Phương trình đạo hàm riêng

NGUYỀN MINH CHƯONG (chú biên) NGUYỄN MINH TRÍ -

P H Ư O N S

HÀ TlẾN NGOẠN

LÊ QUANG TRUNG

T R ÌN H

DẠO HÀM RIÊNG

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 2000


517
---— --GD-00

194/162-00

M ã số :7 K 3 7 6 M 0


L Ó I N Ó I Đ AU
Bộ môn phương trĩnh dạo hàm riêng hay phương trinh Vật lý
toán lầ một bộ mòn toán học cơ bản vừa mang tinh lý thuyết cao
vừa mang tỉnh ứng d ụng rộng, dược dạy ỏ các trường Đại học
Khoa học, Sư phạm, Kỹ thuật^*^ và dược nghiên cứu dào tạo
nghiên cứu sinh ỏ các trương áy và ỏ nhiầu Viện chuyên ngành.
Ngành toán học này dã góp ph ần xây dựng lý thuyết chung cho

các ngành toán học và khoa học khác. R á t nhiêu ngành khoa học
(kể cả xá hội), công nghệ dầu phải sử dụng nó. Nó có m ặ t và
góp phần nãng cao tín h hấp dẫn lý thú, tính dầy dù sảu sắc,
tính hiệu quả giá trị của nhiêu ngành như tối ưu, dieu khiển tối
ưUy t r ò chơi v i p h â n , giải t í c h số, t í n h t o á n k h o a học, ... k ể c ả các
lý thuyết như lý thuyết kỳ dị, tai biến, rẽ nhảnh, hỗn loạn (chaos), ...
Ay vậy m à cho dến nay, sách bằng tiếng Việt v'ẻ bộ môn này
hãy còn quá ít. vĩ vậy quyển sách này đã được N h à xuất bản
Giáo dục đưa vào danh sách các ẩn p h ẩ m năm 1999. Quyển sách
này so với sách "Lý thuyết phương trĩnh dạo hàm riêng" năm
1995 của N hà xuất bản Khoa học Kỹ thuật có nhiều phhĩi dổi
mói, bổ sung. N hữ n g p h à n dổi mới bổ sung này nhằm giúp độc
già nấm vững chắc hơn các nội dung cơ bàn dã trinh bày trong
quyển sách, dòng thời giúp các dộc giả có nhu càu hiểu biết nhiêu
hơn về một số hướng nghiên cứu hiện đại ve phương trĩnh dạo
hàm riêng tuyến tính.
Quyển sách gòm 6 chương.
Chương I giói thiệu một số định nghm và văn de có tính chát
ban đàu, thường gặp trong phương trình dạo hàm riêng như bài
(♦) Sau khi đã học xong giải tích cổ diển và một số cờ sở cùa giải tích hàm, chẳng
hạn. trong |14)


toán Caucỉiy, bài toán biên, m ậ t dặc trưng, tính dặt đúng
bài toán, phân loại phương trinh, và dặc biệt dã lưu ý giúp
giả tiếp xúc ngay vói một số phương trinh cơ bản nhất trong
lý qua dó phan nào dộc già thấy dược vai trò rất quan trọng,
cãn thiết của lý thuyết phương trinh dạo hàm riêng.

của

dộc
vặi
rát

Chương II giói thiệu không gian Lp, không gian Sobolev wị,
các tính chát, các định lý nhúng. Đây là các không gian rát thường
gặp trong ìiãu hét các khoa học, công nghệ, dặc biệt, vói p = 2.
Chương III, IV, V đe cập đến các phương trĩnh elliptic, hyperboỉic,
parabolic cấp hai đơn giản nhát, gần như chỉ mỏ rộng chút it
các phương trĩnh Laplace, phương trĩnh sóng và phương trinh
truyền nhiệt. Một giáo trĩnh ban đàu nào u'ê phương trinh dạo
hàm riêng củng dê cập đến ba loại phương trĩnh này. ơ đăy có
nâng cao hơn một ít, dặc hiệt, có xét dến nghiệm suy rộng trong
không gian Sobolev.
Chương VI trinh bày một lớp bài toán biên tồng quát nhầm
dẫn dến một số kết quả nghiên cứu gan dây. Đảy la chương dành
cho những độc giả muốn tiếp xúc với một số hướng nghiên cứu
phương trình đạo hàm riêng tuyến tin h hiện dại. Thông qua một
só kết quả mói nhát trong mỗi hướng nghiên cứu và một số sách
báo có liên quan mà chúng tôi dã giới thiệu trong danh sách các
tài liệu tham khảo, dộc giả có thể tự thấy những bài toán, những
vấn d'ê còn mỏ d ể tiếp tục p h á t triển và di sảu nghiên cứu.
Chúng tôi tập trung giói thiệu các hướng nghiên cứu v'ê toán
tủ giả ui phân (tổng quát hơĩi là toán tử tích phân Fourier), là
một lóp toán tử bao trủm rất nhiầu lóp các phương trình vi phân
tích phăn, kỳ dị dạo hàm riêng tuyến tính, bản thân nó mang
một giá trị khoa học tổng hợp rát cao, đồng thời lại là một công
cụ cực kỳ mạnh mẽ và uyền chuyền trong việc nghiên cứu các bài
toán tuyển tính và phi tuyến. Nếu gắn vói nó lý thuyết sóng nhỏ,
lý thuyết xáp xỉ sóng nhò và lý thuyết p h ổ thì giả trị lý thuyết

