TICH PHAN HAM PHAN THUC HUU TY

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
NĂM HỌC 2018-2019
(ĐỀ SỐ 01)
------------------------------------------------Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề)

A. LÝ THUYẾT
Tìm ngun hàm

P  x

b

P  x

 Q  x  dx hoặc tính tích phân  Q  x  dx với P  x  , Q  x  là các đa thức.
a

Ta căn cứ vào bậc của tử và mẫu; cùng dạng của mẫu
* Bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu dùng phép chia đa thức.
* Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, thực hiên theo 3 khả năng sau:

P  x

b



   x  x  x  x  ... x  x  dx phân tích
a

1

2

n

P  x



  x  x1  x  x2  ...  x  xn 
P  x

b



An
A1
A2

 ... 
x  x1 x  x2
x  xn

   x  x  x  x  ... x  x  ... x  x  dx phân tích
s

a

1

2

k

n

P  x

  x  x1  x  x2  ...  x  xk  ...  x  xn 
s



 A
Ak 2
Aks 
An
A1
 ..   k1 

...

  ... 
2
s

x  x1
x  xk  x  xk 
x  xn
 x  xk  


P  x

b



   x  x  x  x  ... mx
a

1

2

2

 nx  p  ...  x  xn 

P  x

  x  x1  x  x2  ...  mx 2  nx  p  ...  x  xn 
Chẳng hạn:
P  x





dx phân tích

An
 Ax  B 
A1
 ...   2
 ... 

x  x1
x  xn
 mx  nx  p 

A
B

x a x b

 x  a  x  b 
P  x
A
B
C



 x  a  x  b  x  c  x  a x  b x  c
P  x

A
B
C



2
2
 x  a  x  b  x  a x  b  x  b 
P  x
A
Bx  C

 2
,   b2  4ac  0
2
 x  m   ax  bx  c  x  m ax  bx  c

1 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT
ĐẶC BIỆT:

1

 x  a  x  b 



Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

1  1
1 



a b x a x b

CÁC NGUYÊN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ CẦN GHI NHỚ
du

 ln u  C .
u
1
1

dx  ln ax  b  C .
ax  b
a
1
1

dx 
C.
n
n 1
a  n  1 ax  b 
 ax  b 

1
1
xa
dx 
ln
C
2
2a x  a
a



x



  x  a  x  b  dx  a  b ln

2

1

1

xa
C .
x b

1
1

x
dx  arctan  C .
2
a
a
a
 ax  b 
arctan 

1
 c  C.

dx

2
ac
 ax  b   c 2



x

2



u

2

du
1
u
 arctan  C .
2
a
a
a

mx  n
dx  b2  4ac  0  .
 bx  c
m
bm
Phân tích mx  n 
 2ax  b   n  .
2a
2a

DẠNG NGUYÊN HÀM

 ax

2

2
mx  n
m d  ax  bx  c  
bm 
dx

Khi đó  2
.
dx 
 n 
 2
2

2a
2a  ax  bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c


B. ĐỀ THI ONLINE
1

Câu 1.

 1

1 

  x  1  x  2 dx  a ln 2  b ln 3 với

[2D3-2] Cho

a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới

0

đây đúng:
A. a  b  2 .

B. a  2b  0 .

C. a  b  2 .

D. a  2b  0 .

Lờ
1
1
 x  1
1 
1
1
2
1
 1

d
x

d
x

0  x  1 x  2  0 x  1 0 x  2dx  l n  x  2  ln 3  ln 2  2ln 2  ln 3
0

1

1

 a  2; b  1
2

Câu 2.

[2D3-2] Tính

2

 2 x  1dx .
0

2 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TỐN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

1
B. I  ln 5 .
2

A. I  2ln 5 .

C. I  ln 5 .

D. I  4ln 5 .

Lờ
2

2

2
2
1
0 2 x  1dx  0 2 x  1d  2 x  1  l n  2 x  1 0  ln 5  ln1  ln 5 .
1

Câu 3.



  x

[2D3-2] Cho

2

 2x 1 

0

1 
dx  a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính

x2

S  a bc
A. S  1 .

1
C. S  .
3

B. S  3 .

D. S 

7
.
3

Lờ
C
1

 x3

1 
1
 2
2
0  x  2 x  1  x  2 dx   3  x  x  ln  x  2   3  ln 2  ln 3
0
1

 a  ; b  1; c  1 .
3
1

2

Câu 4.

