218 bài TOÁN hàm ẩn HAY NHẤT NHẤT

CHỦ ĐỀ

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN

f ( x ) VÀ f ′( x )
MỤC LỤC


CHỦ ĐỀ I: BIẾT ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
DẠNG I.1: ĐƠN ĐIỆU
Mức 1: đơn điệu
Câu 1.

f ( x)
f '( x)
f '( x)
Cho hàm số
có đạo hàm
xác định, liên tục trên ¡ và
có
đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

( 1; +∞ ) .
( −∞; −1) và ( 3; +∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên
( −∞; −1) .
C. Hàm số nghịch biến trên
( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .
D. Hàm số đồng biến trên
A. Hàm số đồng biến trên

Chọn B Trên khoảng
Câu 2.

( 3; +∞ ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm phía trên trục hoành.
f ( x)
f ′( x)
hàm số
có đạo hàm
xác định, liên tục trên ¡ và

y

Cho
thị

và

f '( x)

có đồ

như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
B.

( −∞; −1)

Lời giải

x
O

1

f ( x)

( −∞;1) .
f ( x)
( −∞;1) và ( 1; +∞ ) .
đồng biến trên
f ( x)
( 1; +∞ ) .
đồng biến trên
f ( x)
đồng biến trên ¡ .

Hàm số
Hàm số

C.

Hàm số

D.
Lời

Hàm số

đồng biến trên

giải

( 1; +∞ ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm phía trên trục hoành.
y = f ( x)
f ( x)
Cho hàm số
liên tục và xác định trên ¡ . Biết
có đạo hàm
f '( x)
y = f '( x )
và hàm số
có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây
Chọn C Trên khoảng

Câu 3.

đúng?
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

f ( x)
f ( x)
f ( x)

đồng biến trên ¡ .
nghịch biến trên ¡ .

( 0;1) .
f ( x)
( 0; +∞ ) .
đồng biến trên khoảng
chỉ nghịch biến trên khoảng
Lời giải

( 0;1) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f ( x )
( 0;1) .
nghịch biến trên khoảng
f ( x)
f '( x)
Cho hàm số
xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số
là đường cong trong hình bên. Mệnh đề
Chọn C Trong khoảng

Câu 4.

nào dưới đây đúng?

A. Hàm số
C. Hàm số

f ( x)

( −1;1) .
f ( x)
( −2;1) .
đồng biến trên khoảng

nghịch biến trên khoảng

B. Hàm số
D. Hàm số
Lời giải

f ( x)

( 1; 2 ) .
f ( x)
( 0; 2 ) .
nghịch biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng


Chọn D Cách 1: sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của hàm số

Cách 2:

Quan sát đồ thị hàm số

y = f '( x )

ta có bảng biến thiên như sau:

y = f '( x)

f '( x)
f ( x)
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số

nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì
đồng biến trên K .

f '( x)
f ( x)
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số
nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thì
nghịch biến trên K .
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số
hoành thì loại phương án đó.
Trên khoảng
Câu 5.

Cho hàm số

y = f ( x)

A. Hàm số
C. Hàm số

y=

( −∞; −2 ) ; ( 0; +∞ ) .B. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −2;0 ) .
f ( x)
( −3; +∞ ) . D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0 )
đồng biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng

( −3; +∞ )

Lời giải
ta thấy đồ thị hàm số

f ′( x)

nằm trên trục hoành.

f ( x)
f ′( x)
Cho hàm số
xác định trên ¡ và có đồ thị của hàm số
như hình vẽ.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

y = f ( x)

( −4; 2 ) .
y = f ( x)
( −∞; −1) .
đồng biến trên khoảng
y = f ( x)
( 0; 2 ) .
đồng biến trên khoảng
y = f ( x)
( −∞; −4 )
nghịch biến trên khoảng

Chọn B Trong khoảng

( −∞; −1) .

Câu 7.

vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có phần nằm trên trục

( 0; 2 ) ta thấy đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm bên dưới trục hoành.
f ( x)
f ′( x)
xác định trên ¡ và có đồ thị của hàm số
như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Chọn C Trên khoảng
Câu 6.

f '( x)

Cho hàm số
số

y = f '( x)

đồng biến trên khoảng

( −∞; −1)

và

( 2; +∞ ) .

Lời giải

đồ thị hàm số

f ′( x)

f ( x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ( a ¹ 0)

nằm trên trục hoành nên hàm số đồng biến

. Biết rằng hàm số

f ( x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?

có đạo hàm là

f '( x)

và hàm


y
4

x

-2

-1 O

( - 2;1) thỡ hm s f ( x) luụn tng.
f ( x)
( 1;+Ơ ) .
C. Hm
ng bin trờn khong
A. Trờn

1

B. Hm
D. Hm
Li gii

f ( x)
f ( x)

gim trờn on

[- 1;1] .

nghch bin trờn khong

( - Ơ ;- 2)

[- 1;1] th hm s f '( x) nm phớa trờn trc honh.
y = f ( x)

f ( x)
Cho hm s
liờn tc v xỏc nh trờn Ă . Bit
cú o hm
f '( x)
y = f '( x )
Chn C Trờn khong

Cõu 8.

v hm s

ỳng?
A. Hm s
B. Hm s
C. Hm s
D. Hm s

f ( x)
f ( x)
f ( x)

cú th nh hỡnh v, khng nh no sau õy

ng bin trờn Ă .
nghch bin trờn Ă .

( ; 0 ) .
f ( x)
( 0; + ) .

nghch bin trờn khong
ch nghch bin trờn khong

( 0; + ) th hm s
( 0; + ) .
nghch bin trờn khong
Chn D Trong khong

Cõu 9.

Cho hm s
o hm

y = f ( x)

f '( x )

Li gii

y = f '( x)

nm phớa di trc honh nờn hm s

f ( x)

f ( x)
liờn tc v xỏc nh trờn Ă . Bit
cú

v hm s

y = f '( x )

cú th nh hỡnh v. Xột

( - ; ) , khng nh no sau õy ỳng?
f ( x)
( - ; ) .
A. Hm s
ng bin trờn khong
f ( x)
( - ; ) .
B. Hm s
nghch bin trờn khong
trờn

ổ - ử
ổ
ử
ữ
ỗ
ỗ
- ;
; ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ỗ
ữ

ỗ
f ( x)
ố
ứ
ố
ứ
2
2
C. Hm s
nghch bin trờn khong
v
.
f ( x)
( 0; )
D. Hm s

ng bin trờn khong

( 0; )
( 0; ) .
bin trờn khong
Chn D Trong khong

Cõu 10.

Cho hm s

y = f ( x) .

.

Li gii

th hm s

th hm s

y = f '( x )

y = f Â( x)

nm phớa trờn trc honh nờn hm s

nh hỡnh bờn. Khng nh no sau õy sai?

f ( x)

ng


A. Hm s
C. Hm s
( - Ơ ;- 2) .

f ( x)

ng bin trờn

( - 2;1) .

f ( x)

nghch bin trờn on cú di bng 2 .

