đề thi HSG Nam Định các năm

Đề thi Học sinh giỏi lớp 12
Năm học 95-96
Câu 1: Giải hệ phơng trình :





=+
=+
xy
yx
21
21
2
2
Câu 2: Cho bất phơng trình :
01172)12(172
4
22
>+++++
mxxmxxm
(1)
1.Giải phơng trình (1) với m = 1
2.Với giá trị nào thì bất phơng trình (1) : a.Nghiệm đúng với mọi giá trị x ? b.Có nghiệm ?
Câu 3: Cho parabol y = 0,5x
2
và một điểm M(x
0
,y
0

) với y
0
< 0,5 x
0
2
. Các tiếp tuyến kẻ từ M tới parabol tiếp xúc với
parabol tại N
1
(x
1
,y
1
) và N
2
(x
12
,y
2
)
1. Chứng minh : y
0
+ y
1
= x
0
x
1
; y
0
+ y

2
= x
0
x
2
2. Giả sử rằng M chạy trên đờng thẳng y = - 0,5 . Chứng minh khi đó đờng thẳng N
1
N
2
đi qua một điểm cố định .
Tìm toạ độ của điểm cố định đó .
Câu 4: Cho đờng tròn có pt: x
2
+ y
2
= R
2
( R. 0 ) , ABCD là một hình thoi ngoại tiếp đg tròn . M ( Rcosa ; Rsina) ;
N (Rcosb; Rsinb) (với sin( a b ) khác 0) lần lợt là tiếp điểm của các cạnh AB và BC với đờng tròn .
1 . Viết phơng trình các cạnh của hình thoi ABCD. Tính diện tích hình thoi theo R ; a ; b
Câu 5: Cho S
n

=
2 2 2
2( 1) 2( 2) 2( )
......
( 1) 1 ( 2) 1 ( ) 1
n n n n
n n n n

+ + +
+ + +
+ + + + + +
Với n = 1,2,3.... Tìm giới hạn nếu có của S
n
khi n
+
Năm học 96-97
Câu 1: 1. Lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) của hàm số y=2x
4
+(1 2x )
4

2. Giải phơng trình : 2x
4
+( 1- 2x)
4
=
27
1
Câu 2: Cho elip (E) có phơng trình
1
49
22
=+
yx
1. Lập phơng trình các tiếp tuyến kẻ từ M ( 0;
)13
tới (E) . Xác định góc của 2 tiếp tuyến đó
2. Tìm tập hợp các điểm N sao cho các tiếp tuyến kẻ từ N tới (E) vuông góc với nhau

Câu 3: ABC là một tam giác bất kì có 3 góc nhọn . Chứng minh
ABC

là tam giác đều khi và chỉ khi :







+
+






+
+






+
=++
3

2
cos
3
2
cos
3
2
coscoscoscos
ACCBBA
CBA

Câu 4: 1. Chứng minh với mọi m
0

hàm số f(t) =
3
2

mtm
đồng biến trên tập xác định của nó
1. Cho hệ phơng trình :







=+
=+

=+
3
3
3
3
3
3
2.2
2.2
2.2
mxmz
mzmy
mymx
a. Giải hệ khi m = 0 b. Giải hệ khi m = 3
Năm học 97-98
Câu 1: Cho hàm số : f(x) = x
3
12x-20 (1)
1. Khảo sát , lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) của hàm số (1)
2. Tính
( )
3
3
164
+
f
3. Chứng minh:
3
3 3 3
69 4 16 70< + <

Câu 2: Cho hệ phơng trình :







mxx
mxx
414
12
2
2

- 1 -
1. Giải hệ với m =1 2. Giải và biện luận hệ theo m
Học sinh đợc chọn một trong hai câu 3a , 3b sau:
Câu 3a: Cho A(x
0
,y
0
) là một điểm bất kì thuộc đờng tròn x
2
+y
2
=25 (E) là elíp có phơng trình :
1
916
22

=+
yx

1. Chứng tỏ rằng A nằm ngoài (E)
2. Chứng minh từ A ta có thể kẻ đợc haitiếp tuyến của (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc . Gọi tiếp điểm của 2
tiếp tuyến đó với (E) là B và C
3. Giả sử h là khoảng cách từ A đến đờng thẳng BC . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của h
Câu 3b: Cho ABCDlà một tứ diện đều với các cạnh bằng 1 . Hai điểm M và N chuyển động trên các cạnh AB và AC
sao cho tnp(DMN)
)(ABCmp

1. Chứng minh tnp(DMN)luôn đi qua một đờng thẳng cố định
2. Đặt AM=x và AN=y . Tính theo x,y diện tích
AMN

và chứng minh : x + y = 3xy
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thể tích V của tứ diện ADMN
Câu 4:Cho các số a,b,c thoả mãn : 0
2,,

cba
và a + b + c =3
1. Chứng minh : a
4
+ b
4
+ c
4

17

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : a
1997
+ b
1997
+ c
1997
Năm học 98-99
Câu 1: Cho hàm số : y = - 4x
3
+ 3x (1)
1. Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số (1) và tìm điểm cực đại , cực tiểu của đồ thị hàm số đó
2. Chứng minh bất đẳng thức :
75
26
20sin
3
1
0
<<
Câu 2: Cho phơng trình
)2(180016093
8
cos
2
=

