2 5 HDG cực TRỊ hàm số d11 15

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

DẠNG 11: ĐƯỜNG THẲNG NỐI 2 ĐIỂM CỰC TRỊ (ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA)
3
2
Câu 468: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x + 2 x + ( m − 3) x + m có hai điểm
cực trị và điểm M ( 9; − 5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.
A. m = 3.
B. m = 2.
C. m = −1.
D. m = −5.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
Ta có y ′ = 3x + 4 x + m − 3 , để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm

13
( *)
3
phân biệt ⇔ ∆ ′ > 0
2   2m 26 
7m 2
1
y = y ′.  x + ÷ + 
− ÷x +
+
3
9  3
9

9 3 nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Ta có
7m 2
 2m 26 
y=
− ÷x +
+ .
 3
9
9 3 Theo giả thiết, đường thẳng này đi qua M ( 9; − 5) nên
cực trị là
⇔m<

m = 3 (thỏa mãn điều kiện ( *) ).
3
2
Câu 469: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x − 3x − mx + 2 có điểm cực đại và điểm
y = x −1 ( d )
cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình:
.
m = 0

9
m = − 9
m=−
2.
2.
A.
B. 
C. m = 2 .

D. m = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
[Phương pháp trắc nghiệm]
y′ = 3 x 2 − 6 x − m
Hàm số có 2 cực trị m > −3 , gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0 , ta có: x1 + x2 = 2
Bấm máy tính:
 x 1  x =i ,m = A=1000
x3 − 3 x 2 − mx + 2 − ( 3 x 2 − 6 x − m )  − ÷
→
 3 3
994 2006
1000 − 6 2000 + 6
2m + 6
m−6
−
−
i=−
−
i=−
x−
3
3
3
3
3
3
2
m
+

6
m−6
2m + 6
m−6


A  x1 ; −
x1 −
x2 −
÷; B  x2 ; −
÷
3
3 
3
3 

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 

AB ⇒ I ( 1; − m )
Gọi I là trung điểm của
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

y=−

2m + 6
m−6
x−
( ∆)
3
3

9
 2m + 6

−
= 1 m = −
 ∆ / / d or ∆ ≡ d

⇔
⇔
⇔
3
2


I ∈ d
m = 0
 −m = 1 − 1
Yêu cầu bài toán
Kết hợp với điều kiện thì m = 0 .

3
2
( a, b ∈ ¡
Câu 470: Hàm số y = x + 2ax + 4bx − 2018 ,

)

đạt cực trị tại x = −1 . Khi đó hiệu a − b là

Trang 1/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
4
B. 3 .

A. −1 .

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

3
C. 4 .
Hướng dẫn giải

D.

−

3
4.

Chọn C
2
Ta có y′ = 3x + 4ax + 4b .
3

⇒ a −b =
′
y
−
1
=
0
(
)
⇒ 3 − 4a + 4b = 0
4.
Hàm số đạt cực trị tại x = −1 nên
y = ( 2m − 1) x + m + 3
Câu 471: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng
song song với đường
3
2
thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3 x + 1
A.

m=−

1
2.

B.

m=

1

2.

m=−

C.
Hướng dẫn giải

3
4.

D.

m=

3
4.

Chọn A
x = 0
y' = 0 ⇔ 
x = 2
Hàm số y = x − 3 x + 1 có TXĐ: R ; y′ = 3 x − 6 x ;
uuu
r
A ( 0;1) B ( 2; −3) ⇒ AB = ( 2; −4 )
Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
,
.
x y −1
=

⇔ y = −2 x + 1
−4
Đường thẳng d đi qua hai điểm A , B có phương trình: 2
.
2m − 1 = −2
1
d⇔
⇔m=−
y = ( 2m − 1) x + m + 3
2.
m + 3 ≠ 1
Đường thẳng
song song với đường thẳng
3

2

2

3
Câu 472: Biết đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 có hai điểm cực trị A , B . Khi đó phương trình đường thẳng
AB là
A. y = 2 x − 1 .
B. y = −2 x + 1.
C. y = − x + 2.
D. y = x − 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
1 
y = y′.  x ÷+ ( −2 x + 1)

3 
Thực hiện phép chia y cho y′ ta được:
.

A ( x1 ; y1 )
B ( x2 ; y 2 )
Giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là:
và
.

1 
 y1 = y ( x1 ) = y ′ ( x1 ) .  3 x1 ÷+ ( −2 x1 + 1) = −2 x1 + 1




 y = y ( x ) = y′ ( x ) .  1 x  + ( −2 x + 1) = −2 x + 1
2
2 
2÷
2
2
 2
3 
Ta có: 
.
Ta thấy, toạ độ hai điểm cực trị A và B thoả mãn phương trình y = −2 x + 1 .
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y = −2 x + 1 .

Câu 473: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

A. 2 x + 3 y − 6 = 0 .
B. 2 x − 3 y + 9 = 0 .
C. −2 x + 3 y + 6 = 0 .

y=

1 3
x − 2 x 2 + 3x
3
:
D. 2 x + 3 y + 9 = 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1: TXĐ : D = ¡ .
y′ = x2 − 4x + 3 .
Trang 2/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

x = 1
y′ = 0 ⇔ 
x = 3 .

 4
A 1; ÷
B ( 3;0 )
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là  3  và r
.
n = ( 2;3)
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
B ( 3; 0 )
nên có phương trình 2 x + 3 y − 6 = 0 .
2
Cách 2: Tính y ′ = x − 4 x + 3 ; y ′′ = 2 x − 4 .

Dùng máy tính, chọn MODE 2 .
y ′. y ′′
2
2
y−
2− i
y = 2− x
18a CALC X = i được kết quả
3 nên có phương trình
3
Nhập
⇔ 2x + 3 y − 6 = 0 .

3
2
( C ) . Gọi A, B là các điểm cực trị của ( C ) . Tính độ dài
Câu 474: Cho hàm số y = x − 3x + 2 có đồ thị là

đoạn thẳng AB ?
A. AB = 4.
B. AB = 5 2.
C. AB = 2 5.
D. AB = 5.
Hướng dẫn giải
Chọn C
 x = 2 ⇒ y = −2
′
y
=
0
⇔
x = 0 ⇒ y = 2
y ′ = 3x 2 − 6 x suy ra


Suy ra 2 điểm cực trị của đồ thị
AB =

( 0 − 2)

2

( C)

là

A ( 2; −2 )

và

B ( 0;2 )

.

+ ( 2 + 2) = 2 5
2

Câu 475: Tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
y = 2 x 3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6m ( 1 − 2m ) x
đồ thị hàm số
song song đường thẳng y = −4 x .
1
2
2
m=−
m=−
m=
3.
3.
3.
A.
B. m = 1 .
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
x = m
y′ = 0 ⇔ 

2
y′ = 6 x + 6 ( m − 1) x + 6m ( 1 − 2m )
 x = 1 − 2m .
Ta có
,
Để hàm số có hai cực trị thì m ≠ 1 − 2m

⇔m≠

1
3.

A ( m ; − 7m3 + 3m 2 ) B ( 1 − 2m ; 20m3 − 24m 2 + 9m − 1)
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
,
. Do
uuur
r
3
2
AB = 1 − 3m ; ( 3m − 1)
n = ( 3m − 1) ;1
đó
. Do đó AB có vectơ pháp tuyến là
.
2
2
3
2
3

2
AB : ( 3m − 1) x + y − 2m + 3m − m = 0 ⇔ y = − ( 3m − 1) x + 2m − 3m + m
Do đó
.
Để đường thẳng AB song song với đường thẳng y = −4 x thì:

(

)

(

)

Trang 3/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

m = 1

m = − 1

3


⇔  m ≠ 0
 
1
 m ≠
2
 − ( 3m − 1) = −4
2

1
 3
⇔m=−
2

m
≠
1

2
m
−
3
m
+
m
≠
0


3.