B. Hm s

f ( x)

D. Hm s

( 1;+Ơ ) .
ng bin trờn
f ( x)
nghch bin trờn

Li gii
Chn C Da vo th ca hm s

y = f '( x)

ta thy:

ộ- 2 < x < 1
ờ
ắắ
đ
ờx > 1
f '( x) > 0
f ( x)
( - 2;1) , ( 1;+Ơ ) . Suy ra A ỳng, B

ở

khi
ng bin trờn cỏc khong

ỳng.
f '( x) < 0
đ f ( x) nghch bin trờn khong ( - Ơ ;- 2) . Suy ra D ỳng.

khi x <- 2 ắắ
Dựng phng phỏp loi tr, ta chn C
Mc 2: n iu
Cõu 11.

y = f ( x ) . Hm s y = f '( x ) cú th nh hỡnh bờn. Hm
y = g ( x ) = f (2 x) ng bin trờn khong
s
1;3
2; + )
A. ( )
B. (
Cho hm s

C.

( 2;1)

D.

( ; 2 )

Li gii
Chn C Ta cú:

g( x) = ( 2 x) . f ( 2 x) = f ( 2 x )

2 x < 1
x > 3
g ( x) > 0 f ( 2 x) < 0

1 < 2 x < 4
2 < x < 1 .
Hm s ng bin khi
Cõu 12.

Cho hm s

y = f ( x) .

th hm s

y = f Â( x)

nh hỡnh bờn di

g( x) = f ( 3- 2x)
Hm s
nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau?
0;2
.

( )
( 1;3) .
( - Ơ ;- 1) .
( - 1;+Ơ ) .
A.
B.
C.
D.
Li gii
ộ- 2 < x < 2
f Â( x) > 0 ờ
.
ờx > 5
gÂ( x) =- 2 f Â( 3- 2x) .
ở
Chn C Da vo th, suy ra
Ta cú
ộ
ộ- 2 < 3- 2x < 2 ờ1 < x < 5
gÂ( x) < 0 f Â( 3- 2x) > 0 ờ
ờ2
2.
ờ
ờ
ở3- 2x > 5
x
<1
ờ
ở

Xột

Vy

g( x)

ổ
1 5ử
ỗ
; ữ
ữ
ỗ
ữ ( - Ơ ;- 1) .
ỗ
ố
2
2ứ
nghch bin trờn cỏc khong
v

ộ 5
ờx =
2
ộ3- 2x =- 2 ờ
ờ
ờ
1
ờ
theo do thi f '( x)
gÂ( x) = 0 f Â( 3- 2x) = 0ơắ ắ ắ ắđ ờ3- 2x = 2 ờx = .

ờ
ờ
2
ờ3- 2x = 5
ờ
ở
ờx =- 1
ờ
ờ
ở
Cỏch 2. Ta cú
Bng bin thiờn


Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn C
ổ 1ữ
ử
x = 0ẻ ỗ
- 1; ữ
,
ỗ
ữ
ỗ
ố 2ứ suy ra 3- 2x = 3
Chỳ ý: Du ca
c xỏc nh nh sau: Vớ d ta chn
theo do thi f ' x)
gÂ( 0) =- f Â( 3) > 0.
ắắ ắ ắ(ắ
đ f Â( 3- 2x) = f Â( 3) < 0.

gÂ( x)

Khi ú

Cõu 13.

gÂ( x)
Nhn thy cỏc nghim ca
l nghim n nờn qua nghim i du.
y = f ( x) .
y = f Â( x)
Cho hm s
th hm s
nh hỡnh bờn di

g( x) = f ( 1- 2x)
Hm s
ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau?
( - 1;0) .
( 0;1) .
( - Ơ ;0) .
A.
B.
C.
Li gii

D.

( 1;+Ơ ) .

ộx <- 1
f Â( x) < 0 ờ
.
ờ1< x < 2
gÂ( x) =- 2 f Â( 1- 2x) .
ở
Chn D Da vo th, suy ra
Ta cú
ộx > 1
ộ1- 2x <- 1
ờ
gÂ( x) > 0 f Â( 1- 2x) < 0 ờ
ờ 1
.
ờ
- < x<0
ở1< 1- 2x < 2 ờ
ờ
ở 2
Xột

Vy

g( x)

ổ1 ử
ỗ
- ;0ữ
ữ

ỗ
ữ ( 1;+Ơ ) .
ỗ
ố
ng bin trờn cỏc khong 2 ứ v
Chn D
ộ1ờ
ờ1theo do thi f '( x)
gÂ( x) = 0 - 2 f Â( 1- 2x) = 0ơắ ắ ắ ắđ ờ
ờ1ờ
ờ1ờ
ở

Cỏch 2. Ta cú
Bng bin thiờn

ộx = 1
ờ
ờx = 0
ờ
ờ
ờx = - 1.
ờ
2
ờ
ờ
2x = 4( nghiem kep)
3
ờx = ờ
2

ở
2x = - 1
2x = 1
2x = 2

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn D
gÂ( x)
x = 2 ẻ ( 1;+Ơ ) ,
Chỳ ý: Du ca
c xỏc nh nh sau: Vớ d chn
suy ra 1- 2x = - 3
theo do thi f '( x)
gÂ( 2) = - 2 f Â( - 3) > 0.
ắắ ắ ắ ắđ f Â( 1- 2x) = f Â( - 3) < 0.
Khi ú
Nhn thy cỏc nghim
nghim
Cõu 14.

x =-

x =-

1
;x = 0
gÂ( x)
2
v x = 1ca
l cỏc nghim n nờn qua nghim i du;

3
2 l nghim kộp nờn qua nghim khụng i du.

CHNH THC 2018 - 103 Cho hai hm s

y = f ( x)

,

y = g ( x)

. Hai hm s

y = f ( x)

v


y = g′( x)

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số
y = f ′( x)

y
10
8
5
4
O

y = g′( x)

3

.

x

8 1011

y = g′( x)

3

h ( x) = f ( x + 4) − g  2x − ÷
2  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hàm số
 31 
9 
 31

 5; ÷
 ; 3÷
 ; +∞÷
.
A.  5  .
B.  4  .
C.  5
D.

 25 
 6;
÷
 4 .

Lời giải

3
Y = 2x −
2 . Ta có h′ ( x ) = f ′ ( X ) − 2 g ′ ( Y ) .
Chọn B Cách 1: Đặt X = x + 4 ,
3

h ( x ) = f ( x + 4) − g  2x − ÷
2  đồng biến thì h′ ( x ) ≥ 0

Để hàm số
3 ≤ x + 4 ≤ 8

⇒
3
3 ≤ 2 x − 2 ≤ 8
⇒ f ′ ( X ) ≥ 2g ′ ( Y )
X , Y ∈ [ 3;8]
với
.
 −1 ≤ x ≤ 4
−1 ≤ x ≤ 4



⇔ 9
 9   9 19 
19 ⇔  9
19
9
19
≤ 2x ≤
≤x≤
⇔ ≤x≤
 ; 3 ÷⊂  ; ÷


2
2
4
4
4
4 .Vì  4   4 4  nên chọn B
y = f ′( x)
A ( a;10 ) a ∈ ( 8;10 )
y = 10
Cách 2: Kẻ đường thẳng

cắt đồ thị hàm số

tại

,

 f ( x + 4 ) > 10, khi 3 < x + 4 < a
 f ( x + 4 ) > 10, khi − 1 < x < 4


⇒ 
 
3
3
3
3
25
 g  2 x − 2 ÷ ≤ 5, khi 0 ≤ 2 x − 2 < 11  g  2 x − 2 ÷ ≤ 5, khi 4 ≤ x ≤ 4


 
Khi đó ta có  
.
3

3
h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷ > 0
≤x<4
2

Do đó
khi 4
.
3

h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷

2.

