on tap HHKG11

Các kiến thức cần nhớ về - HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
LỚP 11
• Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và khơng có điểm chung
• Đường và mặt gọi là song song với nhau nếu chúng khơng có điểm chung
• Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng khơng có điểm chung
 Cách chứng minh:
Đường // đường Đường // mặt Mặt // mặt
- Các cách đã học ở cấp 2 (đường
trung bình, ta-let, …)
- Dùng quan hệ: 2 đường thẳng
cùng // đường thứ ba thì // với
nhau.
- Dùng cách 2 – xác định g. tuyến
- Dùng cách 3 – xác định g. tuyến
- Dùng cách 4 – xác định g. tuyến
- Đường // với một đường trên mặt
P
a
b
- Mặt này chứa 2 đường thẳng cắt
nhau lần lượt song song với hai
đường trên mặt kia.
- Hoặc dùng quan hệ: 2 mp cùng
song song với mp thứ ba thì song
song với nhau.
 Cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
Cách 1 Cách 2 Cách 3 Cách 4
Q
P
d
A

B
Tìm 2 điểm chung
phân biệt của 2 mp
P
Q
d
a
b
2 mp lần lượt đi qua 2
đường thẳng song song thì
giao tuyến của chúng (nếu
có) sẽ song song hoặc trùng
với 2 đường thẳng đó.
d//a (//b)
Q
P
d
a
Cho a // (P); (Q) qua a và
cắt (P) theo giao tuyến d
thì d//a
P
Q
a
b
Cho 2 mp song song; nếu
mp nào cắt mặt phẳng này
thì cũng cắt mp kia và các
giao tuyến song song với
nhau.

a//b
• Hai đường thẳng gọi là vng góc nếu góc giữa chúng bằng 90
0
• Đường vng góc mặt khi và chỉ khi đường vng góc với mọi đường trên mặt
• Hai mặt phẳng gọi là vng góc nếu góc giữa chúng bằng 90
0
 Các cách chứng minh đường ⊥ đường
- Dùng các cách học từ cấp 2 (như pi-ta-go, trung tuyến trong tam giác cân, góc nội tiếp…)
- Góc giữa chúng bằng 90
0
hoặc tích hai vecto chỉ phương bằng 0.
- Dùng quan hệ: “(a//b; c ⊥ a) ⇒ c ⊥ b”; “(a//(P); b ⊥ (P) ⇒ b ⊥ a”
- Đường ⊥ với mặt chứa đường kia
- Dùng định lý 3 đường vng góc…
 Các cách chứng minh đường ⊥ mặt
- Chứng minh đường ⊥ với hai đường cắt nhau trên mặt
- Dùng quan hệ: “(a//b; a ⊥ (P)) ⇒ b ⊥ (P)”; “(a ⊥ (P); (P) // (Q)) ⇒ a ⊥ (Q)”…
- Dùng:

“((P) ⊥ (Q); (P) ∩ (Q) = d; a⊂(P); a ⊥ d) ⇒ a ⊥ (Q)” “((P)∩(Q)=d; (P)⊥ (R); (Q)⊥(R)) ⇒ d ⊥ (R)”
Q
P
d
a
R
P
Q
d
 Các cách chứng minh mặt ⊥ mặt
- Chứng minh mặt này chứa (đi qua) một đường vuông với mặt kia

d ⊥ (R); bất cứ mp nào qua d cũng vuông góc với (R)
R
P
Q
d
- Góc giữa chúng bằng 90
0
…
 Góc giữa hai đường thẳng:
D1
D2
D'1
D'2O
- Nếu D1 cắt D2, khi đó tạo thành 4 góc; góc có số đo nhỏ nhất là góc giữa
D1 và D2
- Nếu D1 //(≡) D2 thì góc giữa chúng bằng 0
0
- Nếu D1 chéo D2, lấy O tùy ý. Qua O kẻ D’1 //(≡) D1; D’2 //(≡) D2, khi
đó góc giữa D’1 và D’2 là góc giữa D1 và D2.
 Cách xác định góc giữa đường và mặt:
P
a
A
K
H
Giả sử cần tìm góc giữa a và (P)
- Tìm giao điểm A của đường và mặt (điểm chung của a và (P))
- “Lấy” điểm K trên A
- Tìm hình chiếu H vuông góc của K trên (P)
⇒ (a, (P)) = KAH