3
2
Câu 476: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3 x + 1 là
A. y = −2 x − 1 .
B. y = −2 x + 1 .
C. y = 2 x − 1 .
D. y = 2 x + 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
x = 0
y′ = 0 ⇔ 
x = 2
Ta có y′ = 3x − 6 x ;
A ( 0;1) , B ( 2; −3 ) .
Qua hai điểm này y′ đổiudấu
uur nên đồ thị hàm số có hai điểm cực
r trị là
AB = ( 2; −4 )
n = ( 2;1)
Đường thẳng AB nhận
là một VTCP nên nhận
là một VTPT
⇒ AB : 2 ( x − 0 ) + 1. ( y − 1) = 0 ⇔ y = −2 x + 1
.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = −2 x + 1 .
2

d : y = ( 3m + 1) x + 3 + m
Câu 477: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng

vuông góc với đường
3
2
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3 x − 1 .
1
A. 3 .

B.

−

1
6.

m=

C.
Hướng dẫn giải

1
6.

D.

−

1
3.

Chọn B

3
2
Xét hàm số y = x − 3 x − 1
1
1
y =  x − ÷ y′ − 2 x − 1
2
3
3
Có : y′ = 3x − 6 x ,
.

Do đó, đường thẳng ∆ qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này có phương trình là y = −2 x − 1
.
1
⇔m=−
3
m
+
1
.
−
2
=
−
1
(
)
(
)

6.
Để d vuông góc với ∆ thì
1
m=−
6.
Vậy giá trị cần tìm của m là
3
2
Câu 478: Đồ thị của hàm số y = − x + 3 x + 9 x + 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB ?
Q ( 0; − 1)
M ( 1; − 12 )
P ( 1;0 )
N ( 1;12 )
A.
.
B.
.
C.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tập xác định ¡
y′ = −3 x 2 + 6 x + 9

Trang 4/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 x = −1
y ′ = 0 ⇔ −3 x 2 + 6 x + 9 = 0 ⇔ 
x = 3
Do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là

A ( −1; −4 )

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

B ( 3; 28 )

và

Suy ra đường thẳng AB có phương trình 8 x − y + 4 = 0 .
Thay

N ( 1;12 )

.

vào phương trình AB ta có 8.1 − 12 + 4 = 0. Vậy N thuộc AB .

DẠNG 12: ĐƯỜNG THẲNG NỐI 2 ĐIỂM CỰC TRỊ (ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC)

Câu 479: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

A. y = 2 x + 3 .
B. y = 2 x − 1 .
C. y = 4 x + 1 .

y=

x2
x −1 .
D. y = 2 x .

Hướng dẫn giải
Chọn D
ax 2 + bx + c
y=
dx + e , nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
Cách 1: Công thức nhanh: Cho hàm số
2ax + b
y=
d .
thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Vậy áp dụng công thức trên ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số là y = 2 x .

D = ¡ \ { 1}
Cách 2: tập xác định
;
 x = 0 ( y = 0)
y′ = 0 ⇒ 
 x = 2 ( y = 4 ) .

y′ =

2 x ( x − 1) − x 2

( x − 1)

2

=

x2 − 2 x

( x − 1)

2

.

O ( 0;0 ) , A ( 2; 4 )
Vậy hai điểm
cực
trị
của
đồ
thị
hàm
số
là:
.
uuu

r
r
OA VTCP OA = ( 2; 4 ) ⇒ VTCPn = ( −4; 2 ) suy ra phương trình −4 x + 2 y = 0 ⇔ y = 2 x .
x2 − 4x + 5
y
=
( C ) của hàm số
x −1
Câu 480: Biết đồ thị
có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm
( C ) cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ xM bằng
cực trị của đồ thị
x =1
x =2
A. xM = 1 + 2 .
B. xM = 1 − 2 .
C. M
.
D. M
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
u′ ( x ) 2 x − 4
y=
v′ ( x ) = 1 = 2 x − 4
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
.
⇒ yM = 0 ⇒ xM = 2
Điểm M ∈ Ox
.

x 2 − mx + m
x −1
Câu 481: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
bằng:
A. 5 .
B. 5 2 .
C. 2 5 .
D. 4 5 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
y=

Trang 5/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

x2 − 2x

 x = 0 ⇒ y = −m
y′ = 0 ⇔ 
( x − 1) ;
x = 2 ⇒ y = 4 − m .
A ( 0; − m ) , B ( 2; 4 − m ) AB = 2 5

Hai điểm cực trị
.
.
2
x − 4x +1
y=
x +1
Câu 482: Đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị thuộc đường thẳng d : y = ax + b . Khi đó tích
ab bằng.
A. 4 .
B. −8 .
C. −4 .
D. −6 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
y′ = 0 ⇒ y = 2 x − 4
Do CT
là đường thẳng nối hai điểm cực trị.
Vậy a = 2 , b = −4 ⇒ ab = −8 .
x2 + 2x + 3
y=
2x +1 .
Câu 483: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
A. y = 1 − x .
B. y = 2 x + 2 .
C. y = x + 1 .
D. y = 2 x + 1 .
y′ =

2

Hướng dẫn giải
Chọn C
 1
D = ¡ \ − 
 2.
 Tập xác định
 x = 1( ⇒ y = 2 )
2x2 + 2x − 4
y′ =
⇔
2
( 2 x + 1) , y′ = 0 ⇔ 2 x 2 + 2 x − 4 = 0  x = −2 ( ⇒ y = −1) .

M ( 1; 2 )
N ( −2; −1)
 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
và
.
 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị M , N của đồ thị hàm số đã cho là:
y = x +1.

Cách khác:
y=

u ( x)
v ( x)

x

 Áp dụng tính chất: Nếu 0 là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ
thì giá trị cực trị tương
u ( x0 ) u ′ ( x0 )
y0 =
=
v ( x0 ) v′ ( x0 )
ứng của hàm số là
. Suy ra với bài toán trên ta có phương trình đường thẳng
( x 2 + 2 x + 3) ′ = x + 1
y=
( 2 x + 1) ′
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
.
2
− x + mx + 1
y=
A −1; 1)
x −1
Câu 484: Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
đi qua điểm (
khi
m
và chỉ khi
bằng
1
A. .
B. −1 .
C. 2 .
D. 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là :
− x 2 + mx + 1) ′
(
d:y=
= −2 x + m
′
( x − 1)
.
Trang 6/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có

A ( −1; 1) ∈ d ⇔ 1 = 2 + m ⇔ m = −1

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

.

x 2 + mx + m 2
x −1
Câu 485: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có hai điểm
cực trị A, B . Khi ∠AOB = 90° thì tổng bình phương tất cả các phần tử của S bằng:

1
1
A. 16 .
B. 8 .
C. 8 .
D. 16 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
2
2 x + m ) ( x − 1) − x 2 − mx − m 2 x − 2 x − ( m + m )
(
=
y′ =
2
2
( x − 1)
( x − 1)
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B thì y′ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1
y=

2
∆
 ′ = 1+ m + m > 0
⇔
2

 −1 − m − m ≠ 0
⇔ ∀m ∈ ¡ .

