CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG
KHÔNG GIAN HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN
Chủ đề Phương trình đường thẳng trong không gian
Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian
19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải
19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (phần
2)
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc
với đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với
đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt
phẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt
đường thẳng d2


Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng
Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo
nhau
Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa điều kiện cho trước, bài toán về cực trị,...
60 câu hỏi trắc nghiệm đường thẳng trong không gian có giải chi tiết (phần 1)
60 câu hỏi trắc nghiệm đường thẳng trong không gian có giải chi tiết (phần 2)


Chủ đề: Phương trình đường thẳng trong không gian
Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian
I. Phương trình đường thẳng
+

Cho

đường

vectơ
số là :

+

Cho

thẳng

Δ

đi

qua

điểm

và

nhận

làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham

đường

thẳng

Δ

đi

qua

điểm

và

nhận

vectơ

sao cho a.b.c ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có
phương trình chính tắc là :

II. GócM
1. Góc giữa hai đường thẳng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d1; d2. Trong đó:
· Đường thẳng d1 vectơ chỉ phương u1→
· Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u2→
· Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi:


2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Trong
đó:
· Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→
· Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n→
· Gọi φ là góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó ,ta có:

III. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua điểm M 0( x0; y0;
z0) và có vecto chỉ phương u→.
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d2.
Trong đó:
·Đường thẳng d1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u1→
· Đường thẳng d2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương u2→

·Khoảng cách hai đường thẳng d1 và d2 là:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải
1. Phương pháp giải
Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(xo; yo; zo) và vecto chỉ phương u→ ( a; b; c) thì

+ Phương trình tham số của đường thẳng d:
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d ( với a.b.c ≠ 0 ) là:

* Chú ý:
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α) thì vectơ chỉ
phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)
vì d ⊥(α)
+ Nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng d nhận vecto u d→ = uΔ→ làm vecto chỉ
phương .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A (2 ; 1 ; 5) và có vectơ chỉ
phương u→=(1;1;2). Tìm mệnh đề đúng


A. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

B. Phương trình tham số của đường thẳng d:

C. Phương trình tham số của đường thẳng d:

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:
Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:
Trong đó t là tham số

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:
Chọn B.


Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ đi qua
A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề
đúng?

A. Vậy phương trình tham số của ∆ là

B. Phương trình chính tắc của ∆ là

C. Vậy phương trình tham số của ∆ là:

D. Phương trình chính tắc của ∆ là
Hướng dẫn giải:
Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của ∆ là:
u∆→ = nα→ = (2; -1;1)

Vậy phương trình tham số của ∆ là


Phương trình chính tắc của ∆ là
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi

qua A (1; 2; 3) và song song với (d’):

. Tìm mệnh đề sai

A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ ( -4; 4; 2)

B. Vậy phương trình tham số của d là

C. Phương trình chính tắc của d là
D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc
Hướng dẫn giải:
Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: ud→ = ud'→ = ( 2; -2; -1)

Vậy phương trình tham số của d là


Phương trình chính tắc của d là
Chọn D.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d đi

qua A (0; 2; -1) và song song với (d’):
sai ?

. Tìm mệnh đề

A. Điểm M(2; 8; - 3) thuộc đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng d:
C. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) : x+ 3y- z+ 10= 0

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Hướng dẫn giải:
Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: ud→ = ud'→ = ( 1; 3; -1)

Vậy phương trình tham số của d là
Cho t= 2 ta được điểm M ( 2; 8; -3) thuộc đường thẳng d


Phương trình chính tắc của d là:
Mặt phẳng (P): x+ 3y – z+ 10= 0 có vecto pháp tuyến n→( 1; 3; -1)
=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d là vecto pháp tuyến của măt phẳng (P)
=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
=> C sai
Chọn C.
Dạng 2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt
nhau (P) và (Q) hoặc đường thẳng d đi qua M và song song với 2 mặt phẳng
cắt nhau (P) và (Q).
1. Phương pháp giải
Cách 1:
+ Cả hai trường hợp đều suy ra ud→⊥nP→ và ud→⊥nQ→
Mà (P) và (Q) cắt nhau nên VTCP của d là ud→⊥ [nP→; nQ→]
+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.
+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto ud→⊥ [nP→; nQ→] làm vecto chỉ
phương
=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Cách 2:
Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm
M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:
phương trình (P) và Phương trình (Q) (*)

