Học sinh giỏi toán kontum

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ 1

ĐỀ HSG TỈNH KON TUM NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN TOÁN
TIME: 180 PHÚT

Câu 1.

�
� x 1  x 1  y 1  y 1
(3 điểm) Giải hệ phương trình � 2
.
�x  x  12 y  1  36

Câu 2.

(3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đặt BC  a , AC  b , AB  c . Cho biết a ,

2
b ,c
3

theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tính B, C .
Câu 3.

u1  1, u2  3
�
un
Cho dãy số  un  được xác định bởi �

.
* . Tính lim
n
�

�
un  2  un  2  un1  1 , n ��
n2
�

Câu 4.

[ 3, 0 điểm ] Có 20 cây giống trong đó có 2 cây xoài, 2 cây mít, 2 cây ổi, 2 cây bơ, 2 cây
bưởi và 10 loại cây khác 5 loại cây trên đồng thời đôi một khác loại nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra 5 cây để trồng trong một khu vườn sao cho không có hai cây nào thuộc cùng một
loại.

Câu 5 . (5,0 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn  O  , H là trực
tâm tam giác. Gọi J là trung điểm của BC . Gọi D là điểm đối xứng với A qua O .
1) (3,0 điểm) Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC , CH , BH . Chứng
minh rằng tứ giác PMJN nội tiếp.
�  600 , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng
2) (2,0 điểm) Cho biết BAC

2�
AHI  3 �
ABC .
Câu 6.

Tìm tất cả các số nguyên tố a thỏa mãn 8a 2  1 cũng là số nguyên tố.

Câu 7. (2 điểm) Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn điều kiện 3a2  2b2  c2  6 . Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 a  b  c  abc .
 HẾT 

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ 1

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG TỈNH KON TUM
NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN TOÁN
TIME: 180 PHÚT

Câu 1.

�
� x 1  x 1  y 1  y 1
(3 điểm) Giải hệ phương trình � 2
.
�x  x  12 y  1  36
Lời giải
Tác giả: Vũ Việt Tiến; Fb: Vũ Việt Tiến

�

� x 1  x  1  y 1  y  1
+ Ta có � 2
�x  x  12 y  1  36

 1
.
 2

+ Điều kiện: x �1 ; y �1 .
+ Ta thấy x  y  1 không là nghiệm của hệ phương trình.
+ Ta có  1 � x  1  y  1 
�

x y

x 1  y 1

y 1  x 1

x y
�
yx
�
1
��

y 1  x 1
�
x


1

y

1
�

.
1
 *
y 1  x 1

+ Ta thấy  * vô nghiệm vì vế trái luôn dương, vế phải luôn âm với x �1, y �1,  x; y  � 1;1 . .
+ Với x  y , thế vào  2  ta được: x 2  x  12 x  1  36

� x 2  2 x  1  x  1  12 x  1  36 �  x  1 
2



x 1  6



2

�
�
 x  1  x  1 6  0  v�nghi�m
x 1  x 1  6

��
��
�
x 1   x 1  6
�
 x  1  x  1 6  0
�
� x 1  2
��
� x  3.
x

1


3
v�
nghi�
m
�


�
+ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y    3; 3 .
Câu 2.

(3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đặt BC  a , AC  b , AB  c . Cho biết a ,

2
b ,c

3

theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tính B, C .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Lan ; Fb: Ngoclan nguyen
Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có b  a sinB , c  a cosB .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

a,

Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ 1

2 2
2 2 2
2
2
b , c lập thành cấp số nhân � ac  b � a cos B  a sin B � 3cos B  2sin 2 B
3
3
3

cos B  2
�
1

� 3cos B  2  1  cos B  � 2 cos B  3cos B  2  0 � �
1 � cos B  (vì
�
cos B 
2
2
�
1 �cosB �1 ) � B  60�(vì 0� B  180�).
2

2

Vậy B  60�, C  30�.
Câu 3.

u1  1, u2  3
�
un
Cho dãy số  un  được xác định bởi �
.
* . Tính lim
n
�

�
u

u

2

u

1
,
n
�
�
 n1 
n2
�n  2 n
Lời giải
Tác giả: Ngọc Thanh; Fb: Ngọc Thanh
�
u1  1, u2  3
�
un  2  un  2  un 1  1
�

 1
 n �1 .
 2

Đặt vn  un 1  un .
Ta có  2  � un  2  un 1  un1  un  2 � vn 1  vn  2 .
Suy ra  vn  lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v1  2 và công sai d  2 .
Nên vn  2   n  1 .2  2n .
Khi đó: un   un  un 1    un 1  un  2   �   u2  u1   u1

 vn 1  vn 2  �.  v1  u1  2   n  1   n  2   �  1  1  2

n  n  1

 1  n  n  1  1 .

2
un
u
n(n  1)  1
n  n 1
 1.
Do đó: lim n2  lim
 lim
 1 . Vậy nlim
2
2
�� n 2
n �� n
n ��
n ��
n
n
[ 3, 0 điểm ] Có 20 cây giống trong đó có 2 cây xoài, 2 cây mít, 2 cây ổi, 2 cây bơ, 2 cây
bưởi và 10 loại cây khác 5 loại cây trên đồng thời đôi một khác loại nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra 5 cây để trồng trong một khu vườn sao cho không có hai cây nào thuộc cùng một
loại.
2

Câu 4.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Huyền ; Fb: Huyen Nguyen

Trường hợp 1 : Chọn 5 cây nhóm II .
5
Số cách chọn là C10  252 (cách chọn).