[2D3-2] Cho



x  x 2  1
x2

1

A. S  1 .

dx 

a
 b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c .
3
1
C. S  .
3

B. S  3 .

D. S 

7
.
3

Lờ
A
2

Ta có


1

x  x 2  1

6 

dx    x 2  2 x  3 
 dx
x2
x2
1
2

2

 x3


7
   x 2  3x  6ln  x  2     12ln 2  6ln 3 .
3
1 3
Như vậy a  7 , b  12 và c  6 . Nên S  a  b  c  7   12   6  1 .
2

Câu 5.

[2D3-2] Cho

 1

1 

  x  1  x  2  dx  a ln 2  b ln 3

với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới

0

đây đúng?
A. a  b  0 .

B. 2a  b  0 .

C. a  2b  0 .
Lời gi

D. a  b  2 .

D
Ta có
2
2
2
2
2
1 
 1
 1 
 1 
0  x  1  x  2  dx  0  x  1  dx  0  x  2  dx  ln  x  1 0  ln  x  2 0

  ln 3  ln1   ln 4  ln 2   ln 2  ln 3 .

Như vậy a  1 , b  1 . Nên a  b  2 .

3 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TỐN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

1 

 1
Cho  


dx  a ln 2  b ln 3  với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c .
2 
x  2 1 x 
c
0
1

Câu 6.

A. S  6 .

B. S  4 .

C. S  6 .

D. S  4 .

Lời gi i
Ch n B
1
1
1
1 
1
1
 1
Ta có  

d

x

d
x

dx .
2 


x  2 1 x 
x2
1  x2
0
0
0
1

 x  2 dx   ln x  2 
1

1
0

 ln 3  ln 2

0

1

1

dx . Đặt x  tan t  dx   tan 2 t  1 dt
2
1 x
0

I 





4
1
1

2
Khi đó I  
dx  
1  tan t  dt   dt  .
2
2 
1 x
1  tan t
4
0
0
0
1

4

1 

 1

dx   ln 2  ln 3   a  1 , b  1 , c  4 .
Nên  
2 
x  2 1 x 
4
0
1

Do đó S  a  b  c  1 1  4  4
1

Câu 7.

Cho

x

2

0

3x  1
a 5
a
là phân số tối

dx  3ln  trong đó a, b . là hai số nguyên dương và
 6x  9
b 6
b

giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ab  5 .
B. ab  27 .

C. ab  6 .

D. ab  12 .

Lời gi i
Ch n D
1
1
1
3  x  3  10
3x  1
1
1
dx  
Ta có  2
dx  3.
dx  10
dx .
2
2
x  6x  9

x3
 x  3
0
0
0
0  x  3
1

1

10 
10
10
4 5

  3ln x  3 
 3ln  .
  3ln 4   3ln 3 
x30
4
3
3 6


Suy ra: a  4, b  3 . Nên S  ab  12 .
0

Câu 8.

Cho

x

2

1

dx
 a

trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính S  b  a .
 2x  4
b

A. S  15 .

B. S  12 .

C. S  9 .

D. S  21 .

Lời gi i
Ch n A
0

Ta có:

0

dx
dx
1 x2  2 x  4  1  x  12  3 .

4 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

Đặt: x  1  3 tan t . Đổi cận x  1  t  0 , x  0  t 

0

Nên

6

dx
1 x2  2 x  4  0

3 1  tan 2 t  dt
3 1  tan t 
2


6

.


6


0

3
3
.
dt 
3
18

Suy ra: a  3; b  18 nên S  b  a  15 .
Câu 9.

1
1
1 
Cho  

 dx  a  b ln 2  c ln 3 . Tính S  a  b  c .
 x  2  x  2 2 
0

1
11
13

A. S   .
B. S  .
C. S  2 .
D. S   .
6
6
6
Lời gi i
Ch n A
1
1
1
1
1 
1 
1 
1


Ta có  

  ln 3     ln 2      ln 2  ln 3 .
 dx   ln x  2 

2
 x  2  x  2 
x20 
6
3 
2


0

1

a   6

1
Nên b  1  S  a  b  c   .
6
c  1


5

Câu 10. Cho

1

 2 x  1 dx  ln c . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1

A. c  9 .

B. c  3 .

C. c  81 .
Lời gi i

D. c  8 .

Ch n B
5

5

1
1
1
1
dx  ln 2 x  1   ln 9  ln1  ln 9  ln 3 .
Ta có 
2x 1
2
2
2
1
1
Vậy c  3 .
m

Câu 11. Cho m  0 và
A. m  2 .

x2
1
0 x  1 dx  ln 2  2 . Mệnh đề nào dưới đây đú
B. m  1 .

