Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng hướng dẫn học sinh giải toán về tuổi ở tiểu học (2014)

Khóa luận tốt nghiệp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
-------------------------------

HÀ THỊ MIÊN

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN
VỀ TUỔI Ở TIỂU HỌC

KH A U N T T NGHIỆP ĐẠI HỌC
C u nn n :P

n p

p dạy học To n ở Tiểu học
N

ờ

ớn d n

o

ọc

Th.S NGUYỄN VĂN ĐỆ

HÀ NỘI, 2014

Hà Thị Miên

K36A- GDTH


Khóa luận tốt nghiệp

ỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các Thầy cô giáo
trong khoa Giáo dục Tiểu học và các bạn sinh viên đã tạo điều kiện thuận lợi
nhất cho em trong quá trình làm khóa luận này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng
cảm ơn sâu sắc tới T S. N u ễn Văn Đệ đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận
tình để em hoàn thành khóa luận.
Trong khi thực hiện đề tài này, do thời gian nghiên cứu và năng lực của
em có hạn nên khóa luận không tránh khỏi thiếu xót và hạn chế. Vì vậy, em
rất mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn bè để
khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sn v n

H T ị M n

Hà Thị Miên

K36A- GDTH


Khóa luận tốt nghiệp

ỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài: “Sử dụn s đồ đoạn t ẳn
sn

ớn d n ọc

ả to n về tuổ ở T ểu ọc” là kết quả mà em đã trực tiếp nghiên cứu,

tìm tòi thông qua sự hướng dẫn của thầy cô, sự giúp đỡ của bạn bè.
Trong quá trình nghiên cứu, em có sử dụng tài liệu của một số nhà nghiên
cứu, một số tác giả đã được trích dẫn đầy đủ. Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở để em
rút ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình.
Khóa luận này là kết quả của riêng cá nhân em, không trùng với các kết
quả của các tác giả khác. Những điều em nói ở trên là hoàn toàn đúng sự thật.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sn v n

H T ị M n

Hà Thị Miên

K36A- GDTH


Khóa luận tốt nghiệp

MỤC ỤC
Mở đầu ............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài............................................................................................ 1

2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài ................................................ 3
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 3
6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 3
C

n 1. C sở lí luận .................................................................................. 4

1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học................................................. 4
1.2. Bài toán và lời giải của bài toán................................................................. 5
1.2.1. Quan niệm về bài toán ...................................................................... 5
1.2.2. Lời giải của bài toán.......................................................................... 6
1.2.3. Ý nghĩa của việc giải toán................................................................. 6
1.2.4. Phân loại bài toán.............................................................................. 7
1.2.5. Phương pháp tìm lời giải của bài toán .............................................. 8
1.3. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng .................................................................. 9
1.3.1. Khái niệm về phương pháp sơ đồ đoạn thẳng .................................. 9
1.3.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán ở Tiểu học..... 10
1.3.3. Các bước tiến hành và cách trình bày bài toán sử dụng phương
pháp sơ đồ đoạn thẳng............................................................................... 10
1.4. Bài toán tuổi ở Tiểu học........................................................................... 11
1.4.1. Kiến thức chung để giải dạng bài toán về tuổi ............................... 11
1.4.2. Phân loại các bài toán về tuổi ở tiểu học ........................................ 12
1.4.3. Toán về tuổi trong chương trình SGK ở Tiểu học.......................... 12
1.4.4. Phương pháp thường dùng để giải các bài toán tuổi ở Tiểu học .... 14

Hà Thị Miên

K36A- GDTH

Khóa luận tốt nghiệp

1.4.4.1. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng.............................................. 14
1.4.4.2. Các phương pháp khác........................................................... 15
Ch

n 2. Sử dụn s đồ đoạn t ẳn

ớn d n ọc s n

ả to n

về tuổ ở T ểu ọc .......................................................................................... 16
2.1. Phương pháp chung hướng dẫn học sinh giải toán về tuổi ở Tiểu học.... 16
2.2. Hướng dẫn giải các bài toán về tuổi......................................................... 16
2.2.1. Hướng dẫn giải các bài toán đơn về tuổi ........................................ 16
2.2.1.1. Khái quát chung các bài toán đơn về tuổi.............................. 16
2.2.1.2. Một số ví dụ ........................................................................... 16
2.2.2. Hướng dẫn giải các bài toán hợp về tính tuổi ................................. 19
2.2.2.1. Khái quát chung các bài toán hợp về tính tuổi ...................... 19
2.2.2.2. Một số ví dụ về bài toán cho biết tổng và tỉ số của hai
người ................................................................................................... 20
2.2.2.3. Một số ví dụ về bài toán cho biết hiệu và tỉ số của hai
người ................................................................................................... 25
2.2.2.4. Một số ví dụ về bài toán cho biết tổng và hiệu số của hai
người ................................................................................................... 30
2.2.2.5. Một số ví dụ về bài toán tính tuổi với số thập phân .............. 35
2.2.2.6. Một số bài toán khác .............................................................. 38

