Đại số 11 Chương III (Cơ bản)

Ch¬ng III.
D·y sè
–
cÊp sè céng vµ cÊp sè nh©n
44
Ngày soạn: 05/12/2008 Tiết pp:
37-38
Đ 1.
phơng pháp quy nạp toán học
I. mục tiêu.
1. Kiến thức: - Học sinh nắm đợc các bớc chứng minh bài toán bằng phơng pháp quy nạp.
2. Kỹ năng: - Học sinh chứng minh đợc bài toán bằng phơng pháp quy nạp.
3. T duy : T duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.
4. Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.
II. Chuẩn bị phơng tiện dạy học.
1. Thực tiễn:
2. Ph ơng tiện : Giáo án, SGK, thớc kẻ, .
III. Phơng pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra:
3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
-Phơng pháp quy nạp th-
ờng đợc áp dụng c/m các
mđ chứa biến
n N
- trờng hợp thờng gặp p
=1,2
- giả thiết mđ đúng khi n
= k gọi làgiả thiết quy

nạp.
Hớng dẫn HS làm từng b-
ớc.
Với n = 1 thì VT và VP có
giá trị nh thế nào?
Ta có kết luận gì?
Hớng dẫn HS đặt giả thiết
qui nạp. Chú ý khi thay n =
k vào (1)
Gọi HS thay n = k + 1 vào
(1)
Hớng dẫn HS dùng giả
thiết qui nạp để cm (1)
cũng đúng với n = k + 1
Cho hs làm hoạt động 1
yêu cầu hs làm theo từng b-
ớc
Bớc 1 ta làm gì?
Giả thiết qui nạp của bài
toán này nh thế nào?
- chú ý nắm bắt phơng pháp
cm bài toán bằng phơng
pháp qui nạp.
Thay n = 1 vào (1) ta có VT
= 1, VP = 1
KL (1) đúng với n = 1
Chú ý khi thay n = k vào (1)
Thay n = k + 1 vào (1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) + (2k
+ 1) = (k + 1)

2
Thay n = 1 vào 2 vế của (2)
VT = 1, VP = 1
KL (2) đúng với n = 1
Đặt giả thiết qui nạp
I. Phơng pháp qui nạp toán học.
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến
số tự nhiên n N
*
là đúng với mọi n mà không
thể thử trực tiếp đợc thì có thể làm nh sau:
Bớc 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
Bớc 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự
nhiên bất kì n = k 1 (gọi là giả thiết qui nạp),
chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Đó là phơng pháp qui nạp toán học, hay còn gọi
là phơng pháp qui nạp.
II. Ví dụ áp dụng
1 Ví dụ 1. CMR n N
*

thì
1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = n
2
(1)
Giải:
Với n = 1 , ta có:
VT = 1
VP = 1
Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k bất kì (k 1)
Túc là: 1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) = k
2
Ta đi cm (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là
1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) + (2k + 1) = (k +
1)
2
Thật vậy theo giả thiết qui nạp, ta có:
{1 + 3 + 5 +...+ (2k 1)] + (2k + 1)
= k
2
+ 2k + 1 = (k + 1)
2
Vậy (1) đúng với mọi n N
*
Hoạt động 1.
CMR nN* thì
1 + 2 + 3 + ... + n =
( 1)
2
n n +
(2)
+ n =1 ta có vt =1, vp =1
vậy mđ (1) đúng
45
Gọi hs thay n = 2, a, k, k+1
vào đt(2)
Chú ý:
giả sử ax
2

+ bx + c = 0 có
hai nghiệm phân biệt x
1
và
x
2
thì đợc viết lại bằng
a(x - x
1
)(x - x
2
)
Bớc 1 ta làm ntn
Gọi HS đặt giả thiết qui
nạp
Gọi học sinh thay n = k+1
vào (3)
Hớng dẫn HS chứng minh
dựa vào giả thiết qui nạp
Giả sử (2) đúng với n = k 1
1+2+3 +.......+ k =
( 1)
2
k k +
đi cm (2) đúng với n = k+1
Thử xem (3) có đúng với n = 1
VT = 1, VP = 1
Vậy (3) đúng với n = 1
Giả sử (3) đúng với n = k 1
bất kì

