Bài tập laser

H QUANG QUÝ - CHU V N BIÊN - CHU V N LANH

BÀI TẬP LASER

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


2


MỤC LỤC
PHẦN CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP .................................................................. 5
1.

GIƠI THIẸ U CAC KHAI NIẸ M ....................................................................... 5

2.

TƯƠNG TAC CUA BƯC XẠ VƠI NGUYEN TƯ VA ION .......................... 8

3.

CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG, CHUYỂN DỊCH BỨC XẠ VÀ KHÔNG BỨC
XẠ TRONG PHÂN TỬ VÀ BÁN DẪN ....................................................... 13

4.

QUÁ TRÌNH TRUYỀN TIA VÀ SÓNG ÁNH SÁNG QUA MÔI
TRƯỜNG QUANG HỌC ................................................................................ 17

5.

BỘ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC THỤ ĐỘNG ....................................... 21

6.

QUÁ TRÌNH BƠM .......................................................................................... 28

7.

TÍNH CHẤT CỦA LASER LIÊN TỤC......................................................... 33

8.

TÍNH CHẤT CỦA LASER ............................................................................. 40

9.

LASER RẮN, MÀU VÀ BÁN DẪN .............................................................. 45

10. LASER KHÍ, LASER HÓA HỌC, LASER ĐIỆN TỬ TỰ DO VÀ LASER
TIA X .................................................................................................................. 51
11. NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA CHÙM LASER .............................................. 54
PHẦN TRẢ LỜI ...................................................................................................... 61
1.

GIỚI THIỆU CÁC KHÁI NIỆM .................................................................... 61

2.

TƯƠNG TAC CUA BƯC XẠ VƠI NGHUYEN TƯ VA ION .................... 73

3.

CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG, CHUYỂN DỊCH BỨC XẠ VÀ KHÔNG
BỨC XẠ TRONG PHÂN TỬ VÀ BÁN DẪN ............................................. 97

4.

QUÁ TRÌNH TRUYỀN TIA VÀ SÓNG ÁNH SÁNG QUA MÔI
TRƯỜNG QUANG HỌC .............................................................................. 114

3


5.

BỘ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC THỤ ĐỘNG ..................................... 138

6.

QUÁ TRÌNH BƠM ........................................................................................ 162

7.

TÍNH CHẤT CỦA LASER LIÊN TỤC....................................................... 176

8.

TÍNH CHẤT CỦA LASER ........................................................................... 204

9.

LASER RẮN, MÀU VÀ BÁN DẪN ............................................................ 228

10. LASER KHÍ, LASER HÓA HỌC, LASER ĐIỆN TỬ TỰ DO VÀ LASER
TIA X ................................................................................................................ 247
11. NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA CHÙM LASER ............................................ 259
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 275

4


PHẦN CÂU HỎI
HỎI VÀ BÀI TẬP
1. GIỚI THIỆU CÁC KHÁI NIỆM
1.1. Phổ phát xạ laser
Các phổ của sóng điện từ được quan tâm trong lĩnh vực laser nằm
trong vùng bước sóng từ tia X đến dưới milimet, bao gồm các miền kế
tiếp sau đây: hồng ngoại xa, hồng ngoại gần, nhìn thấy, tử ngoại, tử ngoại
chân không, tia X mềm, tia X. Từ các giáo trình chuẩn, hãy cho biết bước
sóng của các miền này.
1.2. Phổ của ánh sáng nhìn thấy
Từ các giáo trình chuẩn, hãy cho biết khoảng bước sóng tương ứng
với các màu khác nhau trong miền quang phổ của ánh sáng nhìn thấy và
cho biết các khoảng tần số tương ứng trong các miền đó?
1.3. Năng lượng của một photon
Tính tần số trong đơn vị Hz, số sóng (cm-1) và năng lượng trong đơn
vị eV của một photon có bước sóng λ = 1 µm trong chân không.
1.4. Nhiệt năng
Tính số sóng tương ứng với một khoảng cách của năng lượng kBT,

với kB là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ tuyệt đối. Giả sử T = 300 K.
1.5. Mật độ cư trú của hai mức trong điều kiện cân bằng nhiệt
Xác định tỷ số giữa mật độ cư trú của hai mức trong điều kiện cân
bằng nhiệt được tách ra bởi hiệu năng lượng ∆E bằng: (a) 10-4eV, có trị
5


giá tương đương với khoảng cách của các mức quay cho nhiều phân tử,
(b) 5x 10-2eV, tương ứng mức dao động phân tử; (c) 3eV, là độ lớn của kích
thích điện tử trong các nguyên tử và phân tử. Giả sử rằng hai mức có cùng
một suy biến và nhiệt độ là 100 K, 300 K (nhiệt độ phòng) và 1000 K.
1.6. Tín hiệu nhỏ thu được của một thanh khuếch đại ruby
Giả thiết hệ số khuếch đại tín hiệu nhỏ của một thanh ruby dài 15 cm
là 12. Bỏ qua độ bão hòa, hãy tính hệ số khuếch đại tín hiệu nhỏ của một
thanh dài 20 cm, với cùng nghịch đảo mật độ cư trú.
1.7. Ngưỡng phát của buồng cộng hưởng laser
Một buồng cộng hưởng laser bao gồm hai gương phản xạ với R1 = 1
và R2 = 0,5, với mất mát nội sau một lần qua lại là Li = 1%. Hãy tính tổng
mất mát logarit sau một lần truyền qua. Nếu chiều dài của hoạt chất là
l = 7,5 cm và tiết diện dịch chuyển là σ = 2.8x10-19 cm2, hãy tính nghịch
đảo cư trú ngưỡng.
1.8. Tiến triển theo thời gian của mật độ cư trú trong hệ bơm ba mức
Xem xét hệ các mức năng lượng tương ứng trong hình 1.1. Nguyên
tử được kích lên từ mức 0 đến mức 2 với tốc độ bơm Rp. Thời gian sống
của mức 1 và 2 tương ứng là τ1 và τ2. Giả sử trạng thái cơ bản 0 là không
suy giảm với bất kỳ tác động nào do phát xạ kích thích: i) viết các
phương trình tốc độ cho các mật độ cư trú của mức 1(N1) và mức 2 (N2); ii)
tìm hàm phụ thuộc thời gian của N1 và N2 ; iii) Vẽ đồ thị mật độ cư trú trong
hai trường hợp sau đây: (a) τ1 = 2 µs,τ2= 1 µs ; (b) τ1 = 1µs, τ2 = 2µs. Giả
định rằng mức 1 và 2 có cùng suy biến.

[Gợi ý: phương trình vi phân cho mật độ cư trú mức 1(dN1 / dt) +
(N1 / τ1) = f(t), có thể giải bằng cách nhân hai vế với exp (t / τ1). Bằng
cách này phía trái của phương trình vi phân trên đây trở thành một vi
phân toàn phần].
1.9. Độ sáng của một chùm tia nhiễu xạ giới hạn
Hãy chứng tỏ rằng độ sáng của một chùm tia nhiễu xạ giới hạn được
cho bởi B = (2/βπλ)2P, trong đó, P là công suất; λ là bước sóng; β là hệ
6


số có giá trị bậc đơn vị, đặc trưng cho một chùm tia nhiễu xạ giới hạn,
mà giá trị của nó phụ thuộc vào hình dạng phân bố của biên độ chùm tia.
1.10. So sánh giữa độ sáng của đèn và của laser argon
Độ sáng nhất cho đến nay của đèn có thể đạt được (PEK Labs loại
107/109 ™, kích thích bởi 100 W của năng lượng điện) là khoảng 95
W/cm2sr trong vạch màu xanh lá cây mạnh nhất (λ= 546 nm). So sánh độ
sáng này độ sáng của của một laser Argon có công suất 1W (λ = 514,5
nm) và được giả định là nhiễu xạ giới hạn.
1.11. Cường độ trên võng mạc của ánh sáng mặt trời và các tia laser
He-Ne
Trên bề mặt của trái đất cường độ của mặt trời vào khoảng 1 kWm-2.
Tính toán cường độ trên võng mạc khi nhìn thẳng vào mặt trời. Giả sử
rằng: (i) con ngươi của mắt mở thích hợp với ánh sáng với đường kính
2mm, (ii) độ dài tiêu cự của mắt là 22,5 mm, (iii) Mặt trời tạo góc là 0,5°.
Hãy so sánh cường độ của ánh sáng mặt trời trên võng mạc với cường độ
khi nhìn vào laser He-Ne có công suất 1 mW (λ = 632,8 nm) đường kính
2mm [đường kính của chùm tia tại tiêu điểm thấu kính có tiêu cự f có thể
được tính như sau DF = 4fλ / (λ D0 ) mà D0 là đường kính chùm tia chiếu
vào thấu kính và λ là bước sóng laser].
1.12. Phổ cường độ của xung ánh sáng có độ rộng hữu hạn

Tính phổ cường độ của một chuỗi sóng đơn, f(t), có độ rộng xung
hữu hạn τ0 [f(t) = exp (i2πν0 t) với - τ0/ 2 < t <τ0 /2 , f(t) = 0 với t = 0] và
cho thấy độ rộng tại 1/2 cực đại (FWHM) của phổ công suất được cho
bởi ∆ν = 1/τ0.
1.13. Thời gian kết hợp và độ dài kết hợp của ánh sáng lọc
Một kính lọc giao thoa có tâm truyền qua tại bước sóng 500 nm và
băng thông 10 nm được sử dụng để tạo ra chùm ánh sáng gần đơn sắc.
Hãy tính thời gian kết hợp và chiều dài kết hợp của ánh sáng đi qua
kính lọc.
7


[Gợi ý: chiều dài kết hợp lc, được định nghĩa là lc = cτ0, trong đó τ0
là thời gian kết hợp].
1.14. Áp lực bức xạ trong một chùm tia laser
Một chùm tia laser 10 W được hội tụ vào một điểm có đường kính
1mm trên tấm hấp thụ hoàn toàn. Hãy tính áp lực bức xạ trên tấm hấp thụ
bằng cách sử dụng hệ thức giữa áp lực p và cường độ I: p = I/c.
1.15. Áp lực bức xạ
Xuất phát từ hệ thức xung lượng của photon có tần số ν, q = ћk, với
k = 2πν/c, hãy chỉ ra rằng áp lực tác dụng bởi một chùm ánh sáng cường
độ I chiếu vuông góc với bề mặt chất hấp thụ hoàn toàn là I/c.
2. TƯƠNG TÁC CỦA BỨC XẠ VỚI NGUYÊN TỬ VÀ ION
2.1. Mật độ cường độ và mật độ năng lượng của sóng điện từ phẳng
Hãy tính biên độ điện trường và mật độ năng lượng của sóng phẳng
có cường độ 100W/cm2.
2.2. Dòng photon của sóng phẳng đơn sắc
Hãy tính dòng photon (số photon/m2s) của một sóng phẳng đơn sắc
có cường độ I= 200W/m2 có bước sóng 500nm hoặc 100µm.
2.3. Số mode của hốc cộng hưởng vật đen tuyệt đối

Cho một hốc cộng hưởng thể tích V = 1m3, hãy tính số mode nằm
trong băng thông ∆λ = 10nm có tâm tại λ = 600nm .
2.4. Định luật Wien
Hãy chứng minh định luật về bức xạ vật đen tuyệt đối
λmT = 2898µ mK , trong đó λm là bước sóng ứng với mật độ năng lượng
cực đại ρλ của vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T. ρλ được chọn sao cho

ρλ d λ là mật độ năng lượng của sóng điện từ của tất cả các sóng nằm
trong vùng từ λ đến λ + d λ .
8


2.5. Hốc đen tuyệt đối chứa môi trường tán sắc
Hãy chứng tỏ rằng khi một hốc đen tuyệt đối chứa môi trường tán
sắc thì mật độ mode pv = 8πν 2 n2 ng / c3 , trong đó, ng là chiết suất nhóm
được cho bởi ng = n + ν dn / dν . Chứng tỏ rằng ng cũng có thể biến đổi
thành ng = n − λ dn / d λ .

2.6. Công suất chiếu sáng của nguồn phát đen tuyệt đối
Hãy tính công suất chiếu sáng phát ra từ nguồn đen tuyệt đối qua diện
tích 1mm2 trong vùng bước sóng 0,1 µm xung quanh bước sóng 1µm.

Lưu ý: Cần lưu ý tới hệ thức giữa mật độ năng lượng trong hốc đen
tuyệt đối ρν và cường độ trên một đơn vị tần số phát ra từ tường
I B (ν ) = c ρν / 4 .
2.7. Năng lượng trung bình của mode
Hãy chứng minh rằng năng lượng trung bình chứa trong mỗi mode
của hộp cộng hưởng sẽ là

E = hν / exp ( hν /k BT ) − 1

Lưu ý:
∞
 nhν 
 nhν 
d
nh
ν
exp
=
−
exp  −


.
∑
∑
d (1/ k BT ) n=0
n =0
 k BT 
 k BT 
∞

2.8. Tốc độ phát xạ tự nhiên và phát xạ cưỡng bức
Cho một hệ cân bằng nhiệt, hãy tính nhiệt độ, tại đó, tốc độ phát xạ
tự nhiên và phát xạ cưỡng bức tại bước sóng 500 nm bằng nhau và tính
tính bước sóng ở nhiệt độ T = 4000K khi hai tốc độ đó bằng nhau.

2.9. Mở rộng tự nhiên
Hãy tính hàm mở rộng với giả thiết điện trường của nguyên tử tích
thoát là

E (t ) = E0 exp(−t / 2τ sp ) cos(ω0t ) .

9


2.10. Mở rộng Doppler
Hãy tính độ mở rộng cho chuyển dịch 488 nm của laser Argon với giả
thiết nhiệt độ phóng điện 6000K và nguyên tử lượng của Argon là 39,95.
Cũng tính như vậy đối với vạch 632,8nm của laser He-Ne với giả thiết
nhiệt độ phóng điện khoảng 400 K và nguyên tử lượng của Ne là 20,18.

2.11. Nhiệt độ của vật đen tuyệt đối có cùng mật độ năng lượng như
laser He-Ne
Độ rộng vạch của laser He-Ne bằng 1/5 độ rộng Doppler. Nhiệt độ
phóng điện của laser He-Ne khoảng 400K. Giả thiết rằng công suất trong
hộp cộng hưởng là 200mW và mode cộng hưởng có đường kính 1mm và
cường độ phân bố đều. Hãy tính nhiệt độ của vật đen có mật độ năng
lượng tại bước sóng 632,8nm bằng mật độ năng lượng của sóng điện từ
trong buồng cộng hưởng laser. Nguyên tử lượng của Ne là 20,18.
2.12. Thời gian sống tự nhiên và tiết diện chuyển dịch
Hãy tìm hệ thức giữa thời gian sống tự nhiên và tiết diện chuyển
dịch của một chuyển dịch đơn của nguyên tử.

2.13. Thời gian phát xạ và hiệu suất lượng tử của dịch chuyển laser Ruby
Chuyển dịch laser (R1) của Ruby có dạng gần Loren với độ rộng
FWHM là 330 GHz ở nhiệt độ phòng. Tiết diện chuyển dịch đỉnh
σ = 2,5 ×10−20 cm2 . Hãy tính thời gian sống (chiết suất n=1,76). Nếu thời
gian sống đo ở nhiệt độ phòng là 3ms thì hiệu suất lượng tử huỳnh quang
là bao nhiêu?

2.14. Thời gian sống của chuyển dịch mạnh nhất trong laser Nd:YAG
Trong hoạt chất laser Nd:YAG, chuyển dịch 4 F3/ 2 → 4 I11/ 2 là mạnh
nhất. Chuyển dịch ở bước sóng 1,064 µm xảy ra giữa siêu mức m = 2 của
mức 4 F3/ 2 và siêu mức l = 3 của mức 4 I11/ 2 (hay gọi là chuyển dịch

10


R2→Y3). Hai siêu mức này đều suy biến bậc hai. Chênh lệch năng lượng
giữa hai siêu mức của mức laser trên là ∆E = 84cm−1 , thời gian huỳnh
quang của mức trên τ 2 = 230µ s , hiệu suất huỳnh quang lượng tử là
φ = 0,56 , tỉ số giữa số photon tham gia bức xạ tự nhiên trong chuyển
dịch 1,064µm và số photon chuyển dịch từ hai mức 4 F3/ 2 là 0,135. Hãy
tính thời gian sống của dịch chuyển bức xạ R2→Y3.

2.15. Đáp ứng trong suốt của hệ hai mức khi có tín hiệu
Giả thiết hệ hai mức năng lượng có hiệu mật độ cư trú ban đầu
∆N (0) tại thời điểm t = 0, hiệu mật độ cư trú trong điều kiện cân bằng
nhiệt là ∆N e . Giả thiết rằng một sóng điện từ đơn sắc có cường độ không
đổi I và tần số ν = ( E2 − E1 ) / h chiếu vào hệ từ thời điểm t = 0. Hãy xác

định tiến triển của hiệu mật độ cư trú ∆N (t ) .
2.16. Cường độ khuếch đại bão hoà
Hãy chứng minh cường độ khuếch đại bão hoà trong chuyển dịch
mở rộng đồng nhất là

hν  τ 1  τ 2  g 2 
Is =
1 + 1 −
 

στ 2  τ 2  τ 21  g1 

−1

trong đó, τ1 và τ2 tương ứng là thời gian sống của các trạng thái trên và
dưới, 1/τ21 là tốc độ phân rã từ trạng thái trên đến các trạng thái thấp
hơn; g1 và g2 là trọng số thống kê của các trạng thái trên và dưới.

2.17. Nghịch đảo mật độ cư trú của chuyển dịch laser mở rộng đồng nhất
Tốc độ phát xạ tự phát A21 của chuyển dịch laser mở rộng đồng
nhất tại bước sóng λ = 10,6 µ m là A21 = 0.34 s-1, trong khi độ rộng
vạch của nó là ∆ν0 = 1GHz. Các trọng số thống kê của mức dưới và mức
trên tương ứng là g1 = 41 và g2 = 43. Hãy tính tiết diện phát xạ cưỡng
bức tại vạch trung tâm. Hãy tính nghịch đảo mật độ cư trú sao cho hệ số
khuếch đại đạt được là 5 m-1. Ngoài ra, hãy tính cường độ bão hòa với
giả thiết rằng thời gian sống của trạng thái laser trên là 10 µs và của trạng
thái laser dưới là 0.1 µs.

11


2.18. Các mức liên kết mạnh
Chứng minh các hệ thức sau:

f2 j =

N2j
N2

=

g 2 j exp (- E 2j / kT )
g2

∑g

2m

exp (- E 2m / kT )

m =1

f 1i =

N 1i
=
N1

g 1i exp (- E 1i / kT
g1

∑g

1l

)

exp (- E 1l / kT

)

m =1

trong đó: f2j(f1i) là một phần của tổng mật độ cư trú của mức 2 (mức 1)
được tìm thấy trong các siêu mức j(i) ở trạng thái cân bằng nhiệt; E2m và
E1l là năng lượng của các siêu mức ở mức trên và dưới tương ứng g2m và
g1l là trọng số thống kê tương ứng của chúng. Mức trên 2, và mức dưới 1,
bao gồm g2 và g1 siêu mức, tương ứng.

2.19. Khuếch đại sóng điện từ đơn sắc
Chuyển dịch mở rộng đồng nhất của một môi trường dài 5cm, có hệ
số khuếch đại chưa bão hòa ở vạch trung tâm g0 = 5 m-1 và cường độ bão
hòa 5Wm-2. Một sóng điện từ đơn sắc cộng hưởng với chuyển dịch
khuếch đại với cường độ 10 Wm-2 khi đi vào môi trường khuếch đại. Hãy
tính cường độ đầu ra.

2.20. Khuếch đại tự phát trong thanh Nd: YAG
Một thanh Nd: YAG hình trụ với đường kính 6.3 mm và chiều dài là
7.5 cm được bơm liên tục bằng một đèn phù hợp. Tiết diện chuyển dịch
ứng với bước sóng laser 1.064 µm là σ = 2.8x10-19 cm2, và chiêt suất của
YAG là n = 1.82. Hãy tính nghịch đảo cư trú tới hạn của quá trình
khuếch đại tự phát ASE (hai mặt cuối của thanh khử phản xạ hoàn toàn).
Ngoài ra, hãy tính năng lượng lớn nhất có thể lưu trữ trong thanh khi bỏ
qua quá trình ASE.

12


3.

CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG, CHUYỂN DỊCH BỨC XẠ
VÀ KHÔNG BỨC XẠ TRONG PHÂN TỬ VÀ BÁN DẪN

3.1. Tần số dao động của phân tử hai nguyên tử
Hãy chỉ ra rằng tần số dao động của một phân tử gồm hai nguyên tử
1/ 2
có khối lượng M1 và M2 là v = 1 / 2 (k 0 / M r ) , trong đó k0 là hằng số

(

)

đàn hồi và Mr là khối lượng rút gọn:
1/Mr = 1/M1 + 1/M2

3.2. Tính hằng số đàn hồi của một phân tử
Tần số dao động của phân tử iốt (I2) quan sát được là v~ = 213cm −1 .
Biết khối lượng của mỗi nguyên tử iốt (M = 21,08 10-6 kg), hãy tính hằng
số đàn hồi của phân tử.

3.3. Từ thế năng đến tần số dao động
Giả sử rằng, năng lượng điện tử của một phân tử hai nguyên tử đồng
chất đã được biết đến như là một hàm của khoảng cách giữa hai hạt nhân
R: U = U(R). Sử dụng biểu thức này để tính tần số dao động của phân tử.

3.4. Thế năng Morse
Thông thường, người ta sử dụng các biểu thức bán thực nghiệm để mô
tả đường cong năng lượng điện tử của phân tử hai nguyên tử. Các đường
cong này gọi là thế năng Morse và được biểu diễn qua biểu thức sau:

{

2

}

U ( R ) = De 1 − exp  − β ( R − R0 ) 

Hãy sử dụng biểu thức này để tìm năng lượng phân ly và tính tần số
dao động của một phân tử đối xứng của hai nguyên tử có khối lượng M.

3.5. Tính hệ số Franck-Condon
Xem xét một quá trình chuyển dịch dao động và giả sử rằng đường
cong năng lượng của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích có cùng độ
cong (tương ứng với cùng một hệ số lực k0 không đổi) và cực tiểu tương

13


ứng với khoảng cách giữa hai hạt nhân ROG và ROE. Hãy tính hệ số
Franck-Condon cho sự chuyển dịch từ mức dao động đầu tiên (v "= 0)
của các trạng thái cơ bản đến mức dao động đầu tiên (v’=0) của các trạng
thái kích thích.
[Gợi ý: nhắc lại rằng các hàm sóng của các mức năng lượng thấp
nhất của một dao động tử điều hòa có thể được viết là:

 1 
ψ 0 =  1/ 2 
 απ 

1/ 2

 y2 

exp −
 2 
1/ 4

trong đó y = R / α , đại lượng α được cho bởi α = ℏ 1 / 2 / (mk )

với m là

khối lượng của dao động tử và k là hằng số của lực hồi phục đàn hồi. Sử
dụng thêm các kết quả toán học:
−∞

( )

∫ +∞ exp − x2 d x = π 1/ 2

3.6. Hằng số quay của một phân tử hai nguyên tử
Hãy xem xét sự quay bền của một phân tử hai nguyên tử có khối
lượng M1 và M2 tại một khoảng cách giữa hai hạt nhân R0.
(a) Tính mômen quán tính I quanh trục đi qua trung tâm của khối
lượng và vuông góc với trục hạt nhân;
(b) Nhớ lại những quy luật lượng tử hóa của mômen động lượng
L = ℏ 2 J ( J + 1) , với số nguyên dương J, hãy biểu diễn hệ số quay B của
2

phân tử.

3.7. Phổ hấp thụ hồng ngoại xa của một phân tử HCl
Các phép đo của dải hấp thụ tia hồng ngoại xa của phân tử HCl cho
phép truy cập trực tiếp vào quá trình chuyển dịch quay tinh khiết. Một số
kết quả thu được là như sau:

∆E = 83.32cm −1 từ chuyển dịch J=3 → J=4

∆E = 104,13cm−1 chuyển dịch J = 4 → J = 5
∆E = 124.73cm −1 chuyển tiếp J = 5 → J = 6
14


(a) Hãy khẳng định độ chính xác của phép đo và hãy tìm hệ số B của
phân tử HC1,
(b) Hãy tính toán khoảng cách giữa hai hạt nhân của phân tử (khối
lượng của nguyên tử hydro mH = 1 mu, khối lượng của nguyên tử ClO
ma = 35,5 mu, ở đây mu = 1.67xl027kg).

3.8. Năng lượng của các mức tựa Fermi trong giếng lượng tử bán dẫn
Xem xét một giếng lượng tử bán dẫn trong điều kiện không cân bằng
với mật độ hạt tải Ne = Nh = N. Hãy trình bày một cách chi tiết làm thế nào
để tính năng lượng của cácmức tựa Fermi trong vùng dẫn và vùng hóa trị.

3.9. Vạch phát xạ của phân tử CO2
Bước sóng của ánh sáng phát ra do chuyển dịch dao động - quay
(001) → (100) trong phân tử CO2 là λ = 10,5135 µm , trong khi đó, bước
sóng phát ra từ chuyển dịch (001) → (100) P(38) là λ = 10,742µm.
(a) Hãy tính hệ số B của phân tử CO2,
(b) Hãy tính toán chênh lệch năng lượng giữa các mức (001) và (100).

3.10. Định luật tác dụng khối lượng
Hãy xem xét một chất bán dẫn ở trạng thái cân bằng nhiệt, với mức
Fermi của nó trong băng cấm, nhưng cách xa biên một năng lượng bằng
ít nhất một vài lần kT. Hãy chứng minh rằng tích của nồng độ điện tử và
lỗ là không đổi và không phụ thuộc vào vị trí của mức Fermi (tức là
không phụ thuộc vào mức pha tạp).
[Gợi ý: sử dụng kết quả toán học:
∞

∫ exp ( − x ) x

1/2

dx = π 1/2 / 2 ]

0

3.11. Năng lượng của các cấp tựa (gần) Fermi
Với điều kiện giới hạn T = 0 K, hãy tính năng lượng của các mức
tựa Fermi trong chất bán dẫn, như là một hàm của mật độ điện tử và lỗ
trống, Ne và Nh.

15


3.12. Các mức tựa Fermi trong GaAs
Sử dụng kết quả của bài toán trước, hãy tính các mức tựa Fermi của
GaAs tại nhiệt độ T = 0 K với mật độ hạt tải được tiêm vào Ne = Nh =
2.1018cm-3 (khối lượng hiệu dụng trong GaAs là mc = 0,067 mo, mu =

0,46 m0). Hãy đánh giá độ chính xác của phương pháp gần đúng này ở
nhiệt độ T = 300 K và so sánh với các kết quả chính xác.

3.13. Dẫn xuất điều kiện Bernard-Duraffourg
Hãy chứng minh điều kiện Bernard-Duraffourg đối với độ khuếch
đại trong một chất bán dẫn: E’2-E’1
3.14. Các mức laser trong chất bán dẫn
Hãy dẫn biểu thức của các mức trên và dưới trong chuyển dịch laser
trong chất bán dẫn ở tần số ν 0 sao cho hν 0 > Eg. Sử dụng kết quả này để
tính các mức trên và dưới trong GaAs cho chuyển dịch có chênh lệch
năng lượng 1,45 eV [khối lượng hiệu dụng trong GaAs là mc = 0,067 m0,
mu = 0,46 m0, Eg= 1,424 eV].

3.15. Sự phụ thuộc vào tần số của độ khuếch đại của một chất bán
dẫn ngược
Hãy xem xét một chất bán dẫn ngược.
a) Cho các biểu thức giải tích của độ khuếch đại như là một hàm của
năng lượng photon tại nhiệt độ T = 0 K và hãy tìm năng lượng sao cho độ
khuếch đại lớn nhất;
b) Hãy giải thích định lượng vì sao các biểu thức này có thể biến đổi
ở nhiệt độ phòng.

3.16. Giếng lượng tử lý tưởng
Xem xét một hạt có khối lượng m trong giếng thế một chiều độ dày
L, với rào thế vô hạn tại các biên. Sử dụng các khái niệm cơ bản của cơ
học lượng tử, hãy tính các mức năng lượng gián đoạn trong giếng.

16

3.17. Độ khuếch đại vi phân của bộ khuếch đại GaAs
Với mật độ hạt tải N = 2.1018 cm-3 và năng lượng photon vượt băng
cấ m 10 MeV, thì h ệ s ố khu ế ch đại củ a GaAs có th ể tính đượ c b ằng
g = 217 cm-1. Giả sử độ trong suốt là Ntr = 1. 2.1018 cm-3, hãy tính toán
độ khuếch đại vi phân.

3.18. Độ dày của giếng lượng tử: luật xác định độ lớn
Hãy xem xét một lớp GaAs có độ dày L kẹp giữa hai lớp ngăn cách
AlGaAs tại nhiệt độ phòng (T = 300 K). Xác định độ dày lớp sao cho
hiệu ứng giam giữa lượng tử bắt đầu đóng một vai trò của các điện tử
trong vùng dẫn (khối lượng hiệu dụng trong GaAs là mc = 0,067 / m0).
[Gợi ý: hãy tính bước sóng De Broglie cho các điện tử nhiệt hóa].
4.

QUÁ TRÌNH TRUYỀN TIA VÀ SÓNG ÁNH SÁNG QUA MÔI
TRƯỜNG QUANG HỌC

4.1. Ma trận ABCD của tia truyền qua mặt cầu
Tính ma trận ABCD cho một tia sáng truyền từ môi trường chiết
suất n1 đến một môi trường chiết suất n2 qua mặt cầu có bán kính cong R
(tâm mặt cầu nằm bên phải).

4.2. Ma trận ABCD của một thấu kính mỏng
Sử dụng các kết quả tính ma trận truyền ABCD cho mặt cầu trong
bài toán 4.1, hãy tính ma trận truyền cho thấu kính mỏng (tạo thành từ
hai mặt cầu có bán kính R1 và R2 chất đầy vật liệu có chiết suất n2 nhúng
chìm trong một môi trường có chiết suất n1.

4.3. Ma trận ABCD của một mảnh thủy tinh

Tính ma trận ABCD cho một mảnh thủy tinh chiều dài L và chiết
suất n.

17


4.4. Sự phản xạ tại một giao diện bằng phẳng
Một sóng điện từ liên tục chiếu vuông góc với giao diện phẳng giữa
hai môi trường có chiết suất n1 và n2 với hướng trực giao cho các giao
diện. Rút ra các biểu thức của hệ số phản xạ và truyền qua và chứng
minh rằng tổng của cường độ phản xạ và cường độ truyền qua bằng 1.

4.5. Gương điện môi phản xạ cao
Hãy xét một tấm gương điện môi phản xạ cao được phun xen nhau
các lớp điện môi có độ dày λ/4 từ các vật liệu có chiết suất cao và thấp.
Ví dụ: TiO2 (nH = 2,28 tại 1,064 µ m) và SiO2 (nL = 1,45 tại 1,064 µm)
tương ứng được sử dụng như điện môi chiết suất cao và chiết suất thấp,
trong khi đó, đế thủy tinh BK7 (ns = 1,54 tại 1,064 µm). Hãy tính toán
thiết kế một gương quang học (lớp dày và số lượng của các lớp) sao cho
nó có hệ số phản xạ R> 99% ở bước sóng laser Nd: YAG λ0= 1064 µm.

4.6. Giao thoa kế Fabry-Perot
Một giao thoa Fabry-Perot gồm hai gương giống nhau, cách nhau
bằng lớp không khí dày L và được chiếu bởi một sóng điện từ đơn sắc có
thể điều chỉnh tần số. Từ kết quả đo sự phụ thuộc của cường độ truyền
qua vào tần số sóng vào, chúng ta thấy rằng khoảng phổ tự do của giao
thoa kế là 3×109 Hz (khoảng cách giữa hai tần số cộng hưởng liền nhau)
và độ phân giải của nó là 30 MHz. Hãy tính khoảng cách giữa hai gương
L, độ mịn và hệ số phản xạ của gương.

4.7. Giao thoa Fabry-Perot quét tần số
Một laser Nd: YAG hoạt động ở bước sóng 1,064 µm và trên 100
mode dọc cách nhau 100 MHz; hãy thiết kế một giao thoa kế Fabry-Perot
làm từ hai gương cách nhau lớp không khí có thể quét được tất cả các
mode đã cho. Chú ý thêm, nhờ đầu dò áp điện để quét tương ứng với
khoảng tần số tự do.

4.8. Hệ quang tạo ảnh
Chứng minh rằng một hệ quang học được mô tả bởi ma trận ABCD
với B = 0 có thể tạo ảnh trên mặt phẳng vào ở mặt phẳng ra với độ

18


khuếch đại A. Kiểm tra lại bằng thấu kính mỏng, khi ảnh cách thấu kính
một khoảng di và vật đặt cách thấu kính một khoảng d0 [Gợi ý: theo
quang hình học, l/d0 + 1 / di = l/f ]

4.9. Định luật ABCD cho chùm Gaussian
Xây dựng quy tắc ABCD cho chùm Gaussian, bằng cách sử dụng
chùm Gaussian của tham số phức q1:


x12 + y12 
u ( x1 , y1 , z1 ) = exp− jk

2q1 

được chuyển đổi thành chùm Gaussian sau đây:

u ( x, y , z ) =


1
x2 + y2 
exp− jk

A + B / q1
2q 


trong đó, q quan hệ với q1 qua quy tắc sau:

q=

Aq1 + B
Cq1 + D

4.10. Ống kính chuẩn trực
Một thấu kính hội tụ có tiêu cự f được đặt cách mặt thắt bán kính w0
của chùm Gaussian một khoảng d. Hãy tính biểu thức của tiêu cự f theo
các tham số w0 và d, sao cho chùm Gaussian có mặt sóng phẳng. Ngoài
ra, tìm khoảng cách từ mặt thắt sao cho tiêu cự ngắn nhất cần thiết để tạo
chùm tia song song.

4.11. Hệ thống xử lý quang học đơn giản
Hãy xem xét quá trình truyền của một chùm tia quang học với biên
độ u1(x1,y1,z1) qua một hệ quang học được tạo thành từ không gian trống
có chiều dài f, một thấu kính tiêu cự f và tiếp theo một không gian trống
có chiều dài f. Tính toán biên độ tại mặt phẳng ra của hệ. Thảo luận về

ứng dụng có thể có của hệ quang học này. (Mức độ khó cao hơn mức
trung bình).

19


4.12. Mũi khoan laser
Để ứng dụng trong gia công vật liệu, một chùm tia TEM00 ở bước
sóng λ =532 nm phát ra từ hòa âm bậc hai của laser Nd: YAG được hội tụ
bằng thấu kính tiêu cự f = 50 mm và khẩu độ số NA = 0,3. Để tránh hiệu
ứng nhiễu xạ ở mép thấu kính do quá trình thu gọn chùm tia Gaussian,
người ta thường chọn đường kính thấu kính theo tiêu chí D> 2,25 w1. Giả
sử rằng chất lượng vẫn như trong các biểu thức trên và mặt thắt chùm tia
tới nằm trên thấu kính, tức là w1 = w01. Tìm kích thước điểm hội tụ.
4.13. Máy đo xa từ Trái Đất tới Mặt Trăng bằng laser
Giả sử rằng một chùm Gaussian TEM00 phát ra từ laser ruby
( λ = 694,3 nm) được truyền qua một kính viễn vọng có đường kính 1m để
chiếu lên Mặt Trăng. Giả sử một khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng
là z = 348.000 km và sử dụng hệ thức D = 2,25 W0 giữa đường kính kính
vật và vết chùm tia, hãy tính kích thước vết trên Mặt Trăng. (Hiệu ứng
méo ảnh do khí quyển có thể là quan trọng, nhưng ở đây chúng ta bỏ qua).

4.14. Laser He-Ne
Một laser He-Ne phát ở mode cơ bản nhất TEM00 có phân bố
Gaussian tại λ = 632,8 nm với một công suất P = 5mW và được mở
rộng sao cho góc phân kỳ ở trường xa là 1 mrad. Hãy tính kích thước vết,
cường độ đỉnh và điện trường đỉnh tại điểm thắt.

4.15. Laser Argon
Một chùm Gaussian TEM00 từ laser Argon bước sóng λ = 514,5 nm có

công suất ra bằng 1 W được gửi tới một mục tiêu ở khoảng cách L = 500 m.
Giả sử chùm tia xuất phát từ mặt thắt của nó, hãy tìm thấy kích thước của
vết bảo đảm cường độ đỉnh lớn nhất tại mục tiêu và tính cường độ này.

4.16. Gaussian chùm lan truyền qua hệ thống quang học
Cho một chùm tia Gaussian có kích thước mặt thắt w1 và bán kính
cong R1 lan truyền qua một hệ quang học được mô tả bởi ma trận thực
ABCD, hãy tính kích thước vết w tại mặt phẳng ra. (Mức độ khó cao hơn
mức trung bình).

20


4.17. Bảo toàn năng lượng của chùm Gaussian
Chứng minh rằng, một chùm Gaussian truyền qua một hệ quang
được mô tả bởi ma trận thực ABCD thì cường độ của nó được bảo toàn.
(Mức độ khó cao hơn mức trung bình).

4.18. Khẩu độ “mềm” hoặc khẩu độ Gaussian
Tính ABCD ma trận cho khe tròn “mềm” hay khe tròn Gaussian với
độ truyền qua sau:

 x2 + y2 
t ( x, y ) = exp−

ω a2 

Với ωa là một hằng số.
4.19. Mặt thắt của hệ tạo ảnh
Tìm các điều kiện sao cho một hệ quang, mô tả bởi ma trận ABCD

biến đổi một chùm Gaussian với kích thước mặt thắt W01 ở đầu vào thành
chùm với kích thước mặt thắt w02 ở đầu ra.

4.20. Biến đổi chùm Gaussian bởi một thấu kính
Sử dụng các kết quả của các bài toán trước để thảo luận về việc biến
đổi chùm Gaussian với kích thước mặt thắt wo bằng thấu kính tiêu cự f
cách mặt thắt một khoảng d1 > f.

4.21. Hội tụ chùm Gaussian bên trong một mảnh thủy tinh.
Hãy xem xét một chùm Gaussian với kích thước mặt thắt w01 và
mặt đầu sóng phẳng truyền vào một thấu kính tiêu cự f (giả sử ZR1 >> f).
Một khối thủy tinh dài với chiết suất n được đặt ở một khoảng cách L < f.
5. BỘ CỘNG HƯỞNG QUANG HỌC THỤ ĐỘNG

5.1. Ổn định của buồng cộng hưởng gương cầu lõm
Xét một buồng cộng hưởng cấu tạo từ hai gương cầu lõm
(R1> 0,R2 >0) đặt cách nhau một khoảng L. Hãy tìm giá trị của độ dài

21


buồng cộng hưởng L sao cho buồng cộng hưởng là ổn định. Khoảng ổn
định của buồng cộng hưởng từ hai gương cầu lồi là bao nhiêu?

5.2. Tính ổn định của buồng cộng hưởng gồm một gương cầu lồi và
một gương cầu lõm
Xét một buồng cộng hưởng tạo bởi một gương cầu lồi (bán kính
R1 < 0) và một gương cầu lõm (bán kính R2 > 0) cách nhau một khoảng
L. Tìm giá trị của độ dài buồng cộng hưởng L sao cho buồng cộng
hưởng là ổn định (xét cả các trường hợp R1 > R2 và R1 < R2 ).

5.3. Buồng cộng hưởng đơn giản với hai gương
Một buồng cộng hưởng tạo từ 2 gương. Một gương cầu lồi có bán
kính R1 = 1m và một gương cầu lõm có bán kính R2 = 1,5 m. Khoảng
cách lớn nhất giữa hai gương có thể là bao nhiêu để bộ cộng hưởng vẫn
giữ được tính ổn định?

5.4. Số mode dọc của buồng cộng hưởng
Xét hoạt chất laser Nd: YAG (chiết suất n = 1,82, ∆υ = 120 GHz)
120 GHz).
(a) Đầu tiên, xét một buồng cộng hưởng với chiều dài L = 50 cm, sử
dụng thanh hoạt chất có chiều dài l = 10 cm. Hãy tìm số modes dọc
trong độ rộng FWHM của vạch khuếch đại.
(b) Sau đó, xét một buồng cộng hưởng với các gương là lớp phủ trực
tiếp lên bề mặt của hoạt chất (vi mạch laser). Tìm chiều dài l của hoạt
chất sao cho laser hoạt động với một mode dọc duy nhất.

5.5. Buồng cộng hưởng của laser Argon
Xét một buồng cộng hưởng được cấu tạo bởi hai gương cầu lõm với
bán kính gương bằng nhau và bằng 4 m, cách nhau một khoảng là 1 m.
(a) Hãy tính kích thước vết của mode TEM ∞ tại trung tâm của
buồng cộng hưởng và trên các gương khi laser Ar+ dao động với bước
sóng λ Ar = 0,514µm .

22


(b) Hãy tính kích thước vết trên gương nếu gương M1 được thay thế
bằng một gương phẳng.

5.6. Buồng cộng hưởng cho laser CO2
Tính tương tự như câu (a) trong bài 5.5 cho laser CO2 dao động ở
bước sóng λCO2 = 10,6 µm .

5.7. Buồng cộng hưởng bằng gương gần phẳng
Xét một buồng cộng hưởng làm bằng hai gương phẳng đặt đối xứng
nhau có bán kính là R1= R2 = R, đặt cách nhau một khoảng L với L < < R.
(a) Hãy tìm biểu thức gần đúng cho kích thước vết tại mặt thắt và
trên gương.
(b) Hãy tính kích thước vết cho dao động cộng hưởng ở bước sóng
λ = 514 nm (bước sóng laser Argon ) với L = 1 m và R = 8 m.
(c) So sánh kết quả thu được với buồng cộng hưởng đồng tiêu có
cùng chiều dài.

5.8. Lọc mode đơn trong laser He-Ne
Xét laser He-Ne, dao động ở bước sóng λ = 0,633 µm và có buồng
cộ ng hưởng đồ ng tiêu v ới hai gương đố i x ứng và bán kính gươ ng là
R = 0,5 m. Giả sử rằng các kích thước vỏ ống chứa khí He-Ne được xem
như một khe tròn bán kính a đặt tại gương. Nếu hệ số khuếch đại là 2.10-2,
hãy tính bán kính a cần thiết để laser dập tắt được mode TEM01.

5.9. Kích thước vết trên gương của buồng cộng hưởng ổn định
Xét chung đối với một buồng cộng hưởng ổn định.
(a) Hãy tìm biểu thức kích thước vết trên gương như là một hàm của
các hệ số lan truyền A1, B1, C1 và D1;
(b) Hãy chứng tỏ buồng cộng hưởng ổn định ở giá trị giới hạn khi
một trong các hệ số A1, B1, C1 hoặc D1 bằng không;
(c) Hãy đánh giá kích thước vết trên gương tương ứng với bốn giá trị
giới hạn.

23


5.10. Buồng cộng hưởng phẳng-lõm
Xét một buồng cộng hưởng phẳng-lõm được cấu tạo từ một gương
phẳng và một gương cầu lõm bán kính R đặt cách nhau một khoảng L.
Hãy tính kích thước vết các mode ngang trên hai gương.

5.11. Buồng cộng hưởng tựa đồng tâm
Xét một buồng cộng hưởng tựa đồng tâm tạo bởi hai gương cầu lõm
có bán kính R cách nhau bởi một khoảng L = 2 R − ∆L . Hãy tìm biểu
thức miêu tả cho kích thước vết tại mặt thắt và trên các gương như hàm
của L và ∆L .

5.12. Các sinh viên thực tập không may mắn
Một sinh viên thực tập được thầy hướng dẫn thiết kế một laser với
một buồng cộng hưởng đồng tiêu sử dụng hai gương có bán kính cong
R = 200 mm. Không may, do lỗi sản xuất, bán kính cong của hai gương
là R1 = R + ∆R, R2 = R − ∆R, với ∆R = 3 mm. Sau nhiều đêm thức trắng
và lãng phí thời gian trong phòng thí nghiệm để cố gắng thử tinh chỉnh
cho laser hoạt động tại khoảng cách đồng tiêu L = 200 mm, cậu sinh
viên thấy rằng laser sẽ hoạt động nếu chỉnh hai gương xa hơn hoặc gần
hơn vị trí đồng tiêu một ít. Hãy giải thích kết quả này và tìm khoảng cách
của gương mà ở đó laser bắt đầu hoạt động.

5.13. Buồng cộng hưởng chứa thấu kính
Buồng cộng hưởng gồm có hai gương phẳng với thấu kính được đặt
vào giữa chúng. Nếu thấu kính có tiêu cự là f , và L1, L2 là khoảng cách
từ hai gương tới thấu kính, hãy tìm tiêu cự f sao cho buồng cộng hưởng
ổn định.

5.14. Buồng cộng hưởng cho laser YAG liên tục
Trong laser YAG liên tục công suất cao với thanh hoạt chất hình trụ,
do quá trình bơm gây nên hiệu ứng nhiệt, nên thanh hoạt chất có thể trở
thành thấu kính nhiệt có số điôp tỉ lệ thuận với công suất
bơm, l/f = k Ppump. Xét một buồng cộng hưởng đơn giản cho laser này,

24


gồm hai gưởng phẳng cách nhau thanh hoạt chất tương ứng L1 = 0,5 m,
L2 = 1 m. Giả sử k = 0,5 m-1 kW-1 và sử dụng kết quả của các bài toán
trước, hãy tính vùng công suất sao cho buồng cộng hưởng này ổn định.

Hình 5.1: Sơ đồ biểu diễn buồng cộng hưởng sử dụng laser sapphire (a)
và biểu diễn tương đương (b).

5.15. Buồng cộng hưởng cho laser Ti: saphia
Một laser Ti: saphia liên tục điển hình, thông thường sử dụng buồng
cộng hưởng bốn gương như trong hình 5.1(a), với hai gương phẳng cuối
và hai gương cong tạo quang lộ gấp. Hai mặt song song cuối của thanh
hoạt chất Ti: saphia được cắt góc Brewster và đặt giữa hai gương cầu.
Bỏ qua loạn thị gây ra bởi hai gương cầu và bởi hoạt chất, buồng cộng
hưởng có thể được biểu diễn như trong hình 5.1 (b), với hai thấu kính bên
trong tiêu cự f cách nhau một khoảng z . Giả thiết các thông số sau đây,
đặc trưng của một laser Ti: saphia khóa mode kiểu Kerr: L1 = 500 mm,
L2 = 1000 mm, f = 50 mm. Hãy tìm các giá trị của khoảng cách z giữa
hai gương cầu sao cho buồng cộng hưởng ổn định, biết rằng các điều
kiện ổn định, dưới dạng những phần tử ma trận một chiều
( A1 , B1 , C1 , D1 ) , có thể được viết như 0 < A1D1 < 1 .

5.16. Vị trí của mặt thắt trong buồng cộng hưởng ổn định
Xét một buồng cộng hưởng ổn định gồm hai gương, có bán kính R1
và R2 , cách nhau bởi một khoảng cách L . Hãy tìm vị trí của mặt thắt
chùm sáng của mode cơ bản của buồng cộng hưởng.

25