2.2.2.7. Nhận xét ................................................................................. 40
P ụ lục. Một số b

to n tuổ sử dụn s đồ đoạn t ẳn để

ả ............. 41

Kết luận .......................................................................................................... 43
T

l ệu t

m

Hà Thị Miên

ảo ........................................................................................ 44

K36A- GDTH


Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. í do c ọn đề t
Tiểu học là cấp học nền tảng đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và
phát triển nhân cách của con người, đặt nền móng vững chắc cho giáo dục
phổ thông và cho toàn bộ hệ thống giáo dục quốc dân. Với quan điểm như
trên, giáo dục nói chung và giáo dục Tiểu học nói riêng đã vận động và
chuyển mình đáng kể, việc đổi mới và vận dụng các phương pháp dạy học

theo hướng phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh được các
thầy cô, các bậc phụ huynh và toàn xã hội quan tâm.
Ở Tiểu học cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán cũng giữ một vị trí rất
quan trọng trong việc giáo dục và phát triển con người một cách toàn diện. Ý
thức được tầm quan trọng của môn học, nhà trường Tiểu học đã duy trì dạy
học Toán, việc giúp các em học tốt môn học và học có phương pháp là mục
tiêu hàng đầu được đặt ra trong mọi tiết học. Để làm được điều đó người giáo
viên cần giúp học sinh phân tích bài toán nhằm nhận biết được yêu cầu, đặc
điểm, bản chất của bài toán, từ đó lựa chọn được phương pháp giải thích hợp.
Giải toán là mức độ cao nhất của tư duy. Nó đòi hỏi mỗi học sinh phải
huy động hầu hết các kiến thức logic được thể hiện bằng ngôn ngữ toán học.
Mỗi bài toán, mỗi dạng toán đều có mối quan hệ mật thiết với nhau. Việc tổ
chức hướng dẫn học sinh nắm bắt được kiến thức trừu tượng, bài toán phải
dựa trên cái gần gũi, cụ thể với học sinh sau đó học sinh lại vận dụng các
nguyên tắc, khái niệm trừu tượng để giải quyết các vấn đề cụ thể theo con
đường nhận thức: “Từ trực quan sinh sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ
tư duy trừu tượng trở về thực tiễn”.
Môn Toán ở Tiểu học có nhiều dạng khác nhau như: Toán về cấu tạo số,
toán chuyển động , toán về tuổi, toán về hình học…trong đó các bài toán về
tuổi cũng rất đa dạng và phong phú. Toán về tuổi là một trong những phần
Hà Thị Miên

1

K36A- GDTH


Khóa luận tốt nghiệp

kiến thức của việc giải toán. Việc giải toán về tuổi không ngừng góp phần

quan trọng trong việc củng cố các kĩ năng toán học mà còn có nhiều ứng dụng
khác trong thực tế.
Ngay từ các lớp đầu Tiểu học, các em đã được học giải các bài toán về
tuổi với nhiều phương pháp dạy học tích cực khác nhau một trong số các
phương pháp đó là phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. Trong giải toán về tuổi để
giúp học sinh hiểu được yêu cầu, nắm được bản chất, phát triển tư duy và khả
năng giải các bài toán về tuổi đòi hỏi người giáo viên phải hiểu rõ bản chất
của phương pháp, sử dụng triệt để ưu điểm của phương pháp giải toán bằng
sơ đồ đoạn thẳng.
Với lí do trên và ý thức được tầm quan trọng của việc dạy giải toán về
tuổi sử dụng sơ đồ đoạn thẳng ở Tiểu học nên tôi chọn cho mình đề tài: “Sử
dụn s đồ đoạn t ẳn

ớn d n ọc s n

ả to n về tuổ ở T ểu ọc”

nhằm nâng cao nghiệp vụ cho bản thân và góp phần nâng cao chất lượng dạy
giải toán về tuổi ở Tiểu học, đồng thời phát triển tính tích cực, chủ động, sáng
tạo cho học sinh Tiểu học.
2. Mục đíc n

n cứu

Trên cơ sở nghiên cứu cách giải và hướng dẫn học sinh giải một bài toán
về tuổi, qua đề tài này giúp cho học sinh nắm chắc được yêu cầu, bản chất của
bài toán về tuổi, nâng cao sự hiểu biết về toán học, bồi dưỡng kĩ năng giải
toán và phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh.
3. N ệm vụ n

n cứu

- Tìm hiểu phương pháp sơ đồ đoạn thẳng trọng dạy học Toán ở Tiểu
học
học. - Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng hướng dẫn học sinh giải toán về tuổi ở Tiểu

Hà Thị Miên

2

K36A- GDTH


Khóa luận tốt nghiệp

4. Đố t ợn v p ạm v n

n cứu củ đề t

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp sơ đồ đoạn thẳng và
sử dụng phương pháp này để giải các bài toán về tuổi.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán tuổi trong chương trình Tiểu học.
5. P

n p

5.1. N

pn

n cứu

n cứu lí luận

Nghiên cứu khai thác tài liệu về lí luận dạy học môn Toán ở trường Tiểu
học.
5.2. P

n p

p đ ều tr qu n s t

- Điều tra thực trạng giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh
trước và sau thử nghiệm.
- Quan sát việc học tập của học sinh liên quan đến luận văn.
- Thu thập các kết quả thực tế của học sinh làm cơ sở thực tiễn để đưa
ra hệ thống bài tập và phù hợp có tính khả thi dành cho đối tượng học sinh ở
Tiểu học.
- Đánh giá kết quả thử nghiệm.
5.3. P

n p

p tổn

ết

n n

ệm

- Thống kê số liệu sau thử nghiệm của lớp thí nghiệm.
- Lấy ý kiến đánh giá phản hồi.
6. Cấu trúc

ó luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng hướng dẫn học sinh giải toán về về
tuổi ở Tiểu học.