Tức là :
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+...+ k
2
=
( 1)(2 1)
6
k k k+ +

+ Giả thiết mđ(1) đúng với n = k 1 ,
ta có
1 + 2 + 3 +.......+ k =
( 1)
2
k k +
ta cm mđ(1) cũng đúng với n = k+1,
tức là chứng minh
1+ 2 +3 +....+ k + (k+1) =
( 1)( 2)
2
k k+ +
Tacó :
( 1 + 2 + 3 +....+ k ) + (k +1) =
=
( 1)

2
k k +
+ (k +1)
=
[ ]
( 1) 2( 1)
2
k k k+ + +
=
( 1)( 2)
2
k k+ +
Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n1.
Bài 1c/ 82 SGK
CMR n N*, ta có
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+...+ n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
(3)
Giải.
Với n = 1, ta có

VT = 1
2
= 1
VP = 1
Vậy (3) đúng với n = 1
Giả sử (3) đúng với n = k 1 bất kì
Tức là :
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+...+ k
2
=
( 1)(2 1)
6
k k k+ +

Ta cm (3) cũng đúng với n = k + 1
Tức là cm:
1
2
+2
2
+3
2
+...+k
2

+(k+1)
2
=
( 1)( 2)(2 3)
6
k k k+ + +

Thật vậy theo gt qui nạp, ta có:
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+...+ k
2
+ (k+1)
2
=
( 1)(2 1)
6
k k k+ +
+ (k+1)
2
= (k + 1)
2
2 7 6
6
k k

+ +
ữ

=
( 1)( 2)(2 3)
6
k k k+ + +
Vậy (3) đúng n N*
4. Củng cố bài : Để cm một bài toán bằng pp qui nạp phải làm theo 2 bớc
5. Hớng dẫn về nhà : làm các bài tập trong SGK.
46
Ngày soạn: 11/12/2008 Tiết pp: 39-
40
Đ 2.
dãy số
I. mục tiêu.
1. Kiến thức: - Nắm đợc định nghĩa dãy số cách chodãy số, ĐN dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số
bị chặn.
2. Kỹ năng: - Học sinh biết cách cho dãy số
- Xét đợc tính đơn điệu của dãy số
- Chứng minh đợc dãy số bị chặn
3. T duy : T duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.
4. Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.
II. Chuẩn bị phơng tiện dạy học.
1. Thực tiễn:
2. Ph ơng tiện : Giáo án, SGK, thớc kẻ, .
III. Phơng pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra: Nêu các bớc cm bài toán bằng phơng pháp qui nạp

CMR CMR nN* thì 1 + 2 + 3 + ... + n =
( 1)
2
n n +

3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Giỏo viờn phõn tớch din gii
vớ d trong sỏch sgk , sau ú
rỳt ra nh ngha dóy s.
GV yờu cu hc sinh tr li
cõu hi H1
GV a ra ký hiu dóy s, ký
hiu s hng tng quỏt.
- GV cho hc sinh ghi dng
khai trin ca dóy s Vớ d
1.
GV nờu chỳ ý cho hc sinh
v dóy s hu hn
.
- Hc sinh quan sỏt v ghi nh
- Mi hc sinh c lp suy
ngh v tr li.
- Hc sinh ghi dng khai trin
ca dóy s vớ d 1.
HS chú ý định nghĩa hữu hạn
I. Định nghĩa
1. định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên
dơng N* đợc gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy

số). Kí hiệu
u: N* R
n
a
u(n)
Viết dãy số dới dạng khai triển
u
1
, u
2
, u
3
,..., u
n
, ...
trong đó:
u
1
đợc gọi là sô hạng đầu
u
n
là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát
Ví dụ: cho dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, ...
Số hạng đầu u
1
= 1
Số hạng tổng quát u
n
= 2n 1
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = (1, 2, 3, ...,
m) với m N* đợc gọi là một dãy số hữu hạn.
47
Số hạng đầu và số hạng cuối
là bao nhiêu
GV tip tc phõn tớch Vớ d 2
hc sinh hiu hn khỏi
nim dóy s hu hn
GV phõn tớch thớ d, giỳp hc
sinh hiu cỏch cho mt dóy s
theo cụng thc tng quỏt.
GV yờu cu hc sinh tr li
cõu hi H2.
GV kim tra v nhn xột
GV phõn tớch vớ d 3, giỳp
hc sinh bit cỏch cho dóy s
bng bi cụng thc truy hi.
+ s hng th hai u
2
cú liờn
quan nh th no n s hng
th nht u
1
?
+ s hng th ba cú liờn quan
nh th no n s hng th
hai u
2
?
GV hng dn cho hc sinh

tr li Vớ d 4.
+ Theo cụng thc ca v
n,
ta
mun tỡm v
n
thỡ ta cn tớnh
iu gỡ?
+ T dú, mun tỡm v
4
nh th
no?
+ Mun tỡm v
3
bng cỏch
số hạng đầu u
1
= -2 và số hạng
cuối u
6
= 13
- Hc sinh quan sỏt v ghi nh.
- Hc sinh c lp suy ngh v
tr li
Hc sinh lnh hi kin thc
- Hc sinh tr li: v
n-1
v v
n-2
- Hc sinh tr li: v

.3
v v
2
- Hc sinh tr li: thụng qua v
1
v v
2
ó cho.
- Hc sinh c lp suy ngh tr
Dạng khai triển là: u
1
, u
2
, u
3
,..., u
m
Trong đó: u
1
là số hạng đầu, u
m
là số hạng cuối
Ví dụ1:
-2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có số hạng
đầu u
1
= -2 và số hạng cuối u
6
= 13
Vớ d 2: Hm s u(n) = n

3
; xỏc nh trờn tp
hp M =
{ }
1;2;3;4;5
, l mt dóy s hu
hn. Dóy s ny gm cú 5 s hng:
n 1 2 3 4 5
u
n
1 8 27 64 125
II. Cách cho một d y sốã
1. Dóy s cho bằng cụng thc ca s hng tng
quỏt.
Chng hn: Cho dóy s (u
n
) vi u
n
=
1
3 1
n
n

+
H2. Tỡm s hng u
55
v u
555
ca dóy s trờn?

Gii
u
55
=
55 1 28
...
3.55 1 83

= =
+
u
555 =
555 1 277
...
3.555 1 833

= =
+
2. Dãy số cho bằng phơng pháp mô tả (SGK)
3. Dãy số cho bằng phơng pháp truy hồi
Vớ d 3: Xột dóy s (u
n
) xỏc nh bi cụng
thc:
1
1
1
2. 1, 2
n n
u

u u n

=


= +

Tỡm s hng th 2 v s hng th 3?
u
2
= 2.u
1
+ 1 = 3
u
3
= 2.u
2
+ 1 = 7
Vớ d 4: Xột dóy s (v
n
) xỏc nh bi: v
1
= -1,
v
2
= 2 v
3n

1 2
2 .

n n n
v v v

= +
Tỡm s hng th 4 ?
Gii
Ta cú: v
3
=...... = 0
v
4
=....... = 4
48
no?
GV a ra mt dóy s (u
n
)
vi u
n
= n
3
, sau ú yờu cu
hc sinh so sỏnh u
n
v u
n+1
.
T ú a ra nh ngha dóy
s tng cng nh dóy s
gim.

