Năng lượng tự do của ngưng tụ bose einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ THẢO

NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ BOSEEINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN
ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CAO

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ THẢO

NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ BOSEEINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN
ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CAO
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

PGS. TS. Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được xin tỏ lòng biết ơn vô cùng đến PGS. TS.
Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi
trong cả quá trình làm để hoàn thành xong khóa luận.
Tiếp theo, tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các thầy cô
trong tổ bộ môn vật lý lý thuyết của khoa vật lý đã giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi cho tôi trong khoảng thời gian nghiên cứu và làm xong
khóa luận.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, các bạn của tôi đã ở bên và giúp
đỡ tôi trong suốt thời gian nghiên cứu và làm xong khóa luận.


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan rằng: Đề tài nghiên cứu này là kết quả tìm hiểu của
riêng tôi và không có sự trùng lặp với các kết quả của các tác giả khác.
Tôi có thừa hưởng và tham khảo một số thành tựu của các nhà
nghiên cứu trước.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Người làm khóa luận:

Phạm Thị Thảo


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN

BEC

Ngưng tụ Bose- Einstein

SD

Schwinger- Dyson

CJT

Cornwall- Jackiw- Tombolis


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài. .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
5. Đóng góp mới của đề tài ............................................................................... 2
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
Chương I: TỔNG QUAN .................................................................................. 4
I.1. Giới thiệu chuyển pha ................................................................................. 4
I.2. Ngưng tụ Bose – Einstein ......................................................................... 10
I.3. Tác dụng hiệu dụng của Cornwall- Jackiw- Tombolis ............................. 14
I.4. Kết luận của chương I ............................................................................... 20
Chương II ........................................................................................................ 21
NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT
THÀNH PHẦN TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CAO ............................ 21
II.1. Thế hiệu dụng trong gần đúng hai vòng .................................................. 22
II.2. Phương trình khe và phương trình Schwinger - Dyson. ......................... 25
2.1. Phương trình khe ...................................................................................... 25
2.2. Phương trình Schwinger - Dyson đối với hàm truyền ............................. 25
2.3. Phương trình khe mới............................................................................... 27
II.3. Năng lượng tự do ..................................................................................... 29
II.4. Gần đúng nhiệt độ cao. ............................................................................ 30

II.5. Kết luận chương II ................................................................................... 31
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 33


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Ngưng tụ Bose- Einstein (BEC) của khí Bose ở nhiệt độ cực thấp (cỡ
vài nK) đã được nhà bác học người Đức Einstein dự đoán từ năm 1925 nhưng
phải sau 70 năm sau (1995) mới được thực nghiệm kiểm chứng. Bằng các thí
nghiệm về BEC của nguyên tử

87

Rb và

23

Na ở trạng thái hơi. Sau đó, một

loạt các thí nghiệm liên quan BEC của hệ gồm hai loại nguyên tử khác biệt
nhau cho thấy rằng BEC nhiều thành phần không chỉ đơn giản là sự mở rộng
của BEC một thành phần. Và đã có rất nhiều hiện tượng lạ, lôi cuốn ví dụ là
đường hầm lượng tử, sự tách pha, cấu hình xoáy…Đặc biệt còn tồn tại nhiều
loại chuyển pha được tạo ra trong thực nghiệm bằng cách rất đơn giản là điều
chỉnh các tham số. Những sự kiện này đã đánh dấu một bước phát triển rất
nhanh trong nghiên cứu về khí lượng tử. Do vậy, tìm hiểu các tính chất vật lý
của BEC tạo nên từ khí Bose và khí Fermi ở nhiệt độ cực thấp đã trở thành
một lĩnh vực hấp dẫn đối với các nhà khoa học trong vật lý hiện đại. Sóng vật
chất lượng tử có các đặc tính đặc biệt quan trọng của sóng laser là tính kết

hợp mà BEC là vật chất lượng tử. Do đó, để nghiên cứu sóng vật chất dựa
trên BEC đóng vai trò quan trọng và chủ yếu khi xác lập nguyên tắc làm việc
của máy tính lượng tử ngày nay. Các tính chất vật lý của BEC một thành phần
người ta tìm hiểu để phát hiện các hiệu ứng lượng tử liên quan trực tiếp tin
học lượng tử.
Sau các phát minh quan trọng của thực nghiệm, cũng có rất nhiều thành
tựu về mặt lý thuyết giúp mô tả các hiện tượng khác nhau đã được quan sát và
tiên đoán các hiệu ứng lượng tử mới. Ở BEC có nhiều các tính chất đặc biệt
và quan trọng mà ở các chất khác không thể có được. Do vậy, tìm hiểu các

