất cho điểm tơng ứng.
- Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần và không làm tròn; điểm thành phần không chia
nhỏ hơn 0,25 điểm.