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ 1

Trường hợp 2 : Chọn 4 cây nhóm II, chọn 1 cây nhóm I.
4
1
1
Số cách chọn là C10 .C5 .C2  2100 (cách chọn).

Trường hợp 3 : Chọn 3 cây nhóm II, chọn 2 cây nhóm I.
Số cách chọn là C103 .C52 .  C21   4800 (cách chọn).
2

Trường hợp 4 : Chọn 2 cây nhóm II, chọn 3 cây nhóm I.
Số cách chọn là C102 .C53 .  C21   3600 (cách chọn).
3

Trường hợp 5 : Chọn 1 cây nhóm II, chọn 4 cây nhóm I.

Số cách chọn là C101 .C54 .  C21   800 (cách chọn).
4

Trường hợp 6 : Chọn 5 cây nhóm I.
Số cách chọn là C55 .  C21   32 (cách chọn).
5

Vậy số cách chọn cây thỏa mãn yêu cầu bài ra là:

252  2100  4800  3600  800  32  11584 (cách chọn).
Câu 5 . (5,0 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn  O  , H là trực
tâm tam giác. Gọi J là trung điểm của BC . Gọi D là điểm đối xứng với A qua O .
1) (3,0 điểm) Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC , CH , BH . Chứng
minh rằng tứ giác PMJN nội tiếp.
�  600 , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng
2) (2,0 điểm) Cho biết BAC

2�
AHI  3 �
ABC .
Lời giải
Tác giả: Minh Tuấn + Thúy Minh ; Fb:Minh Tuấn Hoàng Thị, Thúy Minh
1)

Ta có BH //CD (vì cùng vuông góc với AC ) và CH //BD (vì cùng vuông góc với AB ) nên
BHCD là hình bình hành, do đó J cũng là trung điểm của HD .
Từ giả thiết ta được tứ giác HPDN nội tiếp đường tròn tâm J suy ra:
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC



�  2 PDN
�  2 1800  BHC
�
PJN



Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ 1

 1





�  3600  PMD
�  NMD
�
�  HCD
�
Ta có các tứ giác BPMD, CNMD nội tiếp nên: PMN
 HBD





�  BDC
�
�
 3600  BHC
 3600  2 BHC

 2

�  PMN
�
Từ  1 và  2  suy ra PJN
nên tứ giác PMJN nội tiếp. Điều phải chứng minh.
2)

Gọi L là giao điểm của AH với BC , K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn ngoại
tiếp  O  của tam giác ABC .
Kẻ đường thẳng đi qua I vuông góc với BC cắt BC và cắt cung nhỏ BC lần lượt tại E và
N.
Ta có JL / / DK ( vì cùng vuông góc với AK ) mà J là trung điểm của HD nên JL là đường
trung bình của tam giác HDK , suy ra L là trung điểm của HK . Do đó K đối xứng với H
qua

�  BKC
�  120�.
đường thẳng BC suy ra BHC
� �
�  180� B  C  120�nên B, I , H , C đồng viên thuộc đường tròn đối xứng với  O 

Mà BIC
2
qua BC , suy ra N chính là điểm đối xứng với I qua BC . Suy ra HINK là hình thang cân.
�
�  CBN
�  ABC .
Ta có �
ABI  IBC
2

�  180� �
�  CBN
� 3�
AHI  180� IHK
AKN  �
ABN  �
ABI  IBC
ABC
Từ đó �
2
Suy ra 2 �
AHI  3 �
ABC . Điều phải chứng minh.
Câu 6.

Tìm tất cả các số nguyên tố a thỏa mãn 8a 2  1 cũng là số nguyên tố.
Lời giải
Tác giả : Ngô Quốc Tuấn, FB: Quốc Tuấn
Vì a là số nguyên tố nên a �2 . Ta xét các trường hợp

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ 1

+ Trường hợp 1: với a  2 khi đó 8a  1  33 chia hết cho 11 , loại trường hợp a  2 .
2

+ Trường hợp 2: với a  3 khi đó 8a 2  1  73 là số nguyên tố.







2
2
2
+ Trường hợp 3: với a  3 � a  3k �1 khi đó 8a  1  8 9k �6k  1  1  3 24k �16k  3



chia hết cho 3 , loại trường hợp a  3 .
Vậy a  3 là giá trị duy nhất cần tìm.
Câu 7. (2 điểm) Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn điều kiện 3a2  2b2  c2  6 . Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 a  b  c  abc .
Lời giải
Với bốn số a , b , x , y ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

 ax  by � a
2

2



 b2 x2  y2

  1

(Học sinh có thể không cần chứng minh bất đẳng thức  1 )
Áp dụng bất đẳng thức  1 , ta có













2
2
2
2
2  bc  2 b c � a2  2 b2  2 c2  2
P2  �
a 2 bc  2. 2  b c � � a  2 �

�
�
�
�

Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

 a  2  b  2  c
2

2



2

 





 





1
 2  3 a2  2 .2 b2  2 c2  2
6

 

�
� 36

3 a2  2  2 b2  2  c2  2
1�
�
�
6�
3
�

3

�
�

Từ đó suy ra P 2 �36 . Suy ra 6 �P �6 .
Mặt khác với a  0 , b 1, c  2 thì 3a2  2b2  c2  6 và P  6 .

Với a  0 , b 1, c  2 thì 3a2  2b2  c2  6 và P  6
Vậy MinP  6 khi a  0 , b 1, c  2 .
MaxP  6 khi a  0 , b 1, c  2 .

 HẾT 

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6