Cách 3: Kiểu đánh giá khác: Ta có

.

9 
25
∀x ∈  ;3 ÷
< x + 4 < 7 f ( x + 4 ) > f ( 3) = 10
 4  , ta có 4
Dựa vào đồ thị,
,
;
3


3 9
g  2 x − ÷ < f ( 8) = 5
3 < 2x − <
2

2 2 , do đó 
.
3

9 
h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷ > 0, ∀x ∈  ;3 ÷
2


 4  . Do đó hàm số đồng biến trên
Suy ra
Mức 3: đơn điệu
Câu 15.

Cho hàm số
khoảng

y = f ( x)

. Hàm số

y = f ′( x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số

y = f ( x2 )

9 
 ;3 ÷
 4 .
đồng biến trong


y
y = f '(x)
O
- 1

1 1

; ữ
A. 2 2 .

B.

( 0; 2 ) .

g ( x) = f ( u) ,u = x 0

4 x

1
;0 ữ
.
C. 2

D.

( 2; 1) .

Li gii

2

Chn C t

1

thỡ

g ( x ) = 2 x. f ( u )

nờn

x = 0
x = 0
g ( x ) = 0

f ( u ) = 0 u = 1; u = 4
x = 1; x = 2
g( x)

Lp bng xột du ca hm s

Lu ý: cỏch xột du

g( x)

x <2
1 < x 2 < 4

1 < u < 4
f ( u) > 0
2
1< x < 2
f ( u)
u < 1

x < 1 ( loai )
x >1

B1: Xột du
: ta cú

2 < x < 2

x < 1 x > 1 x ( 2; 1) ( 1; 2 ) v ngc li tc l nhng khong cũn li f ( u ) < 0 .
B2 : xột du x (trong trỏi ngoi cựng).
f ( u)
x
Cõu 16.

B3 : lp bng xột du ri nhõn du ca
v
ta c nh bng trờn
g( x) = f ( x2 )
y = f ( x) .
y = f Â( x)
Cho hm s
th hm s
nh hỡnh bờn. Hi hm s
ng bin trờn
khong no trong cỏc khong sau?

A.

( - Ơ ;- 1) .

Chn C Ta cú

B.

( - 1;+Ơ ) .

gÂ( x) = 2xf Â( x2 ) .

( - 1;0) .
C.
Li gii

D.

( 0;1) .

ộùỡ x > 0
ộùỡ x > 0
ờù
ờùớ
ờớù f  x2 > 0
ờù - 1< x2 < 0 x2 > 1
ờùợ ( )
theo do thi f '( x)
ờùợ
gÂ( x) > 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ
ờ
ờỡù x < 0
ờùỡù x < 0
ờù
ộx > 1
ờớ 2

ờớù Â 2
.
ờùùợ x <- 1 0 < x2 < 1 ờ
f
x
<
0
(
)
ờ
ờ- 1< x < 0
g( x)
ở
ởùợ
ở
Hm s
ng bin
ộx = 0
ờ
ờx2 = - 1 ộx = 0
ộx = 0
theo
do
thi
f
'
x
(
)
ờ

gÂ( x) = 0 ờ
ơắ
ắ
ắ
ắđ
ờ
.
ờ2
ờf  x2 = 0
ờx = 1
x
=
0
(
)
ờ
ờ
ở
ở
ờ2
ờ
ởx = 1
Cỏch 2. Ta cú

Bng bin thiờn


Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
g¢( x)
( 1;+¥ )

Chú ý: Dấu của
được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng
x Î ( 1;+¥ ) ® x > 0. ( 1)

theo do thi f ' x)
x2 > 1¾¾ ¾ ¾(¾
® f ¢( x2 ) > 0. ( 2)
x Î ( 1;+¥ ) ® x2 > 1

. Với
( 1) và ( 2) , suy ra g¢( x) = 2xf ( x2 ) > 0 trên khoảng ( 1;+¥ ) nên g¢( x) mang dấu + .
Từ
g¢( x)
Nhận thấy các nghiệm của
là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 17.

Cho hàm số

Hàm số
A.

y = f ( x)

. Hàm số

y = f ′( x)

có đồ thị như hình vẽ.

( ) có bao nhiêu khoảng nghịch biến.

y = f x2

5.

B. 3 .

C. 4 .
Lời giải

D. 2 .

′
y′ =  f ( x 2 )  = 2 x. f ( x 2 )
Chọn B Ta có
  x > 0
 x > 0

2
′
 2
f
x
<
0
2
  ( )
  x < −1 ∨ 1 < x < 4
′

theo
dt
f
'(
x
)
⇔ y <0⇔
¬ 
→
  x < 0
x<0
1 < x < 2
 
 ′ 2
⇔
2
2
f
x
>
0
 −1 < x < 1 ∨ x > 4  x < −2 ∨ −1 < x < 0
  ( )
Hàm số nghịch biến
Vậy hàm số

( )

y = f x2

có 3 khoảng nghịch biến.

éx = 0
ê
êx2 = - 1
éx = 0
theo do thi f '( x)
ê
g¢( x) = 0 Û ê
¬¾
¾
¾
¾®
Û
ê2
êf ¢ x2 = 0
(
)
êx = 1
ê
ë
ê2
ê
ëx = 4

Cách 2. Ta có
Bảng biến thiên

éx = 0
ê

êx = ±1.
ê
êx = ±2
ë

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B
g¢( x)
( 2;+¥ )
Chú ý: Dấu của
được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng
x Î ( 2;+¥ ) ® x > 0.
( 1)

theo do thi f ' x)
x2 > 4 ¾¾ ¾ ¾(¾
® f ¢( x2 ) > 0.
x Î ( 2;+¥ ) ® x2 > 4
( 2)

. Với


Từ

( 1) và ( 2) , suy ra

g¢( x) = 2xf ( x2 ) > 0

Nhận thấy các nghiệm của
Câu 18.

