Một số đề toán khó 6

T1/273. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho
2
a - 2
ab + 2
là số nguyên
T2/273. Giải phương trình: 5x
5
+ 5ax
3
+ a
2
x + 5b = 0, trong đó a, b là các số cho
trước và a ≥ 0.
T3/273. Tìm GTNN của biểu thức: x
2
+ 3x + y
2
+ 3y +
2 2
9
x + y + 1
T4/273. Cho tam giác ABC và hai điểm phân biệt M, N nằm bên trong nó. Các tia
AM và AN cắt BC tại A
1
và A
2
tương ứng. Các tia BM và BN cắt CA tại B
1
và B
2
tương ứng. Các tia CM và CN cắt CA tại C

1
và C
2
tương ứng. Gọi D, E, F lần lượt là
giao điểm của AA
1
và B
1
C
1
, BB
1
và C
1
A
1
, CC
1
và A
1
B
1
. Gọi P, Q, R lần lượt là giao
điểm của AA
2
và BB
1
, BB
2
và CC

1
, CC
2
và AA
1
. Chứng minh rằng:
a)
AM BM CM
+ + 12
MD ME MF
≥
b)
2 2 2
AP BQ CR
+ +
PA QB RC
≥ 6
T5/273. Trên mặt phẳng cho hai điểm cố đònh M, N và ∆ABC có BC < MN và
¼
BAC

< 90
0
. Cho ∆ABC chuyển động trượt trên mặt phẳng sao cho độ dài 3 cạnh AB, BC,
CA không đổi, đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N. Chứng minh
đường thẳng BC luôn tiếp xúc một đường tròn cố đònh.
T6/273. Chứng minh với mỗi số n nguyên dương, tồn tại số tự nhiên k sao cho số
k.5
n
=

m m-1 1
a a ...a
viết trong hệ thập phân thoả mãn điều kiện: a
i
và i có cùng tính
chất chẵn lẻ, với mọi i = 1, 2, ..., m.
T7/273. Xác đònh hàm số f(x) liên tục từ R
+
vào R
+
thoả mãn:
1) f(2x) = 2f(x), ∀x ∈ R
+
.
2) f[f
2
(x)] = x.f(x), ∀x ∈ R
+
.
3) f(x) ∈ N
*
, ∀x ∈ N
*
.
T8/273. Giải phương trình: 3arctgx - arctg3x = π/2
T9/273. Cho đường tròn (O, R) và một điểm P tròn đường tròn. Hai cạnh Px và Py
của góc vuông xPy cắt đường tròn ở A và B, các tiếp tuyến của đường tròn tại A và
B cắt nhau ở điểm M. Tìm quỹ tích điểm M khi góc vuông xPy quay quanh P.
T10/273. Cho hình trụ T
1

. Ta gọi hình trụ T
2
là nội tiếp ngang T
1
nếu mỗi đáy của T
1
chứa đúng một đường sinh của T
2
và mặt xung quanh của T
1
chứa bốn điểm của
đường tròn đáy của T
2
. Hình trụ T
1
phải thoả mãn điều kiện gì để có vô hạn hình trụ
T
1
, T
2
, ..., T
n
, ... mà mỗi hình trụ đứng sau nội tiếp ngang hình trụ đứng trước.