1


tính chất của BEC có ý nghĩa rất quan trọng đối với toàn bộ nghành vật lý và
công nghệ lượng tử.
Việc nghiên cứu và tìm năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein
một thành phần cho chúng ta các thông tin đầy đủ về tính chất vật lý của
BEC. BEC có nhiều triển vọng phát triển và quan trọng nên chúng tôi chọn đề
tài nghiên cứu là “Năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein một thành
phần trong gần đúng nhiệt độ cao”.
2. Mục đích nghiên cứu
Dựa trên các cơ sở lý thuyết của ngưng tụ Bose- Einstein, tìm hiểu khí
Bose một thành phần và tính năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein
trong gần đúng nhiệt độ cao.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein một thành phần
trong gần đúng nhiệt độ cao dựa vào tác dụng hiệu dụng CJT.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là khí Bose một thành phần ở nhiệt độ cực thấp.
Phạm vi nghiên cứu là xét khí Bose một thành phần ở nhiệt độ cực

thấp. Cụ thể là tìm hiểu năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein một
thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao.
5. Đóng góp mới của đề tài
Chúng tôi đã tìm hiểu được năng lượng tự do của ngưng tụ BoseEinstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp tác dụng hiệu dụng Cornwall- Jackiw- Tombolis ở gần
đúng hai vòng. Đây là một phương pháp mới, độ chính xác cao, hiện nay
được sử dụng để nghiên cứu trong chuyển pha. Phương pháp này có nhiều ưu
thế vì nó tự động cho hai kết quả quan trọng dùng để xác định nghiệm vật lý

2


của hệ. Do đó chúng tôi chọn phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở gần
đúng hai vòng.

3


Chƣơng I: TỔNG QUAN

I.1. Giới thiệu chuyển pha
Khái niệm pha để chỉ các trạng thái khí, lỏng, rắn của một hệ nhiệt
động được người ta sử dụng trong vật lý. Trạng thái của một hệ vĩ mô có các
đặc trưng khác về chất đối với các trạng thái khác của chính hệ đó được gọi là
pha, các đặc trưng vật lý cơ bản của hệ được xác định qua cấu trúc pha của hệ
đó. Trong những trạng thái vĩ mô của một hệ được xác định bằng các thông số
trạng thái như là áp suất (P), nhiệt độ (T), thể tích (V), mật độ hạt (n), entropy
(S)…chúng được xác định qua các hàm nhiệt động như năng lượng tự do E,
thế nhiệt động (Ω)…Những thông số trạng thái liên quan lẫn nhau mà không

độc lập với nhau bởi phương trình nhiệt khi mà hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt.
Do vậy, trạng thái khi hệ đồng chất cân bằng có thể xác định qua các đại
lượng nhiệt động bất kì được cho trước đó, ví dụ như năng lượng E và thể tích
V. Nhưng, hai đại lượng E và V có giá trị cho trước vẫn không thể khẳng định
được rằng trạng thái đồng chất đó sẽ được ứng với một trạng thái cân bằng
nhiệt. Khả năng hệ không phải là đồng chất mà lại tách ra làm hai phần đồng
chất và tiếp giáp với nhau ở trong các trạng thái khác nhau khi hệ ở trạng thái
cân bằng vẫn có thể xảy ra.
Vật chất ở những trạng thái không giống nhau vẫn có khả năng tồn tại,
cân bằng nhau và tiếp giáp với nhau gọi là các pha không giống nhau của vật
chất. Hai pha được gọi là cân bằng với nhau khi hai pha có áp suất bằng nhau,
nhiệt độ bằng nhau và thế hóa cũng phải bằng nhau, nghĩa là:

P1  P2 , T1  T2 , 1  2

(I.1)

Nếu nhiệt độ và áp suất được đặt trên trục tọa độ khi đó đường cong
cân bằng pha là tập hợp các điểm mà tại đó xảy ra cân bằng pha thuộc một
đường cong bất kì. Do đó, ta có trạng thái đồng nhất của hệ là các điểm nằm ở

4


hai bên của đường cong, nghĩa là thuộc một pha xác định. Trạng thái của hệ
khi thay đổi dọc theo một đường khi nó cắt đường cong cân bằng lúc đó sẽ
xảy ra sự chuyển từ pha này sang pha khác tại giao điểm của đường cong. Các
trạng thái trong đó đồng thời có hai pha sẽ chiếm cả một miền mặt phẳng khi
biểu diễn sự cân bằng pha đối với một lượng chất xác định bằng cách vẽ giản
đồ trong mặt phẳng (T, V). Sự cân bằng của ba pha cũng tương tự các điều

kiện cân bằng của hai pha và nó được xác định bằng ba đẳng thức sau:
(I.2)
Theo lý thuyết Landau, trạng thái của một hệ được gọi là cân bằng khi
các bất đẳng thức nhiệt động sau được thỏa mãn: nhiệt dung ở quá trình đẳng
tích luôn dương (Cv > 0), nhiệt dung ở quá trình đẳng áp luôn lớn hơn nhiệt
dung trong quá trình đẳng tích (Cp > Cv) và đạo hàm áp suất theo thể tích khi
nhiệt độ cố định luôn âm (