Đặt x= t ( hoặc y = t hoặc z = t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t
Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt
phẳng (α): x- 3y + z = 0 và (α’): x+y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của
đường thẳng d

Hướng dẫn giải:
* Cách 1: Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt y = t, ta có

Vậy phương trình tham số của d là:


Cách 2: Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ
Vậy điểm Mo( -2; 0; 2) thuộc đường thẳng d.
Do uα→ ( 1;-3; 1); n'α→( 1; 1; -1)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1;1;2)

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1; 1;2)

Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng
(P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).

Chọn 1 vectơ chỉ phương của
đường thẳng d là (1; 1;2)
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0
Điểm M (x; y; z)∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z= t ta được:

là phương trình đường thẳng d

Chọn A.
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; - 1) và song song với
đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (α):x+ y - z + 3= 0 và (α’): 2x – y+ 5z
– 4= 0


Hướng dẫn giải:
Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là: nα→(1; 1; -1); nα'→(2; -1; 5)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn A.
Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α):
2x+ y + 1= 0 và (β): x- y + z – 1 = 0


Hướng dẫn giải:
Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng nα→(2; 1; 0) và nβ→(1; -1; 1)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ (*)
Ta có hệ

Vậy điểm Mo (0; -1; 0) thuộc đường thẳng d.


Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn C.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ là giao tuyến
của hai mặt phẳng (α): x - 2y – z + 10= 0 và (β): 2x+2y – 3z – 40= 0 . Phương
trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 1) và song song với đường thẳng ∆ là

Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến nα→(1; -2; -1)
Mặt phẳng (β) có vec tơ pháp tuyến nβ→(2; 2; -3)
Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là ud→ = [nα→;nα→]
=( 8;1; 6)

Vậy phương trình của d là:
Chọn D.
Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt
phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ (d’ không vuông góc với (P)).
1. Phương pháp giải


Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d’
nên
Suy ra ud→⊥nP→ và ud→⊥ ud'→

Mà d’ không vuông góc với (P)
Nên VTCP của d là ud→ = [nP→;ud'→]
+ Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto ud→ làm vecto chỉ
phương
=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với

mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’:

Hướng dẫn giải:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là nP→(1; 1; -1)


Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: ud'→(1; 3; 2)
Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’
nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [nP→; ud'→] =( 5; -3; 2)
d đi qua điểm M (1; 2; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn B.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với

mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng

Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này
là nOxy→(0; 0; 1)
Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là ud'→(1; -2; 1)

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng
d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [ud'→;nOxy→] = ( 2; 1; 0)
d đi qua điểm M (0; 1; 2)

Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng (P) : y- 2z- 1= 0

và đường thẳng ∆ :
. Phương trình chính tắc đường
thẳng d đi qua điểm B( 2 ; 2 ; - 2) song song với (P) và vuông góc với ∆ là

Hướng dẫn giải:
Dường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u∆→(2 ; 1 ;1)
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP→(0 ; 1 ; - 2).
Gọi ud→ là vectơ chỉ phương của d.
Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆
nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: ud→= [nP→; uΔ→] = ( 3;-4; -2)

Vậy phương trình chính tắc của d là:


Chọn D.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5=
0 và hai điểm A(0; 0; 1); B( 1; -1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song
song với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất
có phương trình là.

Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm
+ Gọi mặt phẳng (Q) qua A( -3; 0;1) và song song với (P).
Khi đó: (Q) có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0
Thay tọa độ điểm A vào phương trình ( Q) ta được : -3- 2.0+ 2.1+ D= 0
=> D = 1
Vậy phương trình ( Q): x- 2y + 2z +1= 0
+ Gọi K; H lần lượt là hình chiếu của B lên d; (Q).
Ta có: d( B; d) = BK ≥BH
Do đó AH là đường thẳng cần tìm.
+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến nQ→(1; -2; 2)
BH qua B và có vectơ chỉ phương uBH→ = nQ→(1; -2; 2)


=> Phương trình đường thẳng BH là:
Do H ∈ BH nên H( 1+ t; - 1- 2t; 3+ 2t). Do H thuộc mp (P) nên
1+ t – 2(- 1- 2t) + 2( 3+ 2t ) – 5= 0 => t= -4/9
Do đó H(5/9; -1/9; 19/9)
+ Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 0; 1) và có vectơ chỉ phương
ud→ = AH→ = 1/9(5;-1;10)

Vậy phương trình của d là
Chọn A.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5=
0; điểm A(2;1; 1); B( -1; 2; 3) . Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và đi
qua A. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0; 0) đồng thời song song với
(P) và vuông góc với đường thẳng OB?


Hướng dẫn giải:
+ Mặt phẳng (Q) qua A(2; 1;1) và song song với (P).

Khi đó (Q) có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0
Thay tọa độ điểm A vào phương trình ( Q) ta đưọc: 2- 2.1 + 2.1+ D= 0
=> D = - 2
Vậy phương trình ( Q): x- 2y +2z - 2= 0
Mặt phẳng ( Q) có vecto pháp tuyến n→(1; -2; 2)
+ Đường thẳng OB có vecto chỉ phương là OB→( -1; 2; 3)
+ Đường thẳng d đi qua điểm M(1;0 ; 0) và có vectơ chỉ phương là :
u→ = [n→; OB→] = ( -10; 5; 0) = - 5( 2; -1; 0)

Vậy phương trình của d là
Chọn C.
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M; nằm trong mặt
phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ (hoặc song song với mặt phẳng (Q)
).
1. Phương pháp giải
+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng ∆: u∆→
+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q): nP→; nQ→
+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
u→ = [u∆→; nP→] hoặc [nP→; nQ→]


+ Khi đó; đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u→
=> phương trình đường thẳng d:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

∆:
và mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua M( 1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với
đường thẳng ∆?

Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u∆→( 1; 2; -1)
Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến n→( 1; -2; 3).
+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆
nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
u→ = [u∆→; n→] = ( 4; - 4; - 4) chọn ( 1; -1; -1) .

=> Phương trình đường thẳng d cần tìm
Chọn B.


Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

∆:
và mặt (P): x+ 2y – 3z+ 4= 0. Phương trình tham số
của đường thẳng d nằm trong (P) , cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là:

Hướng dẫn giải:
+ Tìm giao điểm M của ∆ và mặt phẳng ( P):
Điểm M( - 2+ t; 2+ t;- t) thuộc ∆.
Thay tọa độ M vào phương trình (P) ta được:
- 2+ t+ 2(2+ t) – 3( - t) + 4= 0 ⇔ - 2+ t + 4 + 2t + 3t + 4= 0
⇔ 6t+ 6= 0 nên t= -1 => M ( - 3; 1; 1)
+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến uP→( 1; 2;-3)
+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u∆→( 1; 1; -1)
+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)và vuông góc với đường thẳng ∆
nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u→=[nP→;u∆→] = (1; -2; -1)
+ Đường thẳng d đi qua điểm M( -3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u→ = (1; -2;
-1)

Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

d:
và mặt phẳng (P): 2x+ y- 2z + 9= 0. Gọi A là giao
điểm của d và (P). Phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong (P), đi qua
điểm A và vuông góc với d là

Hướng dẫn giải:
+ Điểm A là giao điểm của đường thẳng d và (P).
=> Tọa độ A( 1- t; - 3+ 2t; 3+ t)
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) ta được :
2( 1- t) + ( -3+ 2t) – 2( 3+ t) + 9= 0
⇔ 2- 2t- 3+ 2t – 6 – 2t + 9= 0 ⇔ - 2t+ 2= 0