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là

yA = 2x + m

.
x − 2 x − ( m + m2 )
2

x ;x
là hoành độ của A , B khi đó A B là nghiệm của
x + x = 2 x A .x B = − m 2 − m
Theo định lí Viet ta có A B
;
.
y A = 2 x A + m y B = 2 xB + m
;
.
2
∠AOB = 90° ⇒ x A .xB + y A . y B = 0 ⇔ x A xB + 4 xA xB + 2m ( xA + xB ) + m = 0
1
⇔ 5 ( − m 2 − m ) + 4m + m 2 = 0 ⇔ −4m 2 − m = 0 ⇔ m = 0; m = − 4
.
Gọi

x A ; xB

.

2

1
 1
02 +  − ÷ =
 4  16 .
Tổng bình phương tất cả các phần tử của S bằng:
2
x − 2x + 3
y=
C)
(
x −1
Câu 486: Biết đồ thị
của hàm số
có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm
( C ) cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ xM bằng:
cực trị của đồ thị
x =1
x = −2
A. M
.
B. xM = 1 + 2 .
C. xM = 1 − 2 .
D. M
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( C ) có phương trình y = 2 x − 2 nên xM = 1 .
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

DẠNG 13: ĐIỀU KIỆN HÌNH HỌC VỀ 2 ĐIỂM CỰC TRỊ (HÀM BẬC BA)

3
2
Câu 487: Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số y = x − 3m.x + 9 x − m đạt cực trị
x −x ≤2
S = ( a; b ]
x ,x
tại 1 2 thỏa mãn 1 2
. Biết
. Tính T = b − a .
A. T = 3 − 3 .
B. T = 2 + 3 .
C. T = 1 + 3 .
D. T = 2 − 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
y′ = 3 x 2 − 6m.x + 9
Ta có

Trang 7/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

m > 3

⇔
2
 m < − 3 (1)
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi ∆ ' > 0 ⇔ 9m − 27 > 0
2
2
x1 − x2 ≤ 2 ⇔ ( x1 − x2 ) ≤ 4 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ≤ 4 ⇔ 4m 2 − 12 ≤ 4
Ta có:
⇔ −2 ≤ m ≤ 2 (2)

S=
Từ (1), (2) mà m > 0 theo giả thiết ta được

(

⇔ m 2 ≤ 16

3; 2 

vậy T = b − a = 2 − 3.
f x = x 3 − 3x 2 + m
Câu 488: Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ( )
với m là tham số thực khác
0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng
3x + 3 y − 8 = 0 .
A. m = 6 .

B. m = 4 .

C. m = 5 .

Hướng dẫn giải

D. m = 2 .

Chọn C
x = 0
⇔
f ′ x = 3x − 6 x f ′ ( x ) = 0
x = 2 .
TXĐ: D = ¡ , ( )
,
A 0; m ) B ( 2; m − 4 )
Tọa độ 2 điểm cực trị là (
;
.
 2 2m − 4 
G ;
÷
3 .
Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB là  3
Điểm G thuộc đường thẳng: 3x + 3 y − 8 = 0 nên: 2 + 2m − 4 − 8 = 0 ⇔ m = 5 .
2

Câu 489: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
y = x 3 + x 2 + mx − 1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp ( −5;6 ) ∩ S .
A. 5 .

B. 3 .

C. 4 .

Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn C
2
Tập xác định: D = R ; y ′ = 3x + 2 x + m .

Hàm bậc ba có cực trị khi y ′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 1 − 3m > 0 ⇔
 x = −1 − 1 − 3m

 x = −1 + 1 − 3m
y′
=
0
⇔
Khi đó
Bảng biến thiên:

m<

1
3

( 1)

.

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về phía bên phải trục tung khi
−1 + 1 − 3m > 0 ⇔ 1 − 3m > 1 ⇔ m < 0 .

( 1) ta có m < 0 thì điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho nằm bên phải trục tung.
Kết hợp với
Khi đó S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên âm.
Trang 8/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

( −5;6 ) ∩ S = { −4; −3; −2; −1} ⇒ ( −5;6 ) ∩ S

có 4 phần tử.
y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x − m − m
Câu 490: Cho hàm số
, với m là tham số. Gọi A , B là hai điểm cực
I ( 2; −2 )
trị của đồ thị hàm số và
. Tổng tất cả các số m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác
nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là:
Vậy

3

20

A. 17 .

2

2

4
B. 17 .

3

14
C. 17 .
Hướng dẫn giải

D.

−

2
17 .

Chọn A
x = m +1
⇔
( x − m ) 2 − 1
=
3

 ; y′ = 0

 x = m −1 .
Ta có y′ = 3 x − 6mx + 3m − 3
Do đó, hàm số luôn có hai cực trị với mọi m .
A ( m + 1; −4m − 2 ) B ( m − 1; −4m + 2 )
Giả sử
;
. Ta có AB = 2 5 , ∀m ∈ R .
2

2

Mặt khác, vì ∆IAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R = 5 nên từ
AB
sin ·AIB =
=1 ·
⇒ AIB = 90o hay ∆AIB vuông tại I .
2R
M ( m; −4m )
Gọi M là trung điểm AB , ta có
và

IM =

AB
= 2R
sin ·AIB

suy ra

1

AB 2
AB ⇔ IM 2 =
=5
2
4

m = 1
⇔
m = 3
2
2
2
⇔ ( m − 2 ) + ( −4m + 2 ) = 5 ⇔ 17 m − 20m + 3 = 0
17 .

3 20
1+ =
17 17 .
Tổng tất cả các số m bằng
1
y = mx3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 2018
3
Câu 491: Cho hàm số
với m là tham số. Tổng bình phương tất
x ;x
x + 2 x2 = 1
cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị 1 2 thỏa mãn 1
bằng
40
25

22
8
A. 9 .
B. 4 .
C. 9 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
y′ = mx 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 )
Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị

x1; x2

thì phương trình

mx 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) = 0 ( 1)

m ≠ 0

m ≠ 0
⇔  3 − 11
3 + 11
⇔
2

x ;x
 2
2
 ∆ ′ = −2 m + 6 m + 1 > 0

có hai nghiệm 1 2 phân biệt
2 ( m − 1)
x1 + x2 =
m
Ta có:

Trang 9/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Theo đề ra

x1 + 2 x2 = 1

nên

x2 =

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

2−m
m thay vào ( 1) ta được

( 2 − m ) ( 4 − 6m )
m

m = 2
=0⇔
2
m =
3.


1 3 2
x − x + mx − m
3
Câu 492: Xác định các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số
có các điểm cực
2 
C  ;0 ÷.
đại và cực tiểu A và B sao cho tam giác ABC vuông tại C trong đó tọa độ điểm  3 
y=

A.

m=

1
4.

m=

B.

Chọn C

2
Ta có y ′ = x − 2 x + m .
y ′ = 0 ⇔ x 2 − 2 x + m = 0 ( 1)

1
3.

m=

C.
Hướng dẫn giải

1
2.

D.

m=

1
6.

.

