CD15 QUAN hệ GIỮA CẠNH và góc đối DIỆN 90 99

Phát triển tư duy Hình học 7

Chuyên đề 15. QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN

TRONG MỘT TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
* Định lý 1. Trong một tam giác
- Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
- Đảo lai, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn
A

Trong hình 15.1
� �
∆ABC: AB > AC B  C

C

B

(Hình 15.1)
Suy ra trong một tam giác
- Góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất
- Cạnh đối diện với góc tù ( hoặc góc vuông) là cạnh lớn nhất
* Định lý 2. Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau
- Nếu cạnh thứ ba không bằng nhau thì góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc
lớn hơn.
-Đảo lại nếu, hai góc xen giữa không bằng nhau thì cạnh đối diện với góc lớn
hơn là cạnh lớn hơn.
B. Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn lớn hơn
300 thì cạnh đối diện với góc ấy lớn hơn cạnh huyền

Giải ( H.15.2)
*Tìm cách giải

1
AC  BC
0
�
2
Giả sử tam giác ABC vuông tại A, ABC  30 , ta phải chứng minh
.
Muốn vậy ta chứng minh 2 AC  BC

Tạo ra đoạn thẳng 2AC bằng cách lấy điểm
D trên tia đối của tia AC sao cho
AD =AC, khi đó xét ∆BDC chỉ cần chứng
minh DC  BC
*Trình bày lời giải.
Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho
AD =AC
∆ABD =∆ABD (c.g.c) � BD  AC và
�
�  600
ABD  �
ABC  300 � DBC

B

C

D

A

(Hình 15.2)
0
0
∆BCD cân có có góc ở đỉnh lớn hơn 60 lên các góc ở đáy nhỏ hơn 60
�
�
Xét ∆BCD có DBC  D nên DC  BC (Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 1


Phát triển tư duy Hình học 7

Do đó

2 AC  BC � AC 

BC
2

0 �
0
�
Ví dụ 2. ∆ABC có góc B, góc C là những góc nhọn, B  45 ; C  45 . Vẽ đường cao
AH. Hãy so sánh HA, HB, HC.
Giải

* Tìm cách giải.
A
Ta thấy HA, HB, HC không phải là ba cạnh
1 2
của một tam giác. HA, HB là hai cạnh của
tam giác HAB còn HA và HC là hai cạnh của
tam giác HAC. Vì vậy ta dùng HA làm trung
gian để so sánh HA, HB, HC.

B

C
H

(Hình 15.3)
* Trình bày lời giải
0
0 �
0
�
�
Xét ∆ABH có H  90 ; B  45 nên A1  45
� �
Vậy A1  B � HA  HB (1) (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)
0
0 �
0
�
�
Xét ∆ACH có H  90 ; C  45 nên A2  45 (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

� �
Vậy C  A2 � HA  HC (2)
Từ (1) và (2) � HB  HA  HC
Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của AB. Chứng
minh rằng nếu AC  BC thì BD  AD
Giải
* Tìm lời gải
BDO và ADO có hai cặp cạnh bằng nhau do đó để chứng minh BD  AD ta cần
�
�
chứng minh BOD  AOD
*Trình bày lời giải:
AOC và BOC có OA  OB, OC chung, AC  BC
�  BOC
�
�
�
� AOC
(Định lý 2) do đó BOD  AOD
BOD và AOD có OB  OA; OD chung ;

O

�  AOD
�
BOD
BD  AD ( Theo định lý 2)
(Hình 15.4)
Ví dụ 4:
1

AB  AC
0
�
2
Tam giác ABC có B  90 và
. Hãy sắp xếp ba cạnh của tam giác theo
thứ tự tăng dần
Giải (H.15.5)
*Tìm cách giải.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 2


Phát triển tư duy Hình học 7

Vì góc B là góc tù nên cạnh AC là cạnh lớn
1
AB  AC
2
nhất . Khai thác điều kiện
ta làm
1
AC
xuất hiện yếu tố 2
bằng cách vẽ trung
điểm M của AC. Khi đó AB và BC là hai cạnh
của hai tam giác có hai cặp cạnh bằng
nhau, do đó ta có thể chứng minh định lý 2.

A

1

M
2
C

B
(Hình 15.5)

*Trình bày lời giải:
0
�
Xét tam giác ABC có B  90 nên cạnh AC là cạnh lớn nhất, do đó BC  AC (1)
1
( AC )
2
Gọi M là trung điểm của AC. Xét tam giác ABM có AB =AM
nên tam giác
0
0
� �
�
�
�
ABM cân � B1  M 1  90 , do đó M 2  90 . Vậy M 1  M 2
�
�
AMB và CMB có MA=MC, MB chung và M 1  M 2 nên AB  BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB  BC  CA

C. Bài tập vận dụng.
* Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác
15.1.Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là một điểm trên đường thẳng BC. Hãy
so sánh AM và AB.
15.2. Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D . Cho biết góc
ADB là nhọn. Hãy so sánh AB và AC.
15.3 Tam giác ABC có AB  AC . Trên cạnh AB lấy điểm M ( M �B ) . Trên nửa mặt
phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia Mx song song với AC và trên tia này lấy
điểm N sao cho MN=MB. Chứng minh BC  NC
0
0
�
�
15.4. Cho tam giác ABC, A  60 ; B  75 . Trong tam giác lấy điểm O sao cho
�  OCA
�  150
OAC
. Chứng minh OA  OB
15.5. Cho tam giác ABC. Vẽ AH  BC (H �BC) và BK  AC (K �AC ) . Biết

AH �BC ; BK �AC

Tính số đo các góc của tam giác ABC.

�
15.6. Trong tam giác ABC có AB  AC . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Gọi
M là một điểm trên đoạn thẳng AD. Hãy so sánh MB và MC.
�

�
�
15.7. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy E và F sao cho BAE  EAF  FAC .
Chứng minh rằng đoạn thẳng EF có độ dài nhỏ nhất trong ba đoạn thẳng BE, EF,
FC.
15.8.Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy M và N sao cho BM=MN=NC.
�
�
�
Chứng minh góc MAN là góc lớn nhất trong ba góc BAM ; MAN ; NAC

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 3


Phát triển tư duy Hình học 7
0
15.9.Chứng minh rằng nếu một tam giác có một góc lớn hơn 60 thì cạnh đối
diện với góc ấy lớn hơn trung bình cộng của hai cạnh còn lại.
15.10.Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác
sao cho
MB  MC
MA 
0
�
BMC  105 . Chứng minh
2

*Hai tam giác bằng nhau

15.11. Tam giác ABC có AB  AC . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E ( E �B ) . Trên
tia đối của tia CA lấy điểm F ( F �C ) sao cho BE=CF. Gọi D là trung điểm của BC .
Chứng minh
�EF  DFE
�
D
.
15.12. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao
cho
�
�
�
ABM  �
ACM . Hãy so sánh các góc AMB và AMC
15.13. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm giữa A và B. Gọi O là
trung điểm của CM . Tia AO cắt BC tại D . Chứng minh rằng BD  CD .
15.14. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho
�
AMB  �
AMC . Tai AM cắt BC tại D. Chứng minh rằng MD  MB .
15.15. Cho tam giác ABC , AB  AC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D
�
. Chứng minh MD  MB.
nằm giữa A và C sao cho AMD  90�
�
, tổng AB  AC  10 cm. Tìm giá trị nhỏ nhất của
15.16. Cho tam giác ABC , A  60�
chu vi tam giác ABC .

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 4