Xây dựng hệ thống bài tập toán học dạy học chủ đề “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở lớp 10 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*********

NGUYỄN THỊ TUYẾT MINH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG” Ở LỚP 10
TRƯỜNG THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*********

NGUYỄN THỊ TUYẾT MINH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG” Ở LỚP 10
TRƯỜNG THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học

Th.S NGUYỄN VĂN HÀ

HÀ NỘI - 2019


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được
sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các
bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các
thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn
Hà - người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn
thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những
hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Tuyết Minh


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả khách quan, trung thực và là kết quả của em
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
Nguyễn Văn Hà.

Em xin cam đoan khóa luận và đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập
Toán học dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở lớp 10
trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh” là kết quả
nghiên cứu khoa học của riêng em và không trùng với kết quả của bất kì tác
giả nào khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Tuyết Minh


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

HHCB

hình học cơ bản

HHNC

hình học nâng cao

NXB

nhà xuất bản

PPDH

phương pháp dạy học

SBT

sách bài tập

SGK

sách giáo khoa

THPT

trung học phổ thông

Tr

trang

TSĐH

tuyển sinh đại học

VTCP

vectơ chỉ phương

VTPT

vectơ pháp tuyến


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
NỘI DUNG .................................................................................................................. 4
Chương 1. Cơ sở lý luận chung .................................................................................... 4
1.1. Năng lực và năng lực Toán học của học sinh ..................................................... 4
1.1.1. Năng lực..................................................................................................... 4
1.1.2. Năng lực Toán học của học sinh ................................................................. 5
1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trường phổ thông ................................................... 6
1.2.1. Bài toán và lời giải của bài toán ................................................................. 6
1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán ........................................................................ 10
1.2.3. Phân loại bài toán .................................................................................... 14
1.2.4. Phương pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bước giải toán của G.POLYA) .... 17
1.3. Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường
phổ thông ............................................................................................................... 22
1.3.1. Dạy học theo hướng tiếp cận nội dung và hướng tiếp cận năng lực........... 22
1.3.2. Dạy học môn toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh .............. 23
Chương 2. Ứng dụng trong dạy học ở trường THPT ................................................... 27
2.1. Phân tích nội dung dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở
lớp 10 trường THPT ............................................................................................... 27
2.1.1. Nội dung chương trình dạy học phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ...... 27
2.1.2. Nhiệm vụ dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng............ 27
2.2. Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phương pháp
toạ độ trong mặt phẳng theo định hướng phát triển năng lực học sinh..................... 28
2.2.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng .................................................. 28
2.2.2. Phương trình tham số của đường thẳng..................................................... 34
2.2.3. Khoảng cách và góc ................................................................................. 41
2.2.4. Đường tròn ............................................................................................... 47

2.2.5. Đường Elip ............................................................................................... 51
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 60


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời đại khoa học và công nghệ phát triển nhanh chóng như hiện nay
thì việc phát triển phẩm chất và năng lực người học là định hướng nổi trội mà nhiều
nước tiên tiến đã và đang thực hiện từ đầu thế kỉ XXI đến nay. Các nước đều chú ý
hình thành, phát triển những năng lực cần cho việc học suốt đời và gắn với cuộc
sống hằng ngày. Đảng và Nhà nước ta đã nhận định rõ tình hình đó và đưa ra định
hướng đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục và Đào tạo. Nghị quyết 29-NQ/TW của
Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào
tạo” đã nêu: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện
đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của
người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung
dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và
đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”. Để thực hiện thành công đổi mới căn
bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nước nhà, chúng ta cần phải thực hiện nhiều giải
pháp trong đó có giải pháp đổi mới nội dung, phương pháp dạy và học theo định
hướng phát triển năng lực học sinh.
Toán học đã chứng tỏ mình như một đỉnh cao trí tuệ con người, xâm nhập
vào hầu hết các ngành khoa học, là nền tảng của nhiều lý thuyết khoa học quan
trọng, có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, thúc đẩy

mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất và được coi là chìa khóa của sự phát
triển. Năng lực giải toán là khả năng vận dụng những kiến thức đã học vào giải bài
tập toán. Vì vậy, việc phát triển năng lực giải toán có vai trò quan trọng trong việc
phát triển khả năng tư duy của học sinh, vì để giải bài tập toán học sinh phải suy
luận, phải tư duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải, phải biết huy
động kiến thức, chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng.
Trong các phân môn của Toán học thì Hình học là một môn học có tính logic
chặt chẽ, có tính trừu tượng cao hơn so với các môn học khác và là môn học khó đối
với nhiều học sinh. Hình học phẳng đã được giảng dạy cho học sinh ở chương trình
trung học cơ sở. Phương pháp giải các bài toán hình học phẳng ở trung học cơ sở
chủ yếu là dùng các định lý, hệ quả, tính chất hình học để suy luận. Phương pháp
này đôi khi gây không ít khó khăn cho học sinh. Trong chương trình lớp 10, học

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

sinh được học các kiến thức về vectơ và tọa độ, vì vậy học sinh có thể sử dụng các
kiến thức đó để giải các bài toán hình học phẳng thay vì chỉ dùng phương pháp tổng
hợp đã biết ở trung học cơ sở. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng không những
cung cấp thêm cho học sinh một công cụ giải toán đơn giản, dễ hiểu mà còn giúp
củng cố các kiến thức về vectơ và tọa độ vừa học.
Trên cơ sở đó tôi lựa chọn đề tài: “Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy
học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở lớp 10 trường THPT theo
định hướng phát triển năng lực học sinh” làm đề tài khóa luận của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Phát triển các năng lực của học sinh nói chung, năng lực Toán học nói

riêng, hình thành kĩ năng giải quyết vấn đề trên cơ sở kiến thức đã học.
- Nghiên cứu việc dạy học bài tập của chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng” ở lớp 10 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh nhằm
nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về lí luận:
+ Năng lực và năng lực Toán học của học sinh;
+ Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ
thông;
+ Dạy học bài tập Toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học chủ đề
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở lớp 10 trường THPT.
- Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở lớp 10 trường THPT theo định hướng phát triển
năng lực học sinh.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các bài tập Toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh thuộc chủ đề
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở lớp 10 trường THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phương
pháp dạy học bài tập môn toán.

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

- Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp
dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.

- Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ đề
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở lớp 10 trường THPT.
6. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Lời mở đầu
Phần 2: Nội dung
Chương 1. Cơ sở lý luận chung
1.1. Năng lực và năng lực Toán học của học sinh.
1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trường phổ thông.
1.3. Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường
phổ thông.
Chương 2. Ứng dụng trong dạy học ở trường THPT
2.1. Phân tích nội dung dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
ở lớp 10 trường THPT.
2.2. Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phương
pháp toạ độ trong mặt phẳng theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
Phần 3: Kết luận

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

NỘI DUNG
Chương 1. Cơ sở lý luận chung
1.1. Năng lực và năng lực Toán học của học sinh
1.1.1. Năng lực
Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các đặc
điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của một hoạt

động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.
Năng lực của con người có đặc điểm sau:
+ Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể.
+ Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động.
+ Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi trường và
hoạt động của bản thân.
Như vậy, năng lực của con người hình thành trên cơ sở chi phối nhiều bởi
các yếu tố tư chất của cá nhân, nhưng năng lực của con người không phải hoàn toàn
do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình thành phát triển năng
lực.
Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và
năng lực chuyên môn.
+“Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác
nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện
tập, năng lực tưởng tượng.”
+“Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định của
xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng
lực toán học...”
Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau,
năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì
càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn.“Ngược lại sự phát triển của năng lực
chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển
của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết quả và hiệu quả cao thì mỗi
người đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng
lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực công việc của mình.”