( 1) có hai nghiệm phân biệt
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khi phương trình
⇔ ∆′ > 0 ⇔ 1 − m > 0 ⇔ m < 1 .
 x A + xB = 2

x .x = m

Khi đó ta có  A B
.
2
2m
 x 1
y =  − ÷ y′ + ( m − 1) x −
3
3 .
 3 3
Ta có
2
2m
2
2m
⇒ y A = ( m − 1) xA −
yB = ( m − 1) xB −
3
3 ;
3
3 .
4
4
2
⇒ y A . yB = ( m − 1) x A − m  ( m − 1) xB − m  = ( m − 1) xA xB − m ( m − 1) ( xA + xB ) + m 2 

.
9
9
4
4

2
= ( m − 1) m − 2m ( m − 1) + m 2  = ( m3 − 3m 2 + 3m )
 9
9
.
uur 
u
u
r
2
2



CA =  xA − ; y A ÷; CB =  xB − ; yB ÷
3
3



 .
Ta có
uur uur
2 
2

CA.CB = 0 ⇔  xA − ÷ x B − ÷+ y A yB = 0
3 
3


∆ABC vuông tại C khi chỉ khi
.
2
4
4 4 4
⇔ x A xB − ( x A + xB ) + + y A yB = 0 ⇔ m − + + ( m3 − 3m 2 + 3m ) = 0
3
9
3 9 9
.
⇔ 4m3 − 12m2 + 21m − 8 = 0 ⇔ ( 2m − 1) ( 2m2 − 5m + 8 ) = 0

.

Trang 10/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

 2m − 1 = 0
1
1
⇔ 2
⇔m=

m
=
2
m
−
5
m
+
8
=
0
vn
2
( )

2 .
(nhận). Vậy
2
2
3
2
x x
Câu 493: Hàm số y = x − 3 x + mx − 1 có hai điểm cực trị 1 , 2 thỏa mãn x1 + x2 = 3 . Giá trị của tham số
m là
3
3
− .
.
A. 2
B. 2

C. 3.
D. −3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tập xác định D = ¡ .
2
x x
Ta có y′ = 3 x − 6 x + m . Để hàm số có hai điểm cực trị 1 , 2 thì phương trình y′ = 0 có hai
nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3
 x1 + x2 = 2


m
 x1.x2 = 3
Hệ thức Viét :
.

2m
3
2
⇒ 4−
=3 ⇔m=
x12 + x22 = 3 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 3
3
2.
Ta có
3
2
2
y = ( m − 3) x + 2 m − m − 1 x + ( m + 4 ) x − 1

Câu 494: Cho
. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m
để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Oy . S có bao nhiêu phần

(

tử?
A. 6 .

)

B. 7 .

C. 4 .
Hướng dẫn giải

Chọn A
y′ = 3 ( m − 3) x 2 + 4 ( m2 − m − 1) x + m + 4
Ta có
2
2
y′ = 0 ⇔ 3 ( m − 3) x + 4 ( m − m − 1) x + m + 4 = 0

D. 5 .

.

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Oy thì phương trình y′ = 0
có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
3 ( m − 3) ≠ 0


3 ( m − 3) . ( m + 4 ) < 0 ⇔ −4 < m < 3
Suy ra 
.
m = { −3; −2; −1;0;1; 2}
Mà m ∈ ¢ nên
. Vậy S có 6 phần tử.
3
Câu 495: Đồ thị hàm số y = x − 3 x + 2 có 2 điểm cực trị A, B . Diện tích tam giác OAB với O (0; 0) là gốc
tọa độ bằng
1
.
A. 3.
B. 2
C. 1.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn D
x = 1
y ' = ( x3 − 3 x + 2 ) ' = 3x 2 − 3 ⇒ y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ 
⇒ A ( 1;0 ) , B ( −1;4 )
x
=
−
1

Ta có:
⇒ AB = 2 5, AB : 2 x + y − 2 = 0, d (O, AB ) =

2

5

=> S =

1
AB.d (O, AB ) = 2
2

Trang 11/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

3
2
Câu 496: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = mx − 3mx + 3m − 3 có hai điểm
2
2
2
cực trị A, B sao cho 2 AB − (OA + OB ) = 20 ( Trong đó O là gốc tọa độ).

A. m = −1 hoặc
C. m = −1.

m=−

17
11 .

B. m = 1 hoặc
D. m = 1 .
Hướng dẫn giải

m=−

17
11 .

Chọn B
2
Ta có: y′ = m(3x − 6 x)

 x = 0 ⇒ y = 3m − 3
y′ = 0 ⇔ 
 x = 2 ⇒ y = − m − 3 . Vậy hàm số luôn có hai điểm cực trị.
Với mọi m ≠ 0 , ta có
Giả sử A(0;3m − 3); B(2; −m − 3) .
m = 1
2 AB − (OA + OB ) = 20 ⇔ 11m + 6 m − 17 = 0 ⇔ 
 m = − 17

11 ( thỏa mãn)
Ta có :
m = 1


 m = − 17
11 .
Vậy giá trị m cần tìm là: 
y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m2 − 1) x − m3 + m
( C ) và điểm I ( 1;1) . Biết rằng có hai
Câu 497: Cho hàm số
có đồ thị
m m
m < m2
( C ) cùng với I
giá trị của tham số m (kí hiệu 1 , 2 với 1
) sao cho hai điểm cực trị của
P = m1 + 5m2
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5 . Tính
.
5
5
P=
P=−
3.
3.
A. P = −2 .
B.
C.
D. P = 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
y′ = 3x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1)
Ta có:

.
y x m −2 x
= − +
y′ do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ( C ) là
Khi đó y′ 3 3
2

2

2

2

y = −2 x

 x = m − 1 ⇒ y1 = −2m + 2
⇔ 1
=1
 x2 = m + 1 ⇒ y2 = −2m − 2 .

2
2
⇔ ( x − m)
Lại có: y′ = 0 ⇔ 3 x − 6mx + 3m = 3
A m − 1; − 2m + 2 ) B ( m + 1; − 2m − 2 ) ⇒ AB = 2 5
Gọi (
,
do đó AB là đường kính của đường tròn
u
u

r
u
u
r
°
·
⇔ ( m − 2 ) m + ( −2m + 1) ( −2m − 3) = 0
do đó AIB = 90 hay AI ⊥ BI ⇔ IA.IB = 0
 m = −1
⇔
m = 3
2
5 .

⇔ 5m + 2m − 3 = 0
2

3
m
=
2
m = −1
5 ⇒ P = m1 + 5m2 = 2 .
Vậy 1
,

Trang 12/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

3
2
m m
Câu 498: Cho hàm 2018 y = − x − 3 x + 4 . Biết rằng có hai giá trị 1 , 2 của tham 2018 m để đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm 2018 tiếp xúc với đường tròn

( C ) : ( x − m)
A.

2

+ ( y − m − 1) = 5

m1 + m2 = 6

2

.

B.

. Tính tổng
m1 + m2 = −6

m1 + m2

.

m + m2 = 0
.
C. 1
.
Hướng dẫn giải

D.

m1 + m2 = 10

.