P
T  const < 0). Do vậy, các trạng thái có nhiệt
V

dung đẳng tích âm hay đạo hàm của áp suất tính theo thể tích khi nhiệt độ cố
định và dương gọi là các pha trạng thái không bền và không tồn tại. Năng
lượng là một hàm tăng đơn điệu cùng nhiệt độ khi thể tích cố định nhiệt dung
đẳng tích và đẳng áp (Cv, Cp) có giá trị dương. Entropi luôn tăng đơn điệu
theo nhiệt độ ngay cả khi thể tích cố định hoặc áp suất cố định. Chú ý rằng,
trạng thái cân bằng bền là những trạng thái mà entropi giảm đi khi có thăng
giáng xung quanh trạng thái đó nhưng sau đó hệ quay trở về trạng thái ban
đầu. Trạng thái nửa bền (giả bền) là những trạng thái khi có độ chênh lệch
hữu hạn nào đó thì entropi tăng so với trạng thái ban đầu và sau đó hệ không
thể trở về trạng thái ban đầu được. Trạng thái bền là trạng thái tương ứng với
cực đại có giá trị lớn nhất trong tất cả các giá trị cực đại khả dĩ của entropi.
Chuyển pha là hiện tượng vật lý rất phổ biến trong tự nhiên, là sự biến
đổi từ trạng thái vật chất này sang trạng thái vật chất khác như từ pha khí sang

5


lỏng, lỏng sang rắn v.v…quen thuộc cho đến những chuyển pha trong các hệ

lượng tử như chuyển pha chiral trong vũ trụ và chuyển pha hadron – quark
trong các phản ứng ion nặng. Chuyển pha trong vũ trụ được nghiên cứu khá
lâu trước đó. Để hiểu đầy đủ về lí thuyết chuyển pha ngoài lí thuyết Laudau
cần bổ sung thêm các hệ thức Sacling cho các chỉ số tới hạn, các phương trình
của trạng thái và kết hợp thêm lí thuyết về chuyển pha hiện đại của Kadanoff
và của nhà lí thuyết Mỹ K. Wilson. Về nguyên nhân có thể chia chuyển pha
thành hai loại: Chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử.
Chuyển pha nhiệt
Sự thay đổi về chất trong trạng thái của hệ tại điểm chuyển pha khi
nhiệt độ biến đổi đạt tới giá trị tới hạn gọi là chuyển pha nhiệt. Nó xảy ra khi
thăng giáng nhiệt của những đại lượng vật lý, đặc biệt là của mật độ hạt, trở
nên rất lớn tại điểm chuyển pha và khi đó độ dài tương quan trở nên vô cùng
lớn.
Đến nay có hai quan điểm lý thuyết về chuyển pha nhiệt: một là theo lý
thuyết của Laudau và hai là theo lý thuyết Ehrenfest.
1. Theo lý thuyết của Laudau, khi nhiệt độ tăng lên các tham số trật tự
Φ(T) – Order Parameter biến đổi có bước nhảy (chuyển từ giá trị hữu hạn nào
đó về đến không) thì sự chuyển pha này là loại một hay là sự chuyển của tinh
thể là từ có trật tự thành không trật tự, nếu tham số trật tự dẫn đến không một
cách liên tục, nghĩa là không có bước nhảy thì sẽ có sự chuyển pha loại hai.
Lưu ý rằng, xảy ra hai trường hợp: đầu tiên, nếu mà xuất hiện tham số trật tự
nhưng không có sự thay đổi đối xứng tinh thể thì không thể có chuyển pha
loại hai nhưng có thể xảy ra chuyển pha loại một; và điều thứ hai là khi xảy ra
sự chuyển tinh thể từ trật tự thành không trật tự một cách liên tục nhưng lại
không thể có bước nhảy của nhiệt dung thì cũng không thể xảy ra chuyển pha
loại hai. Trong chuyển pha loại hai, sự thay đổi đối xứng của hệ có một tính

6

chất tổng quát khá là quan trọng nếu khi đối xứng của một pha cao hơn đối
xứng của pha kia khi đó pha nào có nhiệt độ cao hơn sẽ có đối xứng cao hơn.
Từ điều kiện không có bước nhảy trạng thái tại điểm chuyển pha loại hai dẫn
đến kết quả sau: các hàm trạng thái nhiệt động của hệ như là năng lượng,
entropi, thể tích,…vẫn giữ liên tục khi đi qua điểm chuyển pha. Do đó ta thấy
rằng điểm chuyển pha loại hai khác điểm chuyển pha loại một ở điểm là nó
xảy ra không kèm theo sự tỏa nhiệt hay hấp thụ nhiệt nhưng bậc nhất của đạo
hàm của những đại lượng nhiệt động theo áp suất hay theo thể tích sẽ có sự
thay đổi như có bước nhảy ở điểm chuyển pha loại hai.
Như vậy, theo lý thuyết của Landau rút ra rằng:
- Chuyển pha là loại một: khi tham số trật tự có bước nhảy tại điểm có
T = Tc. Các đối xứng của hệ không gắn liền với chuyển pha loại một.
- Chuyển pha là loại hai: khi tham số trật tự là hàm đơn điệu của nhiệt
độ và sẽ tiến tới không khi nhiệt độ T tiến tới Tc. Điểm đặc biệt cần chú ý ở
trong lý thuyết của Landau là gắn sự chuyển pha loại hai với thuộc tính đối
xứng của hệ đối với các phép biến đổi của những tham số trật tự. Khi chuyển
pha loại hai xảy ra, Φ(T) tham số trật tự của hệ giảm liên tục về không theo ba
cách như ở hình I.1a; I.1b; I.1c và tại điểm chuyển pha nhiệt dung có sự kỳ dị.