củng như giả trị thực tiễn càng cao vĩ rát nhiều lỉnh vực nghiên


cứu, thực tiễn, dặc biệt các lỉĩiỉi vực có Liên quan dến xử lý tin
hiệu, hình ảnh, v.v... dềỉi CÕ-ÌI dến các lý thuyết này, nỉmt là dối
với các hướng nghiên cứu khoa học công nghệ mủi nhọn kiện nay
của dát nưóc như khai thác d'ầu khi, khai thác khoảng sản,
ỉiải sàn, hài dương học, khí tượng tliùy vãn, địa chấn học, sinh
học, v.v...
So VÓI sách "Li thuyết phương trinh dạo hàm riêng" năm 1995,
chúng tôi dưa thêm vào 2 hưóng : phương trinh giả vi phân trẽn
trường số p-adic và trên da tạp với mục tiêu như đã nói bên trên.
Trừ cỉiương VI mang nhiều tinh chát giói thiệu tổng quan, ỏ
mỗi chương dều có đe ra nhieu bài tập vừa dể ứng dụng lý thuyết,
vừa để bổ sung lý thuyết, nhầm giúp dộc giả nắm vững chắc và
dầy dủ hơn các nội dung đã. trình bày. Sau cũng trưóc khi giới
thiệu cấc tài liệu tham khảo chúng tôi cũng dã cho đáp số các
bài iập dã ra, hoặc hướng dản lời gidí, hoặc CỈIO lời giải một aó
bàỉ tập.
Chúng tôi tràn trọng cảm ơn Nhà xuất hản Giáo dục dã cổ
vũ và tạo diêu kiện để quyển sách được ra dời phục vụ sớm, dặc
biệt là Tiến sỉ Phạm Phu dã giúp các tác giả rất nỉiieu trong
quả trinh làm sách.
Hà nộiy Xuân 1999
C ÁC TẢ C GIÀ


FOREWORDS
Partial differential equations (PDE) or Equations of
Mathematical Physics form one o f basic domain o f research o f

Mathematics, which has luiderange o f application, both in tỉieory
and practice. This subfect has been taught in various uniưerties,
colleges and many other institutinos. It is very helpful and indispensable in many other areas not only o f mathematics, physics
and other natural sciences and technology but also in social
studies. ỉ t appears and plays an important role in optimization,
optimaỉ controỉ, dfferential games, numerỉcal analysis, scientific
computing, ... and also in such theories, as singularity, catastrophe,
bifurcation, chaos,...
Hoỉvever up to now there is uerỵ few books on PDE in Vietnamese.
so the Education Publishing House is pỉaning to pubỉish this book
by the year 1999. the present book differs from the 1995 one "theory
o f PDE" pubỉished by the Science and Technics Publishing House
by many revisioĩis and expansions, the latter aims to help the
readers to have a thorough understanding o f concepts introduced
in the book, and also, regarding more advanced readers, to provide
some current research in linear PDE.
This book consists o f 6 chapters.
ỉn chapter ĩ we give some preliminary definitions and concepts,
usually treated in PDE, such as Cauchy problem, boundary value
problems, characteristic surfaces, weỉl “ posedness o f the probỉem,
classification o f equations, and especially we in troduce the readers
ivitỉi most basic equations in theoritical Physics, tuhich shoius the
important character of PDE.


In chapter I I we introduce L^-spaces, Soboỉev w^^-spaces,
embedding theorems and various properties. These are very common
spaces Lvhich appear in many areas of S c i e n c e and technology,
especially for p =2.
In chapters IIĨ, w , V the simplest equations of elliptic, hyperbolic

an parbolic o f second order are considered, which generalize a
little bit the Laplace equation, ivaưe equation and equation of heat
conduction. Any introductory course on PDE should incldude the
reatment of these three equations. Here we give it a niore advanced
consideration, namely by discassing generaỉized solutions in
Sobolev spaces.
Chapter VI deals ivith a class o f boundary value problems in
general case luhich aims toward some recent researchs. This chapter
is intended for readers who loish to he familiar loith some current
rasearch in linear PDE. The readers may, through the bibliography
at the end o f this book, find appropriate open poblems and research
to study deeper. We make emphasis on the study o f
pseudodifferential operators O-VDO) (more general, the Fourier
integraỉ operators), ivhich couer a wide class o f ordinary differential
equations, singular integraỉ equations, PDE. This theory is itself
o f great valuabole synthetic one and at the same time is very
powerfuỉ and fĩexible tool to study linear and nonlinear boundary
value problems. ỉ t will be of great importance, both in theory and
practice, i f one makes use o f
ỉvith spectral theory, luavelets
and their approximations, since they seem to be very useful in
investigating

many areas of Science and t e c h n o l o g y e s p c i a ỉ l y the

areas, concerning signal and image P r o c e s s i n g and the asreas of
the main research directions of our country.
We introduce Ếwo ĩteu) directions of reseasch (which differs from
the 1995 book "Theory o f DPE" :