Chọn B

 x 1
y =  + ÷ y′ + 2 x + 4
 3 3
Ta có y′ = −3 x − 6 x và
, suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai
∆
điểm cực trị của đồ thị hàm 2018 là y = 2 x + 4 ⇔ 2 x − y + 4 = 0 , ( ) .
2
2
C ) : ( x − m ) + ( y − m − 1) = 5
I m; m + 1)

(
Đường tròn
có tâm (
và bán kính R = 5 .
∆
( C ) khi và chỉ khi d ( I , ( ∆ ) ) = R
Đường thẳng ( ) tiếp xúc với đường tròn
 m=2
2m − m − 1 + 4
⇔
= 5 ⇔ m+3 =5 ⇔ 
5
 m = −8 . Vậy m1 + m2 = −6 .
2
y = x3 + ( m + 1) x 2 + ( m 2 + 4m + 3) x − 3
3
Câu 499: Cho hàm 2018
, ( m là tham 2018 thực) . Tìm điều kiện
m
của
để hàm 2018 có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm 2018 nằm bên phải
của trục tung.
 m > −1

A.  m < −5 .
B. −5 < m < −1 .
C. −5 < m < −3 .
D. −3 < m < −1 .
2

Hướng dẫn giải
Chọn C
y′ = 2 x 2 + 2 ( m + 1) x + ( m 2 + 4m + 3)

.
′
Yêu cầu bài toán thỏa mãn ⇔ y = 0 có hai nghiệm dương phân biệt

2
( m + 1) − 2 ( m2 + 4m + 3 ) > 0
 m ∈ ( −5; −1)
 ∆′ > 0




⇔  S > 0 ⇔ − ( m + 1) > 0
⇔  m < −1
⇔ m ∈ ( −5; −3)
P > 0
 2
 m ∈ −∞; −3 ∪ −1; +∞
(
) (
)


 m + 4m + 3 > 0

2

.
1 3
y = x − mx 2 + m2 − 1 x
S
m
3
Câu 500: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của
để đồ thị của hàm số
có
d
:
y
=
5
x
−
9
hai điểm cực trị là A và B sao cho A , B nằm khác phía và cách đều đường thẳng
.

(

Tính tổng các phần tử của S .
A. 3 .
B. 6 .

C. 0 .
Hướng dẫn giải

)

D. −6 .

Chọn C
2
2
Ta có y′ = x − 2mx + m − 1 .

(

)

∆′ = m 2 − m 2 − 1 = 1 ⇒ y ′ = 0
có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị của hàm số có hai điểm cực
trị A và B .

Trang 13/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

m ( m 2 − 1)
m ( m 2 − 1)
m

2
1
2
y =  x − ÷ y′ + x +
y = x+
3
3
3
3
3
3
Ta có
suy ra đường thẳng AB :
A , B nằm khác phía và cách đều d : y = 5 x − 9 ⇔ Trung điểm I của đoạn AB thuộc d .
 m3 + m 
m3 + m
I  m,
÷∈ d
= 5m − 9
3 
⇔
⇔ m3 − 14m + 27 = 0 ( 1) . Gọi m1 , m2 , m3 là ba
3
Ta có 
( 1) .
nghiệm của
S = m1 + m2 + m3 = 0
Áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc ba ta có
hoặc dùng MTCT giải
tính tổng ba nghiệm ta được S = 0 .

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m
Câu 501: Tìm m để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị A , B , C sao cho OA = BC
, trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực đại, B và C là hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
A. m = 2 + 2 2
B. m = 2 ± 2
C. m = 2 ± 2 3
D. m = 2 ± 2 2
Hướng dẫn giải
Chọn D
y′ = 0 ⇔ x  x 2 − ( m + 1)  = 0
y′ = 4 x3 − 4 ( m + 1) x
Ta có
; Giải phương trình
.
′
y
=
0
3
⇔
m
> −1 .
Để hàm số có ba cực trị thì phương trình
có nghiệm phân biệt

A ( 0; m )
Theo đề bài ta có A là điểm cực đại, B và C là hai điểm cực tiểu nên
,
2

2
B − m + 1; − m − m − 1 C m + 1; − m − m − 1
,
.
2
⇔ m = 2 m + 1 ⇔ m − 4m − 4 = 0 ⇔ m = 2 ± 2 2 ( t / m )
Mặt khác OA = BC
.
3
2
3
Câu 502: Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 4m có hai điểm cực trị A và

(

) (

B thỏa AB = 20 :
A. m = ± 1

)

B. m = ± 2

C. m = 1
Hướng dẫn giải

D. m = 2

Chọn A

x = 0

+ Ta có: y ′ = 3x − 6mx ⇒ y′ = 0 ⇔  x = 2m . Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì điều kiện
2
A ( 0; 4m3 ) B ( 2m;0 )
cần và đủ là m ≠ 0 . Khi đó
,
. Yêu cầu bài toán trở thành AB = 20
2

( ) + ( m ) −5 = 0 ⇔ m = ± 1.

2
⇒ 4m 2 + 16m6 = 20 ⇔ 4 m

3

2

3
2
Câu 503: Cho hàm số y = x − 3mx + m ( m là tham số). Có bao nhiêu số nguyên m bé hơn 10 thỏa mãn
đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A, B sao cho AB ≥ 2 5 .
A. 18 .
B. 9 .
C. 5 .
D. 10 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
2

Ta có: y′ = 3 x − 3m . Để hàm số có hai điểm cực trị thì m > 0.

 x = m → y1 = m 2 − 2m m
y′ = 0 ⇔ x 2 = m ⇔  1
.
2
x
=
−
m
→
y
=
m
+
2
m
m

 2
2
Khi đó,
A m ; m 2 − 2m m , B − m ; m 2 + 2m m .
Ta được:

(

) (

)

Trang 14/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

AB ≥ 2 5 ⇔ AB 2 ≥ 20 ⇔ 4m + 16m3 ≥ 20 ⇔ 4m3 + m − 5 ≥ 0 ⇔ ( m − 1) ( 4m 2 + 4m + 5 ) ≥ 0 ⇔ m ≥ 1.

m ∈ { 1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9}
Do m nguyên và bé hơn 10 nên

y = 2 x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 6mx
Câu 504: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có hai
điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng: y = x + 2 .

m = 0
 m = −3 .
A. 

 m = −3
m = 2 .
B. 

 m = −2
m = 3 .
C. 
Hướng dẫn giải

m = 0
m = 2 .
D. 

Chọn D
[Phương pháp tự luận]
y = 6 x 2 − 6 ( m + 1) x + 6m
Ta có :
x = 1
y' = 0 ⇔ 
x = m

Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m ≠ 1
3
2
A 1;3m − 1) B ( m; −m + 3m )
Ta có : (
2
k = − ( m − 1)
Hệ số góc đt AB là :
m = 0
⇔
 m=2
Đt AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 khi và chỉ khi k = −1
[Phương pháp trắc nghiệm]

Bước 1 : Bấm Mode 2 (CMPLX)
6 x 2 − 6 ( y + 1) x + 6 y ) ( 12 x − 6 ( y + 1) )
(
y '. y ''
3
2
y−
= 2 x − 3 ( y + 1) x + 6 yx −
18a
36
Bước 2 :
Bước 3 : Cacl x = i , y = 1000
Kết quả : 1001000 − 9980001.i . Hay : y = 1001000 − 9980001.x
2
y = m 2 − m − ( m − 1) x
Vậy phương trình đt qua 2 điểm cực trị AB là :

m = 0
⇔
⇔ ( m − 1) = 1
 m=2
Có đt AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 khi và chỉ khi
Câu 505: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
y = x3 − 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I ( 1;1) , bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho
2

diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
2± 3
2± 3
1± 3

m=
m=
m=
3 .
2 .
2 .
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải
Chọn B

D.

m=

2± 5
2 .

2
2
Ta có y′ = 3x − 3m nên y′ = 0 ⇔ x = m .

Trang 15/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

3
Đồ thị hàm số y = x − 3mx + 2 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0 .
1
1
y = x 3 − 3mx + 2 = x 3 x 2 − 3m − 2mx + 2 = x. y ′ − 2mx + 2
3
3
Ta có
.

(

)

3
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3mx + 2 có phương trình
∆ : y = −2mx + 2
1
1
1
S∆IAB = .IA.IB.sin ·AIB = sin ·AIB ≤
2
2
2
Ta có:
1

·
Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 2 khi sin AIB = 1 ⇔ AI ⊥ BI .