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

Năng“lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh
lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là
cái mà người đó có thể dùng khi hoạt”động.
Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực ta
cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:
-“Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia, nếu
một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về năng”lực.
-“Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện
một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung
chung”nào.
-“Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự
tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triển trong quá
trình hoạt động, phát triển của con người. Trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt
động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực, có người có năng lực về
quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học, có người có năng lực về kỹ
thuật, có người có năng lực về thể thao...”
-“Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những
hiểu biết thu nhận được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của
mình. Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm vào thực tế để
tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng được lặp đi lặp lại nhiều
lần đến mức thuần thục cho phép con người không phải tập trung nhiều ý thức vào
việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ hợp phẩm chất tương đối ổn định, cơ
bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện có kết quả một hoạt động.”Như vậy năng
lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn.
1.1.2. Năng lực Toán học của học sinh
Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai bình
diện sau:

Năng lực“nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động
Toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý nghĩa với
nhân”loại.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

Năng lực“Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán học ở
trường phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng,
kỹ xảo”tương ứng.
- Năng lực Toán học của học sinh:
Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán học
của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu
hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực
Toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện như
nhau”.
- Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức hoạt
động Toán học.“Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trưng cho một dạng năng
lực thành phần. Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ với nhau tạo
thành một cấu trúc năng lực Toán học.”Cấu trúc năng lực Toán học bao gồm các
dạng năng lực thành phần sau:
+ Năng lực tính toán, giải toán
+ Năng lực tư duy Toán học
+ Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học)
+ Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn
+ Năng lực giải quyết vấn đề

+ Năng lực sáng tạo Toán học
1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trường phổ thông
1.2.1. Bài toán và lời giải của bài toán
a) Bài toán
Theo G.POLYA:“Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý
thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ
ràng, nhưng không thể đạt được”ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng:“Bài toán là
sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy, bài toán có thể đồng nhất với một
số quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán,”bài tập...

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành của
một bài toán:
- Bài toán luôn có mục đích xác định.
- Sự đòi hỏi người khác thực hiện mục đích của bài toán (giao nhiệm vụ hoặc
yêu cầu người khác thực hiện mục đích của bài toán).
Ví dụ 1
“Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ
một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến MP và MN
(P, N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng khi M di động trên đường thẳng d thì
đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm cố định”.
Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản hợp thành sau đây:
- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng".

- Mục đích của bài toán thể hiện: “Đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua
hai điểm cố định”.
Ví dụ 2
“Số tự nhiên n  N và n < 10”.
Đây không phải là bài toán vì thiếu sự đòi hỏi người khác thực hiện mục
đích.
Đây không phải là mệnh đề toán học vì không có giá trị chân lý đúng hay sai.
Đây là một hàm mệnh đề vì đó là câu có chứa biến số n và khi thay biến bởi
hằng ta được mệnh đề.
Ví dụ 3
“Tìm n  N và n < 10”. Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ
bản sau:
- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “tìm”.
- Mục đích của bài toán thể hiện: “n  N và n < 10”.
b) Lời giải bài toán
- Lời giải của bài toán được hiểu là tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các thao tác
cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra trong bài toán.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

- Như vậy ta thống nhất các thuật ngữ bài giải, cách giải và đáp án của bài
toán đều theo nghĩa lời giải ở trên.
- Một bài toán có thể có lời giải như sau:
+ Một lời giải;
+ Nhiều lời giải;