^^DO over p-adics and 071 manifolds. Except for ckapter Vĩ
which has an overvỉeiv character there are given many exercices
and problems after each chapter or the* readers to check their
under- standing o f the concepts introduced, we give aỉso ansiuers
or hints to these probỉems and exercices before introducing the
References.
We'd like to thank Education Publishing House luhich
encouraged and made all possibỉe for the book to see the ligỉit in
a short period o f time, especialỉy Dr Pham Phu for great help in
preparing for publishing.
Hanoiy Sprỉng 1999
T H E AƯTỈỈORS


C hu ơ n g I

MỘT SỐ VẤN ĐÊ C ơ BẢN
§1. MỘT

SỐ ĐỊNH NGHÍA VÀ ví DỤ

1. Đ ịn h n g h ỉa p h ư ơn g trìn h đào hàm r iê n g tu yến tín h
Trong nhiều vấn đề khoa học và kỹ th u ậ t quá trình nghiên
cứu thường dẫn đến việc khảo sát các phương trình co dạng sau
đây :
= /;

(1)

trong đd f là một hàm (hoặc một vectơ hàm) đã biết trong miền
Q c
A là một toán tử vi phân tuyến tính tác dụng trong Q,
tức là toán tử có dạng
A = X a„(x)D«,
\a
với a = (ap

(2)

và ơị là những số nguyên khồng âm ;
n

D « = D", D«2 ...

Dj = r ‘a/9Xj, i =

^ F T , |a| =

là

i= 1
một hàni (hoặc một ma trậĩi) trong Q, còn u = u(x) là hàm
chưa biết trong Q.
Cấp cao n h ất của đạo hàm riêng của u, có m ặt trong hệ
thức (2) gọi là cấp của toán tử A.
Định nghia 1. Phương trình (1) với toán tử A cấp m và các
hàm u, f thỏa m ãn những điều kiện -nêu trên được gọi là một
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m.

Dễ dàng thấy rằng khi các hệ số

đủ trơn thì phương trình (1)

cố thể viết dưới dạng
2

D « ( a ^ (X) D/^u) = f

(3)

| a | + |/:ỉ|^ m

và trong trường hợp đố, (3) được gọi là dạng divergent của
phương trình (1).
Như vậy việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính thực chất là việc nghiên cứu phương trình (1) hoặc (3) với
m tùy ý. Tuy nhiên những bài toán xuất hiện trong nhiều lỉnh
vực khoa học, đặc biệt là trong vật lý “ toán thường dẫn đến
phương trìn h đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 (m = 2), do đó
việc nghiên cứu các phương trìn h đạo hàm riêng cấp 2 có ý
nghĩa khá quan trọng về m ặt ứng dụng. Để làm ví dụ, dưới đây
ta sẽ nêu ra một số bài toán cụ thể.
2. VÍ dụ v ề p h ư ợ n g trìn h d ạo hàm r iê n g tu y ế n tín h và
v a i trò củ a c h ú n g tro n g k h oa h ọ c
Thế giới tự nhiên cũng như xã hội luôn biến đổi tro n g không
gian và theo thời gian. Ndi cách khác những đặc trư n g của các
đối tượng khoa học là hàm của không gian và thời gian và những
yếu tố khác. Do vậy việc nghiên cứu quá trình động của tự nhiên

cũng như xã hội thường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiểu
phương trình đạo hàm riêng một khi các đặc trư n g của đối tượng
nghiên cứu đã được định lượng hóa bằng các đại lượng toán học.
Về m ặt lịch sử, việc mô hỉnh hốa một đối tượng nghiên cứu
bằng toán học được thực hiện sớm n h ất trong vật lý lỹ thuyết
và hốa học lý thuyết. Trong những năm gẩn đây xu hướng mô
hình hóa bằng toán học được mở rộng sang nhiều lỉnh vực khoa
học khác như sinh học, kinh tế học, v.v... Dưới đảy ta sẽ đưa
ra một số phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trong vật lý
lý thuyết.