 Cách xác định giao điểm của đường thẳng a và mp(P):
- Chính là giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó trên (P) (nếu có sẵn b)
- Trường hợp không có sẵn b, ta phải tìm một mp(Q) đi qua a, khi đó b chính là giao tuyến của (Q) và (P) và
tiếp tục tìm như trường hợp 1.
 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:
Cách 1 Cách 2
Q
P
p
q
d
I
Cần xác định góc giữa (P) và (Q)
- Tìm giao tuyến d của (P) và (Q)
- “Chọn” trên d điểm I mà từ đó có thể “kẻ” được 2
đường p ⊂ (P) và q ⊂ (Q) vuông góc với d
⇒ ((P),(Q)) = (p,q): “nghi ngờ” góc I
1

R
P
Q
p
q
d
Cần xác định góc giữa (P) và (Q)
- Tìm giao tuyến d của (P) và (Q)
- “Dựng” mp(R) ⊥ d
- (R) cắt (P); (Q) lần lượt theo giao tuyến p,q
⇒ ((P),(Q)) = (p,q): “nghi ngờ” góc I

1

 Cách xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt:
P
?
A
Q
P
A
Chọn mp(Q) qua A và
vuông góc với (P)
Q
P
a
A
Tìm giao tuyến a của
(P) và (Q)
Q
P
a
H
A
Trong (Q), kẻ AH ⊥ a
⇒ H là hình chiếu của A
 Cách xác định (dựng) mặt phẳng qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước:
P
d
a
b
O

H
 Khoảng cách
điểm → đường điểm → mặt Đường → mặt Mặt → mặt
2 đường chéo nhau
d
M
H
H là hình chiếu
⊥ của M trên d
P
M
H
H là hình chiếu ⊥
của M trên (P)
d(M,(P)) = MH
P
a
A
H
a//(P); A ∈ a
d(a,(P)) = d(A,(P))
=AH
P
Q
A
H
(P)//(Q); A ∈ (P)
d((P),(Q)) = d(A,
(Q)) =AH
P

Q
b
a
M
N
(Q) qua b và // a
(P) qua a và // b
d(a,b)= d(a,(Q))
Cần dựng mp(P) qua O và vuông góc với d
- Qua O kẻ (tìm) đường thẳng a vuông góc và “cắt” d
- “Cũng” qua O (hoặc một điểm khác trên a), “tìm” đường thẳng b vuông
góc với a (nhưng không cắt d)
⇒ mp(a,b) là mp(P) cần dựng.
d(M,d) = MH = d(b,(P))
= d((P),(Q))
Chóp Chóp đều
E
D
A
B
C
S
H
Tứ diện Tứ diện đều Chóp tam giác đều Chóp tứ giác đều
C
D
B
A
4 mặt là tam giác
O

C
D
B
A
4 mặt là tam giác đều
⇒ cạnh bên bằng cạnh đáy
O
B
C
A
S
- Đáy là tam giác đều
- Đỉnh chiếu xuống trùng
với tâm của đáy
O
B
A
C
D
S
- Đáy là hình vuông
- Đỉnh chiếu xuống trùng với
tâm của đáy
Hình lăng trụ Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đều
C'
B'
A
C
B
A'

- Các cạnh bên // và =
C'
B'
A
C
B
A'
- Cạnh bên vuông góc với đáy
C'
B'
A
C
B
A'
- Đáy là đa giác đều
- Cạnh bên vuông góc với đáy
Hình hộp Hình hộp chữ nhật Hình lập phương
- Đáy là đa giác đều
- Các cạnh bên bằng nhau
(Đỉnh chiếu xuống trùng với tâm của đáy)
C
D
B
A
A'
B'
C'
D'
- Lăng trụ có đáy là hình bình hành
C

D
B
A
A'
B'
C'
D'
Hình hộp đứng có đáy là hình chữ
nhật
C
D
B
A
A'
B'
C'
D'
6 mặt là hình vuông