Hà Thị Miên

3

K36A- GDTH


Khóa luận tốt nghiệp

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ Í U N
1.1. Đặc đ ểm n ận t ức củ

ọc s n t ểu ọc

Nhìn chung ở Tiểu học hệ thống tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu thế, các
em rất nhạy cảm với các hoạt động bên ngoài, điều này được phản ánh qua

các hoạt động nhận thức của học sinh Tiểu học. Tuy nhiên, ở giai đoạn cuối
của học sinh Tiểu học thì hệ thống thứ hai đã phát triển nhưng còn ở mức
thấp.
Khả năng phân tích của các em còn yếu, thường tri giác trên tổng thể. Tri
giác không gian chịu nhiều tác động của trường tri giác gây ra các biến dạng
và các ảo giác. So với học sinh đầu bậc Tiểu học, các em học sinh cuối bậc
Tiểu học có các hoạt động tri giác đã phát triển và được hướng dẫn bởi các
hoạt động tri giác khác nên chính xác dần.
Đặc điểm nổi bật trong tư duy của học sinh Tiểu học là chuyển từ trực
quan cụ thể sang tư duy khái quát. Đó là kết quả của quá trình học sinh tiếp
xúc với thực tế, trao đổi xã hội và học tập, đặc biệt là hoạt động học tập trong
nhà trường. Các thao tác phân tích, tổng hợp so sánh, trừu tượng hóa, khái
quát hóa của học sinh được hình thành và phát triển. Khả năng lĩnh hội các
khái niệm phát triển tư duy cụ thể ít mang tính trực tiếp, đã tách nhiều ra khỏi
tri giác trực tiếp và dần mang tính trừu tượng.
Tưởng tượng của học sinh Tiểu học được hình thành và phát triển trong
học tập và các hoạt động khác. Khuynh hướng tưởng tượng ở học sinh là tiến
dần đến phản ánh một cách đúng đắn và đầy đủ hiện thực khách quan trên
cơ sở những tri thức tương ứng. Hình ảnh tưởng tượng trở nên trọn vẹn hơn,
phân biệt hơn bởi số lượng chi tiết nhiều hơn và sự sắp xếp của chúng chặt
chẽ hơn, có lí hơn.

Hà Thị Miên

4

K36A- GDTH


Khóa luận tốt nghiệp

Chú ý không chủ định còn chiếm ưu thế ở học sinh Tiểu học. Sự chú ý
này không bền vững nhất là đối với các đối tượng ít thay đổi. Do thiếu khả
năng tổng hợp, sự chú ý còn phân tán, lại thiếu khả năng phân tích nên dễ bị
lôi cuốn vào các hình ảnh trực quan, gợi cảm. Sự chú ý của học sinh Tiểu học
thường hướng ra bên ngoài, vào các hành động chứ chưa có khả năng hướng
vào trong, vào tư duy.
Như vậy, khả năng nhận thức của học sinh Tiểu học luôn hình thành,
biến đổi và phát triển qua từng lớp của cấp học. Vì vậy, trong dạy học nói
chung và dạy học Toán nói riêng để đạt được kết quả tối ưu nhất ta cần căn cứ
vào đặc điểm nhận thức của học sinh đã nêu trên và con đường nhận thức
chân lí mà Lênin đã nêu: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư
duy trừu tượng quay trở lại thực tiễn”. Quá trình hướng dẫn học sinh giải toán
cần vận dụng các phương pháp trực quan hợp lí để thu hút sự chú ý của học
sinh, giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán và biết giải các bài toán
một cách khoa học, logic và phát triển khả năng tư duy của học sinh.
Do vậy, khi giải các bài toán tính tuổi cần hướng dẫn học sinh phân tích,
tóm tắt bài toán hợp lí để diễn đạt một cách trực quan các điều kiện của bài
toán và cách tốt nhất là sơ đồ hóa đoạn thẳng. Qua đó học sinh loại bỏ được
các dấu hiệu không bản chất để tập chung vào cái bản chất toán học và tìm
được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm để tìm ra cách giải quyết của
bài toán.
1.2. B

to n v lờ

ả củ b

1.2.1. Qu n n ệm về b

to n

to n

Bài toán (theo G.Polya) là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có
ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích nhất định trông thấy rõ
ràng nhưng không thể đạt được ngay.