Trong vật lý iý thuyết, các phương trỉnh đạo hàm riêng có
thể x u ất hiện như là hệ quả của các nguyên lý cơ bản của vật
lý m à cũng cd th ể đóng vai trò như là các định luật cơ bản.
Các ví dụ trong các niục 2A, 2B và 2C thuộc loại thứ nhất. Các
ví dụ tro n g các niục 2D, 2E và 2G thuộc loại thứ hai
2 A Lv thuyết dàn hòi. Phương trinh mô tả dao dộng dàn hồi
cùa một thanh vật chát.
C hung ta xét một thanh đàn hồi th uần nhất với diện tích
thiết diện s và được làm từ vật liệu cd m ật độ p. Tầ hướng trục
tọa độ X dọc theo thanh này (h.la) và sẽ coi rằng mỗi thiết diện

X+Ai

b)

a)
Hình 1

chuyển dịch chỉ theo phương của trục X. Tầ xét thiết diện mà
tại thời điểm ban đấu tọa độ của
nđ là X. ta
ký hiệu u(t, x)là
độ dịch chuyển theo chiều dọc tại
thời điểm t
của thiết diện đổ
của thanh, vì các điểm của thiết diện tại vị trí cân bằng cố tọa
đ ộ X, cho nên tại th ờ i đ iể m t nó sẽ cđ tọa dộ X + u(t, x).
sẽ
theo dõi sự chuyển động của một mẩu thanh nằm ở vị trí cân
bằng trên đoạn [x, X +
của trục X. Ta bỏ qua tấ t cả những
lực ngoài tác động trên nd trừ các lực đàn hổi xuất hiện trong
các th iết diện nối mẩu ấy với phẩn còn lại của thanh. Ta. sẽ tìm
các lực đàn hổi này. Chú ý là tại
thời điểm t
mẩu được xét có
độ dài l — u(t, X
A^) - u(t, x) +
và nđ dãĩi ra so với vị


trí cân bằng \k ầ,Ị — u(t, X
của nd cd dạng

Ax) - u(t, x) nên độ dãn tương đôi

u(Ế , X + Ax) ~ u(t, x)
Chuyển qua giới hạn khi

0 chúng ta sẽ nhận được độ
dãn tương đối vô cùng bé của mẩu được đặt tại điểm cđ tọa độ
X ở vị trí cân bằng sẽ là
x) = 9u(x, t)/ dx (trong lý thuyết
đàn hổi đại lượng này gọi là độ biến dạng), theo định luật Hook,
lực đàn hổi F tác dụng lên thiết điện xét trê n nửa trá i của thanh
(h.lb) bằng ESUj^ (t, x)^ trong đđ hệ số E đặc trư n g cho tính
chất đàn hồi của vật chất tạo nên thanh, được gọi là môđun
Young. Như vậy, trên m ẩu đang xét của thanh có các lực tác
dụng là ESu^ (t, X +
(phải) và - ESu^(t, x) (trái). Do đố lực
ngoài toàn phần bằng ES[u^{t, X + A^) x)].
x+Ax

Vì xung lượng toàn phần của mẩu này là J/>Sii^(t, Ệ)d| nên
X

theo phương trỉnh Newton ta có
— J /S u j( t,|) d | = ES[u^(t, x) + Aj^) - Ujjd(t, x)].
X

Coi u có đạo hàm
liên tục đến cấp 2 ta có th ể chuyển vi
phân dưới dấu tích phân, và sau đd chia cả hai vế cho
và
cho A A dần đến 0. Từ đđ ta nhân đươc phương trình sdng
một chiêu
uti =

XX

(*)^

^

trong đđ hằng số c = VE//^ là tốc độ truyển sđng đàn hồi trong
thanh.
2B. Nhiệt dộng lực và phương trinh truyền nhiệt
Ta xét một môi trường th u ần nh ất gồm niột chất có m ật độ p
trong không gian ba chiều. Giả sử u(t, x) là nhiệt độ của môi


trường này tại điểm X E R-^ tại thời điểm t. Ta sẽ coi u ỉà hàm
đủ trơn của t và X. Để tìm phương trình đối
với u ta dựa trên
định luật truyẽn nhiệt Fourier : Nếu mảnh nhỏ có diện tích AS
đã được cho thì theo hướng pháp tuyến n đối
với mảnh này sau
thời gian At bé lượng nhiệt được truyền qua nó ìà
_
du
AQ = - k — ASAt,

(4)

dn

trong đó k là hệ số, phụ thuộc vào chất đang xét và được gọi
là hệ số truyền nhiệt. Giả sử Q là thể tích cùa môi trường đang
xét (miền bị chặn với biên trơn từng mẩu trong R^). Định luật

bảo toàn năng lượng trong Q trên đoạn thời gian [t, t + At]
cđ dạng
t + At

J C[u(t + A t , x) ~ u(t,x)pdx = / / k T— dSdt,
Q
I ỚQ
trong đó c là nhiệt dung của chất đang xét, 9Q là biên của miền
£2, n là pháp tuyến ngoài đối với 'ôQ, dx là phần tử th ể tích
thông thường trong R^. Theo công thức Ostrogratski thì vế phải
của đẳng thức trên có th ể chuyển về dạng tích phân bội :
t + Al

J
^

trong đd A = d^Ị

J kAudxdt,
Q
+ ... +

là toán tử Laplace

trong R^. Bây giờ, nếu chia cả hai vế cho At và cho th ể tích
của miền Q, sau đđ chuyển qua giới hạn khi At -> 0 và miển Q
đ ư ợ c th u v ề đ iể m X th ì t a s ẽ n h ậ n đư ợc p h ư ơ n g t r ìn h t r u y ễ n n h iệ t

= a^ầUy

(5)

trong đó a?- — kicp. Với cách giải thích thích hợp hàm u và hệ
số a phương trình này cũng mô tả quá trình khuếch tán trong
chất lỏng và chất khí.