GV cho hc sinh da vo
nh ngha nhn bit:
Dóy s (u
n
) vi u
n
=
1
4n +
l
dóy s tng hóy dóy s gim?
GV nêu chú ý
Cho ví dụ:
Viết dạng khai triển của dãy
số sau u
n
= (-3)
n
Chia nhúm hc tp
+GV yờu cu mi nhúm hc
sinh t cho mt dóy s tng,
mt dóy s gim, dóy s
khụng tng khụng gim.
+ GV theo dừi v yờu cu i
din nhúm phỏt biu, nhúm
cũn li nhn xột.
+ GV nhn xột ỏnh giỏ
GV cho hc sinh c nh
ngha trong sgk, sau ú a
ra cõu hi:

+ Em hiu nh th no l dóy
s b chn trờn?
+ Em hiu nh th no l dóy
s b chn di?
Gv yờu cu hc sinh da vo
nh ngha xột tớnh b chn
ca cỏc dóy s sau:
a) u
n
= n
2
, vi mi n.
b) u
n
=
2 1
1
n
n

+
vi mi n.
Gv theo dừi v nhn xột
li
Hc sinh so sỏnh u
n
v u
n+1
.
- Hc sinh da vo nh ngha

xột tớnh tng gim ca dóy
s m giỏo viờn a ra.
-3, 9, -27, 81, ...
Mi nhúm hc sinh t suy ngh
v cho vớ d.
- i din mi nhúm tham gia
phỏt biu ý kin, i din nhúm
cũn li nhn xột
Hc sinh c nh ngha v tr
li cõu hi ca giỏo viờn.
- Hc sinh da vo /n tr
li.
III. Biểu diẽn hình học của d y sốã
IV. D y số tăng,d y số giảm và d yã ã ã
số bị chặn
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa 1.
Dãy số u
n
đợc gọi là dãy số tăng nếu ta có
u
n+1
> u
n
với mọi n N*
Dãy số u
n
đợc gọi là dãy số giảm nếu ta có
u
n+1

< u
n
với mọi n N*
Ví dụ. Dãy số u
n
= 2n 1 là dãy số tăng
Vì, nN* xét hiệu u
n+1
u
n
, ta có
u
n+1
u
n
= 2(n+1) (2n 1) = 2 > 0
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng
hoặc giảm.
Chẳng hạn, dãy số (u
n
) với u
n
= (-3)
n
không
tăng cũng không giảm
2. Dãy số bị chặn
Định nghĩa.
Dãy số (u
n

) đợc gọi là bị chặn trên nếu tồn
tại một số M sao cho
u
n
M, nN*
Dãy số (u
n
) đợc gọi là bị chặn dới nếu tồn
tại một số m sao cho
u
n
m, nN*
Dãy số (u
n
) đợc gọi là bị chặn nếu nó vừa
bị chặn trên vừa bị chặn dới, tức là tồn tại
một số m, M sao cho
m u
n
M, nN*
Ví dụ:
Dãy số u
n
=n
dạng khai triển 1,2,3 ,.....,n,....
bị chặn dới vì u
n
1 nN
*
nhng không bị chặn trên,suy ra dãy số đã

cho không bị chặn.
c/m dãy số u
n
= (n-1)/n bị chặn
Giải :
Tacó u
n
= (n-1)/n = 1 - 1/n < 1 nN
*
u
n
= (n-1)/n 0 nN
*
suy ra 0u
n
1 nN
*
Do đó dãy số đã cho bị chặn.
4. Củng cố bài : - Phỏt biu /n v dóy s.
49
- Phát biểu đ/n dãy số tăng, giảm, bị chặn
- Nêu các cách cho một dãy số.
Cho dãy số (u
n
) bởi công thức truy hồi sau:
1
*
1
1
3

4 7,
n n
u
u u n N
+

=



= + ∀ ∈

Hỏi số hạng tổng quát u
n
có dạng như thế nào?
A)
2 1
3
n
n
u
+
=
B)
2 1
2 7
3
n
n
u

+
−
=
C)
1
2 7
3
n
n
u
+
−
=
D)
2 1
2
3
n
n
u
+
=
5. Híng dÉn vÒ nhµ : lµm c¸c bµi tËp trong SGK.
50