IH =

1
2
AB =
= d( I , ∆ )
2
2

Gọi H là trung điểm AB ta có:
2m + 1 − 2
d( I ,∆ ) =
4m 2 + 1
Mà
2m + 1 − 2
2
d( I ,∆ ) =
=
⇔ 4m − 2 = 2 ( 4m 2 + 1) ⇔ 8m 2 − 16m + 2 = 0 ⇔ m = 2 ± 3
2
2
4m + 1
2 .
Suy ra:
3
2
Câu 506: Đồ thị của hàm số y = − x + 3 x + 5 có hai điểm cực trị A và B . Tính diện tích S của tam giác

OAB với O là gốc tọa độ.
10
S=
3 .
A. S = 5 .
B. S = 10 .
C.
D. S = 9 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
x = 0
y ' = 0 ⇔ −3 x 2 + 6 x = 0 ⇔ 
2
x = 2 .
Ta có: y ' = −3x + 6 x ,
uuu
r
⇒
AB
= (2; 4) ⇒ AB = 22 + 42 = 20 .
A
(0;5),
B
(2;9)
Nên
Phương trình đường thẳng AB : y = 2 x + 5 .
Diện tích tam giác OAB là: S = 5 .
DẠNG 14: ĐIỀU KIỆN HÌNH HỌC VỀ TAM GIÁC CỰC TRỊ (HÀM TRÙNG PHƯƠNG)
4
2

Câu 507: Gọi A , B là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x − 2 x − 1 . Diện tích của tam giác AOB
(với O là gốc tọa độ) bằng
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn D
3
Ta có y′ = 4 x − 4 x

x = 0
y′ = 0 ⇔ 4 x 3 − 4 x = 0 ⇔ 
 x = ±1
Nên đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
d ( O, AB ) = 2 AB = 2
,
.

C ( 0; −1)

,

A ( −1; −2 ) B ( 1; −2 )
,
.

Trang 16/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
S AOB =

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

1
1
d ( O, AB ) . AB = .2.2 = 2
2
2
.

4
2
Câu 508: Cho hàm số y = x − 2 x + 2 . Diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị
hàm số đã cho có giá trị là
1
S=
2.
A. S = 3 .
B.
C. S = 1 .
D. S = 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Tập xác định D = ¡ .

x = 0 → y = 2
y′ = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ 
 x = ±1 → y = 1
Ta có

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

A ( 0; 2 )

Nhận xét ∆ABC cân tại A . Vì vậy
Câu 509: Gọi

S=

,

B ( −1;1) C ( 1;1)
,
.

1
1
y A − yB . xC − xB = .1.2 = 1
2
2
.

( C)

là đường parabol qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm 2018
( C ) đi qua điểm A ( 2; 24 ) .
để
A. m = 3 .
B. m = −4 .
C. m = 6 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
x = 0
y′ = x3 − 2mx = 0 ⇔ 
 x = ± 2m với m > 0 .
Ta có:
x = 0 ⇒ y = m 2 ; x = ± 2m ⇒ y = 0 .
Giả sử

( C ) : y = ax 2 + bx + c .

(

y=

) (

1 4
x − mx 2 + m2
4
, tìm m
D. m = 4 .

)

M ( 0; m 2 ) N 2m ;0 P − 2m ;0
A ( 2; 24 )
đi qua 4 điểm
,
,
và
nên ta có
2
2
c = m
c = m


2
0 = 2ma + 2mb + c
2ma + 2mb + m = 0  m = −4 ( L )
⇔
⇒

2
0 = 2ma − 2mb + c
2ma − 2mb + m = 0  m = 6 ( N )
 24 = 4a + 2b + c

2
4a + 2b + m = 24
hệ phương trình: 
.

4
2
4
Câu 510: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị là các đỉnh của một tam giác

Theo giả thiết

( C)

có diện tích bằng 4 .
5
A. m = ± 4 .

5
B. m = ± 16 .

5
C. m = 4 .

5
D. m = 16 .

Trang 17/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Hướng dẫn giải
Chọn D
+ Tập xác định: D = ¡ .

x = 0
′=0⇔  2
y
3
x = m .
+ y′ = 4 x − 4mx ;
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m > 0 . Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
4
2
C m ; m 4 − m 2 + 2m
A ( 0; 2m + m 4 ) B − m ; m − m + 2m
,
và
.
4
2
H ( 0; m − m + 2m )
Gọi H là trung điểm BC . Khi đó
.
2
2
1
1

S ∆ABC = AH .BC = . − m 2 . 2 m
= m2 m = 4 .
2
2
Ta có:

(

)

) (

(

(

)

)

⇔ m5 = 16 ⇔ m = 5 16 (thỏa mãn yêu cầu bài toán).
5
Vậy m = 16 .

4
2
A ( 0; 1) , B, C
Câu 511: Tìm m đề đồ thị hàm số y = x − 2mx + 1 có ba điểm cực trị
thỏa mãn BC = 4?
A. m = ± 2 .

B. m = 2 .
C. m = 4 .
D. m = ±4 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Tập xác định: D = ¡ .
x = 0
y ' = 4 x 3 − 4mx = 0 ⇔  2
x = m .
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ m > 0 .
A ( 0;1) , B m ; − m 2 + 1 , C − m ; − m 2 + 1 .
Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số:
BC = 4 ⇔ 4m = 16 ⇔ m = 4.
4
2
4
Câu 512: Cho hàm số y = 3x − 2mx + 2m + m . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có

(

) (

ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 3 .
A. m = −3 .
B. m = 3 .
C. m = 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
3
= 4 x 3x 2 − m

′
y
=
12
x
−
4
mx
Ta có
.

(

)

)

D. m = −4 .

(

)

A 0; 2m + m 4
m
>
0
Đề đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì
, khi đó tọa độ các điểm cực trị là
,

2
2
 m 4 m

 m 4 m

B 
;m −
+ 2m ÷
C
−
;
m
−
+
2
m

÷
÷ 
÷
3
3
3
 3
, 
.
1
m m2
m m2

1
.
=
.
S ABC = .BC.d ( A; BC ) = .2
2
3 3
3 3 .
2
Tam giác ABC cân tại A nên có diện tích
Theo đề bài ta có

m m2
.
=3⇔ m =3
3 3
.

4
2 2
4
Câu 513: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x − 2m x + m + 1 có ba điểm cực trị .
Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành 1 tứ giác nội tiếp.
A. m = −1 .
B. m = ±1 .

Trang 18/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C. m = 1 .

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

D. Không tồn tại m .
Hướng dẫn giải

Chọn B
y ′ = y = 4 x 3 − 4m 2 x
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m ≠ 0
A ( 0; m 4 + 1) , B ( − m;1) , C ( m;1)
Khi đó 3 điểm cực trị là:
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC . Do tính chất đối xứng , ta có:
A, O, I thẳng hàng ⇒ AO là đường kính của đường tròn ngoại tiếp( nếu có) của tứ giác ABOC .

m = 0
⇔
uuur uuur
2
4
 m = ±1
Vậy AB ⊥ OB ⇔ AB.OB = 0 ⇔ m − m = 0
Kết hợp điều kiện m = ±1 ( thỏa mãn).
y = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m 2 − m

có ba điểm cực trị A , B , C ( A nằm trên

I ( 2;0 )
trục tung). Tìm m để diện tích tam giác IBC bằng 2 2 với
.
3
3
3
3
A. m = 27 .
B. m = 3 − 1 .
C. m = 3 .
D. m = 8 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
y′ = 4 x3 − 4 ( m − 1) x = 4 x ( x 2 − m + 1)
.
x = 0
y′ = 0 ⇔  2
 x = m −1 .
Để hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi m − 1 > 0 ⇔ m > 1 .
x = 0

x = ± m −1
′
y
=
0
3
Khi đó
có nghiệm 
C m − 1; m − 1

A ( 0; m 2 − m ) B − m − 1; m − 1
Gọi
,
và
là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số
∆
:
y
−
m
+
1
=
0
BC
Ta có phương trình đường thẳng
là
.

