Chuyên đề về Đường thẳng simson

Đường thẳng Simson, Đường thẳng Steiner
1. Định lí về đường thẳng Simson :
Cho tam giác
nằm trên

nội tiếp trong đường tròn tâm
sao cho

. Gỉa sử

là một điểm

không trùng với ba đỉnh của tam giác. Khi đó hình

chiều vuông góc

của

lần lượt trên

cùng nằm trên

một đường thẳng. (Đường thẳng này gọi là đường thẳng
đối với tam giác

)

Chứng minh :

Ta có
ra

Nhưng vì

, suy ra tứ giác
. Mặt khác vì

nội tiếp nên .

là tứ giác nội tiếp (

nên
Vậy

nội tiếp, suy

)
.

cùng thuộc một đường thẳng.

của điểm


2. Định lí về đường thẳng Steiner :
Cho tam giác
sao cho

nội tiếp đường tròn tâm

, điểm

bất kì thuộc đường tròn

không trùng với các đỉnh của tam giác. Gọi

điểm đối xứng với
điểm

qua các đường thẳng

và trực tâm

lần lượt là
. Khi đó ba

của tam giác

cùng nằm trên một đường

thẳng (Đường thẳng này là đường thẳng

của điểm

đối với tam

giác
Chứng minh :

Dễ dàng thấy
thẳng

cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường
của điểm

đối với tam giác

.

Ta có

mà

nên

, suy ra

là tứ giác nội tiếp.

Từ đó
Hoàn toàn tương tự, tứ giác
Lại có

nội tiếp nên
(tứ giác

nội tiếp)

Do đó

, suy ra

Vậy :

cùng thuộc một đường thẳng.

thẳng hàng.