Hà Thị Miên

5

K36A- GDTH


Khóa luận tốt nghiệp

Theo định nghĩa trên, ta thấy một bài toán gồm hai yếu tố chính hợp
thành. Hai yếu tố cơ bản đó là:
- Mục đích của bài toán.
- Sự đòi hỏi người khác thực hiện bài toán, thường biểu hiện bởi các từ
sau: “Hỏi” hay “Tính” hay “Tìm”.
1.2.2. ờ

ả củ b

to n

Lời giải của bài toán là một tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự của các phép
tính cần thực hiện để đi tới mục đích của bài toán đó. Ở đây chúng ta không

đồng nhất các quan niệm về cách giải, bài giải và đáp án của bài toán theo
nghĩa lời giải của bài toán ở trên.
Một bài toán có thể có một lời giải, có thể có nhiều lời giải hoặc không
có lời giải nào. Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng
nhất một lời giải của bài toán trong từng trường hợp bài toán có lời giải hoặc
lí giải. Cái khó trong giải toán ở Tiểu học không phải là tìm ra đáp số hoặc lời
giải của bài toán, mà cái khó của việc giải toán Tiểu học là dùng kiến thức sẵn
có của học sinh để đưa ra lời giải phù hợp với tư duy của học sinh Tiểu học.
Chính vì vậy, phương pháp sơ đồ đoạn thẳng có vai trò đặc biệt quan trọng
trong giải toán Tiểu học nói chung và trong giải toán về tuổi nói riêng. Nhờ sơ
đồ đoạn thẳng mà các khái niệm và quan hệ trừu tượng của toán học được
biểu thị trực quan hơn. Ngoài chức năng tóm tắt bài toán sơ đồ đoạn thẳng
còn giúp trực quan hóa các suy luận, làm cơ sở tìm ra lời giải của bài toán.
1.2.3. Ý n

ĩ củ v ệc

ả to n

- Giải toán giúp củng cố các kiến thức cơ bản của học sinh.
- Rèn luyện, phát triển tư duy và kĩ năng vận dụng kiến thức của học
sinh.
- Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh.

Hà Thị Miên

6

K36A- GDTH

1.2.4. P ân loạ b

to n

Người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục
đích nhất định. Ta có một số cách phân loại bài toán như sau:
i) Phân loại theo phương pháp giải bài toán
Gồm 2 loại:
- Bài toán có angorit giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó theo
một thuật toán chung nào đó, được mang tính chất angorit nào đó.
- Bài toán không có angorit giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó
không theo một thuật toán nào hoặc không mang tích chất của thuật toán nào.
ii) Phân loại theo nội dung bài toán
Gồm: Bài toán số học, bài toán chuyển động, bài toán về tuổi, bài toán
về cấu tạo số…
iii) Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Gồm 2 loại:
- Bài toán củng cố kĩ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau
khi học một hay vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó.
- Bài toán phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
kiến thức cũng như kĩ năng nào đó đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân
tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
iv) Phân loại theo hình thức của bài toán
Dựa vào kết luận của bài toán đã cho hay chưa cho để phân loại bài toán
ra thành hai loại:
- Bài toán chứng minh là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một
cách rõ ràng trong đề toán.
- Bài toán tìm tòi là bài bài toán mà kết luận của nó vẫn chưa có sẵn
trong đề toán.

v) Phân loại theo phép tính sử dụng trong bài toán
Các bài toán ở Tiểu học được chia làm hai loại:
- Bài toán đơn là bài toán được giải bằng một phép tính.
- Bài toán hợp là bài toán được giải bằng hai phép tính trở lên. Bài toán
hợp chứa đựng trong nó những bài toán đơn theo một cấu trúc, số phải tìm
trong bài toán đơn này lại là số cho trước của bài toán đơn khác hay kết quả
của phép tính trong bài đơn này sẽ trở thành một phần phép tính trong bài
toán đơn tiếp sau đó.
1.2.5. P

n p

p tìm lờ

ả củ b

to n

Theo G.Polya, để giải một bài toán ta cần tiến hành theo 4 bước:
B ớc 1: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán.
Bao gồm các hoạt động:
- Phân biệt phần đã cho, phần cần tìm.
- Giải thích các thuật ngữ có trong đề bài
- Phân biệt những gì thuộc về bản chất.
- Tìm mối liên hệ giữa phần đã cho và phần cần tìm. Ta có thể làm rõ
mối quan hệ bằng cách tóm tắt bằng kí hiệu, bằng công thức và đặc biệt ở
Tiểu học là bằng sơ đồ đoạn thẳng.
B ớc 2: Tìm tòi lập kế hoạch giải toán

Lập kế hoạch giải toán là đi tìm hướng giải cho bài toán. Bước này gắn
liền với phân tích các dữ liệu và các yếu tố cần tìm của bài toán, nhằm xác lập
được mối quan hệ giữa chúng và tìm được phép tính số học thích hợp.
Trong bước này gồm các tháo tác:
- Minh họa bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
- Lập kế hoạch giải toán nhằm xác định trật tự giải quyết các phép tính
số học.