2C. Phương trinh Laplace, phương trĩnh Poisson và phương
trình Heỉmhoỉtx.
Việc nghiên cứu các quá trình vật lý thường dẫn đến phương
trình dạng
Aí/ = /*,
trong đó u = u{x), X G

A =

(6)
+ Ỡ^/0X2 + ... +

/ 0X^ là

toán tử Laplace, f là niột hàm đã biết.
Phương trình (6) được gọi là phương trình Poisson. Khi f “ 0
thì (6) được gọi là phương trình Laplace.
Ngoài ra còn cd một phương trìn h cũng thường gặp, đó là
phương trình Helmholtz có dạng
(A + k'^)u - 0,

(7)

với à > 0.
Vé m ặt toán học, phương trìn h Helmoholtz xuất hiện khi xét
các phương trình sdng (xem ở ví dụ 2A) với các nghiệm có dạng
đặc biệt u(x)e^^^j với (O = (kịc) hoặc khi xét các bài toán phổ,
chẳng hạn bài toán về giá trị riêng của toán tử Laplace.
2D. Lý thuyết trường điện từ và các phương trĩnh Maxivelỉ
Trong các ví dụ ỏ mục trước, các phương trìn h đạo hàm riêng
đã được suy ra như là hệ quả của các định luật cơ sở của vật
lý, cụ th ể là các định luật của lý thuyết đàn hổi và lý thuyết
truyễn nhiệt. Ngoài ra, như đã được nối ở trên, có nhiểu phương
trình đạo hàm riêng không phải được suy ra từ nguyên lý cơ sở
nào mà chính chúng đóng vai trò của các nguyên lý cơ sở. v í
dụ, ta hãy xét một trường điện từ cổ điển. Nhiều thực nghiệm
cho thấy rằng một trường điện từ cổ điển bao giờ cũng có thể
mô tả bằng hai vectơ E = (Ey Ẽ 2 E^) gọi là vectơ điện trưòng
và H — (H^, Ỉ Ỉ 2 , H ỷ gọi là vectơ từ trường. Bài toán đặt ra
như sau : Trong một môi trường có độ cảm điện môi E và độ
cảm từ

ỊẦ

co đặt một hệ điện tích với m ật độ

p

và m ột dòng


điện với cường độ
Hãy tìm các vectơ điện trường và từ trường

sinh ra. Nhiểu thí nghiệm dẫn Maxwell đến kết luận rằng cường
độ điện trường và từ trường tuân theo các phương trình sau đây :
divD = Anp ;
divB = 0 ;
rotE = —

1 dB

rotH =
trong đó D = eE, B — ịiiH, j = ỡE +
với c là tốc độ ánh
sáng tro ng chân không, õ là độ dẫn riêng.
2E. Cơ học lượng tử không tương dối tính và phương trình
Schrổdinger
Trong ví dụ ở mục trên ta thấy rằn g để mô tả trường điện
từ cần hai đại lượng vectơ là cường độ điện trường E và cường
độ từ trư ờng H. Trong cơ học cổ điển người ta thấy rằng trạng
thái của m ột h ạt vĩ mô hoàn toàn cd th ể mô tả bằng qũy đạo
của nó, nghĩa là bằng cách tìm được sự phụ thuộc của tọa độ
của h ạt theo thời gian. Để làm điều đo cần phải giải phương
trìn h Newton, với lực tác dụng lên hạt và khối lượng của hạt
xem như những đại lượng đã biết. Khi tìm ra điện tử người ta
nghĩ rằng cũng cđ th ể mô tả chúng theo cách đó. ít lâu sau
người ta phát hiện ra rằng khi cho điện tử đi qua một màng
chắn cd một lỗ hẹp thì ảnh chụp cđ dạng giống như bức tranh
giao thoa của các sổng. N hững quan sát đố dẫn các nhà vật lý
đến kết luận rằn g không th ể mô tả chuyển động của điện tử
bằng qủy đạo như đối với các hạt vĩ mô mà cẩn phải mô tả
chúng bằng một hàm của tọa độ và thời gian ĩp(x, t), X G R^.
Hàm này gọi là hàm sóng với nghĩa rằn g : \\p(x, t)\'^ là m ật độ

xác suất để tại thời điểm t ta tìm thấy nó tại X. Vấn đề tiếp


theo là làm th ế nào tìm được ụ>(x, t). Cũng như Maxwell, sau
nhiều suy đoán Schrỏdinger cho rằn g nếu điện tử chuyển động
tron g m ột trường V(x) thì hàm sống của ĩiđ phải là nghiệm của
phương trình có dạng

Phương trìn h (8) được gọi là phương trình Schrỏdiner cho
điện tử chuyển động tron g trường V(x), với h là hằng số Plank,
m là khối lượng của điện tử.
Phương trỉn h (8) có th ể viết dưới dạng
ih ^

= Hv^,

(9)

H = - |- A + V ( x )

