Một số đề toán khó 8

Toán học và tuổi trẻ
T1/279. Tìm mọi số tự nhiên a (a > 1) sao cho nếu p là ớc số nguyên tố bất kỳ của a thì
số các ớc số của a mà nguyên tố với p bằng số các ớc số của a mà không nguyên tố với
p.
T2/279. Chứng minh nếu các số thực x, y, a, b thoả các điều kiện x + y = a + b và x
4
+
y
4
= a
4
+ b
4
thì x
n
+ y
n
= a
n
+ b
n
với mọi số nguyên dơng n.
T3/279. Chứng minh: (x
2
+ y
2
)
n
2
n
.x

n
y
n
+ (x
n
- y
n
)
2
, trong đó x, y là các số dơng và n là
số nguyên dơng.
T4/279. Cho tam giác đều ABC. Tìm tập hợp tất cả các điểm M nằm trong tam giác
ABC sao cho nếu hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB lần lợt là D, E, F thì các
đờng thẳng AD, BE, CF đồng quy.
T5/279. Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi X, Y, Z lần lợt
là điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng các tam giác ABC và XYZ
có cùng trọng tâm.
T6/279. Tìm mọi số nguyên dơng n sao cho n < t
n
, trong t
n
là số các ớc số dơng của n
2
.
T7/279. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:P =
2 2 2
x y z
+ +
1 + x 1 + y 1 + z
trong đó x,

y, z là các số thực thoả điều kiện x + y + z = 1.
T8/279. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x
2
y + y
2
z + z
2
t + t
2
x - xy
2
- yz
2
- zt
2
- tx
2
,
trong đó x, y, z, t là các số thực thuộc [0;1].
T9/279. Trên mặt phẳng cho 3 đờng tròn đồng tâm O với bán kính lần lợt là r
1
= 1, r
2
=
2
, r
3
=
5
. Gọi A, B, C là ba điểm không thẳng hàng lần lợt nằm trên ba đờng tròn

đó. Gọi S là diện tích ABC. Chứng minh S
3
. Tính độ dài các cạnh ABC khi S =
3.
T10/279. Cho tứ diện ABCD sao cho các cạnh AB, BC, CA đều nhỏ hơn các cạnh DA,
DB, DC. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của PD, trong đó điểm P thoả mã điều
kiện PD
2
= PA
2
+ PB
2
+ PC
2
.