tính quãng đường trong dao động điều hòa

CÁC ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH TRONG VẬT LÝ BÀI
TOÁN TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG
ĐIỀU HÒA
Để phân biệt được dao động cơ học với các dạng chuyển động cơ học khác ngoài những
vấn đề rất cơ bản về lí thuyết thì bài toán tìm quãng đường đi của vật dao động đều hoà
có vai trò rất quan trọng.
Thông thường,khi gặp bài toán này ta chia khoảng thời gian ra thành các phần nguyên
của T/4 rồi đi tính từng đoạn.Cách này thường chỉ sử dụng trong các trường hợp đặc
biệtmới có hiệu quả.
Xét bài toán tổng quát :tìm quãng đường mà một vật dao động đều hoà hay biến đổi đều
nên không thể áp dụng theo quy luật:

sin( )x t
ω ϕ
= +
Đi được từ thời điểm
1
t
và
2
t

Vì dao đọng đều hoà không phải là chuyển động đều nên không thể áp dụng công thúc lớp
10 .Để giải quyết bài toán này ta chia khoảng thời gian
1 2
t t t= +
thành những phần dt rất
nhốa cho trong khoảng thời gian dt đó có thể coi vận tốc của vật:
,
os( t+ )v x Ac
ω ω ϕ

= =
(2)
Là không đổi .Trong khoảng thời gian này, quãng đường ds mà vật đi được là:

os( t+ )ds vdt Ac
ω ω ϕ
= =
dt
Do đó, quãng đường S của vật từ thời điểm
1
t
đến thời điểm
2
t
là:

2 2
1 1
os( t+ )
t t
t t
S ds Ac
ω ω ϕ
= =
∫ ∫
dt (3)
Tuy nhiên,việc tính (3) trong trường hợp tổng quát là không đơn giản.
Đồ thị của (2)được biểu diễn trên hình vẽ
Theo ý nghĩa của phép tính tích phân quãng đường mà vật đi được chính bằng diện tích
phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (2),trục Ot và hai đường t=

1
t
và t=
2
t
Gọi
3
t
là thời điểm ngay sau
1
t
vật có vận tốc bừng 0 ,
4
t
là thời điểm ngay sau trước
2
t
vật
có vận tốc bằng 0.Theo hình vẽ ta có :

1 3 3 4 4 2
( ) ( ) ( )S S t t S t t S t t= → + → + →
(4)
Đối với vật dao động đều hoà thì sau T/2 nó đi được quãng đường là 2A nên:

3 4
( ) 2 .S t t A n→ =
(5)
Trong đó n là số bán chu kì mà vật đi được từ
1

t
đến
2
t


4 3
2 1
/ 2 / 2
t t
t t
n
T T
−
−
 
= =
 
 
(6)
Mặt khác,sử dụng (3)ta có :

3
3
1
1
1 3
( ) os( t+ )dt
t
t

t
t
S t t Ac x
ω ω ϕ
→ = =
∫
(7)
Và

2
4
2
4
4 2
( ) os( t+ )dt
t
t
t
t
S t t Ac x
ω ω ϕ
→ = =
∫
(8)
Từ (4),(5),(6),(7) và (8) ta thu dược:

3 2
1 4
2 1
2

/ 2
t t
t t
t t
S x A x
T
−
 
= + +
 
 
(9)
Bây giờ ta đi xác định
3
t
và
4
t
.Muốn vậy trước hết ta đi tìm các thời điểm mà vật có
vậntốc bằng không:

os( t+ )=0c
ω ϕ
Hay:
( )
1
2
t k k Z
π
ϕ π

ω
 
= − + ∈
 ÷
 
Hơn nữa,
3
t
và
4
t
là thời điểm ngay sau và ngay trước của
1
t
và
2
t
nên:
*
3
t
phải thoả mãn hệ :