Câu 514: Giả sử đồ thị hàm số

(

)

(

)

d ( I , ∆ ) = m −1 = m −1

(vì m > 1 ).
1
1
S IBC = BC.d ( I , ∆ ) ⇔ 2 m − 1. ( m − 1) = 2 2
⇔ m = 3 = 3 27 .
2
2
Khi đó
4
2
Câu 515: Để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − 1 có ba điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm trực tâm thì
giá trị của tham số m bằng
1
1
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn A
y′ = 4 x 3 − 4mx = 4 x ( x 2 − m )
Ta có
.
2
2
A ( 0; m − 1) B ( − m; − m + m − 1) C ( m; −m + m − 1)
Khi m > 0 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
,
,

.uuu
r
uuur
AB = ( −m; −m 2 ) OC = ( m; −m 2 + m − 1)
,
.
Trang 19/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Vì hàm số đã cho là hàm trùng phương nên hiển nhiên AO ⊥ BC . Để O là trực tâm ∆ABC thì
uuur uuur
2
2
2
2
2
CO ⊥ AB ⇔ AB.OC = 0 ⇔ −m − m ( −m + m − 1) = 0 ⇔ − m ( − m + m ) = 0 ⇔ m = 0 (loại)
hoặc m = 1 (nhận).
4
2 2
Câu 516: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + 2m có ba điểm cực trị A ,
B , C sao cho O , A , B , C là ba đỉnh của một hình thoi .

A. m = 1
B. m = 2
C. m = 3
D. m = −1
Hướng dẫn giải
Chọn A
3
2
Ta có y′ = 4 x − 4m x
x = 0
y′ = 0 ⇔ 
 x = ±m

A ( −m; −m 4 + 2m ) B ( 0; 2m )
Vậy với điều kiện m ≠ 0 hàm số có 3 điểm cực trị là
,
,
4
C ( m; − m + 2m )
.
Để O , A , B , C là ba đỉnh của một hình thoi thì
uuu
r uuu
r
m = 0 ( l )
OA = CB ⇔ − m 4 + 2m = m 4 ⇔ 2 m ( m3 − 1) = 0 ⇔ 
m = 1 .
4
2
2

4
( C ) . Biết đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị A , B ,
Câu 517: Cho hàm số y = x − 2mx − 2m + m có đồ thị
C và ABDC là hình thoi trong đó D ( 0; −3) , A thuộc trục tung. Khi đó m thuộc khoảng nào?
1
1 9
9 

m∈ ; ÷
m ∈ ; 2÷
m ∈  −1; ÷
m ∈ ( 2;3)
2.
2 5.
5 .

A.
.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
x = 0
⇒ y′ = 0 ⇔  2
2
y′ = 4 x ( x − m )
x = m ;
Ta có
4

2
A ( 0; m4 − 2 m2 ) B − m ; m − 3m
Với điều kiện m > 0 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
;
;
4
2
C m ; m − 3m
. Để ABDC là hình thoi điều kiện là BC ⊥ AD và trung điểm I của BC
trùng với trung điểm J của AD . Do tính đối xứng ta luôn có BC ⊥ AD nên chỉ cần I ≡ J với
 m 4 − 2m 2 − 3 
J
0;
÷
I ( 0; m 4 − 3m 2 ) , 
2
.
m = 1
1 9
⇔
⇔ m∈ ; ÷
4
2
4
2
4
2
m
=
3


 2 5.
ĐK : m − 2m − 3 = 2m − 6m ⇔ m − 4m + 3 = 0
4
2 2
Câu 518: Tất cả giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số y = x − 8m x + 1 có ba điểm cực trị tạo thành
một tam giác có diện tích bằng 64 là

(

(

)

5
5
A. m = 2 ; m = − 2 .
C. m = 2 ; m = −2 .

)

B. m = 2 ; m = − 2 .
3
3
D. m = 2 ; m = − 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn A
Trang 20/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

3
2
Ta có đạo hàm y′ = 4 x − 16m x .
x = 0
y′ = 0 ⇔ 
 x = ±2m .

A ( 0;1)
Do đó với điều kiện m ≠ 0 hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác cân ABC với
,
2
2
4
4
B ( 2m;8m + 1)
C ( −2m;8m + 1)
B ( 2m;16m + 1)
C ( −2m;16m + 1)
và
. Hai điểm này sai cô
và

.
4
4
BC = 4m
BC
:
y
=
16
m
+
1
( )
Ta có
và
. Suy ra chiều cao AH = 16m .
1
5
S∆ABC = 64 ⇔ 4m 16m 4 = 64 ⇔ m = 2 ⇔ m = ± 5 2
2
Theo đề bài thì
.
4
2
Câu 519: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x − 2mx có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
3
A. 0 < m < 1 .
B. m > 0 .
C. m < 1 .

D. 0 < m < 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn A

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị là m > 0. .
 x1 = 0
 y1 = 0


y ′ = 0 ⇔  x2 = − m ⇒  y 2 = − m 2

 y = −m 2
y′ = 4 x3 − 4mx ;
 3
 x3 = m
.

.

2
Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy bằng 2 m , đường cao bằng m . (như hình minh
họa).
1
S ∆ABC = AC.BD = m .m 2
2
Ta được
. Để tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 thì

m .m2 < 1 ⇔ 0 < m < 1. .
[208-BTN - 2017] Cho hàm số . Gọi là một điểm thuộc đồ thị và là tổng khoảng cách từ đến

hai tiệm cận của đồ thị hàm số . Giá trị nhỏ nhất của có thể đạt được là:
A. 2.
B. 5.
C. 6.
D. 10.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi , ta có.
. Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2.
<TRÙNG 1659>

Trang 21/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

y = x 4 + ( m + 1) x 2 − 2m − 1
m
Câu 520: Tìm tất cả các giá trị
sao cho đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị là
120°
ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng
.

2
m = −1 − 3
3 , m = −1 .
A. m < −1 .
B.
1
2
m=− 3
m = −1 − 3
3.
3.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
y′ = 4 x3 + 2 ( m + 1) x = 2 x ( 2 x 2 + m + 1)
Ta có
.
x = 0
y′ = 0 ⇔  2
2 x = −m − 1
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt
⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < −1 .
Khi đó
 − m − 1 ( m + 1) 2

 −m − 1 ( m + 1) 2

B−
;−

− 2m − 1 ÷ C 
;−
− 2m − 1÷

÷ 
÷
2
4
2
4
A ( 0; − 2m − 1)
, 
 , là các điểm
, 
cực trị của đồ thị.

m + 1 ( m + 1)
AB = AC = −
+
2
16 nên tam giác ABC cân tại A .
Ta thấy
Từ giả thiết suy ra A = 120° .
4

