Giáo an - Giải tich11

Ngày soạn: 4 / 12 / 2003 Ngày dạy: 8 / 12 / 2003
Chơng III Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân
Tiết 41 phơng pháp quy nạp toán học
A. Chuẩn bị
I. Yêu cầu bài dạy
Kiến thức: Nắm đợc phơng pháp chứng minh quy nạp toán học vận
dụng đợc phơng pháp đó vào chứng minh một số mẹnh đề
Kỹ năng: Rèn kỹ năng chứng minh các mệnh đề bằng phơng pháp chứng minh
quy nạp toán học
Giáo dục: Rèn tính tự giác trong học toán
II. chuẩn bị
1) Thầy: sgk - bài soạn
2) Trò: sgk - bài học - bài tập
B. Phần thể hiện trên lớp
I. Kiểm tra bài cũ ( kết hợp khi giảng )
II. Bài mới

Thế nào là phơng pháp chứng
minh quy nạp toán học ?
Nêu các bớc chứng minh quy
nạp toán học ?
Hãy kiểm tra với n = 1
giả s mệnh đề đúng với
n = k
1
hãy chứng minh
mệnh đề đúng với n = k+1?
Hãy chứng minh VT = Vp ?
10'
20'
1) Ph ơng pháp chứng minh quy nạp toán học

Bớc 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0
Bớc 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k
0

( gọi là giả thiết quy nạp )Chứng minh mệnh đề
đúng với
n k 1
= +
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với
( )
n p p N
*
,
Thì bớc 1 kiểm tra mệnh đề đúng
với
n p=
Bớc 2 giả thiết mệnh đề đúng với
n k p=
phải chứng minh mệnh đề đúng với
n k 1
= +
2) các ví dụ
Ví dụ 1:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiện
n 1
ta có
( )
n n 1
1 2 3 n
2
....

+
+ + + + =
Chứng minh
Với
n 1 VT 1 VP 1;= = =
(1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k
1
tức là
( )
k k 1
1 2 3 k
2
...
+
+ + + + =
ta chứng minh (1) đúng
với
n k 1
= +
tức là
( )
( ) ( )
k 1 k 2
1 2 3 k k 1
2
...
+ +
+ + + + + + =
Thật vậy VT =

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
k k 1
k 1
2
k k 1 2 k 1 k 1 k 2
VP
2 2
+
+ +
+ + + + +
= = =
vậy (1) đúng với n = k + 1 suy ra (1) đúng với
n N
*

79
Em có nhận xét gì về vế trái ?
Hãy kiểm tra với n = 1?
Nếu nó đúng với n = k
1
hãy
chứng minh nó đúng với
n = k + 1?
Lu ý: số chia hết cho 2 và 3 thì
chia hết cho 6
tích hai số tự nhiên liên tiếp
chia hết cho 2 ?
13'

Ví dụ 2: chứng minh rằng
n N
*

thì
( )
2
1 3 5 2n 1 n....+ + + + =
(2)
Chứng minh
Kiểm tra với
n 1 VT 1 VP 1;= = =
(2) đúng
với n = 1
Giả sử (2) đúng với
n k 1
=
tức
( )
2
1 3 5 2k 1 k....+ + + + =
ta phải chứng minh
(2) đúng với
n k 1
= +
tức là
( ) ( ) ( )
2
1 3 5 2k 1 2k 1 k 1....+ + + + + + = +
Thật vậy VT =

( )
2
2
k 2k 1 k 1 VP+ + = + =
2( )
đúng với
n k 1 2( )= +
đúng với
n N
*

Ví dụ 3 Chứng minh rằng
n N
*

ta có
3
n 11n+
(3) chia hết cho 6
Chứng minh
Với
n 1 VT 12
= =
chia hết cho 6
Giả sử (3) đúng với
n k 1=
tức là
3
k 11k+
chia

hết cho 6 ta phải chứng minh (3) đúng với
n k 1
= +
Tức tức là

( ) ( )
3
3 2
k 1 11 k 1 k 3k 3k 1 11k 11+ + + = + + + + +
( )
3 2 3
k 11k 3k 3k 12 k 11k 3 k k 1 4

= + + + + = + + + +

chia hết cho 6
III. H ớng dẫn học ở nhà (2')
- Ôn lại phơng pháp chứng minh bằng quy nạp
- Giải bài tập 1, 2, 3, 4 sgk trang 88

Ngày soạn: 4 / 12 / 2003 Ngày dạy: 8 / 12 / 2003
Tiết 42
A. Phần chuẩn bị
I. Yêu cầu bài dạy
Kiến thức: Củng cố khắc sâu phơng pháp quy nạp toán học
Kỹ năng: Rèn kỹ năng chứng minh một mệnh đề bằng phơng pháp quy nạp
toán học
Giáo dục: Rèn tính tích cực tính tự giác trong học toán
II. Chuấn bị
1) Thầy: sgk - bài soạn

2) Trò: sgk- bài học- bài tập
B. Phần thể hiện trên lớp
I. Kiểm tra bài cũ ( kết hợp khi giảng )
II. Bài mới
Nêu cách chứng minh bằng
quy nạp ?
10' Bài 1
Với n = 1 VT = 1, VP = 1

mđề đúng với n = 1
Giả sử mđề đúng với n = k
1
tức là
( ) ( )
2 2 2 2
k k 1 2k 1
1 2 3 k
6
....
+ +
+ + + + =
80
Dựa vào giả thiết quy nạp
hãy chứng minh mệnh đề
đúng với n = k+1?
Hãy kiểm tra với n = 0, 1 ?
Hãy chứng minh mệnh đề
đúng với n = k +1 ?
Hãy thêm và bớt 13 vào biểu
thức sau đó đặt nhân tử

chung nhóm các nhân tử chia
hết cho 6 ?
Chú ý: Lập luận
2k 2k 2 2k 3
+ + > +
?
Vế trái của mệnh đề là biểu
thức có tính chất gì ?
Chú ý: Nếu không xét tới
dấu thì số hạng đứng sau hơn
số hạng đứng trớc một đơn vị
vậy số hạng đứng sau
2k 1
+
là số nào ?
10'
10'
12'
ta phải c / m mệnh đề đúng với n = k + 1tức là
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
k 1 k 2 2k 3
1 2 3 k k 1
6
....
+ + +
+ + + + + + =
Thật vậy:

( ) ( )
( )
2
k k 1 2k 1
VT k 1
6
+ +
= + +
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
k 1 2k k 6k 6 k 1 2k 4k 3k 6
6 6
k 1 k 2 2k 3
VP
6
+ + + + + + + +
= =
+ + +
= =
Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1 suy ra m / đề đúng
với
n N
*

Bài 2
Chứng minh

n
n
n N u 13 1 6 =
M
Giải
Với
0
0
n 0 u 13 1 0 6= = =
M
Giả sử m / đề đúng với n = k
0

tức là
k
k
u 13 1 6=
M
Ta phải chứng minh mệnh đề chia hết
cho n = k + 1 tức là
k 1
k 1
u 13 1 6
+
+
=
M
Thật vậy:
( )
k 1 k

k 1
k
u 13 1 13 13 13 13 1
13 13 1 12 6
.
+
+
= = +
= +
M
Bài 3
Chứng minh rằng:
( )
n 3 n N
thì
n
2 2n 1> +
Giải
Với n = 3 ta có VT = 8, VP = 7 Vậy mệnh đề đúng
với n = 3
Giả sử mệnh đề đúng với n = k
3
tức là
k k
2 2k 1 2 2 4k 2 2k 3.> + > + > +
Vì
k 3 2k 2k 2 2k 3 + + > +
Vậy mệnh đề đúng với n = k +1 nên m / đề đúng với
n 3
Bài 4

Chứng minh rằng:
n N
*

Ta có
( )
1 2 3 4 2n 2n 1 n 1.... + + + + = +
Với n = 1 , VT = 2 , VP = 2

m / đề đúng với
n = k
1
Tức là
( )
1 2 3 4 2k 2k 1 k 1..... + + + + = +
Ta phải chứng minh m / đề đúng với n = k +1
Tức là
( ) ( ) ( )
1 2 3 4 2k 2k 1 2k 2 2k 3
k 1 2k 2 2k 3 k 2
.... + + + + + + +
= + + + = +
Mệnh đề đúng với
n N
*

III. H ớng dẫn học ở nhà (3')
Ôn lại cách chứng minh một mệnh đề bằng quy nạp
- Xem lại các bài tập đã chữa
Đọc trớc bài mới

81
Ngày soạn: 4 / 12 / 2003 Ngày dạy: 10 / 12 / 2003
Tiết 43 - 44 dãy số
A. Phần chuẩn bị
I. Yêu cầu bài dạy
Kiến thức: Nắm đợc khái niệm dãy số hữu hạn, dãy vô hạn cách cho dãy số
Khái niệm về dãy số tăng( giảm ) dãy số bị chặn, bị chặn trên,
chặn dới
Kỹ năng: Rèn kỹ năng cho dãy số, chứng minh dãy số tăng( giảm ) và chứng
dãy số bị chặn
Giáo dục: Rèn tính tự giác tính tích cực trong học toán rèn t duy khái quát hoá
II. chuẩn bị
1) Thầy: sgk - bài soạn
2) Trò: sgk - bài học - bài tập
Tiết 43
B. Phần thể hiện trên lớp
I. Kiểm tra bài cũ (5')
Câu hỏi: Chứng minh rằng:
n N

thì
3
n 2n 3+
M
Đáp án: Với n = 0 ta có
3
0 2 0 0 3.+ =
M
Giả sử mệnh đề đúng với n = k
0

thì tức
3
k 2k 3+
M
Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức
( ) ( )
3
k 1 2 k 1+ + +

( )
3 2 3 2
k 3k 9k 1 2k 2 k 2k 3 k 3k 1 3= + + + + + = + + + +
M
II. Bài mới

GV: nhắc lại khái niệm hàm số
Chú ý: Dãy các giá trị của hàm số
u xác định trên tập hợp M là dãy
số hữu hạn
Hãy cho biết dãy có bao nhiêu số
hạng ? tìm số hạng đầu và số
hạng cuối ?
Thế nào là dãy vô hạn hãy lấy ví
dụ về dãy vô hạn ?
10'
5'
1) Định nghĩa dãy số
a) dãy hữu hạn
Cho
{ }

M 1 2 3 m; ; ;.....;=
là tập các số tự nhiên
đầu tiên khác 0 Một hàm số u xác định trên tập
hợp M đợc gọi là một dãy số hữu hạn tập các
giá trị của dãy số hữu hạn kí hiệu
( ) ( ) ( )
1 2 m
u u 1 u u 2 u u m, ,....,= = =
Hay
1 2 3 m
u u u u, , ,....,
Trong đó
1
u
số hạng đầu
2
u
số hạng thứ hai

m
u
số hạng thứ m hay số hạng cuối
Kí hiệu dãy số:
( )
m
u
hay
m
u

Ví dụ 1: cho
( )
n
u
có dạng triển khai
2 4 6 8 10, , , ,

là dãy có 5 số hạng có
1 5
u 2 u 10;= =
Ví dụ 2: Cho
n
u
có dạng triển khai 5, 7, 9 là dãy
có 3 số hạng trong đó
1 3
u 5 u 9;= =
b) Dãy vô hạn
Hàm số u xác định trên tập hợp
N
*
gọi là một
dãy vô hạn ( hay dãy số )
82
Hãy tìm số hạngtổng quát của
dãy số sau ?
Tìm số hạng tổng quát của dãy
số ?
Hãy lấy ví dụ dãy số cho bằng
công thức ?

Hãy viết 4 số hạng đầu của dãy ?
Thế nào là hệ thức truy hồi ? hệ
thức truy hồi có đặc điểm gì ?
Hãy viết dãy số dới dạng triển
khai ?
Hãy viết dãy số dới dạng triển
khai ?
GV: nêu cách biểu diễn dãy số ?
Dãy số gọi là tăng nếu thoả mãn
điều kiện gì ?
3'
3'
7'
10'
dãy số
n
u
viết
1 2 3 n
u u u u, , ,...., ,....
1
u
số hạng đầu
2
u
số hạng thứ hai

n
u
số hạng thứ n hay số hạng tổng quát

Ví dụ 1: cho
n
u
có dạng triển khai
1 2 3 4 5 n, , , , ,...., ,....
Số hạng tổng quát là
n
u n=
Ví dụ 2: cho dãy
3 4 5 n 1
2
2 3 4 n
, , , ,...., ,...
+
Số hạng tổng quát là
n
n 1
u
n
+
=
2) Cách cho dãy số
a) Bằng công thức
Ví dụ 1:
n
1
u
n
=
ví dụ 2:

n
1
u 1
n
=
Ví dụ 3:
n
u 2n 3= +
b) Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên
tiếp của nó
Ví dụ: cho dãy
( )
n
u
với
n
u
là giá trị gần đúng
thiếu của số
3 1415926535, ...

=
có
1 2 3 4
u 3 1 u 3 14 u 3 141 u 3 1415, ; , ; , ; , ....= = = =
c) cho bằng công thức truy hồi
- cho số hạng đầu ( vài số hạng đầu )
- cho hệ thức truy hồi: là hệ thức biểu thị số
hạng thứ n qua số hạng ( vài số hạng )đứng trớc
nó

Ví dụ1: cho dãy
( )
1
n
n n 1
u 2
u
u u 3 n 2
:

=



= +


Có dang triển khai
2 5 8 11 14, , , , ,...
Ví dụ 2: cho dãy
( )
1 2
n
n n 2 n 1
u 1 u 1
u
u u u n 3
,
:

= =



= +


Gọi là dãy phibônaxi
3) Cách biểu diễn hình học dãy số
- Biểu diễn hình học dãy
n
1
u
n
=
4) Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa:
Dãy số
( )
n
u
gọi là dãy tăng nếu
n N
*

thì
n n 1
u u
+
<

83
ì
0
1
2
1
3
1
4
1
Dãy số gọi là giảm nếu thoả mãn
những điều kiện gì ?
Hãy lấy ví dụ về dãy số không
đơn điệu ?
Khi đó
1 2 3 n
u u u u... ...< < < < <
Dãy số
( )
n
u
gọi là dãy giảm nếu
n N
*

thì
n n 1
u u
+
>

Khi đó
1 2 3 n
u u u u... ...> > > > >
Dãy số tăng và dãy số giảm gọi chung là dãy
đơn điệu
Chú ý: Không phải mọi dãy đều tăng hay giảm
Ví dụ1:
n
u 5=
Ví dụ 2:
( )
n 1
n
1
u
n 1
+

=
+
III. H ớng dẫn học ở nhà ( 2' )
- Ôn khái niệm dãy số cách cho dãy số dãy tăng hay giảm
- Giải bài tập 1, 2, 3, 4 trang 94 sgk
Ngày soạn: 10 / 12 / 2003 Ngày dạy: 13 / 12 / 2003
Tiết 44
B. Phần thể hiện trên lớp
I. Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số sau
n
2

2n 1
u
n

=
Đáp án:
3 5 7 9
1
4 9 16 25
, , , ,
II. Bài mới
Từ định nghĩa dãy số tăng
( giảm) rút ra hệ quả ?
Có bao nhiêu cách chứng minh
dãy số đơn điệu ?
Hãy lấy ví dụ về dãy tăng và
chứng minh ?
Hãy lấy ví dụ về dãy giảm và
chứng minh ?
Hãy quy đồng và rút gọn ?
Hệ quả:
*) Dãy số
( )
n
u
tăng
( )
n 1 n
n 1
n

u u 0
n N
u
1
u
*
+
+
>




>


*) Dãy số
( )
n
u
giảm
( )
n 1 n
n 1
n
u u 0
n N
u
1
u

*
+
+
<




<


Ví dụ 1 Cho dãy
n
u 5n 1= +
là dãy tăng
Thật vậy:
( )
n 1
u 5 n 1 1
+
= + +
nên
( )
n 1 n
u u 5 n 1 1 5n 1 5n 5 1 5n 1
+
= + + = + +
n
5 0 u 5n 1= > = +
là dãy tăng

Ví dụ 2: Cho dãy
n
n 1
u
n
+
=
là dãy giảm
Thật vậy:
( )
( )
2 2
n 1 n
n 1 1
n 1 n 2n n 2n 1
u u
n 1 n n n 1
+
+ +
+ +
= =
+ +
( )
1
0 n N
n n 1
*
= <
+
vậy dãy số là dãy giảm

84
Thế nào là dãy bị chặn trên ?
Thế nào là dãy bị chặn dới ?
Thế nào là dãy bị chặn ?
Hãy lấy ví dụ về dãy bị chặn dới
?
Hãy lấy ví dụ về dãy bị chặn
trên ?
Hãy lẫy ví dụ về dãy bị chặn ?
5) Dãy bị chặn
Định nghĩa:
+) Dãy số
( )
n
u
Gọi là bị chặn trên nếu
n N
*

số M :
n
u M
+) Dãy số
( )
n
u
Gọi là bị chặn dới nếu
n N
*

số m :
n
u m
+) Dãy số
( )
n
u
Gọi là bị chặn nếu
n N
*

số M, m :
n
m u M
Ví dụ 1:
n
u 5n 1= +
Với
n
n N u 6
*

n
u 5n 1 = +
là dãy bị chặn dới bởi 6 không bị
chặn trên
Ví dụ 2: Cho
n
u 2 n=
với

n N
*

n n
u 1 u 2 n =
bị chặn trên bởi 1 không bị
chặn dới
Ví dụ 3: Cho dãy
n
1
u
n
=
với
n N
*

số
0
và 1
sao cho
n n
1
0 u 1 u
n
< =
là dãy bị chặn
III. H ớng dẫn học ở nhà
- Ôn các khái niệm dãy số vô hạn hữu hạn cách cho dãy số, khái niệm dãy số
tăng dãy số giảm dãy bị chặn trên, bị chặn dới, và bị chặn

- Giải bài tập 5, 6, 7 sgk trang 94 - 95

Ngày soạn: 10 / 12 / 2003 Ngày dạy: 13 / 12 / 2003
Tiết 45 Luyện tập
A. Phân chuẩn bị
I. Yêu cầu bài dạy
Kiến thức: Củng cố dãy số cách cho dãy số chứng minh dãy số tăng ( giảm )
dãy số bị chặn
Kỹ năng: Rèn kỹ năng viết dãy số dới dạng triển khai Tìm số hạng tổng quát
của dãy số xét tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số
Giáo dục: Rèn t duy khái quát, t duy lô gíc tính tự giác tính tích cực
trong học toán
II. Chuẩn bị:
1) Thầy: sgk - bài soạn - đồ dùng dạy học
2) Trò: sgk - bài học - bài tập
B. Phần thể hiện trên lớp
I. Kiểm tra bài cũ ( 5' )
Câu hỏi: Viết 5 số hạng đầu của dãy số
n
2
2 3n
u
n

=
Đáp án:
1 2 3 4 5
7 10 13
u 1 u 1 u u u
9 16 25

, , , ,= = = = =
II. Bài mới
85
Nêu cách viết các số hạng của dãy
số ?
Hãy viết 5 số hạng của dãy số ?
Hãy nêu cách tìm số hạng bất kỳ của
dãy số ?
Lu ý: Chỉ số
n N
*

Nên không có
n = 0 ?
Hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy số ?
Từ đó viết số hạng
n
u
?
Nêu định nghĩa dãy số đơn điệu ?
Muốn xét tính đơn điệu của dãy số
có bao nhiêu cách hãy sử dụng giải
bài tập 5 ?
Hãy tìm số hạng thứ
n 1
u
+
và xét hiệu
n 1 n
u u

+

?
Nêu khái niệm dãy bị chặn trên, dới
và bị chặn ?
Hãy chỉ ra số M, m theo nh định
nghĩa ?
Lu ý: dãy
( )
n
1
u
n n 1
=
+

n N
*

Có tồn tại số nào sao cho lớn hơn
5'
5'
5'
10'
8'
5'
Bài 1: a)
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
, , , ,

b)
2 5 8 14
1
5 7 9 13
, , , ,
c)
2 4 6 8 10, , , ,
d)
1 2 3 4
0
2 3 4 5
, , , ,
Bài 2
1 2 2n 2n 1
1 1
u 0 u u u 0
12 n
, , ,
+
= = = =
Bài 3
a)
n
u 3n=
b)
( )
n
u 5 n 1 2= +
hay
n

u 5n 3=
Bài 4
Cho
( )
1
n
n 1 n
u 3
u
u 2u n 1
+
=


=

=


Ta có
1 2 3 4
5
u 3 u 2 3 u 2 2 3 u 2 2 2 3
u 2 2 2 2 3
, , , . . , . . .
. . . .
= = = =
=
Vậy
n 1

n
u 2 3.

=
Bài 5
a) ta có
( )
( )
( )
n 1 n
2
2
2 2
2
2
1 1
u u
n 1
n 1 1
n 1 n 2n 2
n 1 n 1 1
+
=
+
+ +
+
=

+ + +

n
2
2n 1
0 n N u
n 2n 2
*
+
<
+ +
dãy giảm
b)

n 1 n
n 1 n
n 1 n
n n 1 n n n 1 n 1
n n 1
2 1 2 1
u u
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
. .
.
+
+
+
+ + +
+

=
+
=
( )
n
n n 1 n 1
2 2 1
1
0 n N
2 2 2
*
.
+ +

= >
n
u
là dãy
tăng
c)
n
n
1
u
2

=
ữ

là dãy không tăng không

giảm
Bài 6
a)
n n n
u 2n 1 n N u 1 u
*
,=
là dãy bị
chặn dới không bị chặn trên
b)
( )
n n n
1 1
u n N 0 u u
n n 1 2
*
,= <
+
là
dãy bị chặn
c)
2 n 1
n n n
u 3 2 n N u 6 u
*
. ,

=
là dới
86

hay nhỏ hơn
n
u
Không ?

không bị chặn trên
d)
n
n n
1 1 1
u n N u
3 3 9
*
,

=
ữ

III. H ớng dẫn học ở nhà ( 2' )
- Ôn khái niệm dãy số cách cho dãy số dãy số tăng, giảm, bị chặn
- Xem lại bài tập đã chữa
- Giải bài tập 7 sgk - trang 95

Ngày soạn: 14 / 12 / 2003 Ngày dạy: 20 / 12/ 2003
Tiết 46 cấp số cộng
A. Phần chuẩn bị
I. Yêu cầu bài dạy
Kiến thức: Nắm đợc định nghĩa cấp số cộng số hạng tổng quát tính chất
và tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Kỹ năng: Tìm số hạng thứ

n
u
tìm công sai d xác định cấp số tính tổng
của n số hạng
Giáo dục: Rèn t duy khái quát hoá tính tự giác trong học toán
II. Chuẩn bị
1) Thầy: sgk - bài soạn
2) trò: sgk - bài học - bài tập
B. Phần thể hiện trên lớp
I. Kiểm tra bài cũ ( 5')
Câu hỏi: Cho dãy
n
u 2n 1=
hãy viết dãy số dới dạng triển khai. Hãy cho biết
Trong dãy
n
u 2n 1=
các số hạng liền kề nhau có tính chất gì ?
Đáp án:
n
u 1 3 5 7 2n 1, , , ,...., ,....=
Đặt vấn đề: Trong dãy
n
u
kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng luôn bằng số hạng
đứng trớc nó cộng với một số không đổi dãy có tính chất nh vậy
gọi là cấp số cộng vậy thế nào là cấp số cộng cấp số cộng có tính chất
gì chúng ta nghiên cứu bài hôm nay
II. Bài mới

Dãy số nói trên gọi là cấp số cộng
vậy em nào định nghĩa đợc cấp số
cộng ?
Trong
( )
1
nếu biết hai trong ba
yếu tố ta tính đợc yếu tố còn lại ?
Tính
n 1 n
d u u
+
=
Hãy lấy ví dụ về cấp số cộng ?
Hãy viết cấp số cộng đó dới dạng
triển khai ?
10'
1) Định nghĩa: ( ssgk )

n 1 n
u u d
+
= +

( )
1

( )
n N
*

Trong
( )
1
d gọi là công sai
Nếu
1 2 n
d 0 u u u.... ...= = = = =
Kí hiệu: cấp số cộng là
1 2 3 n
u u u u, , ,...., ,....ữ
Ví dụ 1:
1 2 3 4 n 1 n, , , ,..., , ,...ữ
có số hạng đầu
1
u 1 d 1,= =
Ví dụ 2: Cho
n
uữ
có 5 số hạng với
1
u 5=
và
87
Trong ví dụ 1 số hạng tổng quát
của cấp số cộng là
( )
n
u n n N
*

,=
Vậy có cách nào để tìm số hạng
tổng quát của cấp số cộng hay
không ta sang phần 2)
Học sinh đọc định lí ?
GV: Trong
( )
2
muốn tính số hạng
n
u
phải biết số hạng
1
u
và d
Dựa vào định nghĩa hãy chứng
minh
( )
2
đứng với n = k+1 ?
Dựa vào cấp số đã cho hãy tính
công sai d sau đó tìm số hạng thứ
100 và số hạng thứ
n
u
?
Học sinh đọc định lí ?
Hãy viết tổng n số hạng đầu của
cấp số cộng ?
Hãy viết các số hạng dới dạng

tổng của
1
u
và d sau đó cộng vế
với vế ?
GV: vậy ta có hai công thcs tính
tổng của n số hạng đầu của cấp số
cộng ?
nếu biết
1
u
và d thì tính theo công
thức nào ?
10'
5'
10'
d 2
=
tìm cấp số đó và viết dới dạng triển
khai
Giải
1 2 3 4 5
u 5 u 7 u 9 u 11 u 13, , , ,= = =
2) Số hạng tổng quát:
Định lí: ( sgk )

( )
n 1
u u n 1 d= +

( )
2

n 2( )
Chứng minh
Với
( )
n 1 2=
đúng
Giả sử
( )
2
đúng với n = k tức là
( )
k 1
u u k 1 d= +
ta chứng minh
( )
2
đúng với
n = k +1 tức là
( )
k 1 1 1
u u k 1 1 d u kd
+
= + + = +
Thật vậy:
( )
k 1 k 1 1
u u d u k 1 d d u kd

+

= + = + + = +

Vậy
( )
2
đúng với
n N
*

Ví dụ 3: Tính số lẻ thứ 100 và số lẻ thức n của
cấp số cộng
1 3 5 7, , , ,....ữ
Giải
Cấp số cộng đã cho có công sai d = 2 và
( )
1 100 1
u 1 u u 100 1 d 1 99 2 199.= = + = + =
( ) ( )
n 1
u u n 1 d 1 n 1 2 2n 1 N
*
. ,= + = + =
3) Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lí: ( sgk )

( )
k 1 k 1
k

u u
u k 2
2
,
+
+
=
C / m : (sgk )
4) Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Cho
1 2 n
u u u, ,...., ,...ữ
hãy tính tổng
n
S
của n số
hạng đầu của cấp số cộng đó
Giải
Gọi
n
S
là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
thì
n 1 2 n
s u u u....= + + +
Ta có
( )
1 1
2 1
3 1

n 1
u u
u u d
u u 2d
u u n 1 d
...................
=
= +
= +
= +
Cộng vế với vế ta có
( )
( )
( )
( )
n 1
1 1
s nu 1 2 3 n 1 d
n 1 n
n
nu d 2u n 1 d
2 2
...
.

= + + + + +



= + = +

88
Nếu biết số hạng đầu và số hạng
cuối thì tính bằng công thức nào ?
Cách đánh chuông của đồng hồ có
là cấp sô scộng hay không ?
Hãy tìm số hạng
1
u
và d của cấp
số cộng là n số tự nhiên chẵn ? ( lẻ
) ?
3'
Hay
( )
( )
( )
n 1 1 1 n
n n
s u u n 1 d u u
2 2

= + + = +

Ví dụ 4: ( Sgk)
( )
12
12
s 1 2 3 12 1 12 78
2

...= + + + + = + =
Ví dụ 5
Gọi
c l
s s,
là tổng của n số chẵn đầu và n số lẻ
đầu thì
( ) ( )
c
n
s 2 4 6 2n 2 2n n n 1
2
...= + + + + = + = +
( ) ( )
2
l
n
s 1 3 5 2n 1 1 2n 1 n
2
....

= + + + + = + =

III. H ớng dẫn học ở nhà (2')
- Ôn lại khái niệm về cấp số cộng các tính chất các công thức tính số hạng
tổng quát và tổng của n số hạng đầu
- Giải các bài tập 1đến 9 sgk trang 99 - 100
Ngày soạn: 18 / 12 / 2003 Ngày dạy: 21 / 12 / 2003
Tiết 47-48 luyện tập
A. Phần chuẩn bị

I. Yêu cầu bài dạy:
Kiến thức: Củng cố kiến thức về cấp số cộng cách tìm công sai, tìm số hạng
của cấp số cộng tính tổng n của cấp số cộng
Kỹ năng: Rèn kỹ năng tính công sai, tính số hạng của cấp số cộng, tính tổng của
n số hạng đầu của cấp số cộng
Giáo dục: Rèn t duy khái quát hoá, rèn tính tự giac strong học tập
II. Chuẩn bị
1) Thầy: sgk - bài soạn
2) Trò: sgk - bài học - bài tập

Tiết 47
B. Phần thể hiện trên lớp
I. Kiểm tra bài cũ (5')
Câu hỏi: Hãy nêu định nghĩa cấp số cộng. Công thức số hạng tổng quát tính chất
và công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng
Đáp án:
n 1 n
u u d
+
= +
,
( )
n 1
u u n 1 d= + n 2( )

( )
k 1 k 1
k
u u
u k 2

2
,
+
+
=


( )
n 1
n
s 2u n 1 d
2

= +

,
( )
n 1 n
n
s u u
2
= +

n 2( )
II. Bài mới
Hãy áp dụng công thức tổng
quát tính
17
u
và

10
u
?
10' Tìm các số hạng và công sai của cấp số cộng
Bài 1:
a)
( )
17 1
u u 17 1 4 1 16 4 65.= + = + =
b)
( )
( )
10
u 2 1 10 1 1 2 10 8 2= + + =
89
Hãy tính d theo
15
u
?
Tính d bằng công thức nào ?
Tính hiệu
n 1 n
u u
+

Nếu là một
số không đổi thì dãy đã cho là
cấp số cộng ?
Nếu hiệu nói trên không là số
không đổi thì dãy đã cho không

là cấp số cộng ?
Hãy biến đổi hệ về dạng chỉ
chứa ẩn
1
u
và d ?
Câu b tơng tự câu a)
Nêu công thức tính tổng của n
số hạng đầu của cấp số cộng ?
5'
10'
8'
5'
Bài 2
Ta có
15 1
43 1
u u 14d 43 d 3
14

= + = = =
Bài 3
a)
( )
n 1 n
u u 3 n 1 7 3n 7 3 d
+
= + + = =
là số
không đổi nên

n
u 3n 7=
là cấp số cộng có
công sai d = 3
b)
( )
n 1 n
3 n 1 2
3n 2
u u
5 5
3n 5 3n 2 3
5 5
+
+ +
+
=
+
= =
là số không đổi nên
n
3n 2
u
5
+
=
là cấp số cộng có
công sai d =
3
5

c)
( )
2
2 2 2
n 1 n
u u n 1 n n 2n 1 n 2n 1
+
= + = + + = +
là số thay đổi theo n nên không là công sai nên
2
n
u n=
không là cấp số cộng
Bài 4
a)
( ) ( )
1 1
7 3
2 7
1 1
u 6d u 2d 8
u u 8
u u 75
u d u 6d 75
+ =

=

=
+ + =



2 2 2
1 1 1 1
d 2 d 2
u 7 u d 6d 75 u 14u 51 0
= =




+ + = + =


1
1
u 3 d 2
u 17 d 2
,
,
= =


= =

b)

2 3 5
1 1 1
1 6 1 1
u u u 10
u d u 2d u 4d 10
u u 17 u u 5d 17
+ =
+ + + =




+ = + + =


1
1 1
1
u 3d 10
u 3d 10 u 1
2u 5d 17
d 3 d 3
+ =
+ = =




+ =
= =

Bài 5
a)
( )
10
10 550
s 5 50 275
2 2
= + = =
b)
[ ]
10
10
s 2 1 9 4 190
2
. .= + =
III. H ớng dẫn học ở nhà (2')
- Ôn các công thức về cấp số cộng
- Giải bài tập6,7, 8, 9 trang99 - 100 sgk
Ngày soạn: 18 / 12 / 2003 Ngày dạy: 21/ 12 / 2003
90