1
3 3
2
a k
3 1 3
t k
t t v Z

π
ϕ π
ω

 
= − +
 ÷


 

≥ ∈



(10)
*
4
t
phải thoả mãn hệ:
4
1
4
2
a k
4 2 4
t k
t t v Z
π
ϕ π

ω

 
= − +
 ÷


 

≤ ∈



(11)
Như vậy,dựa vào (10) và(11) ta tìm được
3
t
và
4
t
.Nếu
2
t
-
1
t
<T/2 thì n = 0.Trường hợp
đặc biệt thường gặp là
ϕ
= 0,

1
t
=0 và
2
t
= t.Khi đó,
3
t
=T/4 nên

1 3
( )S t t A→ =
Và (9) sẽ có dạng ;

4
2
2
/ 2
t
t
t
S A A x
T
 
= + +
 
 
đồng thời (11)cũng sẽ đơn giản hơn.
SAU ĐÂY TA XÉT CÁC BÀI TOÁN THÍ DỤ:
BÀI TOÁN 1:

Một vật dao động đều hoà có phương trình:
2sin(4 / 6)( )x t cm
π π
= +
Tính quãng đường vật đi được từ lúc t
1
=1/12 s đến lúc t
2
=2 s
GIẢI
*Chu kì dao động :
2 1
2
T s
π
ω
= =
*Số bán chu kì vật thực hiện được:

1
2
23
12
7
1
3
4
n
 
−

 
 
= = =
 
 
 
 
 
(lấy phần nguyên)
*Quãng đường

3 4
( ) 2 . 28S t t A n cm→ = =
*Thời điểnm vật có vận tốc bằng không:

1 1
( ) ( )
2 12 4
k
t k k Z
π
ϕ π
ω
= − + = + ∈
Tìm t
3
:t
3
thoả mãn hệ :

1 1
3
3 1
12 4 12
3
k
t t
k Z

= + ≥ =



∈



Nên k
3
=0 và t
3
=t
1
=1/12(s)
*Quãng đường
1 3
( ) 0S t t→ =
*Tìm t
4
dựa vào hệ:

4
1
2
4 2
12 4
4
k
t t
k Z

= + ≤ =


∈


Nên k
4
=7 và t
4
=11/6(s)
*Quãng đường

2
4
4 2
( )
45
2 sin sin(8 )

6 6
sin( ) sin 3
2 6
t
t
S t t x
cm
π π
π
π π
→ = =
= − + =
= − − =
*Quãng đướng=31 cm
BÀI TOÁN 2
Một vật chuyển động theo quy luật:
2sin 2x t
π
=
(cm)
Tính quãng đường của nó sau thời gian t=2,875 s kể từ lúc bắt đầu chuyển động .
GIẢI(Tóm tắt)
*Chu kì dao động
2
1T s
π
ω
= =
Số bán chu kì:

[ ]
2,875
5,75 5
1
2
n
 
 
= = =
 
 
 
Quãng đường
3 4
( ) 2 20S t t An cm→ = =
*Thời điểmvật có vận tốc bằng 0:


1
4 2
k
t = +
*Vì
0
ϕ
=
và t
1
=0 nên t
3

=T/4 và
1 3
( ) 2S t t A cm→ = =
*Thời điểm t
4
thoả mãn:

4
1
2,875
4 2
4 2
4
k
t t
k Z

= + ≤ =


∈


Nên k
4
=5 và t
4
=11/4s
*Quãng đường :

2,875
4 2 11
4
( ) 0,6S t t x cm→ = =
*Do đó S=20+20+0,6=22,6 cm
Qua bài toán tổng quát và mấy ví dụ trên chúng ta có thể đưa ra phương pháp chung
để giải các bài toán loại này:
1Căn cứ vào phương trình dao động ,xác định các đại lượng A,
ϕ
,
ω
và T
2Tính số bán chu kì mà vật thực hiện được trong khoảng thời gian t
2
-t
1



G