Cho hàm số

g¢( x)

trên khoảng

( 2;+¥ ) nên g¢( x) mang dấu

+.

là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

y = f ( x ) = ax + bx3 + cx 2 + dx + e
4

g ( x ) = f ( x − 2)

, đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số

y = f ′( x)

. Xét

2

hàm số

( −∞; −2 ) .
g ( x)

( −1; 0 ) .
C. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
A. Hàm số

g ( x)

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

nghịch biến trên khoảng

( 2; +∞ ) .
g ( x)
( 0; 2 ) .
D. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số

g ( x)

đồng biến trên khoảng

Lời giải

Chọn C

x = 0
x = 0
x = 0
 2

g '( x) = 0 ⇔ 
⇔  x − 2 = −1 ⇔  x = ±1
2
f
'
x
−
2
=
0
)
 (
 x2 − 2 = 2
 x = ±2
g '( x ) = 2 x. f ' ( x 2 − 2 )

Ta có:
;

f ′( x 2 − 2) > 0 ⇔ x 2 − 2 > 2 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ )
Từ đồ thị của y = f ′( x ) suy ra
và ngược lại.

Câu 19.

Cho hàm số

Hỏi hàm số
A. 2.

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x)

như hình bên dưới

g( x) = f ( x2 - 5)

có bao nhiêu khoảng nghịch biến?
B. 3.
C. 4.
Lời giải

D. 5.

éx = 0
ê
êx2 - 5 = - 4
éx = 0
theo
do
thi
f
'
x
(
)
ê

g¢( x) = 0 Û ê
¬¾
¾
¾
¾®
Û
ê2
êf ¢ x2 - 5 = 0
(
)
êx - 5 = - 1
ê
ë
ê2
g¢( x) = 2xf ¢( x2 - 5) ;
ê
ëx - 5 = 2
Chọn C Ta có

éx = 0
ê
êx = ±1
ê
êx = ±2 .
ê
ê
ê
ëx = ± 7

Bảng biến thiên

Câu 20.

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
g( x) = f ( 1- x2 )
y = f ( x) .
y = f ¢( x)
Cho hàm số
Đồ thị hàm số
như hình bên. Hỏi hàm số
nghịch biến


trờn khong no trong cỏc khong sau?

A.

( 1;2) .

B.

( 0;+Ơ ) .

( - 2;- 1) .
C.
Li gii

D.

( - 1;1) .

ộỡù - 2x > 0
ờù
ờớù f Â1- x2 < 0
)
ờù (
gÂ( x) < 0 ờợ
.
ờùỡ - 2x < 0
ờù
ờớù Â
2
ờùợ f ( 1- x ) > 0
gÂ( x) = - 2xf Â( 1- x2 ) .
g( x)
ở
Chn B Ta cú
Hm s
nghch bin
ỡù - 2x > 0
ùỡ x < 0
ù
ùớ
.
ớ
ùù f Â( 1- x2 ) < 0 ợùù 1< 1- x2 < 2: vo nghiem
ợ
Trng hp 1:
ùỡù - 2x < 0
ùỡ x > 0

ùớ
x > 0.
ớ
2
ù f Â( 1- x ) > 0 ùùợ 1- x2 < 11- x2 > 2
ù
ợ
Trng hp 2:
Chn B
ộx = 0
ộx = 0
ờ
theo do thi f '( x)
ờ
gÂ( x) = 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờ
1- x2 = 1 x = 0.
2
ờ
Â
f
1
x
=
0
)
ờ
ờ
2
ở (

ờ1- x = 2
ở
Cỏch 2. Ta cú
Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn B
gÂ( x)
x = 1ẻ ( 0;+Ơ ) .
Chỳ ý: Du ca
c xỏc nh nh sau: Vớ d chn
đ- 2x < 0. ( 1)
x = 1ắắ
theo do thi f ' x)
x = 1đ 1- x2 = 0 ắắ
đ f Â( 1- x2 ) = fÂ( 0) ắắ ắ ắ(ắ
đ Â( 0) = 2 > 0. ( 2)

( 1) v ( 2) , suy ra gÂ( 1) < 0 trờn khong ( 0;+Ơ ) .
T
gÂ( x) = 0
Nhn thy nghim ca
l nghim n nờn qua nghim i du.
Cõu 21.

Cho hm s

Hm s
A.

y = f ( x) .

y = f ( 3 x2 )

( 0;1) .

Bit rng hm s

y = f ( x)

ng bin trờn khong
B.

( 1; 0 ) .

cú th nh hỡnh v bờn di.

( 2;3) .

C.
Li gii

D.

( 2; 1) .

x = 0
f ( 3 x 2 ) = 0 f ( 3 x 2 ) . ( 2 x ) = 0
2

f ( 3 x ) = 0 .
Chn B Cỏch 1: Ta cú:


f ′ ( 3 − x2 )
Từ đồ thị hàm số suy ra
Bảng biến thiên

Lập bảng xét dấu của hàm số

3 − x 2 = −6
 x = ±3

2
= 0 ⇔ 3 − x = −1 ⇔  x = ±2
3 − x 2 = 2
 x = ±1


y = f ( 3 − x2 )

.

ta được hàm số đồng biến trên

( −1;0 ) .

éìï x > 0
êï
êíï f ¢ 3- x2 < 0

)
êï (
Û g¢( x) > 0 Û êî
êìï x < 0
êï
êíï ¢
f ( 3- x2 ) > 0
ê
g¢( x) = - 2xf ¢( 3- x2 ) .
g( x)
ëïî
Cách 2: Lời giải. Ta có
Hàm số
đồng biến
éìï x > 0
éìï x > 0
êïï
êïï
êï é3- x2 <- 6
êï éx2 > 9
íê ê
éx > 3
êíï ê
ê
êïï ê
êï ê
2
2
êïîï ê
- 1< 3- x < 2

êïîï ê
4 > x > 1 ê2 > x > 1
ë
ë
theo do thi f '( x)
¬¾ ¾ ¾ ¾® Û ê
Û ê
Û ê
ê- 3 < x <- 2.
êìï x < 0
êìï x < 0
ê
êï
êï
ê- 1< x < 0
êïï é
êïï é
2
2
ë
êí ê- 6 < 3- x <- 1
êí ê4 < x < 9 ê
ïêï
ïêï
2
ê
2
êïï ê
ê
ï

ë3- x > 2
ëx < 1
ëî ê
ëîï ê

Câu 22.

Cho hàmsố y = f ( x) có đạo hàm trên ¡ . Đường cong trong hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số
2
y = f '( x ) . Xét hàm số g ( x) = f (3 − x ) .

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số g ( x) đồng biến trên ( −∞;1) .

B. Hàm số g ( x) đồng biến trên (0;3) .
C. Hàm số g ( x) nghịch biến trên (−1; +∞) .
D. Hàm số g ( x) nghịch biến trên ( −∞; −2) và (0; 2) .
Lời giải

3 − x 2 = −1
 x = ±2
2
f
'
3
−
x
=
0
⇔

⇔
(
)

2

g ' ( x ) = −2 xf ' ( 3 − x )
3 − x 2 = 3 (nghiem kep)  x = 0 (nghiem kep)

Chọn D Ta có
;
Ta có bảng xét dấu:

Câu 23.

Hàm số g ( x) nghịch biến trên ( −∞; −2) và (0; 2) .
y = f ( x) .
y = f ¢( x)
Cho hàm số
Đồ thị hàm số
như hình bên dưới


g( x) = f ( x3 )

Hm s
( - Ơ ;- 1) .
A.

ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau?

( - 1;1) .
( 1;+Ơ ) .
B.
C.
Li gii

D.

( 0;1) .

ộx2 = 0
ờ
ờx3 = 0
ộx2 = 0
theo do thi f '( x)
ờ
gÂ( x) = 0 ờ
ơắ
ắ
ắ
ắđ

ờ3
ờÂ 3
f ( x ) =0
ờx = - 1
ờ
ở
ờ3
ờx = 1

gÂ( x) = 3x2 f Â( x3 ) ;
ở
Chn C Ta cú

ộx = 0
ờ
.
ờx = 1
ở

Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn C
Cõu 24.

Cho hm s y = f ( x). Hm s y = f '( x) cú th nh hỡnh bờn. Hm s y = f ( x x ) nghch bin trờn
khong?
2

A.

1

; + ữ
2
.

3

; + ữ

.
B. 2

3

; ữ
2.
C.

1

; + ữ
.
D. 2

Li gii
ộỡù 1- 2x < 0
ờù
ờớù f  x - x2 > 0
)
ờù (
gÂ( x) < 0 ờợ
.
ờỡù 1- 2x > 0
ờù
ờớù Â
f ( x - x2 ) < 0
ờ
g'( x) = ( 1- 2x) f Â( x - x2 ) .
g( x)

ởùợ
Ta
cú
;
Hm
s
nghch
bin
Chn D

Trng hp 1:

Trng hp 2:

ỡù 1- 2x < 0
ù

ớ
ùù f Â( x - x2 ) > 0
ùợ

ỡù
ùù x > 1
1
x> .
2
ớ
ùù
2
2

2
ùợù x - x < 1 x - x > 2

ỡù 1- 2x > 0
ù

ớ
ùù f Â( x - x2 ) < 0
ùợ

ỡù
ùù x < 1
.
2
ớ
ùù
2
1
<
x
x
<
2:
vo
nghiem
ùùợ

1
x> .
2 Chn D

Kt hp hai trng hp ta c

Cỏch 2. Ta cú

ộ 1
ờx =
ờ 2
ộ1- 2x = 0
ờ
1
theo do thi f '( x)
ờ
gÂ( x) = 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờx - x2 = 1: vo nghiem x = .
2
ờ
2
ờf Â( x - x ) = 0
ờx - x2 = 2: vo nghiem
ở
ờ
ờ
ở

Bng bin thiờn


2

ổ 1ữ

ử 1 1 theo do thi f '( x)
x- x = - ỗ
x- ữ
+ Ê ắắ ắ ắ ắđ f Â( x - x2 ) > 0.
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
2
4 4
Cỏch 3. Vỡ
2

Suy

ra

du

ca

g'( x)

ph

thuc

vo

du

ca

1- 2x.

Yờu

cu

bi

toỏn

cn

1
g'( x) < 0 ắắ
đ1- 2x < 0 x > .
2

Cõu 25.

Cho hm s y = f ( x ). Hm s y = f ( x) cú th nh hỡnh bờn. Hm s y = f (1 + 2 x x ) ng bin
trờn khong di õy?
2

A.

( ;1) .

B.

( 1; + ) .

C.

( 0;1) .

D.

( 1; 2 ) .

Li gii
Chn D

x = 1
x = 1

2
y ' = 0 1 + 2 x x = 1 x = 0

2
2

x = 2

y ' = ( 2 2 x ) f (1 + 2 x x )
1 + 2 x x = 2
Ta cú:

. Nhn xột:
Bng bin thiờn

Cõu 26.

Vy hm s ng bin trờn khong (1;2) .
Cho hm s y = f ( x ) cú o hm f ( x ) trờn Ă v th ca hm s f ( x ) nh hỡnh v. Hm s

g ( x ) = f ( x 2 2 x 1)

A.

( ;1) .

ng bin trờn khong no di õy?

B.

( 1; + ) .

C.

( 0; 2 ) .

D.

( 1;0 ) .

Li gii
Chn D

g ' ( x ) = (2 x 2) f '( x 2 2 x 1)

Ta cú:
Ta cú bng bin thiờn:

. Nhn xột:

x =1
x = 0

g ' ( x ) = 0 x 2 2 x 1 = 1 x = 1

x2 2 x 1 = 2
x = 2; x = 3



Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
Mức 4: đơn điệu
Câu 27.

Cho hàm số

y = f ( x)

f ′( x)

có đạo hàm là hàm số

thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số

f ( x)

( −1; 0 ) .

y = f ′ ( x − 2) + 2
trên ¡ . Biết rằng hàm số
có đồ

nghịch biến trên khoảng nào?
y

2

-2

x

2

O

3

1

-1

A.

( −∞; 2 ) .

B.

3 5
 ; ÷
C.  2 2  .

( −1;1) .

Chọn B Cách 1: Dựa vào đồ thị

( C)

D.

Lời giải
ta có:

f ′ ( x − 2 ) + 2 < 2, ∀x ∈ ( 1;3 ) ⇔ f ′ ( x − 2 ) < 0, ∀x ∈ ( 1;3)

f ′ ( x *) < 0, ∀x* ∈ ( −1;1)
Đặt x* = x − 2 thì
.
f ( x)

Vậy: Hàm số

nghịch biến trên khoảng

Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số
hàm số

f ( x)

( 2; +∞ ) .

f ′( x)

.

( −1;1) .
sau khi đã tịnh tiến và dựa vào đó để xét sự đồng biến của

.

f '( x- 2) + 2
Cách khác. Từ đồ thị hàm số
tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số
f '( x- 2)
(tham khảo hình vẽ bên dưới).
y

-2

x

2

O

1

3

-3

Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số
vẽ bên dưới).

f '( x- 2)

f '( x)
sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số
(tham khảo hình
y

-1

1

O

-3

Từ đồ thị hàm số

f '( x)

, ta thấy

f '( x) < 0

khi

x Î ( - 1;1) .

x
3


Câu 28.

Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm là hàm số

thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số

A.

( −3; −1) , ( 1;3) .

B.

f ( x)

f ′( x)

y = f ′ ( x + 2) − 2
trên ¡ . Biết rằng hàm số
có đồ

nghịch biến trên khoảng nào?

( −1;1) , ( 3;5 ) .

C.

( −∞; −2 ) , ( 0; 2 ) .

D.

( −5; −3) , ( −1;1) .

Lời giải

( C ) ta có:
f ′ ( x + 2 ) − 2 < −2, ∀x ∈ ( −3; −1) U ( 1;3) ⇔ f ′ ( x + 2 ) < 0, ∀x ∈ ( −3; −1) U ( 1;3 )
.
′
f
x
*
<
0,
∀

x
*
∈
−
1;1
U
3;5
f
x
( )
( ) ( ) .Vậy: hàm số ( ) đồng biến trên khoảng ( −1;1) , ( 3;5) .
Đặt x* = x + 2 suy ra:
Chọn B Dựa vào đồ thị

Câu 29.