B ớc 3: Thực hiện giải toán
Đối với bậc Tiểu học thì thực hiện kế hoạch giải toán có ý nghĩa thực
hiện các phép tính theo trình tự mà các bước lập kế hoạch đã xác định, sau
đó viết lời giải. Lời giải của bài toán có thể là một phép tính hoặc nhiều phép
tính.
B ớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu bài toán
Về nguyên tắc đây là bước không bắt buộc.
Mục đích của bước này:
- Kiểm tra và soát lại công việc giải.
- Đưa ra bài toán tương tự bài toán đã cho.
- Tìm cách giải khác và so sánh các cách giải.
- Suy nghĩ khai thác thêm đề bài.
1.3. P
1.3.1. K

n p

p s đồ đoạn t ẳn

n ệm về p

n p

p s đồ đoạn t ẳn

Dựa trên khái niệm độ dài, phương pháp sơ đồ đoạn thẳng có thể tóm tắt
như sau:
Đó là việc sử dụng các đoạn thẳng rời nhau để diễn đạt các yếu tố của
bài toán, mỗi đoạn thẳng có thể chia thành những đoạn nhỏ bằng nhau và rời
nhau; các yếu tố khác nhau biểu diễn trên các đoạn thẳng khác nhau sao cho
các đoạn thẳng cần đảm bảo tính trực quan và dễ dàng thấy được mối liên hệ
giữa các yếu tố của bài toán. Ta nhận được một số sơ đồ đoạn thẳng (đối với
bài toán hợp ta có thể sử dụng một hoặc một số sơ đồ đoạn thẳng sao cho việc
tìm ra lời giải của bài toán được thuận lợi).
Sau đó xác định mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần phải
tìm trên sơ đồ đoạn thẳng. Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng để giải bài toán đã cho.
Ta chuyển các giá trị, đại lượng biểu diễn trên sơ đồ đoạn thẳng về các giá trị
đại lượng tương ứng của bài toán. Khi tìm được kết quả ta đem thử lại kết quả
và đưa ra kết luận.


1.3.2. P

n p

p s đồ đoạn t ẳn để

ả c cb

to n ở T ểu ọc

Để giải được bài toán, học sinh cần thực hiện thao tác phân tích mối liên
hệ và phụ thuộc vào bài toán đó. Muốn làm được điều đó ta thường dùng các
hình thức vẽ thay cho các số để minh họa các mối quan hệ của bài toán. Ta
cần chọn và sắp xếp hình vẽ một cách hợp lí để dễ thấy được mối liên hệ và
sự phụ thuộc giữa các đại lượng tạo ra hình ảnh cụ thể giúp ta tìm ra cách
giải.
Sử dụng sơ đồ có tác dụng rất lớn, nhìn vào sơ đồ học sinh sẽ tự tìm ra
lời giải, có khi tìm ra ngay kết quả của bài toán. Vì lí do đó mà phương pháp
sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng phổ biến và làm chỗ dựa cho kế hoạch giải
toán của học sinh.
Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng trực quan, sinh động rất phù hợp với đặc
điểm tâm sinh lí của học sinh Tiểu học. Việc sử dụng phương pháp này sẽ
tránh được những lí luận không phù hợp với học sinh. Điều quan trọng là sẽ
tránh được việc lập phương trình như sẽ học ở Trung học sơ sở và Trung học
phổ thông.
Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng được coi là phương pháp hữu hiệu để giải
nhiều dạng toán ở Tiểu học như: Giải toán có lời văn, giải toán có yếu tố đại
số, giải toán có yếu tố hình học hay được sử dụng trong giảng dạy lí thuyết.
Vì vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần sử dụng triệt để phương
pháp sơ đồ đoạn thẳng để giúp học sinh nắm chắc bản chất của mỗi dạng toán,
nhận dạng nhanh và phát huy được tính tích cực, chủ động của học sinh.
1.3.3. C c b ớc t ến
p

n v c c trìn b

b

to n sử dụn p

n

p s đồ đoạn t ẳn
Khi giải một bài toán sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta có thể

tiến hành theo các bước sau:

Hà Thị Miên

10

K36A


B ớc 1: Tìm hiểu đề bài
Ở bước này, giáo viên nên đặt ra các câu hỏi tập trung sự chú ý của học
sinh như: Bài toán cho biết điều gì? Bài toán hỏi gì? Các câu hỏi phải có tác
dụng khuyến khích học sinh tích cực tham gia vào bài học và tránh bị phân
tán tư tưởng vào các từ ngữ không quan trọng của đề bài.
B ớc 2: Phân tích các điều kiện của bài toán và biểu diễn các đại lượng
đã cho của bài toán trên sơ đồ đoạn thẳng
B ớc 3: Dựa vào sơ đồ lập kế hoạch giải toán
B ớc 4: Thực hiện các thao tác giải và trình bày bài toán
B ớc 5: Kiểm tra và đánh giá lời giải
Trong bước này, các yêu cầu học sinh cần đạt được khi giải bài toán
bằng sơ đồ đoạn thẳng gồm:
- Học sinh được thực hành luyện tập vẽ sơ đồ đoạn thẳng thông qua các
bài toán điển hình.
- Từ các đề toán, học sinh thường dùng sơ đồ đoạn thẳng thay cho các
số, các đại lượng của bài toán. Nhờ đó, học sinh có thể nói rõ cách vẽ sơ đồ

