Một số đề tóan khó 7

T1/274. Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
x - xy + 2000y = 0

y - yx - 500x = 0





T2/274. Tìm giá trò nguyên dương nhỏ nhất của biểu thức:
4 4
x + y

1997.1999
, x, y > 0
T3/274. Các số thực dương a, b, x, y thoả mãn các điều kiện a+b = 1, ax + by = 2,
ax
2
+ by
2
= 3. Chứng minh rằng: 4 < ax
3
+ by
3
< 4,5.
T4/274. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q theo thứ tự trên các
cạnh AB, BC, CD, DA sao cho
MA PD AD
= =

MB PC BC
và
QA NB AB
= =
QD NC CD
Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ/
T5/274. Một nhóm học sinh đi cắm trại, trong đó có ít nhất 2 nam và 2 nữ. Biết rằng
mỗi nữ sinh quen ít nhất 1 nam sinh và không có nam sinh nào quen tất cả các nữ
sinh. Chứng minh rằng có thể tìm được 2 nam sinh A, B và hai nữ sinh X, Y sao cho
A quen X và B quen Y nhưng A không quen Y và B không quen X.
T6/274. Chứng minh:
x/2
2 2 x
1 + 2xarctgx 1 + e

2 + ln(1 + x ) 3 + e
≥
, x ∈R.
T7/274. Tìm nghiệm dương của phương trình:
2
1
1
1 +
1 +
3
x x
2
1 1
xln(1 + ) - x ln(1 + ) = 1 - x
x

x
T8/274. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:
A B C
1+cos 1+cos 1+cos
2 2 2
+ + > 3 3
A B C
T9/274. Cho ∆ABC. Gọi p là nửa chu vi ∆ABC và R là bán kính đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là tâm đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.
Chứng minh rằng: DE
2
+ EF
2
+ FD
2
≥ 8
3
pR
T10/274. Ba mặt cầu (O
1
, R
1
), (O
2
, R
2
), (O
3
, R
3

) tiếp xúc với nhau từng đôi một và
cùng tiếp xúc với mặt phẳng chứa tam giác ABC tại 3 đỉnh A, B, C. Gọi S là diện
tích tam giác ABC và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh
rằng: R
1
+ R
2
+ R
3
≥ 2S/R. Đẳng thức xảy ra khi nào?