Cho hàm số

y = f ( x)

y = f ¢( x)
có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số
như hình bên dưới

g( x) = f ( x) - x,
Đặt
khẳng định nào sau đây là đúng?
g( 2) < g( - 1) < g( 1) .
g( - 1) < g( 1) < g( 2) .
g( - 1) > g( 1) > g( 2) .

g( 1) < g( - 1) < g( 2) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
¢
¢
¢
g ( x) = f ( x) - 1¾¾
® g ( x) = 0 Û f ¢( x) = 1.
Chọn C Ta có
g¢( x) = 0
y = f ¢( x)
Số nghiệm của phương trình
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng
d : y = 1 (như hình vẽ bên dưới).

éx = - 1
ê
g¢( x) = 0 Û êx = 1 .
ê
êx = 2
ë
Dựa vào đồ thị, suy ra

Bảng biến thiên
¾¾
® g( 2) < g( - 1) < g( 1) .

Dựa vào bảng biến thiên
Chọn C
¢
g ( x)
( 2;+¥ ) , ta thấy đồ thị hàm số nằm
Chú ý: Dấu của
được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng
g¢( x) = f ¢( x) - 1
phía trên đường thẳng y = 1 nên
mang dấu +.


Câu 30.

Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Bảng biến thiên của hàm số y = f ′( x) được cho như

 x
y = f  1 − ÷+ x
 2
hình vẽ dưới đây. Hàm số
nghịch biến trên khoảng

A. (2; 4).

C. ( −2;0).
Lời giải

B. (0; 2).

D. (−4; −2).

  x
′
1  x
 x
y′ =  f 1 − ÷+ x ÷ = − f ′  1 − ÷+ 1
y = f  1 − ÷+ x
2  2 .
 2
  2

Chọn D Hàm số
có
1  x
 x
− f ′ 1 − ÷+ 1 < 0 ⇔ f ′ 1 − ÷ > 2
2
 2
Để hàm số nghịch biến thì y′ < 0 ⇔ 2 
.

2 < 1−

Câu 31.

x
< 3 ⇔ −4 < x < −2.
2

Khi đó, dựa vào bảng biến thiên ta có

y = f ( x)
y = f ¢( x)
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số
như hình bên dưới

g( x) = 2 f ( x) - x2
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
- ¥ ;- 2) .
(
( - 2;2) .
( 2;4) .
( 2;+¥ ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
¢
¢
¢
g ( x) = 2 f ( x) - 2x ¾¾
® g ( x) = 0 Û f ¢( x) = x.
Chọn B Ta có
g¢( x) = 0
Số nghiệm của phương trình
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ¢( x)
và đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới).

éx =- 2
ê
g¢( x) = 0 Û ê
êx = 2 .
êx = 4
ë
Dựa vào đồ thị, suy ra

Câu 32.

x Î ( - 2;2)
f ¢( x)
Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với
thì đồ thị hàm số
nằm
¢
g
x
>
0
g
x
(
)
(
)
( - 2;2) . Chọn B
® hàm số
phía trên đường thẳng y = x nên
) ¾¾

đồng biến trên
y = f ( x)
y = f ¢( x)
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số
như hình bên. Hỏi hàm số
g( x) = 2 f ( x) + ( x +1)

2

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?


A.

( - 3;1) .

( - Ơ ;3) .
C.
Li gii
gÂ( x) = 2 f Â( x) + 2( x +1) ắắ
đ gÂ( x) = 0 f Â( x) =- x - 1.
B.

Chn B Ta cú

( 1;3) .

D.

( 3;+Ơ ) .

gÂ( x) = 0
S nghim ca phng trỡnh
chớnh l s giao im ca th hm
Â
y = f ( x)
s
v ng thng d : y = - x - 1 (nh hỡnh v bờn di).
ộx = - 3
ờ
gÂ( x) = 0 ờx = 1 .
ờ
ờx = 3
ở
Da vo th, suy ra
ộx <- 3
gÂ( x) > 0 ờ
ờ1< x < 3
ở

Yờu cu bi toỏn

(vỡ phn th ca

f '( x)

nm phớa

trờn ng thng y = - x - 1 ). i chiu cỏc ỏp ỏn ta thy ỏp ỏn B tha món. Chn B

Cõu 33.

Cho hm s

y = f ( x)

f '( x)
cú o hm trờn Ă v th hỡnh bờn di l th ca o hm
. Hm s

g ( x ) = 2 f ( 2 x ) + x 2

A.

( 3; 2 ) .

nghch bin trờn khong

B.

( 2; 1) .

( 1; 0 ) .

C.
Li gii

( 0; 2 ) .

g ( x ) = 2 f ( 2 x ) + 2x g ( x ) = 0 f ( 2 x ) = x f ( 2 x ) = ( 2 x ) 2

Chn C Ta cú :
(thờm bt)
T th hm s

f '( x)

f '( x)

ta cú :

f '( x) < x 2 2 < x < 3

(vỡ phn

th
nm phớa di ng thng y = x 2 , ch xột khong
cũn cỏc khong khỏc khụng xột da vo ỏp ỏn).
Hm

D.

s

g ( x)

nghch

( 2;3)

bin

g ( x ) < 0 f ( 2 x ) < ( 2 x ) 2 2 < 2 x < 3 1 < x < 0

Vy hm s nghch bin trờn khong

( 1;0 ) .

f ( x)
Lu ý : Da vo th ta thy ng thng y = x 2 ct t th
ti 2 im cú honh nguyờn
liờn tip l

1 < x1 < 2
x = 3
2

v cng t th ta thy

f ( x) < x 2

trờn min 2 < x < 3 nờn


f ′( 2 − x) < ( 2 − x) − 2
Câu 34.

Cho hàm số

y = f ( x)

trên miền 2 < 2 − x < 3 ⇔ −1 < x < 0 .

y = f ′( x)

có đồ thị hàm số

như hình vẽ

x2
y = f ( 1 − x) +
−x
2
Hàm số
nghịch biến trên khoảng

3

 −1; ÷
2.
A. 

B.

( −2;0) .

( −3;1) .

C.
Lời giải

D.

( 1;3) .

g¢( x) =- f ¢( 1- x) + x - 1.
Chọn D Ta có
g¢( x) < 0 Û f ¢( 1- x) > x- 1.
f ¢( t) >- t.
Để
Đặt t = 1- x , bất phương trình trở thành
f '( x)
Kẻ đường thẳng y = - x cắt đồ thị hàm số
lần lượt tại ba điểm x = - 3; x =- 1; x = 3.
Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình
ét <- 3
f ¢( t) >- t Û ê
Þ
ê1< t < 3
ë

é1- x <- 3
ê
Û
ê1< 1- x < 3
ë

Đối chiếu đáp án ta chọn B
Cách khác: - Từ đồ thị hàm số

éx > 4
ê
.
ê- 2 < x < 0
ë

y = f ′( x)

, có

f ′( x) + x > 0 ⇔

 −3 < x < 1
⇔
f ′( x) > −x
2 < x
-

Xét

hàm

số

y = f ( 1− x) +

x2
−x
2
, có

y′ = − f ′ ( 1 − x ) + x − 1

= − f ′ ( 1 − x ) − ( 1 − x ) = −  f ′ ( 1 − x ) + ( 1 − x ) 
.