đoạn thẳng của mình và giải thích rõ tại sao, học sinh có thể từ quan sát sơ đồ
đoạn thẳng tự đặt đề toán và giải thích bài toán đó.
1.4. B

to n tuổ ở T ểu ọc

1.4.1. K ến t ức c un để

ả dạn b

to n về tuổ

Các bài toán về tính tuổi thuộc dạng toán có lời văn điển hình. Trong
chương trình Toán bậc Tiểu học, các bài toán về tính tuổi được đưa vào từ lớp
2 đến lớp 5.
Đối tượng được nói tới trong bài toán dạng này là tuổi tác. Các bài toán
đưa ra các tình huống có vấn đề với nội dung chính là tuổi tác của các đối
tượng gần gũi với học sinh như tuổi của ông, bà, cha, mẹ, anh, chị, em…của
học sinh đó. Các bài toán này có thể đưa ra dưới dạng tường minh hoặc dạng
ẩn, việc giải các bài toán này cũng như giải các dạng toán về tìm số.
Hà Thị Miên

11

K36A


Khi giải các dạng toán về tuổi cần lưu ý:
- Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng tuổi
trong từng thời kì (trước đây, hiện nay, sau này).

- Hiệu số tuổi giữa hai người không thay đổi theo thời gian.
Trong các bài toán về tính tuổi, ta thường gặp các đại lượng sau:
- Tuổi của A và B.
- Tổng (hiệu) số tuổi của A và B.
- Tỉ số tuổi của A và B.
Các thời điểm tính tuổi của A và B (trước đây, hiện nay, sau này).
Mỗi năm thì mỗi người tăng thêm một tuổi. Tổng số tuổi của hai người
thay đổi trước hoặc sau 1, 2… năm là 2, 4… năm.
1.4.2. P ân loạ c c b

to n về tuổ ở t ểu ọc

Ta có thể phân loại bài toán như sau:
- Các bài toán đơn về tính tuổi: là các bài toán mà học sinh giải bằng một
phép tính. Đây là những bài toán tuổi nằm trong chương trình lớp 2, 3.
- Các bài toán hợp về tính tuổi: là bài toán mà việc giải bài toán đòi hỏi
học sinh phải thực hiện hai phép tính trở lên. Đây chính là các bài toán có lời
văn điển hình nằm trong chương trình Toán lớp 4, 5. Bao gồm:
+ Bài toán cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người.
+ Bài toán cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người.
+ Bài toán cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người.
+ Bài toán tuổi có số thập phân.
+ Một số bài toán khác.
1.4.3. To n về tuổ tron c

n trìn SGK ở T ểu ọc

Lớp 2 và lớp 3: Gồm các bài toán giải bằng một phép tính.
VD1: Em 7 tuổi, anh hơn em 5 tuổi. Hỏi anh bao nhiêu tuổi ?
(SGK Toán 2 – Tr 26)

Hà Thị Miên

12

K36A


VD2: Giải bài toán theo tóm tắt:
Anh

:

16 tuổi

Em kém anh

:

5 tuổi

Em : … tuổi ?
(SGK Toán 2 -

tr 31)

VD3: Năm nay bà 65 tuổi, mẹ kém bà 27 tuổi. Hỏi năm nay mẹ bao
nhiêu tuổi?
(SGK Toán 2 – Tr 67)
VD4: Năm nay ông 70 tuổi, bố kém ông 32 tuổi. Hỏi năm nay bố bao

nhiêu tuổi?
( SGK Toán 2 – Tr 90)
VD5: Năm nay em 6 tuổi, chị gấp 2 lần tuổi em. Hỏi năm nay chị bao
nhiêu tuổi?
(SGK Toán 3 – Tr 33)
VD6: Mẹ 30 tuổi, con 6 tuổi. Hỏi tuổi con bằng mấy phần tuổi mẹ?
(SGK Toán 3 – Tr 61)
Lớp 4 và lớp 5: gồm các bài toán giải bằng hai phép tính trở lên.
VD7: Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. Hỏi
bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?
(SGK Toán 4 – Tr 47)
VD8: Tuổi chị và tuổi em cộng lại được 36 tuổi. Em kém chị 8 tuổi. Hỏi
em bao nhiêu tuổi, chị bao nhiêu tuổi?
(SGK Toán 4 – Tr 48)
VD9: Mẹ hơn con 25 tuổi. Tuổi con bằng

2
tuổi mẹ. Tìm tuổi của mỗi
7

người?
(SGK Toán 4 – Tr 151)

Hà Thị Miên

13

K36A

VD10: Năm nay tuổi con ít hơn tuổi bố 35 tuổi và bằng

2
tuổi bố. Hỏi
9

năm nay con bao nhiêu tuổi?
(SGK Toán 4 – Tr 153)
VD11: Một lớp học sinh có 32 học sinh, trong đó học sinh 10 tuổi chiếm
75% còn lại là học sinh 11 tuổi. Tính số học sinh 11 tuổi của lớp đó?
(SGK Toán 5 – Tr 77)
VD12: Mẹ hơn con 27 tuổi. Sau 3 năm nữa tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con.
Tính tuổi mỗi người hiện nay?
(SGK Toán 4 – Tr 176)
VD13: Tuổi của con gái bằng

