BĐT Cô Si

BÊt ®¼ng thøc C« Si vµ øng dông
I. BÊt ®¼ng thøc C« Si
1. BÊt ®¼ng thøc C« Si víi 2 sè kh«ng ©m.
Víi mäi 2 sè thùc kh«ng ©m a
1
,a
2
ta cã :
1 2 1 2
2 .a a a a+ ≥
hay
2
1 2
1 2
.
2
a a
a a
+
 
≤
 ÷
 
DÊu b»ng x¶y ra  a
1
= a
2

2. BÊt ®¼ng thøc C« Si víi 3 sè kh«ng ©m.
Víi mäi 3 sè thùc kh«ng ©m a

1
,a
2
, a
3
ta cã :
3
1 2 3 1 2 3
3 . .a a a a a a+ + ≥
hay
3
1 2 3
1 2 3
. .
3
a a a
a a a
+ +
 
≤
 ÷
 
DÊu b»ng x¶y ra  a
1
= a
2
= a
3.

II. ứng dụng: ( Vận dụng bất đẳng thức Cô Si )

1. Chứng minh bất đẳng thức :
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có :
3 3
) 2.
a b
A ab
b a
+
Đáp án :
A)áp dụng bất đẳng thức Cô Si với 2 số thực dng:
3
a
;
b
3
b
;
a
Ta có :
3 3 3 3
2. . 2
a b a b
ab
b a b a
+ =
) 3
a b c
B
b c a
+ +

Dấu bằng xảy ra
3
a
b
=
3
b
a b
a
<=> =

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có :
Đáp án :
B)áp dụng bất đẳng thức Cô Si với 3 số thực dng:
;
a
b
;
b
c
;
c
a
Ta có :
3
3. . . 3
a b c a b c
b c a b c a
+ + =
) 3

a b c
B
b c a
+ +
Dấu bằng xảy ra
a
b
=
b
c
=
c
a
a = b = c

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có :

bc ca ab
+ + a + b + c
a b c
Đáp án
áp dụng bất đẳng thức Cô Si với 2 số dương
bc
;
a
ca
b
Ta có :
2. . 2 2
bc ca bc ca bc ca

c c
a b a b a b
+ = +
(1)
Tương tự :
2
ca ab
a
b c
+
(2);
2
ab bc
b
c a
+
(3);
Cộng (1), (2) và (3) được :
2.( ) 2( )
bc ca ab
a b c
a b c
+ + + +
bc ca ab
a b c
a b c
<=> + + + +