 −3 < 1 − x < 1
0 < x < 4
⇔

f ′ ( 1 − x ) + ( 1 − x ) > 0 ⇔ 2 < 1 − x
 x < −1
Như vậy
 −3 < 1 − x < 1
0 < x < 4
⇔

−  f ′ ( 1 − x ) + ( 1 − x )  < 0 ⇔  2 < 1 − x
 x < −1 .
Hay 
x2
−x
( −∞; −1) và ( 0;4 ) .
2
Suy ra hàm số
nghịch biến trên các khoảng
x2
y = f (1 − x) +
−x
( 1;3) ⊂ ( 0;4 ) .

2
Suy ra hàm số
cũng sẽ nghịch biến trên khoảng
y = f ( x)
f ( 2 ) = f ( −2 ) = 0
¡
y = f (1 − x) +

Câu 35.

Cho hàm số

có đạo hàm trên

dạng như hình bên. Hàm số

y = ( f ( x) )

thoả

và đồ thị của hàm số

y = f '( x)

2

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

có

3

 −1; ÷.
2
A. 
Chọn D Ta có

B.

( −1;1) .

( −2; −1) .

C.
Lời giải

f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1; x = ±2 f ( 2 ) = f ( −2 ) = 0
;

D.

( 1; 2 ) .

. Ta có bảng biến thiên :

⇒ f ( x ) < 0; ∀x ≠ ±2.
y = ( f ( x) )

Xét

Bảng xét dấu :

2

 f ( x) = 0
 x = ±2
y' = 0 ⇔ 
⇔
⇒ y ' = 2 f ( x) . f '( x)
 x = 1; x = ±2
 f ' ( x ) = 0
;

ìï f ¢( x) > 0
g¢( x) < 0 Û f ¢( x) . f ( x) < 0 Û ïí
Û
ïï f ( x) < 0
g¢( x) = 2 f ¢( x) . f ( x) .
î
Hoặc Ta có
Xét

Câu 36.

éx <- 2
ê
.
ê
ë1< x < 2

g( x)
( - ¥ ;- 2) , ( 1;2) .
Suy ra hàm số
nghịch biến trên các khoảng
y = f ( x) .
y = f ¢( x)
f( - 2) = ( 2) = 0.
Cho hàm số
Đồ thị hàm số
như hình bên dưới và

2

ù
g( x) = é
ëf ( 3- x) û nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Hàm số

A.

( - 2;- 1) .

B.

( 1;2) .

Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số

y = f ¢( x) ,

( 2;5) .
C.
Lời giải
suy ra bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên suy ra
Ta có

g¢( x) =- 2 f ¢( 3- x) . f ( 3- x) .

D.

( 5;+¥ ) .

f ( x)

như sau

f ( x) £ 0, " x Î ¡ .


ùỡ f Â( 3- x) < 0
gÂ( x) < 0 f Â( 3- x) . f ( 3- x) > 0 ùớ

ùù f ( 3- x) < 0
ợ
Xột

Cõu 37.

ộ- 2 < 3- x < 1
ờ

ờ
ở3- x > 2

ỡù 2 < x < 5
.
ớù
ợùù x <1

g( x)
( - Ơ ;1) , ( 2;5) .
Suy ra hm s
nghch bin trờn cỏc khong
y = f ( x) .
y = f Â( x)
Cho hm s
th hm s
nh hỡnh bờn di

g( x) = f ( 3- x )

Hm s
( - Ơ ;- 1) .
A.

ng bin trờn khong no trong cỏc khong sau?
( - 1;2) .
( 2;3) .

B.
C.
Li gii

D.

( 4;7) .

ộ- 1< x < 1
ộx <- 1
f Â( x) > 0 ờ
f Â( x) < 0 ờ
.
ờx > 4
ờ1< x < 4
ở
ở
Chn B Da vo th, suy ra
v
ộ- 1< x - 3< 1 ộ2 < x < 4
g( x) = f ( x - 3) ắắ
đ gÂ( x) = f Â( x - 3) > 0 ờ
ờ
ờx - 3> 4
ờx > 7
x>3
ở
ở

Vi

Cõu 38.

khi ú
ắắ
đ hm s g( x) ng bin trờn cỏc khong ( 3;4) , ( 7;+Ơ ) .
g( x) = f ( 3- x) ắắ
đ gÂ( x) =- f Â( 3- x) > 0 f Â( 3- x) < 0
Vi x < 3 khi ú
ộx > 4 ( loaùi)
ộ3- x <- 1
ờ
ờ
ờ
1< 3- x < 4 ờ
ở
ở- 1< x < 2 ắắ
đ hm s g( x) ng bin trờn khong ( - 1;2) .
y = f ( x) .
y = f Â( x)
Cho hm s
th hm s
nh hỡnh bờn di

Hm s
A.

g( x) = f

( - Ơ ;- 1-

(

)

x2 + 2x + 2

)

2 2.

nghch bin trờn khong no trong cỏc khong sau?
( 1;2 2 - 1) .
( 2 2 - 1;+Ơ ) .
( - Ơ ;1) .
B.
C.
D.
Li gii

ộx = - 1
ờ
f Â( x) = 0 ờ
ờx = 1 .
gÂ( x) =
ờx = 3
ở
Chn A Da vo th, suy ra
Ta cú
ộx +1= 0

ộx +1= 0
ờ
ờ
ờ
theo do thi f '( x)
gÂ( x) = 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờ x2 + 2x + 2 = 1
2
Â
f
x
+
2
x
+
2
=
0
ờ
ờ
ở
ờ x2 + 2x + 2 = 3
ở

(

)

x +1
2

x + 2x + 2

(

)

f  x2 + 2x + 2 ;

ộx = - 1 ( nghiem boi ba)
ờ
ờ
.
ờx = - 1- 2 2
ờ
ờx = - 1+ 2 2
ờ
ở

Lp bng bin thiờn v ta chn A
gÂ( x)
( - 1;- 1+ 2 2) ta chn x = 0. Khi ú
Chỳ ý: Cỏch xột du
nh sau: Vớ d xột trờn khong
gÂ( 0) =

1
2

( )

f  2 <0

phng trỡnh

gÂ( x) = 0

vỡ da vo th

f Â( x)

ta thy ti

x = 2 ẻ ( 1;3)

l nghim bi l nờn qua nghim i du.

thỡ

( )

f  2 < 0.

Cỏc nghim ca


Cõu 39.

Cho hm s

Hm s
A.

y = f ( x) .

g( x) = f

(

th hm s

x2 + 2x + 3 -

y = f Â( x)

)

x2 + 2x + 2

nh hỡnh bờn di

ng bin trờn khong no sau õy?

ổ
1ử
ỗ
- Ơ; ữ
ữ.
ỗ
ỗ

ứ
2ữ
B. ố

( - Ơ ;- 1) .