1
1
tuổi mẹ, tuổi của con trai bằng tuổi
4
5

mẹ. Tuổi của con gái cộng với tuổi con trai là 18 tuổi. Hỏi mẹ bao nhiêu tuổi?
(SGK Toán 5 – Tr 180)
Nhận xét chung:
- Trong chương trình dạy học môn toán ở Tiểu học, các bài toán về tuổi
được đưa vào dạy học bắt đầu từ lớp 2.
- Các bài toán về tuổi được đưa vào SGK là những bài tập hết sức cơ
bản, bước đầu khai thác một tỷ số và đều áp dụng phương pháp chung để giải.
1.4.4. P

1.4.4.1. P

n p
n p

pt

ờn dùn để

ả c cb

to n tuổ ở T ểu ọc

p s đồ đoạn t ẳn

Căn cứ vào đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học và đặc trưng của
dạng toán tuổi thì việc giải bài toán dạng này sử dụng phương pháp sơ đồ
đoạn thẳng là phù hợp và đạt kết quả cao.
Sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng sẽ thể hiện được các yếu tố của
bài toán, thấy được yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm.
Các bước giải bài toán tuổi sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng:
B ớc 1: Chọn một đoạn thẳng tùy ý làm đơn vị


B ớc 2: Căn cứ vào tỉ số tuổi của mỗi người tính số phần bằng nhau
theo đơn vị chỉ số tuổi của từng người
B ớc 3: Vẽ sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tuổi trong bài toán
Sau khi vẽ sơ đồ đoạn thẳng của bài toán thì tùy vào từng dạng toán điển
hình mà thực hiện các bước tính toán tiếp theo. Có thể thấy, tóm tắt bằng sơ
đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tính tuổi là một việc làm quan trọng và

không thể thiếu.
1.4.4.2. C c p

n p

p

c

i) Phương pháp dùng chữ thay số
Trong khi giải nhiều bài toán, số cần tìm được kí hiệu bởi một biểu
tượng nào đó, có thể là chữ số a, b, A, B, x, y… Từ cách chọn kí hiệu nói trên
theo điều kiện của đề bài, người ta đưa về một phép tính hay dãy tính chứa
các biểu tượng này. Dựa vào quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính,
ta tính được số cần tìm.
Phương pháp dùng chữ thay số được dùng để giải các bài toán có lời
văn. Đối với bài toán về tính tuổi việc sử dụng phương pháp này cũng cho ta
kết quả của bài toán.
ii) Phương pháp thử chọn
Phương pháp thử chọn được dùng để giải các bài toán về tìm một số đó
đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước.
Ta có thể sử dụng phương pháp thử chọn để giải các bài toán tính tuổi.
Khi giải các bài toán bằng phương pháp này, trước hết ta phải xác định các số
thỏa mãn một số trong các điều kiện mà đề bài yêu cầu. Để lời giải ngắn gọn
và chặt chẽ ta cần cân nhắc chọn điều kiện để liệt kê sao cho các số liệt kê
theo điều kiện là ít nhất.
Sau đó lần lượt kiểm tra mỗi số vừa liệt kê ở trên có thỏa mãn các điều
kiện còn lại mà đề bài yêu cầu hay không? Số nào thỏa mãn là số phải tìm. Số
nào không thỏa mãn các điều kiện còn lại thì ta loại bỏ.

CHƯƠNG 2
SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI
TOÁN VỀ TUỔI Ở TIỂU HỌC
2.1. P

n p

p c un

ớn d n ọc s n

ả to n về tuổ ở T ểu ọc

Theo G.Polya ta hướng dẫn học sinh theo các bước:
B ớc 1: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán
B ớc 2: Tìm tòi, lập kế hoạch giải toán
B ớc 3: Thực hiện giải toán
B ớc 4: Kiểm tra và đánh giá lời giải
2.2. H ớn d n
2.2.1. H ớn d n
2.2.1.1. K

ả c cb
ả c cb

to n về tuổ
to n đ n về tuổ

qu t c un c c b

to n đ n về tuổ

Các bài toán đơn về tuổi là các bài toán đưa ra tình huống có vấn đề với
nội dung chính là tuổi tác . Để giải được bài toán này ta chỉ cần thực hiện một
phép tính và các bài toán đơn về tính tuổi nằm trong hệ thống chương trình
học của học sinh Tiểu học lớp 2, lớp 3.
2.2.1.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: (SGK Toán 2 – Tr 26). Em 7 tuổi anh hơn em 5 tuổi. Hỏi anh bao
nhiêu tuổi?
Hướng dẫn giải:
B ớc1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Phần đã cho:

+ Em 7 tuổi
+ Anh hơn em 5 tuổi

Phần cần tìm:

+ Anh bao nhiêu tuổi?


Để tìm được số tuổi của anh ta phải xem xét chúng trong mối quan hệ
với nhau và mối quan hệ ràng buộc giữa tuổi anh và tuổi em được nhận thấy
một cách rõ ràng qua cách tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng:

B ớc 2: Lập kế hoạch giải toán
Ở bước này ta có thể hướng dẫn học sinh thông qua một số câu hỏi sau:
1) Muốn tính số tuổi của anh ta làm thế nào?
2) Số tuổi của em đã biết chưa?