2


m + 1)
(

H  0; −
− 2m − 1÷

÷
4

Gọi H là trung điểm BC , ta có 

( m + 1)
BH = AH tan 60° ⇔
4

2

. 3= −

m +1
2

3 ( m + 1)
m +1
2
3
=−
⇔ 3 ( m + 1) = −8 ⇔ m = −1 − 3
16
2
3.
4

⇔

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m2
Câu 521: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
có
ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
B. m = 0 .
A. m = 1; m = 0 .
C. m = −1; m = 0 .
D. m = 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
4
2
Cách 1: Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương y = ax + bx + c có ba điểm cực trị là

ab < 0 ⇔ m > −1 ⇒ loại
B.
Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi
3
b3 + 8a = 0 ⇔ −8 ( m + 1) + 8 = 0 ⇔ m = 0
.
2
y′ = 4 x x − m − 1
Cách 2: Ta có

(

)

Trang 22/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

x = 0
y′ = 0 ⇔  2
 x = m + 1 . Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì m > −1 ( *)
Xét
A 0; m2 , B m + 1; − 2m − 1 , C − m + 1; − 2m − 1
Tọa độ ba điểm cực trị là
H ( 0; − 2m − 1)
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì

) (

(

) (

)

⇔ ( m + 1) = m + 1
Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi AH = BH

⇔ m = 0 : T / m ( *)
.
4
2
Câu 522: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x − 2mx + m có ba điểm cực trị . Đồng thời
ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1.
A. m < −1 .
B. m > 2 .
4

C.

m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ )

D. Không tồn tại m .
Hướng dẫn giải

.

Chọn B
[Phương pháp tự luận]
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 0
A ( 0; m ) , B − m ; m − m2 , C
Ba điểm cực trị là
BC ⇒ I ( 0; m − m 2 )
Gọi I là trung điểm của
1
S ∆ABC = AI .BC = m 2 m
2

(

Chu vi của ∆ABC là:

) (

m ; m − m2

(

m + m4 + m

2 p = AB + BC + AC = 2

)

)

S ∆ABC
m2 m
r=
=
p
m + m4 + m
Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC là:

r >1⇔

m2 m
m + m4 + m

>1⇔

m2 m

(

m + m4 − m
m

4

) >1

(vì m > 0 )
 m < −1
⇔ m m + m 4 − m > m 2 ⇔ m 2 + m5 > m 2 + m ⇔ m 2 − m − 2 > 0 ⇔ 
m > 2
So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn.
[Phương pháp trắc nghiệm]
b2
4m 2
m2
r=
⇒r=
=
4 a + 16a 2 − 2ab3
4 + 16 + 16m3 1 + 1 + m3
Sử dụng công thức
Theo bài ra:

)

(

r >1⇔
Theo bài ra:

m2
1+ 1+ m

3

>1⇔

m2

(

) >1⇔

1 + m3 − 1
m

3

1 + m3 − 1 > m

 m < −1
1 + m3 > m + 1 ⇔⇔ 1 + m3 > m + 1 ⇔ m 2 − m − 2 > 0 ⇔ 

m > 2
So sánh điều kiện suy ra m > 2 thỏa mãn.
4
2
4
Câu 523: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m − m có ba
điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ
Trang 23/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. m = 3 .

B. m = 1 .

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm
m=

C.
Hướng dẫn giải

1
2.

D. m = 2 .

Chọn B
y′ = 4 x3 − 4mx = 4 x ( x 2 − m )
Ta có:
.
x = 0
y′ = 0 ⇒ 4 x ( x 2 − m ) = 0 ⇔  2
x = m .
Xét
Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì m > 0 .
4
2
A ( 0; 2 m 4 − m ) B m ; 2m − m − m
Khi đó tọa độ các điểm cực trị là
,
và
C − m ; 2m 4 − m 2 − m
.
m = 0
m = 0
2m 4 − m 2 − m = 0 ⇔  3
⇔
m = 1 .
 2m − m − 1 = 0
Ta có: A ∈ Oy . Để B, C ∈ Ox thì
Do m > 0 nên ta được m = 1 .

(

(

)

)

Câu 524: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị

( C)

của hàm số
y = x − 2m x + m + 5 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O
tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của S .
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
3
2
Ta có y′ = 4 x − 4m x .
4

2 2

4

Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 .
A ( 0; m 4 + 5 ) B ( m;5 ) C ( − m;5 )
Gọi
,

,
lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC khi đó ta có ba điểm A , I , O thẳng hàng.
Mặt khác do hai điểm B và C đối xứng nhau qua AO nên AO là đường kính của đường tròn
uuur uuur
ngoại tiếp tứ giác ABOC ⇒ AB ⊥ OB ⇔ AB.OB = 0 .

5
uuu
r
uuu
r
⇔m=±
2
4
AB = ( m; −m 4 ) OB = ( m;5 )
5
Trong đó
,
. Ta có phương trình m − 5m = 0
4
2
2
y = x − 2 ( 1 − m ) x + m +1
Câu 525: Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số có
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất .
1
1
m=− .

m= .
2
2
A. m = 1.
B.
C.
D. m = 0.
Hướng dẫn giải
Chọn D
[Phương pháp tự luận]
y ' = 4 x3 − 4 ( 1 − m2 ) x

x = 0
⇔ 2
2
y'= 0
x = 1− m
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi và chỉ khi :

m <1

Trang 24/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Tọa độ điểm cực trị

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

A ( 0; m + 1)

( 1 − m ; − m + 2m + m )
C ( − 1 − m ; − m + 2m + m )
uuur
BC = ( −2 1 − m ;0 )
2

B

4

2

2

4

2

2

4
2
Phương trình đường thẳng BC : y + m − 2m − m = 0
d ( A, BC ) = m 4 − 2m 2 + 1 BC = 2 1 − m 2
,

1
5
⇒ S ∆ABC = BC.d [ A, BC ] = 1 − m 2 m 4 − 2m 2 + 1
1 − m2 ) ≤ 1
(
2
=
Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔ m = 0 .
[Phương pháp trắc nghiệm]
uuu
r
AB = 1 − m 2 ; −m 4 + 2m 2 − 1
uuur
AC = − 1 − m 2 ; −m 4 + 2m 2 − 1

(

)

(
(

)

)

1 uuur uuur
5
2
4

2
AB, AC
1 − m2 ) ≤ 1
1
−
m
m
−
2
m
+
1
(
(
)
Khi đó S = 2
=
=
Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔ m = 0 .
y = x4 − 2 ( 1 − m2 ) x 2 + m + 1
Câu 526: Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có
cực đại cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.
1
1
m=
m=−
2.
2.
A. m = 1 .

B.
C.
D. m = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
y ′ = 4 x3 − 4 ( 1 − m 2 ) x = 4 x ( x 2 − 1 + m 2 )
Ta có
.
2
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì 1 − m > 0 ⇔ −1 < m < 1 .
Với điều kiện trên thì đồ thị hàm số có các điểm cực trị là
B

(

1 − m ; − m + 2m + m
2

4

2

A ( 0; m + 1)

) , C ( − 1 − m ; − m + 2m + m ) .
2

4

,

2

Tam giác ABC cân tại A nên có diện tích
1
1
S ABC = BC.d ( A, BC ) = .2 1 − m 2 . ( m 4 − 2m2 + 1) = 1 − m 2 . 1 − m 2
2
2
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi m = 0 .

(

)

2

≤ 1, ∀m ∈ ( −1;1)

.

4
2
( C ) . Gọi A , B , C là 3 điểm cực trị của đồ thị ( C ) .
Câu 527: Cho hàm số y = x − 8 x + 10 có đồ thị
Tính diện tích S của tam giác ABC .
A. S = 32 .
B. S = 24 .
C. S = 12 .
D. S = 64 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
 x = 0 ⇒ y = 10
y′ = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y = −6
3
 x = −2 ⇒ y = −6
Ta có y′ = 4 x − 16 x ;
.

Trang 25/35 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 25