(•)

ôt

trong đố

được gọi là toán tử Schrodinger. Về m ặt vật lý no cổ ý nghĩa
là toán tử năng lượng hạt.
N hững th à n h công trong việc dùng phương trình (8) đối với
điện tử cho phép các n h à vật lý phát triển nguyên lý tổng quát

sau đây : Hệ N h ạ t không tương đối tính được mô tả bằng hàm
sđng rp ( X j ,
, t) và hàm sống đ đ phải là lời giải của phương
trìn h Schròdinger (9), nhưng với H có dạng tổng quát hơn (*).
2G. Cơ học lượng tử tương đối tính, phương trinh sóng, phương
trĩnh Klein ~ Gordon - Fok và phương trĩnh Dirac
Cho đến nay phương trỉnh Schròdinger vẫn được xem là
phương trìn h cơ bản mô tả chuyển động của các hệ vi mô cd
vận tốc r ấ t nhỏ so với vận tốc án h sáng. Đối với các h ạt hoặc
hệ h ạ t chuyển động với tốc độ cỡ tốc độ ánh sáng thỉ các phương
trìn h mô tả chuyển động của chúng phải tuân theo những nguyên


lý cơ bản của ỉý thuyết tư ơ n ^ đối. Nói cách khác, các phương
trình đó cần phải bất biến đối với các phép biến đổi của nhóm
Poincaỉ'e.
Một trong những phương trình thỏa m ãn điểu kiện đó là
( 10 )

trong dó

u =u(t, x), t G R,
A =

X

G R" và

/ dxị +

/ dxị + 9^ / dxị

với c là tốc độ ánh sáng.
Phương trình (10) được dùng để mô tả h ạ t cố khối lượng
m ~ 0 (photon), nd là dạng riêng của phương trìn h sóng quen
biết, trong đó

i= 1
Để mô tả các h ạt tương đối tính với khối lượng m > 0 và
spin bằng 0, Klein, Gordon và Fok để nghị dùng phương trỉn h
(h^ CU + m^c^)ĩp = 0

(11)

trong đó
C^A
là toán tử Dalambert (hoặc còn gọi là toán tử sdng).
Đối với các hạt cố spin 1/2 và các ph ản hạt tương ứng Dirac
đề nghị dùng phương trỉnh

=0

ờx..

mc\ip — 0.
ì^

trong đố
(fi - 0, 1, 2, 3) được gọi là các m a tr ậ n Dirac và
thòa m ãn hệ thức

ĐAI HỌC QUỐC
^
=
ĨRUNG TẦM ĨHÓNG TÌN THƯ VIỆN
2PT)HR

17


với

= 0 khi //

V,

=

gỉỉ

=

- g22

—_

g33

_ ị

Chúng cd thể được biểu diễn qua các ma trận Pauly

'o r
= 1 0

,

Ỡ2

—

'o
i

-i'
0

'1
, Ơ3

-

0

0'

-1

và ma trận đơn vị I như sau :
/•

0
-ơ:

0

, j = 1, 2, 3

còn ự/ là một hàm vectơ bốn thành phấn tuân theo quy luật biến
đổi của một bispinor.
Cho đến nay các phương trình đã nêu ở mục trên vẫn được
coi là những phương trỉnh cơ bản nhất trong vậtl ý lý thuyết.
Vì khuôn khổ quyển sách chúng tôi khồng đưa ra những phương
trình trong các lĩnh vực khác nhưng chỉ bằng những ví dụ trên
cùng đủ cho ta thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu lý
thuyết các phương trình đạo hàm riêng.

§2. ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU, ĐIÊU

k iệ n

b iê n ,

TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN
1. Đ iều k iện ban 'đẩu và d iều k iện b iên
Thông thường các mô hình toán học được tạo ra đã phản ảnh
các tính chất của các quá trình vật lý trong một phần nào đd
của không gian. Khi đố mối liên hệ với các quá trỉnh xảy ra
ngoài phẩn được tách ra của không gian ta không th ể hoàn toàn
không để ý mà cẩn được phản ảnh khi xây dựng mô hình toán
học. N hững hệ thức được thực hiện giữa các giá trị của các tham

biến nghiên cứu và các đạo hàm cùa chúng trên biên của miền
được gọi là các điầu kiện biên.


Chẳng hạn, nếu thanh được xét có độ dài / mà đầu mút cùa
nó ỏ vị tri cân bàng có tọa độ 0 và ỉ thì các điểu kiện biên trên
mút. trái X = 0 có thể có dạng sau đây (h.2) ;

Hình 2

^lx=o “ ^ (đẩu m út bị buộc chặt) ;
b)

= 0 (đầu m út tự do).

Tương tự cố th ể viết điều kiện biên đối với đầu m út phải
X = ỉ.

Đối với phương trình truyễn nhiệt mô tả nhiệt độ môi trường
trong miển Q c
thì các điều kiện biên cố thể lấy một trong
các hệ thức sau đây :
a) u ÒQ.~ ^ (biên được giữ với nhiệt độ đã cho (f) ;
b)

du
dn

dQ ~ ^

dòng nhiệt qua biên).