3) Vậy ta có tính được ngay số tuổi của anh không?
Ta có sơ đồ khối sau:
Số tuổi của em + 5 (tuổi)
(7 tuổi)
Số tuổi của anh
B ớc 3: Trình bày lời giải
Bài giải
Theo bài ra ta có sơ đồ sau:

Số tuổi của anh là:
7 + 5 = 12 (tuổi)
Đáp số: 12 tuổi.


B ớc 4: Kiểm tra lời giải và đánh giá cách giải
Đối với các bài toán đơn, ở bước này giáo viên khuyến khích học sinh
đưa ra bài toán tương tự bài toán đã cho.
Ví dụ: Anh 12 tuổi, em kém anh 5 tuổi. Hỏi em bao nhiêu tuổi?
Ví dụ 2: (SGK Toán 2 – Tr 90). Năm nay bà 65 tuổi, mẹ kém bà 27 tuổi. Hỏi
năm nay mẹ bao nhiêu tuổi?
Hướng dẫn giải:
B ớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Phần đã cho :

+ Bà năm nay 65 tuổi.
+ Mẹ kém bà 27 tuổi.

Phần cần tìm :

+ Tuổi mẹ năm nay?

Để tìm được số tuổi của mẹ ta phải xem xét chúng trong mối quan hệ với
nhau và mối quan hệ ràng buộc giữa tuổi mẹ và tuổi bà được nhận thấy một
cách rõ ràng qua cách tóm tắt bằng sơ đồ:

B ớc 2: Lập kế hoạch giải toán
Ta hướng dẫn học sinh thông qua các câu hỏi sau:
1) Muốn tính số tuổi của mẹ ta làm thế nào?
2) Số tuổi của bà đã biết chưa?
3) Vậy ta có tính được ngay số tuổi của mẹ không?
Ta có sơ đồ khối sau:
Số tuổi của bà - Hiệu số tuổi của bà và mẹ
(65 tuổi)

(27 tuổi)

Số tuổi của mẹ


B ớc 3: Trình bày lời giải
Bài giải
Theo bài ra ta có sơ đồ:

Số tuổi của mẹ năm nay là:
65 – 27 = 38 (tuổi)
Đáp số: 38 tuổi.
B ớc 4: Kiểm tra lời giải và đánh giá cách giải
Giáo viên khuyến khích học sinh đưa ra bài toán khác tương tự với bài
toán đã cho.
Ví dụ: Năm nay mẹ 38 tuổi, mẹ kém bà 27 tuổi. Hỏi năm nay bà bao

nhiêu tuổi?
Các bài toán đơn về tính tuổi khác ta cũng hướng dẫn học sinh tương tự
theo 4 bước như đã thực hiện ở các ví dụ trên.
2.2.2. H ớn d n
2.2.2.1. K

ả c cb

to n ợp về tín tuổ

qu t c un c c b

to n ợp về tín tuổ

Ở cuối lớp 3 và lớp 4, 5 khi tư duy trừu tượng và khả năng nhận thức của
học sinh phát triển tốt hơn thì cũng đòi hỏi các bài toán cần giải ở mức độ cao
hơn, tăng dần độ khó và phức tạp với số lượng phép tính nhiều hơn.
Các bài toán hợp về tính tuổi là các toán yêu cầu tìm lời giải từ hai phép
tính trở lên. Các bài toán này vẫn sử dụng phương pháp chung là sơ đồ đoạn
thẳng để giải và giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo 4 bước (theo
G.Polya).


Căn cứ vào dữ liệu đã cho của đầu bài, các bài toán hợp về tuổi được
phân thành các dạng chính như sau:
+ Bài toán cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người.
+ Bài toán cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người.
+ Bài toán cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người.
+ Bài toán tuổi có số thập phân.
+ Một số bài toán khác.

2.2.2.2. Một số ví dụ về b

to n c o b ết tổn v tỉ số củ

n

ờ

Khi giải các bài toán dạng này giáo viên cần lưu ý về mối quan hệ giữa
tổng và tỉ số của hai số đã cho.
Ví dụ 1: Hiện nay tổng số tuổi của anh và em là 20 tuổi. Biết rằng tuổi em
hiện nay gấp 2 lần tuổi của em khi anh bằng tuổi của em hiện nay. Tính tuổi
hai người hiện nay?
Hướng dẫn học sinh cách giải:
B ớc 1: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán
Phần đã cho:

+ Tổng số tuổi hai anh em là 20 tuổi.
+ Tuổi em hiện nay gấp hai lần tuổi em khi anh bằng
tuổi em hiện nay.

Phần cần tìm:

+ Tuổi hai anh em hiện nay?

Để tìm được số tuổi của hai anh em ta cần xem xét chúng trong mối quan
hệ với nhau và mối quan hệ ràng buộc giữa tuổi của anh và tuổi của em được
nhận thấy một cách rõ ràng qua cách tóm tắt sau: