Một số đề toán khó 5

T1/272. Giải phương trình nghiệm nguyên: x
3
+ 8 = 7
8x+1
T2/272. Chứng minh:
4a 4b 4c
( + 1)( + 1)( + 1)
b+c c+a a+b
> 25, a, b, c là các số dương
T3/272. Giải bất phương trình:
4 4
4
(x-2)(4-x) + x-2 + 4-x + 6x 3x
≤ x
3
+ 30
T4/272. Cho 3 đường tròn (O
1
), (O
2
), (O
3
) tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một. Gọi
A, B, C lần lượt là tiếp điểm của các cặp đường tròn (O
1
) và (O
3
), (O
2
) và (O
3

), (O
1
)
và (O
2
). Tiếp tuyến chung của (O
1
) và (O
2
) qua C cắt đường tròn (O
3
) tại M và N.
Gọi D là trung điểm MN. Chứng minh C là tâm đường tròn bàng tiếp cỉa ∆ABD.
T5/272. Cho tứ giác lồi ABCD với AB+CD = BC+DA. Tìm tập hợp các điểm M
nằm bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng các khoảng cách từ M đến AB và CD
bằng tổng các khoảng cách từ M đến BC và DA.
T6/272. Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho
f(p) = (2+3) - (2
2
+ 3
2
) + (2
3
+ 3
3
) - ... - (2
p-1
+ 3
p-1
) + (2

p
+ 3
p
) chia hết cho 5.
T7/272. Tìm số các nghiệm của phương trình sau theo tham số k:
(1 - x)ln
2k + 1 - 2kx

2kx - 2k + 1
- 1 = 0
T8/272. Gọi m và M lần lượt là số nhỏ nhất và số lớn nhất trong tập hợp các số
dương a
1
, a
2
, ..., a
n
(n ≥ 2). Chứng minh:
n n
2 2
i
i=1 i=1
i
1 n(n-1) M m
( a )( ) n + ( - )
a 2 m M
≤
∑ ∑
T9/272. Cho r, r
b

, r
c
lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp
tương ứng với các góc B và C của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu r + r
b
+ r
c
=
p (nửa chu vi ∆ABC) thì ∆ABC vuông ở A.
T10/272. Xét các tứ diện A
1
A
2
A
3
A
4
cùng ngoại tiếp một mặt cầu cho trước. Mỗi tiếp
diện của mặt cầu song song với một mặt của mỗi tứ diện này, cắt ra khỏi tứ diện đó
là một tứ diện nhỏ. Gọi v
i
(i = 1, 2, 3, 4) là thể tích của tứ diện nhỏ có đỉnh A
i
và V
là thể tích của tứ diện A
1
A
2
A
3

A
4
. Tính GTNN của
1 2 3 4
v + v + v + v

V
và xác đònh
dạng của những tứ diện A
1
A
2
A
3
A
4
như thế.