+ Không có lời giải.
- Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời
giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải được bài toán là
không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
Ví dụ 4: Tìm các lời giải số học của bài toán cổ sau:
“Vừa gà vừa chó,
Bó lại cho tròn,
Ba mươi sáu con,
Một trăm chân chẵn.
Tính số gà, số chó?”.
Cách 1. Giả thiết tạm
Giả sử tất cả 36 con vật đều là gà.
Vậy số chân của 36 con vật là
2  36 = 72 (chân)
Tổng số chân hụt đi so với điều kiện thực tế của bài toán là
100 – 72 = 28 (chân)
Ta thấy 28 chân thiếu hụt so với điều kiện thực của bài toán là do ta giả sử tất
cả 36 con vật đều là gà cả. Như vậy, ta đã bỏ đi ở mỗi con chó là 2 chân.
Vậy số con chó là
28 : 2 = 14 (con chó)
Số con gà là
36 – 14 = 22 (con gà)
Trả lời: Số gà là 22 con; số chó là 14 con.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

Cách 2. Giả thiết tạm
Giả sử tất cả 36 con vật đều là chó.
Vậy số chân của 36 con vật là
4  36 = 144 (chân)
Số chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là
144 – 100 = 44 (chân)
Ta thấy 44 chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử 36
con vật đều là chó cả. Như vậy, ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2 chân. Vậy số con
gà là
44 : 2 = 22 (con gà)
Số con chó là
36 – 22 = 14 (con chó)
Trả lời: Số gà là 22 con; số chó là 14 con.
Cách 3. Giả thiết tạm
Giả sử tất cả 36 con vật đều có 3 chân. Vậy số chân của 36 con vật sẽ là
3  36 = 108 (chân)
Số chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là
108 – 100 = 8 (chân)
Ta thấy 8 chân dư so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử mỗi
con vật gà và chó đều 3 chân. Như vậy, ta đã thêm cho mỗi con gà 1 chân và đồng
thời bớt đi mỗi con chó 1 chân.
Nếu số gà và chó bằng nhau thì số chân vừa đủ. Nếu số chó nhiều hơn số gà
thì số chân phải thiếu hụt. Ở đây số chân dư ra 8 chân, vậy số gà nhiều hơn số chó.
Mà mỗi con gà ta thêm cho nó 1 chân, vậy số con gà nhiều hơn số con chó là
8 : 1 = 8 (con)
Số con chó là
(36 – 8) : 2 = 14 (con chó)
Số con gà là

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

14 + 8 = 22 (con chó)
Trả lời: Số gà là 22 con, số chó là 14 con.
Cách 4. Giả thiết tạm
Giả sử số gà bằng số chó và đều bằng 18 con.
Do đó tổng số chân của 36 con vật là
(2  18) + (4  18) = 108 (chân)
Số chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là
108 – 100 = 8 (chân)
Ta thấy 8 chân dư ra là do điều giả sử số gà bằng số chó và bằng 18 con.
Như vậy, ta đã chuyển một số con chó thành bằng ấy con gà hoặc ngược lại.
Nếu chuyển một số con chó thành một số con gà thì tổng số chân phải thiếu
hụt. Ở đây tổng số chân tăng thêm 8 chân, nghĩa là ta đã chuyển một số con gà
thành con chó. Mà ta biết rằng khi chuyển một con gà thành một con chó thì số chân
tăng thêm là 2 chân.Vậy số con gà được chuyển thành số con chó là
8 : 2  4 (con)

Số gà nhiều hơn số chó là
4  2  8 (con)

Số con chó là
(36  8) : 2  14 (con)

Số con gà là

14  8  22 (con)

Trả lời: 22 con gà, số chó là 14 con chó.
1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán
a) Kiến thức
Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học
và các tính chất toán học.“Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện đã
cho của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức đã
biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới. Và cứ như
vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân tích,

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa...”Cuối cùng chúng ta đi đến được lời
giải của bài toán.
Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài
toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng được củng cố qua
lại nhiều lần.
Ví dụ 5. Hãy tìm các cách giải của bài toán sau:
“Cho ba hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng một được dựng liên tiếp
nhau (Hình 1.1). Chứng minh rằng  +  = 45o ”
Hướng dẫn
O

A



C


D

Hình 1.1

B

Cách 1. Lớp 10
Từ giả thiết ta thấy tan  
Dễ thấy tan     

1
1
, tan   .
2
3

tan  tan 
 1 . Do đó suy ra     45o .
1  tan .tan 

Với cách giải này củng cố cho học sinh những kiến thức sau:
- Định nghĩa hàm số lượng giác của một góc, cách xác định giá trị một hàm
số lượng giác của một góc.
- Công thức biến đổi lượng giác của một tổng.

Cách 2. Lớp 7

E

A

O



C




D

Hình 1.2

B

Để tính tổng của hai góc  và , ta dịch chuyển góc  đến vị trí kề với  tạo
ra một góc tổng của chúng (Hình 1.2).
Bằng cách xét một cặp tam giác vuông bằng nhau, ta dễ dàng chứng minh
  45.
được rằng BDE

11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau:
- Hai góc kề nhau.
- Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, các tính chất của hai tam giác
bằng nhau. Cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân.
Cách 3. Lớp 8, 9
O

A

C


D




Hình 1.3

B

 và hai cạnh kề góc đó
Ta có BOC, DOB đồng dạng vì chung nhau góc O

 và dễ dàng có điều cần chứng minh. (Hình
tỉ lệ với nhau. Từ đây suy ra β  CBO

1.3)
Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau:
- Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất của hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất của hai đường thẳng song song.
- Hình vuông và các tính chất của nó.
b) Tư duy
Đặc điểm nổi bật của Toán học cũng như của môn toán là một khoa học suy
diễn, nó là môn khoa học được xây dựng bằng phương pháp tiên đề.“Do vậy, lời
giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác, có thứ tự chặt chẽ để đi đến
một mục đích rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện
cho học sinh năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: suy luận có căn cứ
đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn logic,...”
Chúng ta biết rằng không thể có một phương pháp chung nào để giải được
mọi bài toán.“Mỗi bài toán có một đặc điểm khác nhau, muốn tìm ra được lời giải
của bài toán chúng ta phải biết phân tích, biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm
tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy
luận tổng hợp, khái quát hoá,... biết cách suy đoán.”Như vậy qua việc giải bài toán
năng lực tư duy logic và tư duy sáng tạo của học sinh được rèn luyện và phát triển.
c) Kỹ năng

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

Một trong những yêu cầu của việc thông hiểu các kiến thức của bất cứ bộ

môn khoa học nào là“biết, thông hiểu và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa
học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài toán
đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.”
Trong việc giảng dạy toán ta thấy rằng bài toán tham gia vào tất cả các tình
huống điển hình của quá trình dạy học môn toán.
- Trong giảng dạy khái niệm Toán học
Bài toán“có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống, để dẫn dắt cho học
sinh tiếp cận đến định nghĩa khái niệm; bài toán được sử dụng làm các ví dụ hoặc
phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm (hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm);
bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố và vận dụng khái niệm.”
- Trong giảng dạy định lý Toán học
Bài toán“có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh
phát hiện ra nội dung định lý toán học; bài toán có thể được sử dụng trong hoạt
động nhận dạng và thể hiện định lý; bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh
tập vận dụng định lý; đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tìm ra đường lối
chứng minh định lý chính là việc dạy cho học sinh cách phân tích tìm ra chứng
minh toán học của bài toán không có angorit giải.”
- Trong luyện tập Toán học
Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập Toán học. Trong đó
người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ
với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố vững chắc các kiến thức cơ bản và hình
thành một số kỹ năng cơ bản nào đó.
d) Tư tưởng
Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều có mục
đích rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích cụ thể, rõ ràng.
Vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động
của con người.
Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó người giải phải vượt
qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi người ta phải có quyết
tâm, khát vọng lớn để giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLYA là “Khát vọng

và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán”.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

Do vậy ta thấy rằng hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình
thành và phát triển nhân cách của con người.
1.2.3. Phân loại bài toán
Người ta có nhiều cách để phân loại các bài toán và người ta phân loại bài
toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là để sử
dụng các bài toán một cách thuận lợi.
a) Phân loại theo hình thức bài toán
Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán để phân chia bài toán ra thành hai
loại như sau:
- Bài toán chứng minh.
Những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể hiện rõ kết quả cuối cùng
của mục đích bài toán.
Ví dụ 6:
“Cho tam giác ∆ABC, hai điểm M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,
AC. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ∆AMN bằng 1 diện tích tam giác
4

∆ABC”.

A

Hướng dẫn
M

N

C Hình 1.4

B

Ta ký hiệu diện tích của các tam giác ∆ABC, ∆AMN, ∆ABN lần lượt là
SABC, S AMN và SABN (Hình 1.4).
Ta thấy: SABC  2  SABN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ B tới AC và
đáy AC = 2 × AN);

SABN  2  SAMN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ N tới AB và
đáy AB = 2 × AM).
Do đó suy ra SABC  4  SAMN . Vậy ta có điều cần chứng minh.
- Bài toán tìm tòi.

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

Những bài toán mà trong kết luận của nó chưa thể hiện rõ ràng kết quả cuối
cùng của mục đích bài toán.
Ví dụ 7:
Cho tứ giác lồi ABCD và các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, BC, CD và DA. Tính diện tích của tứ giác ABCD biết rằng diện tích của
MNPQ là 100 cm2 ?
Hướng dẫn

A

Q

M

100 cm2

D

B

N

C

P

Hình 1.5

Nối A với C và áp dụng kết quả bài toán ở ví dụ 1 ta có (Hình 1.5)
SBMN 

1
1
 SBAC và SDPQ   SDAC

4
4

Do vậy suy ra: SBMN  SDPQ  1  S BAC  SDAC   1  SABCD
4
4
Tương tự ta có: SAMQ  SCNP  1   SABD  SCBD   1  SABCD
4

4

Do đó suy ra: SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  1  SABCD
2

Theo hình vẽ ta có: SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  SABCD  SMNPQ nên ta suy ra
đẳng thức sau: SABCD  SMNPQ  1  SABCD
2

Thay số vào đẳng thức trên ta có: SABCD  100  1  SABCD .
2

Vậy ta suy ra SABCD = 200 cm2.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

b) Phân loại theo phương pháp giải toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán để phân loại bài toán: Bài
toán này có thuật toán chung giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại:
- Bài toán có angorit giải:“Những bài toán mà phương pháp giải của nó theo
một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.”
Ví dụ 8:
+ Giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn số.
+ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số.
+ Thuật toán kiểm tra một số tự nhiên n có phải là nguyên tố hay không?
+ Thuật toán liệt kê tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn số tự nhiên n cho trước.
+ Thuật toán tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của hai hay
nhiều số cho trước.
+ Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết
hiệu và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số; dạng toán rút về
đơn vị; dạng toán tìm số trung bình cộng…
- Bài toán không có angorit giải:“Những bài toán mà phương pháp giải của
nó không theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.”
Chú ý: Các bài toán không có angorit giải có số lượng là vô cùng lớn hơn rất
nhiều so với các bài toán có angorit giải.
c) Phân loại theo nội dung bài toán
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ của
một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác
nhau như sau:
+ Bài toán số học: Toán trồng cây ở hai đầu đường; toán về tuổi; toán chuyển
động đều; toán về phân số;…
+ Bài toán đại số.
+ Bài toán hình học.
d) Phân loại theo ý nghĩa giải toán

16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán. Bài
toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào đó, hay là
bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau:
Bài toán cơ bản:“Những bài toán sử dụng trực tiếp, đơn giản từng kiến thức,
kỹ năng mới vào việc giải quyết các tình huống phổ biến điển hình trong thực tiễn.”
Bài toán nâng cao:“Những bài toán sử dụng nhiều kiến thức, kỹ năng nào đó
vào việc giải quyết các tình huống mới lạ hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy
phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.”
1.2.4. Phương pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bước giải toán của G.POLYA)
Bước 1.Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích nội dung của bài toán, rồi tìm
hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:
Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi và
biến thiên của bài toán.
Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?
Bước 2. Xây dựng chương trình giải
Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây dựng
chương trình giải là bước quyết định, đồng thời đây cũng là bước khó khăn nhất.
Bước xây dựng chương trình giải đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến
thức đã biết để xem xét, phân tích, so sánh, bác bỏ, tổng hợp. Từ đó mới có thể thiết
lập được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm.
Đối với những bài toán không có angorit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành xây

dựng chương trình giải theo phương pháp sau:
a) Phương pháp đi xuôi
Xuất phát từ cái đã cho (giả thiết) của bài toán được lấy làm tiền đề và bằng
suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic mới.“Tiếp tục chọn lọc trong
các hệ quả logic để làm tiền đề mới và bằng suy luận hợp logic chúng ta rút ra các
hệ quả logic mới tiếp theo... Cứ tiếp tục quá trình như thế cho đến khi chúng ta tìm

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

ra được hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán thì dừng. Khi đó ta đã tìm được
lời giải bài toán.”
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
A  C
  Y (Trong đó A, B là các giả thiết còn Y là kết luận).
B  D

b) Phương pháp đi ngược
Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp logic
chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.
Tiếp tục quá trình đó,“chúng ta chọn lọc để lấy ra tiền đề gần gũi với giả
thiết của bài toán để làm kết luận mới, từ đó rút ra các tiền đề logic mới của các kết
luận mới này... Quá trình ấy lại được tiếp diễn ta tìm được các tiền đề logic trùng
với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của bài toán.”
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
C  A (trong đó A, B là giả thiết còn Y là kết luận).

Y
D  B

Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của bài
toán ta thường kết hợp cả hai phương pháp đi xuôi và phương pháp đi ngược.
c) Phương pháp sử dụng các phép suy đoán
Trong Toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phương pháp.
Tuy nhiên không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài toán.
Thực tế có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phương pháp.“Phương
pháp đi xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phương pháp đó mà
vẫn chưa tìm được lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển hướng suy nghĩ
theo một hướng khác, tạm gọi hướng suy nghĩ này là phương pháp sử dụng các
phép suy đoán. Nghĩa là suy nghĩ đến bài toán liên quan, bài toán gần giống với bài
toán cần giải - Có thể là bài toán con, bài toán tương tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là
bài toán khái quát.”
Từ sự phân tích lời giải của các bài toán có liên quan với bài toán cần giải
hoặc sử dụng kết quả của nó, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải
của bài toán đã cho.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Tuyết Minh

Theo G.POLYA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi gợi ý sau: “Anh có
biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”; “Đây là một bài toán gần
giống với bài toán của anh đã giải được rồi. Anh có thể dùng được nó làm gì
không?”; “Nếu anh không giải được bài toán đã cho, thì trước hết hãy giải bài toán

gần giống với nó”.
Bước 3. Thực hiện chương trình giải
Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta dùng
các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán hay các mệnh đề
Toán học đã biết ta suy dần ra đi tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt sự
khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được - chính là điều
chứng minh được.
Bước 4. Kiểm tra lời giải và khai thác bài toán
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được
của bài toán.
Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan: Bài toán tương tự, bài toán khái
quát,…
Ví dụ 9: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:

 = cos 2
“Chứng minh rằng nếu ΔABC thoả mãn điều kiện sinA.sinC


B
thì
2

ΔABC là tam giác cân”.

Hướng dẫn
Để chứng minh một tam giác là tam giác cân ta có các cách sau: chứng minh
hai cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh hai góc nào đó bằng nhau.
Ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ về góc, ta sẽ

chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau.
 và C
 là
Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho có vai trò của hai góc A
 
bình đẳng nhau. Vậy ta sẽ chứng minh rằng trong ΔABC có các góc A
C.

19