ổ1
ỗ
;+Ơ
ỗ
ỗ
C. ố2

ử
ữ
ữ
ữ.
ứ

D.

( - 1;+Ơ ) .

Li gii
Chn A Ta cú
1



2

x + 2x + 3

ổ
1
ỗ
gÂ( x) = ( x +1) ỗ
ỗ
2
ỗ
ố x + 2x + 3

-

1
2

x + 2x + 2

0 < u = x2 + 2x + 3-

<0

x2 + 2x + 2 =



ử
ữ
ữ

f  x2 + 2x + 3ữ
ữ
2
ữ
x + 2x + 2 ứ
1

(

)

x2 + 2x + 2 .

( 1)
vi mi x ẻ Ă .
1
2

2

( x +1) + 2 + ( x +1) +1

Ê

1
2 +1

<1

theo do thi f ' x)

ắắ ắ ắ(ắ
đ f Â( u) > 0, " x ẻ Ă . ( 2)

( 1) v ( 2) , suy ra du ca gÂ( x) ph thuc vo du ca nh thc x+1 (ngc du)
T
Bng bin thiờn

Da vo bng bin thiờn v i chiu vi cỏc ỏp ỏn, ta chn A
DNG I.2: CC TR
Mc 1: Cc tr
Cõu 40.

y = f ( x)
y = f Â( x)
Cho hm s
cú o hm liờn tc trờn Ă v hm s
cú th nh hỡnh v bờn.
Mnh no sau õy ỳng?
A. Hm s
C. Hm s

y = f ( x)

y = f ( x)

t cc i ti im x = 1.

B. Hm s

t cc tiu ti im x = 2.

D. Hm s
y
4

y = f ( x)

y = f ( x)

t cc tiu ti im x = 1.
t cc i ti im x = 2 .

f ' x

2
x
-2

-1 O

-1

-2

Chn C Giỏ tr ca hm s
Cõu 41.

y = f ( x)

Li gii

i du t õm sang dng khi qua x = 2 .

y = f ( x)
y = f '( x )
Cho hm s
xỏc nh trờn Ă v cú th hm s
l ng cong trong hỡnh bờn.
Mnh no di õy ỳng?


y = f ( x)

A. Hàm số

y = f ( x)

C. Hàm số

đạt cực đại tại x = 2 .
có 3 cực trị.

Chọn A Giá trị của hàm số
Câu 42.

y = f '( x)

f ( x)

B.
C.

f ( x)

f ( x)
f ( x)

y = f ( x)

D. Hàm số
Lời giải

đạt cực tiểu tại x = 0 .
đạt cực đại tại x = 2 .

đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 2 .

Cho hàm số
xác định trên ¡ và có đồ thị của hàm số
như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.

y = f ( x)

B. Hàm số

f ′( x)

đạt cực tiểu tại x = 0.
đạt cực tiểu tại x = −2.
đạt cực đại tại x = −2.

D. Giá trị cực tiểu của

f ( x)

nhỏ hơn giá trị cực đại của
Lời giải

f ( x)

.

y = f '( x )
Chọn B Giá trị hàm số
đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = −2 .
Nói thêm: theo bảng biến thiên sau suy ra phương án D là Đúng.

Câu 43.

Hàm số

y = f ( x)

y = f '( x)

liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số

y = f ( x)
trên K như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số

trên K .
A. 1.
C. 3.

B. 2.
D. 4.
Lời giải

Chọn B Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị
kể các điểm mà đồ thị
Câu 44.

Hàm số

f ( x)

của hàm số
cực trị?

y = f '( x )

có đạo hàm

f '( x)

f '( x)

y = f '( x)

cắt trục Ox tại mấy điểm mà thôi, không

tiếp xúc với trục Ox (vì đạo hàm ko đổi dấu).
trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị

f ( x)
trên khoảng K . Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Chọn B Đồ thị hàm số

f ′( x)

Lời giải
cắt trục hoành tại điểm x = - 1 .


Câu 45.

y = f ( x)

Cho hàm số
xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số
đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số
B. Hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)
y = f ( x)

C. Hàm số

y = f ( x)

D. Hàm số

có 4 cực trị.
đạt cực tiểu tại x = −1 .
đạt cực đại tại x = −1 .

y = f '( x)

Lời giải
đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = - 1 .

′
Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ¡ . Biết đồ thị của hàm số f ( x)
như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x) trên đoạn [0;3] ?
A. x = 0 và x = 2.
C. x = 2.

B. x = 1 và x = 3.
D. x = 0.

Lời giải

f ′( x)

Câu 47.

là

đạt cực tiểu tại x = 2 và x = 0 .

Chọn C Giá trị của hàm số
Câu 46.

y = f '( x )

f ′( x)

Chọn C Đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy
đổi dấu từ
x
=
2
âm sang dương khi qua
.
y = f ¢( x) .
y = f ( x)
Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số
Số điểm cực trị của hàm số
là

A. 2.

B. 3.

Chọn A Ta thấy đồ thị hàm số

C. 4.
Lời giải

f ¢( x)

D. 5.

có 4 điểm chung với trục hoành x1; 0; x2; x3 nhưng chỉ cắt thực sự

tại hai điểm là 0 và x3. . Bảng biến thiên

Vậy hàm số

y = f ( x)

Cho hàm số

f ( x)

có 2 điểm cực trị. Chọn A
f '( x)
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của
có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt và băng qua luôn
2

trục hoành chỉ có điểm nên có hai cực trị.
 Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
 Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Câu 48.

y = f ( x)

A. 1.

có đồ thị

f ′( x)

của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên K , hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 4.

C. 3.

D. 2.


Lời giải

f ′( x)

Câu 49.

Chọn A Đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại 1 điểm.
Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị trên một khoảng

y = f ( x)

y = f ′( x)

K

Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?
. Trên
, hàm số
có hai điểm cực trị.
. Hàm số

( I)

( III )
A.

3

y = f ( x)

K

. Hàm số

y = f ( x)

.

( II )

đạt cực tiểu tại
B.

0

Câu 50.

K

, hàm số

C. .

cực trị của hàm số.
Cho hàm số

y = f ( x)

. Hàm số

D.

1

y = f ( x)

y = f ′( x)

x1

và điểm cực đại là

có đồ thị trên một khoảng

K

Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?
. Trên
, hàm số
có ba điểm cực trị.
. Hàm số

( I)

K

( III )
A.

3

.

. Hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

( II )

đạt cực tiểu tại
B.

0

x2

2

x3

.

.

,

x2 x3

C. .

1

y = f ′( x)

Lời giải
, ta có bảng xét dấu:

không phải là điểm

như hình vẽ bên.

y = f ( x)

đạt cực tiểu tại

.

.

Chọn C Dựa vào đồ thị của hàm số

đạt cực đại tại

Lời giải
, ta có bảng xét dấu:

có điểm cực tiểu là

y = f ′( x)

y = f ( x)

.

.

Chọn D Dựa vào đồ thị của hàm số

Như vậy: trên

x1

như hình vẽ bên.

D.

2

.

x3

.