++
xxx

1. Giải phơng trình (2)
2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của (2)
Học sinh đợc chọn 1 trong 2 câu 3a hoặc 3b dới đây
Câu 3a: Cho elip (E) có phơng trình
1
916
22
=+
yx
và hai điểm M (4cos

; 3sin

) ; N(4cos

sin3;
)trong đó

;

thay đổi thoả mãn hệ thức :
0sinsin16coscos9
=+

1. Chứng minh các điểm MvàN đều thuộc (E)
2. Chứng minh các tiếp tuyến của (E) tại Nvà M vuông góc với nhau
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn thẳng MN
Câu 3b: Hình chóp S.ABCcó 3 mặt SAB,SBC và SCA là các tam giác vuông tại S . Kẻ SH
)( ABCmp

với
)( ABCmpH

1. Chứng minh H là trực tâm của
ABC


2. Chứng minh hệ thức :
2222
1111
SCSBSASH
++=
3. Giả sử SA = a , SB = b , SC = c thay đổi sao cho ab + bc + ca không đổi . Tìm GTLN của đoạn thẳng SH
Câu 4: A,B,C là 3 góc của một tam giác bất kì .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P = cos A + cos B + cos C +
2
sin
2
sin
2

sin
1
CBA
++
năm 1999-2000
Câu1(6đ): Cho hàm số : y=xlnx (1)
1. Tìm tập xác định và khoảng đồng biến nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
2. CMR :
e
x
x 1
ln
2

x lnx khi x > 0
3. Tính đạo hàm của hàm số f(x)=
0 khi x=0.
Câu2( 4đ): Giải bất phơng trình sau: log
3
(x
2
+1)+ log
5
(x
4
+1)

0
Câu3a(6đ):
- 2 -

Giả sử A (x
0
; y
0
) là một điểm bất kỳ thuộc đờng tròn x
2
+ y
2
=25; (E) là elip có phơng trình :
1
916
22
=+
yx
.
a. Chứng minh từ A có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Gọi tiếp điểm
của chúng là B và C.
b. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC.
Câu 3b(6đ):Tứ diện ABCD chỉ có cạnh AD lớn hơn 1 . đặt BC =x . dựng DH và AK vuông góc với BC ( H ,K đều
thuộc cạnh BC ).
1. Gọi V là thể tích của tứ diện ABCD chứng minh V

DHBCAK ..
6
1
.
2. Chứng minh : DH
4
1
2

x

.
3. Tìm x để thể tích V của tứ diện ABCD là lớn nhất .
Câu 4(4đ): Cho phơng trình : x
4
= 4
114
4
++
x
(2)
1. Giả sử x
0
là nghiệm của phơng trình (2) chứng minh x
0
> 1
2. Giải phơng trình (2).
Năm học 2000-2001
Câu1. Cho hàm số : F(x) =
3
( 1)
khi x 1
1
a khi x=1
x
x

. Với giá trị nào của a thì hàm số có đạo hàm tại x=1 ? vơí giá trị của
a tìm đợc tìm F(1).
Câu 2 : Cho tam giác ABC . biết rằng trên mặt phẳng (ABC) có điểm M sao cho MA=1 ;MB=MC=6. gọi S là diện tích
tam giác ABC . Chứng minh rằng : S
510

dấu bằng xẳy ra khi nào ?
Câu3: Cho A(-a;0); A(a;0)và elip có phơng trình (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
. Với a > b > 0 . Trên (E) lấy điểm M bất kỳ . tìm
quỹ tích trực tâm H của tam giác MA A khi điểm M di chuyển trên (E) .
Câu 4 : iải hệ sau : sinx +
ysin
1
= siny +
2000sin

1
= sin 2000 +
xsin
1
.
Câu 5 : Cho hai phơng trình sau : 3 (x
2
+a
2
) =1 - (9a
2
- 2)x (1); x +(3a -2 )
2
. 3
x
=(8
a
-4)log
3
(3
a
- 1/2) - 3 x
3
(2).
Tìm a để số nghiệm của phơng trình (1) không vợt quá số nghiệm của (2)
Năm học 2001-2002
Câu1 :Giải hệ phơng trình sau x.2
x-y+1
+ 3y 2
2x+y

=2

2x . 2
2x+y
+ 3y. 8
x+y
=1 .
Câu2 : Tìm m để phơng trình sau vô nghiệm (4m-3)
3
+
x
+ (3m -4)
x

1
=1-m.
Câu 3 :Gọi A,B,C là ba góc của tam giác ABC
a.CMR : (1+ tg
2
A
)(1+tg
2
B
)(1+ tg
2
C
)=2+2 tg
4
A
tg