Khi nghiên cứu quá trình trong một thời gian thỉ xuất phát
của quá trình được xét bắt đầu từ một thời điểm nào đđ. Khi
đđ điều cơ bản là việc khởi đầu của quá trỉnh được phản ảnh
một phần nào dưới dạng hệ thức giữa các giá trị của các tham
số nghiên cứu và các đạo hàm của chúng tại thời điểm ban đẩu.
Các hệ thức này được gọi là các dièu kiện ban đầu
Chẳng hạn, các điểu kiện ban đáu tự nhiên đối với phương
trìn h sđng một chiểu cd được nếu cho vị trí ban đầu và tốc độ


c ủ a t ấ t c ả c á c đ iể m c ủ a th a n h :

“ lt = 0

’ “ llt = 0

“

(nếu thanh có độ dài ỉ và được sắp đặt như đã chỉ ra ở trên
thì ở đây cần coi rằng X G [0, Z]).
Đối với phương trình truyển nhiệt (5) một cách tự nhiên người
ta cho sự phân bố ban đầu của nhiệt độ :
^\{ =0 ”
trong đố

X

E Q nếu môi trường đang xét là miền Q.

Cuối cùng chúng ta nhận thấy rằn g các quy luật vật lý thường
cũng dẫn đến các hệ thức phi tuyến giữa các tham biến nên cần
phải xét các phương trình vi phân phi tuyến và các điều kiện
biên phi tuyến. Tuy nhiên, khi đó xu ất hiện những khố khăn
toán học thực sự. Bởi vậy, khi xây dựng mô hình toán học chúng
ta buộc phải bớt tính chính xác và bỏ qua những phần th êm phi
tuyến bé hay chuyển sang tuyến tính hốa trong một lân cận
nghiệm đã cho bằng cách đưa bài toán vể bài toán tuyến tính.
Việc tuyến tính hóa cũng rấ t quan trọng đối với việc nghiên cứu
tính ổn định nghiệm của các phương trinh phi tuyến. Điều đổ
cho ta thấy thêm vai trò quan trọng của phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính.
2. K hái niệm v ề tín h đặt đ ú n g củ a b ài to á n b iên . Bài
to á n C auchy.
Khái niệm về tính đúng đắn của bài toán biên được đưa vào
đầu tiên bởi Adamar. Như các ví dụ đã nêu cho thấy số các điểu
kiện biên và điều kiện ban đẩu cđ th ể khác nhau đối với các
phương trinh khác nhau và điều cơ bản là nd phụ thuộc vào cấp
của phương trỉnh. Khi đó, nếu số các điếu kiện không đủ thì cổ
th ể nhừng hàm thỏa m ãn chúng sẽ không cổ mối quan hệ nào


cả với hiện tượng vật lý đã biết. Nếu số điều kiện là thừa thì
bài toán cd thể không có nghiệm. Một mô hình toán học có thể
được coi thỏa đáng nếu nó thỏa đáng đối với một vài lớp các
bài toán đã cho. Tức là các hàm số thuộc vào các điểu kiện biên
và ban đầu đã làm cho bài toán biên có nghiệm và nghiệm đó
là duy n h ấ t . Tuy n h iê n chính đ iểu kiện đó còn chưa đủ. Trong
mỗi bài toán biên đểu gán liền với một hiện tượng vật lý thực

tế, do đó có sự thay đổi n h ất định mà những thay đổi thì không
th ể tuyệt đối và luôn có độ sai số nào đđ. Bài toán được coi là
đ ặt đúng đán chỉ trong trường hợp với những thay đổi nhỏ của
những đại lượng đã cho của bài toán thì tương ứng nghiệm cũng
thay đổi nhỏ.
Vi dụ Adamar. Trên m ật phẳng
với các biến {t, x) ta xét
phương trìn h Laplace trong miền t > 0
[Ọ-u

d^u
+^
= 0.
dx^

với điều kiện
u(0, x) = 0,

du

(0 , x) - (p{x) ,

(15)

Có th ể chứng minh nghiệm u của bài toán là duy nhất (ví
tro n g lớp
với í 5: 0). Tầ thấy dãy các hàm số
í

dụ

^ sim x

thỏa m ãn phương trình Laplace và các điểu kiện ban đầu (15) với

s ix i / ix .

Rõ ràn g với mỗi £: > 0 ta

tìm được số Nị, sao cho :

sup 1^ (x)l ^

với n ^

.

X

Tuy nhiên với

> 0 đủ bé thi

sup|a^(í^, x)\ =
X

00

khi n —> 00.