7


Φ(T

Φ(T)

)

0

(a)

T = Tc

T

0

(b)

T

Φ(T)

0

T = Tc

T

(c)

Hình I.1: Tham số trật tự của Φ phụ thuộc vào nhiệt độ T: (a) Đối
xứng bị phá vỡ tại điểm T = 0 và được phục hồi tại điểm T = Tc > 0
được gọi là kịch bản pha ứng với hiện tượng SR; (b) đối xứng bị phá
vỡ tại T = 0 nhưng không được phục hồi khi T tăng được gọi là kịch
bản pha ứng với hiện tượng SNR; (c) đối xứng bị phá vỡ tại T = Tc > 0
được gọi là kịch bản pha ứng với hiện tượng ISB.
Chú ý rằng, kịch bản pha SR đã được chứng minh là có tồn tại trong cả
lý thuyết lẫn thực nghiệm. Còn kịch bản pha SNR và ISB là rất hiếm xảy ra

trong tự nhiên nhưng hoàn toàn có thể tồn tại trong nhiều hệ, và đặc biệt đã
tìm thấy hiện tượng ISB xảy ra đối với muối Rochelle.
2. Theo lý thuyết Ehrenfest, chuyển pha nhiệt của một hệ sẽ xảy ra tại
điểm tới hạn ứng với sự gián đoạn đạo hàm của năng lượng tự do khi tính
theo nhiệt độ. Sự chuyển pha này chính là chuyển pha cổ điển. Chuyển pha

8


loại một xảy ra nếu đạo hàm bậc nhất của năng lượng tự do E theo nhiệt độ
không liên tục tại điểm chuyển pha (hình I.2). Chuyển pha loại hai nếu đạo
hàm bậc hai của năng lượng tự do theo nhiệt độ không liên tục tại điểm tới
hạn.
E
∆E

T = TC
0
T
Hình I.2: Chuyển pha xảy ra là loại một ứng với năng lượng tự do gián
đoạn tại điểm tới hạn
Chuyển pha lƣợng tử
Pha lượng tử được hiểu là những trạng thái lượng tử mà khi hệ ở cùng
một pha vật chất nhưng có thể ở những trạng thái lượng tử không giống nhau
theo lý thuyết lượng tử. Khi tiến tới điểm chuyển pha có mật độ số hạt trở nên
rất lớn xảy ra thăng giáng lượng tử của những đại lượng vật lý ở nhiệt độ nhất
định gọi là chuyển pha lượng tử. Thăng giáng lượng tử xảy ra do nguyên lý
bất định Heisenberg. Để tìm hiểu thông tin về pha lượng tử ta khảo sát thăng
giáng của các tham số như thế hóa học, hằng số tương tác, mật độ hạt của một
hệ lượng tử ở nhiệt độ nhất định. Một ví dụ về chuyển pha lương tử, chuyển

pha lượng tử xảy ra khi thế hóa thay đổi đến giá trị tới hạn μc khi đó thăng
giáng lượng tử của mật độ hạt trở lên vô cùng lớn, khi đó hệ sẽ chuyển từ
trạng thái lượng tử này sang trạng thái lượng tử khác ở những nhiệt độ không
đổi hay khoảng cách giữa các nguyên tử, phân tử không đổi.

9


Tóm lại, chuyển pha nhiệt là hệ sẽ thay đổi từ các trạng thái nhiệt động
này sang trạng thái nhiệt động khác khi qua điểm T = Tc còn chuyển pha
lượng tử là chuyển đổi các trạng thái lượng tử này sang các trạng thái lượng
tử khác khi đi qua điểm chuyển pha ở nhiệt độ cực thấp cố định. Trong thực
tế, có các kịch bản pha ứng với các hiện tượng sau: SR là kịch bản chuyển
pha ứng với đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không và được phục hồi ở nhiệt độ
cao hơn, SNR là kịch bản pha ứng với đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không
nhưng không phục hồi được ở nhiệt độ cao hơn và kịch bản pha ISB là kịch
bản pha xảy ra do có sự đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ lớn hơn 0K.
I.2. Ngƣng tụ Bose – Einstein
Boson là những hạt có giá trị spin nguyên và biến đổi theo quy luật
thống kê Bose – Einstein. Hệ Bose gồm có các hạt boson hay gồm các cặp hạt
Fermi liên kết. Khí Bose là hệ Bose tương tác yếu, có thể là khí Bose một
thành phần hoặc là hỗn hợp nhiều thành phần. Khí Bose không tương tác (g =
0 hay λ = 0), được gọi là khí Bose lý tưởng. Trạng thái của một hệ Bose được
biểu diễn bằng những hàm sóng đối xứng và số lấp đầy sẽ không bị hạn chế
bởi nguyên lý Pauli mà có thể nhận giá trị bất kỳ. Thế nhiệt động Ω của hệ là:


 k  T ln  (e

  k

T

)n ,

(I.3)

k

n 0

  k

và chỉ hội tụ khi e

T

 1 nên có thể viết:
Ωk = k  T ln(1  e

  k
T

) .

(I.4)

Mà nk hạt ở trong trạng thái lượng tử thứ k có mức năng lượng lớn gấp
nk lần năng lượng ϵk của hạt trong trạng thái đó (Ek = nkϵk) nên số hạt boson
(nk) trong trạng thái có năng lượng Ek sẽ tuân theo hàm phân bố Bose:

nk  


1
  
.
 e T  1
k

10

(I.5)


Vì vậy, ở một trạng thái lượng tử không đổi, hệ Bose sẽ có một số tùy
ý các hạt.
Từ những năm đầu của thế kỉ XX (1924 – 1925), nhà khoa học Einstein
đã dự đoán về mặt lý thuyết rằng khi nhiệt độ T bằng 0K, những hạt trong hệ
sẽ không chuyển động nhiệt nên động lượng bằng không và hàm sóng ψ  k 
mô tả hệ các hạt trở thành ψ(0). Cho nên, trạng thái cơ bản khi năng lượng
của hệ các hạt Bose ở trạng thái lượng tử ứng với T bằng 0K là thấp nhất. Khi
nguyên lý Pauli không ảnh hưởng tới các Boson nữa nên ở những trạng thái
lượng tử này, trong một thể tích xác định sẽ còn xuất hiện một số tùy ý các
hạt không có chuyển động nhiệt. Trạng thái này là một trạng thái rất đặc biệt
với mật độ hạt rất là lớn, chúng ta có thể mường tượng là nó giống với một
đám mây lạnh đậm đặc chứa rất nhiều hạt ở trong một thể tích nhỏ và nhất
định. Hiện tượng vật lý này gọi là ngưng tụ Bose- Einstein và được viết tắt là
BEC. Vậy, BEC là trạng thái mới của vật chất, nó xảy ra nếu nhiệt độ được hạ
xuống đến gần độ không 0K. Khi xảy ra ngưng tụ, mật độ hạt ngưng tụ tăng
lên đột biến. Trong nghiên cứu lý thuyết đã hình thành một số cách tiếp cận

khác nhau, tiếp cận BEC ở nhiệt độ hữu hạn như cách tiếp cận dựa trên phép
gần đúng Thomas - Fermi của nhóm nghiên cứu Ho và Shenoy, cách tiếp cận
dựa trên thế hiệu dụng CJT và phép gần đúng Hatree - Ford của nhóm nghiên
cứu lý thuyết của GS. TSKH. Trần Hữu Phát và các đồng nghiệp của ông.
Những tiến bộ trong kĩ thuật làm lạnh và giam nguyên tử (ví dụ làm lạnh bằng
laze, làm lạnh bằng bay hơi,…) đã cho phép thực nghiệm quan sát được hiện
tượng ngưng tụ Bose - Einstein trong các hệ Liti, Kali, Natri. Các thành tựu
nghiên cứu của nhóm Steven Chu, Claude Cohen- Tannoudji và Wiliam
Phillips đối với kĩ thuật bẫy và làm lạnh tia laser đã đạt giải Nobel vào năm
1997. Thành tựu này đã được ứng dụng để thực hiện thí nghiệm phát hiện
BEC. Quá trình thí nghiệm về BEC trải qua các bước sau đây: Làm lạnh tia

11


laser sau đó đến bẫy từ trường và cuối cùng là làm bay hơi lạnh các nguyên tử
kiềm. Người ta đã dùng hiệu ứng Zeeman tách khí một thành phần thành hai
thành phần trong thí nghiệm về BEC hai thành phần. Nhóm Carl Wieman,
Eric Cornell và Wolfgang Ketterle thuộc Đại học bang Colorado - Mỹ đã thực
hiện thành công thực nghiệm quan sát được BEC hai thành phần, xảy ra ở
nhiệt độ 170nK, công trình này đã được giải Nobel năm 2001. Các thí nghiệm
phát hiện BEC của khí Bose loãng ở nhiệt độ cực thấp đã chứng tỏ rằng có thể
điều khiển theo ý muốn các tham số vật lý như độ dài tán xạ, thế hóa học,…
để tạo ra các loại chuyển pha khác nhau. Các công dụng đặc biệt quan trọng
của BEC trong thực tế đã mở ra các nghành vật lí mới. Tìm hiểu các đặc điểm
của BEC đang là đề tài nghiên cứu hấp dẫn, phát triển, lý thú cả trong thực
nghiệm lẫn lý thuyết.
Tính chất của ngƣng tụ Bose- Einstein
Hạt Bose thống nhất trong các hệ, bước sóng de Broglie phụ thuộc
nhiệt độ và được tính bằng biểu thức sau:

Hình I.3: Hình ảnh của ngưng tụ Bose- Einstein thu từ thực nghiệm của
Rubirium do nhóm Carl Wieman, Eric Cornell và Wolfgang Ketterle- Mỹ

12


thực hiện được nhờ kỹ thuật làm lạnh, bẫy từ trường và bay hơi lạnh. (Ảnh
trên internet)

T 

2 2
,
mkT

(I.6)

rong đó: m - khối lượng của một hạt, k - hằng số Boltzmann, T - nhiệt độ.
Do vậy trong BEC, các hạt Bose có cùng một bước sóng de Broglie. Ta kết
luận được rằng BEC là vật chất lượng tử có tính chất kết hợp, xảy ra khi nhiệt
độ được hạ xuống đến giá trị tới hạn. Công thức của nhiệt độ tới hạn là:
2 2  n 
,
Tc 
mk   (3 / 2) 
2/3

(I.7)

mà: n được gọi là mật độ hạt của hệ,  (3 / 2) = 2,612 là hàm zeta Riemann.
Từ biểu thức của nhiệt độ này chúng ta thấy rằng nhiệt độ tới hạn được dự
đoán theo lý thuyết là thấp hơn 10-6K.
Khi hạ nhiệt độ xuống cực thấp tức là làm lạnh khí Bose, khí Bose sẽ
chuyển thành chất lỏng lượng tử được mô tả bởi phương trình Gross –
Pitaevskii. Hàm có tính đối xứng tương ứng với các thông số trạng thái là
nhiệt độ, áp suất, năng lượng, mật độ hạt là hàm sóng mô tả trạng thái thống
kê. Khi ở nhiệt độ cực thấp, xung lượng k << 1 khi có BEC thì phổ năng
lượng của các hạt Bose mang tính siêu lưu: E = s k , trong đó  s là tốc độ âm
thanh trong BEC. Nếu  s < 0 thì hệ các hạt Bose ở trạng thái bất ổn định
Landau. Nếu  s là số phức thì hệ ở trạng thái bất ổn định động lực
(Dynamical Instability).
Tóm lại, đặc tính cơ bản của BEC là tính kết hợp và tính siêu lưu khi
xung lượng của các hạt rất nhỏ.

13


I.3. Tác dụng hiệu dụng của Cornwall- Jackiw- Tombolis
Khi tìm hiểu các lý thuyết lượng tử về ngưng tụ Bose- Einstein (BEC)
của khí Bose các nhà nghiên cứu đã sử dụng rất nhiều các phép gần đúng như
phương pháp gần đúng trường tự hợp Hatree- Fork (giúp chúng ta giải được
phương trình Schodinger để tìm ra hàm sóng mô tả hệ và năng lượng tương
ứng), và đã sử dụng phương pháp thống kê Fecmi- Dirac giúp chúng ta giải
những bài toán có hệ số hạt lớn hay phương pháp gần đúng Popov cho các hệ
khí trộn lẫn. Nhưng khi nghiên cứu lý thuyết tính chất của BEC chúng ta cần
một phương pháp đảm bảo không làm mất đi tính phi tuyến tính của các hiệu
ứng thể và liên kết của hệ ngưng tụ. Phương pháp tác dụng do ba nhà vật lý J.
Golstone, A. Salam và S. Weinberge đưa ra và năm 1962 đã dựa trên tích
phân phiếm hàm là phương pháp không nhiễu loạn và đáp ứng được các yêu

cầu đã nêu. Đặc biệt nó thích hợp trong việc khảo sát các hiệu ứng tập thể.
Khi tiếp tục phát triển phương pháp này, Cornwall- Jackiw- Tombolis đã mở
rộng tác dụng hiệu dụng cho các toán tử đa hợp và được gọi tắt là phương
pháp tác dụng hiệu dụng CJT. Phương pháp này đã cho thấy sự ưu việt khi
giải quyết được các câu hỏi của lý thuyết trường lượng tử, hơn nữa nó còn có
ưu điểm vượt trội trong việc tìm hiểu các tính chất của hệ lượng tử trong đó
có cả quá trình chuyển pha. Tác dụng hiệu dụng CJT có kí hiệu là   , G  .
Tác dụng hiệu dụng CJT không những phụ thuộc vào giá trị trung bình của
trường lượng tử  ( x) mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G( x, y) là giá trị
trung bình của tích chuẩn hai trường lượng tử ứng với
T(  ( x)  ( y) ).
Tác dụng hiệu dụng lƣợng tử CJT
Trong mọi quá trình vật lý, chúng ta coi những trạng thái của hệ ban
đầu ở thời điểm có t   và trạng thái của hệ tại thời điểm cuối cùng t

14


  được xem như những trạng thái ứng với mức năng lượng thấp nhất,

tương ứng là các chân không O  và O  . Khi đó biên độ xác suất để hệ
chuyển từ chân không O  đến chân không O  khi có các nguồn ngoài J, K
là phiếm hàm sinh
Z J, K   O O



J ,K

 N  D e

1
i (  S  . J   . K . )
2

,

(I.8)

trong đó:

 .J    ( x ) J ( x ) d 4 x ,

.K .    ( x) K ( x, y) ( y)d 4 xd 4 y ,
là các tích chấm đã thể hiện trên tất cả các quá trình bên trong và không thời
gian, N là thừa số chuẩn hóa, S[ϕ] là tác dụng thông thường. Tích phân phiếm
hàm này được lấy trên toàn bộ các cấu hình trường của hệ vật lý. Quá trình
vật lý của hệ đặc trưng bởi sự bổ sung của mỗi đường vào tích phân lấy từ tác
dụng thông thường.
Hàm Green tổng quát bao gồm tất cả các giản đồ liên kết và không liên
kết được sinh ra từ phiếm hàm sinh Z [J, K]. Một phiếm hàm khác W [J, K]
chỉ gồm các giản đồ liên kết, không tính đến sự khác nhau do giao hoán các
đỉnh sẽ đóng góp vào Z [J, K] theo công thức sau:

Z  J , K   eiW [ J , K ] .

(I.9)

Phiếm hàm sinh [ , G ] chỉ bao gồm những giản đồ bất khả quy hai hạt
cho các hàm đỉnh liên kết, bằng phép biến đổi Legendre loại hai ta nhận được

phiếm hàm sinh theo công thức:

1
1
  , G   W  J , K   .J  .K .  Tr G, K ,
2
2
Từ định nghĩa

15

(I.10)


 . J    ( x ) J ( x ) d 4 x,
 .K .    ( x) K ( x, y) ( y)d 4 xd 4 y;

Tr G, K    Gij ( x, y ) K ij ( x, y)d 4 xd 4 y.

Như vậy ta có

( , G )
  J i  ( K . )i ,
i

(I.11)

[ , G]
1
  Kij .

 Gij
2

(I.12)

[ , G ] còn được gọi khác là tác dụng hiệu dụng lượng tử.
Ở các trạng thái vật ký, khi nguồn ngoài tất cả bằng không, cặp phương
trình (I.23) và (I.24) tương ứng với các trạng thái cơ bản của hệ và là một hệ
gồm đầy đủ các phương trình khe để khảo sát chuyển động của trường và
phương trình SD của G mà chúng tương ứng có dạng như sau:

[ , G ]
 0,
 J  K 0

(I.13)

phương trình Schwinger- Dyson:

[ , G ]
 0.
 G J  K 0

(I.14)

Vậy khi có thêm nguồn ngoài K đặc trưng cho tính Composite nên khi
xét tác dụng [ , G ] , tác dụng này không chỉ phụ thuộc vào giá trị trung bình
của trường lượng tử mà nó còn phụ thuộc vào hàm truyền G – là trị trung bình
của T - là tích các toán tử trường. Do đó, mọi tính chất nhiệt động của hệ đều
được hiểu là khi ta tìm được tác dụng hiệu dụng CJT [ , G ] . Điều đó rất

thuận lợi cho việc nghiên cứu sự vi phạm đối xứng khi (I.11) cho nghiệm đối
xứng thì (I.12) vẫn cho nghiệm làm phá vỡ đối xứng. Ta phải dùng phép gần
đúng nhất định để xác định đầy đủ [ , G ] .Khai triển loop của [ , G ] , nó

16


cho phép ta giải quyết được vấn đề này. Khai triển hai loop (bất khả quy hai
hạt) đối với trường Boson có dạng:

i
[ , G]  S[ ]  Tr[ln GG01  GG01  1]   2[ , G],
2

(I.15)

trong đó:

 2 S[ ]
 2 Si nt[ ]
1
iG ( ) 
 iG0 ij 
,
 i j
 i j
1
0 ij

(I.16)

 2 [ , G] bao gồm tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai hạt có

các đỉnh được xác định bởi Sint [ , ] và hàm truyền được đặt bằng G.
Lấy đạo hàm theo G của tác dụng hiệu dụng (I.15) có tính đến (I.12)
ta sẽ thu được phương trình SD của hàm truyền và năng lượng riêng của hệ.
Với trường hợp bất biến tịnh tiến, trường cổ điển  ( x ) là một hằng
số. Lúc này tác dụng hiệu dụng [ , G] biểu diễn dưới dạng sau:
[ , G] = - Ve f f (  ,G)  d x,
4

(I.17)

trong đó Veff(  ,G) chính là thế hiệu dụng. Từ khai triển chuỗi (I.15) thế hiệu
dụng CJT trong không gian xung lượng có dạng là:
i d4 p
Ve f f (, G)  U ( )  
tr[ ln G( p)G01 ( p)  G01 (G; p)  1]  V2 ( , G),
4
2 (2 )

(I.18)

trong đó U ( ) là thế cổ điển và V2 ( ,G) là tổng của tất cả giản đồ chân
không bất khả quy hai hạt của lý thuyết với các đỉnh và hàm truyền G( p).
Các đỉnh bây giờ chỉ còn là một tham số hằng số nhưng vẫn phụ thuộc vào 
và được cho bởi Sint ( , ).
Điều kiện dừng để mô tả trạng thái cơ bản trở thành dạng:

17

Veff ( , G )
 0,


Veff ( , G )
 0.
G

(I.19)

Tóm lại, thế hiệu dụng CJT V ( , G) là hàm của  và là một phiếm hàm
của G. Ở trạng thái cơ bản, thế hiệu dụng CJT và tác dụng hiệu dụng có ý
nghĩa như mật độ của năng lượng và năng lượng.
Như vậy, ta kết luận được rằng hình thức luận tác dụng hiệu dụng có
hai kết quả quan trọng sau:
Điều quan trọng thứ nhất, các nghiệm phải thỏa mãn hai phương trình
sau:

[ , G ]
 0,
 ( x)

(I.20)

( , G)
 0.
 G( x, y)

(I.21)

Trong đó phương trình (I.20) là phương trình chuyển động, xác định sự
thay đổi của trường lượng tử, phương trình (I.21) chính là phương trình
Schwinger- Dyson (SD) cho hàm truyền G. Các kết quả này đặc biệt thuân lợi
cho việc nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng cả khi phương trình (I.20) cho
nghiệm đối xứng,  ( x)  0 thì phương trình (I.21) vẫn có thể cho được
nghiệm làm phá vỡ đối xứng.
Điều quan trọng thứ hai là khai triển loop của tác dụng hiệu dụng CJT
  , G  bao gồm tổng các giản đồ với một số cố định các loop. Do vậy việc

quan trọng đối với (I.13) và (I.14) là việc xác định được bậc loop khai triển và
tìm điều kiện dừng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài. Khi có nghiệm  ( x)  0

18


của hệ (I.20) và (I.21) tức là đã xảy ra sự đối xứng bị phá vỡ. Nghĩa là sự đối
xứng bị phá vỡ đã tự động được tạo ra ngay trong hình thức luận tác dụng
hiệu dụng CJT. Và còn, khi triển khai tác dụng hiệu dụng CJT quanh nghiệm
dừng, các nghiệm không nhiễu loạn ứng với sự đối xứng bị phá vỡ tự động
xuất hiện trong các hiện tượng vật lý ở trạng thái cơ bản.
Tác dụng hiệu dụng CJT giúp chúng ta rút ra được rất nhiều thông tin
quan trọng có ý nghĩa đặc biệt như xác định giá trị trung bình của Hamilton
trong trạng thái chuẩn hóa. Thế hiệu dụng xác định giá trị mật độ năng lượng
của hệ trong trường hợp bất biến tính tiến. Bởi vậy, trong những năm gần đây
phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT cho các toán tử composite rất là phát
triển, nó là một phương pháp toán học hữu ích với độ tin cậy cao trong trường
lượng tử.
Sự phá vỡ của đối xứng tự phát

Các nguyên lý đối xứng xây dựng được hầu hết các lý thuyết vật lý.
Nhưng trong thực tế có những đối xứng xảy ra sự “phá vỡ tự phát” nghĩa là
trạng thái trong chân không của hệ đã không còn đúng dưới sự biến đổi của
các phép đối xứng đó.
Cặp phương trình (I.11) và (I.12) tương ứng với các điều kiện dừng của
hệ có ý nghĩa rất lớn khi xét sự vi phạm đối xứng khi các nguồn ngoài triệt
tiêu. Vì vậy, khi khai triển thế hiệu dụng đã cho thấy đạo hàm bậc hai của thế
hiệu dụng là tổng của tất cả những giản đồ liên kết bất khả quy một hạt trong
không gian xung lượng và nếu đối xứng bị phá vỡ thì phải tồn tại những
Boson không khối lượng được sinh ra và được gọi là Boson Goldstone. Định
lý Goldstone cho ta thấy số hạt boson Goldstone được sinh ra.
Định Lý Goldstone
Định lý Goldstone được phát biểu như sau “Một hệ tương đối tính
trong đó nhóm đối xứng liên tục G( n ) bị phá vỡ tự phát: G(n)  H (m  n) ,

19