4
B
tg
4
B
.
b. Xác định các giá trị của A,B,C để biểu thức sau đạt giá lớn nhất T=(1+ tg
2
A
)(1+tg
2
B
)(1+ tg
2
C
)
Câu 4 :Trên mặt phẳng toạ độ cho họ đờng thẳng : y=
x
m
m
+

1
)1(2
+
2
)1(
)3)(1(
m
mm

+
+
với m >0. Tìm tất cả các điểm
mà qua mỗi điểm đó có đúng hai đờng thẳng của họ đi qua và hai đờng thẳng này vuông góc với nhau
Câu5: không dùng máytính so sánh hai số sau A =log
2000
2001 và B= log
2001
2002

Năm học 2002-2003
Câu1: Cho hàm số : f(x) = x
3
3x
2
7x + 6 (1)và M(x
0
;y
0
)là điểm thuộc đồ thị hàm số(1) . Tiếp tuyến tại M của
đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B . Tìm toạ độ của M sao cho các điều kiện sau đồng thời đ-
ợc thoả mãn :
1. Hoàng độ của A là số dơng
- 3 -
2. Tung độ của B là số âm
3. OB = 2OA ( O là gốc toạ độ
Câu2: 1. Tìm nghiệm dơng nhỏ nhất của phơng trình :
2 2
cos cos ( 2 1)x x x

= + +
2. Giải bất phơng trình :
3 1 3 3 1
8 2 4 2 5
x x x + +
+ + >
Câu3: Cho 2 họ đờng tròn có phơng trình : (C
m
): x
2
+y
2
-2mx+2(m+1)y-1=0; (K
m
): x
2
+ y
2
-x+(m-1)y+3=0
1. Tìm trục đẳng phơng của đờng tròn
2. Chứng minh rằng khi m thay đổi , trục đẳng phơng luôn đi qua một điểm cố định .
Câu4 : Giả sử tham số a thuộc đoạn [
0; ]
4

và hàm số ; f(x) = 3x
4
+ 4x
3
(cosa sina)-3x

2
sin2a xác định trên [-sina ;
cosa]. Tìm a để giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất .
Năm học 2003-2004
Câu1 (5đ): Giải bất phơng trình sau : (3
x
-2x-1)(
)23
+
x
>0.
Câu 2(6đ):
1. Cho phơng trình : x
6
+3x
5
-6x
4
+ a x
3
- 6x
2
+3x+1 =0 tìm a để phơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hệ luôn có nghiệm (x ; y): mx -2y >m
x
2
+ y
2
-2mx + y =0
Câu3 (6đ): Trong không gian cho hai đờng thẳng d

1
,d
2
sao cho 0x ,d
1
,d
2
đôi một chéo nhau và vuông góc với nhau
1. Xét đờng thẳng d bất kỳ đi qua 0 . gọi

,,
thứ tự là góc giữa d với các đờng 0x ,d
1
,d.
Chứng minh tg
2

tg
2

tg
2

- (tg
2

+tg
2

+g

2

) =2.
2. Biết rằng khoảng cách giữa ba đờng thẳng bất kỳ trong ba đờng 0x ,d
1
,d
2
cùng bằng 2 đơn vị độ dài . một hình hộp
ABCD.ABCD thoả mãn : B và d thuộc 0x ; A và C thuộc d
1
;A và D thuộc d
2
. Tính thể tích hình hộp
ABCD,ABCD.
Câu 4(3đ):Cho a,b dơng chứng minh rằng : (a + 1)ln(a+1) + e
b


(a +1) (b+1)
Năm học 2004 - 2005
Câu I ( 6 điểm) Cho hàm số f(x) =
2
2 2 2mx x x m + +
, với m là tham số.
1) Khi m =
3
2

; hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R .

Câu II ( 4 điểm) Tính tích phân I =
2
1
4 2
1
1
( 1)( 1)
x
x
dx
x x e

+
+ + +

Câu III (7 điểm)Trên mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy; cho đờng parabol (P) có phơng trình: y = x
2
và đờng
tròn (C) có phơng trình: x
2
+ y
2
2x 6y + 1=0
1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt.
2) Cho điểm A(1, 6) thuộc đờng tròn (C) . Hãy lập phơng trình đờng tròn đi qua điểm M( 2, - 1) và tiếp xúc với đờng
tròn (C) tại điểm A.
3) Giả sử đờng thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt T
1
, T
2

. Gọi (d
1
) , (d
2
) thứ
tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm T
1
, T
2
. Biết rằng (d
1
) cắt (d
2
) ở điểm N; hãy chứng minh điểm N nằm trên
một đờng thẳng cố định.
Câu IV (3 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng ( 0 ;
1
2


) ,
ta đều có:
3
3 3
cos .sin( 1) cos( 1).sin cos .cos( 1)x x x x x x
+ + > +
- 4 -


- 5 -