Kết quả không thay đổi kể cả khi đòi hỏi giả thiết rầng với
e > 0, m ^ N :
X

j ^

m

với mọi n ^ N = N(z,m).
Ví dụ này chỉ ra rằn g khi đặt một bài toán biên, điểu quan
trọ ng phải kể đến là cấu trú c của phương trình. Ngoầi ra, việc
chọn quy tắc của các không gian hàm cho nghiệm cùa bài toán
đã cho có m ột vai trò quan trọng khi xác định tính đặc trưng
của bài toán.
Một cách khái quát ta cố th ể ndi về tính đ ặt đúng của bài
toán như sau : Giả sử ư, V vầ F là những không gian vectơ
tôpô, ư G V. Tb. ký hiệu u là nghiệm của bài toán biên (hàm
v e c t ơ ) v à f là v e c tơ c á c đ iề u k iệ n đã ch o c ủ a b à i t o á n (tứ c ỉà

vectơ các vế phải của phương trình, các điểu kiện biên và điểu
kiện ban đầu).
Bài toán biên được gọi là đặt đúng đắn nếu ;
1. Với mỗi phần từ f E: F đều tổn tại nghiệm u ^ ư của bài
t o á n b iê n đ a n g x é t ;

2. Nghiệm tìm được là duy nhất ;
3. Nghiệm u được coi như phần tử của V sẽ phụ thuộc liên
tục vào f G F.

Cách chọn các không gian ư, Ỵ F phụ thuộc vào bài toán
đ ặt đúng đang xét. Sau đây ta sẽ xét thêm một vài ví dụ.
Vi dụ 1. (Bài toán Cauchy đối với phương trinh sống). Ta xét
bài toán đối với phương trìn h sdng
X G R, 0 ^ t í T
u

(16)


Bài toán này được gọi là bài toán Cauchy. Trong không gian
C^([0, T] X R) bài toán có nghiệm duy n h ấ t với (p G C^(R)
và (/’ G CMR) bất kỳ. Hơn nừa nghiệm được cho bởi công thức
Dalambert

u { t , X)

2

9 C .r.

-

(17)

.
Cí

Từ biểu diên này ta sẽ thấy nghiệm u phụ thuộc liên tục vào
(p và ụ> trong các chuẩn thích hợp, Một cách chính xác hơn, với

/2

G

ta xét không gian Banach cị = c ị (Q), Q G R^, gốm các

hàm có các đạo hàm cấp ^ k, liên tục và bị chặn tro ng Q ;
chuẩn trong C^(Q) được cho bởi công thức
(18)

V

Khi đố, nếu (p G cị ( R ) , ự' E C^J(R), k ^ 2 thì
u ^ cị (R) {[0, T] X R). Hơn nữa
u

c ịiịO ,!]

X R)

< C( Hy’

ClK)

+

V CÍ(R))

Như vậy, nếu ta lấy ơ = y = cị([0, Tị X R), F - Cị(R) X c ị

^(R)

(ở đây f = {nghĩa đã nêu. Thậm chí ta có thể lấy V là không gian rộng hơn
mà c ị ([0, T] X R được nhúng liên tục vào nó ; chẳng
c ị ([0,T] X R với z ^ k, C^([OT] X R hay

hạn

T] X R),

l ^ p < + co, ở đây C^([0, T] X R) là khồng gian Fréchet (nghĩa
là không gian đếm được chuẩn đấy) gổm tấ t cả các hàm số lớp
trên [0, T] X R với tôpô được xác định bởi các nửa chuẩn
u

C^{K)


trong đố í í c [0, T] X R là tập compảc ;
([0, T] X R)
là không gian Fréchet gổm tấ t cả các hàm số thuộc L^^K) trên
compăc bất kỳ ií" c [0, T] X R ; tôpô được xác định bởi các
nửa chuẩn
u

L

= { Ị \u {x )\p dxý/p
P(K)

l ầ cũng có thể lấy F = C“ (R) X C*(R) và
u = V = ([0, T] X R).
Chúng ta nhận thấy không gian ư, V, F trong định nghĩa tính
đúng đán cd th ể được chọn bằng nhiều cách. Thông thường u,
V, F được chọn là các không gian kiểu c^. Tuy nhiên tro n g nhiều
trường hợp ta co thể sử dụng các không gian khác (chẳng hạn
không gian Hỏỉder hay Sobolev).
VÍ dụ 2 (Bài toán Dirichlet đ ối với phương tr ỉn h Laplace).
Giả sử Q là miền bị chặn trong
cố biên trơn hay trơ n từng
khúc r. Khi đđ bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace
trong miền Q là đúng đán nếu ta lấy ư = V = C^{Q) n C(Q),
F = C(D. T hật vậy, bài toán này giải được đơn trị và có nguyên
lý cực đại
max
X

u(x)

G Q

= max
X

u(x)

G r

ví dụ 3. (Bài toán Cauchy đổi với phương trình truyén nhiệt).

Xét bài toán Cauchy đối với phương trình truyển nhiệt
u. = aĨầu, X G
u t=0 “

t G [0, T]

^ ^
Khác với ví dụ 1, nghiệm của bài toán này không th ể tìm
trong các không gian địa phương ; chẳng hạn, nghiệm không
duy nhất trong không gian C“ ([0, T] X R^). Tuy nhiên nếu bổ
oo
sung một điểu kiện nào đđ cho dáng điệu của u khi IX
thỉ bài toán có thể là đúng đán. Chẳng hạn, nếu