C. m  4 .

?
D. m 

1
.
2

Lời gi i
Ch n B
Ta có:
m

 x2

x2
1 
1
m2

d
x

x

1

d
x


 m  ln  m  1  ln 2   m  1


x

ln
x

1



0 x  1 0 
x 1 
2
2
 2
0
1
m2
 m  ln  m  1 đồng biến trên  0;    và f 1  ln 2  .
Do hàm số f  m  
2
2
m

m

5 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TỐN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

Câu 12. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
nào dưới đây đú ?
9
3
A. F  2    5ln .
2
4
C. F  2   5ln 3  10ln 2 .

x 2  3x  3
thoả mãn F 1  2 . Mệnh đề
x2

9
4
 5ln .
2
3
D. F  2   5ln 3  10ln 2 .
Lời gi i
B. F  2  

Ch n A

x2
5 

Ta có F  x    f  x  dx    x  1 

 x  5ln x  2  C .
d
x

2
x2

1
1
F 1   1  5ln 3  C  2  C  5ln 3  .
2
2
2
2
1 9
3
Vậy F  2    2  5ln 4  5ln 3    5ln .
2
2 2
4
3

Câu 13. Cho

x

2

2

x
dx  a ln 2  b ln 3 trong đó a, b  Q. Khi đó a và b đồng thời là hai nghiệm của
1

phương trình nào dưới đây?
A. x2  4 x  3  0.

B. x 2  2 x 

3
 0.
4

C. x 2  x 

3
 0.
4

D. x2  2 x  3  0.

Lời gi i
Ch n B
Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx 

dt

 xdx
2

Đổi cận

x
t
3

Khi đó

3
8

2
3
8

8
x
1 dt 1
1
1
3
1
2 x2  1 dx  2 3 t  2 ln t 3  2 ln 8  2 ln 3  2 ln 2  2 ln 3.

3

x


3
3
1
2
2
Suy ra a  , b  mà x  2 x   0  
4
2
2
x  1

2
Câu 14. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f  x  





1
A. F  x   ln x 2  2 x  1  5. .
2
1
C. F  x    ln  4  4 x   3.
4

1
?
1 x

B. F  x    ln  2 x  2   4.
D. F  x   ln 1  x   2. .
Lời gi i

Ch n B
F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  

1
khi F '  x   f  x 
1 x

6 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT
Mà theo đáp án B ta có F '  x   
5

Câu 15. Biết

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

1
1
.2 
.
2x  2
1 x

1

 x  x  1 dx  a  b ln 2  c ln 5. Tính tổng S  a  b  c.
2

2

A. S 

3
.
10

B. S  3.

C. S 

13
10

D. S  

7
.
10

Lời gi i
Ch n C

5

5
5
 x   x  1
1
x
x 1
dx

dx

dx

dx
Ta có  2
2
2
2



x
x

1
x
x

1
x
x


1
x
x

1








2
2
2
2
5

5

5
5
1
1
1 
1
 1
1


dx   2 dx    
 dx   2 dx   ln x 2  ln x  1 2   
x  x  1
x
x x 1 
x
 x2
2
2
2
2
5

5

5

5

5

3
1
1 1
  ln x 2  ln x  1 2       ln 5  ln 2    ln 6  ln 3      2ln 2  ln 5  .
10
 x2
5 2
3

Suy ra a  , b  2, c  1.
10
3
13
Vậy S   2  1  .
10
10
5

5

1

Câu 16.

[2D3-2] Cho

x3
1
1
0 x2  1 dx  2  a  1 ln 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a  1 .

B. a  2 .

C. a  0 .

D. a  3 .

Lờ
1

1
 x2 1

x3
x 
1 1
1 1

Ta có:  2
dx    x  2  dx    ln x 2  1     ln 2  ln1   ln 2.
x 1
x 1 
2 2
 2 2
0 2 2
0
0
1

Vậy a  1  2  a  1 .
e

Câu 17. [2D3-2] Cho

x

3

1

1
dx  a ln  e2  1  b ln 2  c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính S  a  b  c
x

.
A. S  1 .

B. S  1 .

C. S  0 .

D. S  2 .

Lờ
A

1
x 
1
1
1
1


dx     2  dx   ln x  ln x 2  1  1e  1  ln  e2  1  ln 2 .
Ta có  3
x x

x x 1 
2
2
2


1
1
1
1
Vậy a   ; b  ; c  1 suy ra S  1 .
2
2
e

e

4

Câu 18. [2D3-2] Cho

x
3

A. S  2 .

2

2x  3
dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5  d ln 7 .Tính S  a  b  c  d .

 4x  3
B. S  2 .

C. S  4 .

D. S  4 .

Lờ
A
7 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

Cách 1:

1

A

A  B  2
2x  3
A
B

2
Ta có: 2



 A  x  3  B  x  1  2 x  3  

2
A

B

3
3
x  4x  3 x 1 x  3

B 


2
Vì vậy
4
4
4
 1

2x  3
3
3
1

3 x2  4 x  3 dx  3  2  x  1  2  x  3  dx   2 ln x  1  2 ln x  3  3



5
3
1
3
  ln 2  ln 3  ln 5  ln 7  S  2 .
2
2
2
2
Cách 2:
2

  22 x 3 dx 
 x2  4 x 3
1715 5.73
x  4 x 3 
a b c d
a b c d 2
3
2 .3 .5 .7  e
 1, 40888   2 .3 .5 .7    e 3




864 25.33


5

3
1
3
 22 a 5.32b3.52c 1.72 d 3  1  a   , b   , c  , d   S  2 .
2
2
2
2
4
dx
Câu 19. [2D3-2] Cho  2
 a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên .Tính S  a  b  c .
x x
3
4

2 x 3

4

dx

B. S  2 .

A. S  6 .

C. S  0 .

D. S  4 .

Lờ
B
Ta có:
4
4
4
dx
1 
1


dx

ln
x

ln
x

1
 ln 4  ln 3   ln 5  ln 4   4ln 2  ln 3  ln 5 .




3 x2  x 3  x x  1 
3
Vậy a  4, b  1, c  1  S  4  1 1  2 .
1

Câu 20. [2D3-2] Cho

 1

2 

  x  1  x  2  dx  a ln 2  b ln 3

với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới

0

đây đúng? .
A. a  b  5 .

B. a  b  17 .

C. a  b  1.

D. a  b  1 .

Lờ
1

2 
 1

Ta có:  
 dx   ln x  1  2ln x  2    ln 2  ln1  2  ln 3  ln 2   3ln 2  2ln 3
x 1 x 1 

0
0
vậy a  3, b  2  a  b  1 .
1

Câu 21.

Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

1
và F  2   1 . Mệnh đề nào dưới đây
x 1

đúng?
A. F  3  ln 2  1 .

B. F  3  ln 2  1 .

C. F  3 

1
.
2

D. F  3 

7
4

Lờ

B
3

3

2

2

Ta có F  3  F  2    f  x  dx  

1
dx  ln x  1 |32  ln 2  ln1  ln 2  F  3  ln 2  1
x 1

8 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TỐN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

Vậy, F  3  ln 2  1 .

x2  6
1 x2 dx  6 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a

Câu 22. Cho a  1 và

A. 1  a  2 .

B. 2  a  4 .

C. 4  a  5 .

D. 5  a  9

Lờ
B
a

x2  6
6
6
6  6
6


Ta có  2 dx   (1  2 )dx=  x     a    1    a   5
x
x
x 1 
a  1
a

1
1
6
Vậy, a   5  6  a  3  2;4 

a
a

a

6  10
2



Câu 23. Cho

1

x2  1
 a
.Trong đó a; b là số ngun dương.Tính S  b  a
dx 
4
x 1
b

A. S  1 .

B. S  2 .

C. S  3 .

D. S  4

Lờ
Ta có

1

1
dx 
x
1
x

1
1  1 2  2 arctan 2x
x  2
1
x

Vậy, a  2; b  6  S  b  a  4 .
6  10
2

1
1 2
x dx 
1
2
x  2
x

6  10

2

6  10
2



 2
6

1
2

Câu 24. Cho

b
x2  x  1
1
b
0 x  1 dx  a  ln c .Trong đó a; b, c là số nguyên dương và c tối giản.

Tính S  a  b  c
A. S  9 .

B. S  10 .

C. S  13 .

D. S  11

Lờ
1
2

Ta có


0

1
2

1
2

x

x  x 1
1 
1
3

dx    x 
dx=   ln x  1    ln
x 1
x 1 
2
 2
0 8
0

2

2

Vậy, a  8; b  3; c  2  S  a  b  c  13 .

4x  5

2

Câu 25. Cho

 x  2 x  3dx  a  b ln 2  c ln 5  d ln 7 .Trong đó a; b, c; d
2

là số hữu tỷ.

1

Tính S  a  b  c  d
19
A. S   .
18

B. S 

19
.
18

C. S 

7
.
6

D. S  

7
6

Lờ
B
9 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

Ta có
4x  5
A
B C
4
2
5

  2  A   ; B  ;C 

2
x  2 x  3 2x  3 x x
9
9
3
2

4x  5
4
2
5
2
5 
 2
1 x2  2 x  3dx  1 ( 9  2x  3  9x  3x 2 )dx=   9 ln 2x  3  9 ln x  3x  1
2

2

2
2
2
5
  ln 7  ln 5  ln 2 
9
9
9
6
5 2 2 2 19
Vậy, S  a  b  c  d      .

6 9 9 9 18
2
2
 x  3x  15
dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c .
Câu 26. Cho 
2
1 x x  3x  5





A. S  5 .

B. S  5 .

C. S  3 .

D. S  3 .

Lời gi i
Ch n D
Ta có

 x 2  3x  15 A
Bx  C
.
  2
2

x x  3x  5
x x  3x  5





 A  B  1
A  3


Biến đổi ta được  x  3x  15  A  x  3x  5  x  Bx  C   3 A  C  3   B  4 .
5 A  15
C  6


Vì vậy:
2
2
2
 2  2 x  3 3 
 x 2  3x  15
2
dx


dx

3ln
x


2ln
x

3
x

5
 3ln 2  2ln 3  2ln 5 .


2
1 x x2  3x  5
1  x  3x  5 x 
1
2



2







Vậy A  3  2  2   3 .
2

Câu 27. Cho

x
1

2x
dx  a ln 2  b ln 5 với a, b là các số nguyên. Tính S  a  b .
4

2

A. S  2 .
Ch n B

B. S  1 .



C. S  3 .
Lời gi i

D. S  2 .



1 d x2  4
1
2x
2
dx  


ln
x

4
 ln 5  ln 4  2ln 2  ln 5 .
Ta có  2
0
x 4
x2  4
1
0
2

Vậy S  2  1  1 .

2x  2 
 1
 2
Câu 28. Cho  
 dx  a ln 2  b ln 3 với a, b là các số nguyên. Tính S  a  b .
x

2
x

2
x

3



0
1

A. S  2 .

B. S  1 .

C. S  3 .
Lời gi i

D. S  2 .

Ch n B

10 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

Ta có





2
1
d  x  2 1 d x  2x  3
2x  2 
 1
2
0  x  2  x2  2 x  3  dx  0 x  2  0 x2  2 x  3  ln x  2  ln x  2 x  3
1





1
0

  ln 3  ln 2    ln 6  ln 3  2ln 2  ln 3 .
Vậy S  2  1  1 .

2x 1 
 1
Câu 29. Cho  
 2
 dx  a ln 2  b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
x 1 x  x 1 
0
1

đúng?
A. a  b  0 .

B. a  b  2 .

C. a  b  1 .
Lời gi i

D. a  b  2 .

Ch n A
Ta có:

 1

1

  x  1  x
0

2x 1 
2
 dx  ln x  1  ln x  x  1
 x 1 



2



1

0

  ln 2  ln1   ln 3  ln1  ln 2  ln 3

Vậy a  1, b  1 và a  b  0 .
3

Câu 30. Cho

1

  x  x
1

1 
 ln 3
với a, b là các số nguyên. Tính S  a  b .
 dx  
1 
a
b

2

A. S  10 .

B. S  14 .

C. S  4 .
Lời gi i

D. S  8 .

Ch n A
Ta có:
3

1

  x  x

1 
 dx   ln x  arctan x 
1 

2

1

3
1

1

ln 3
 ln 3  arctan 3  arctan1 

.
2
12 2





Vậy a  12, b  2 và S  10 .
2x  3
 3
với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c .
dx  a ln 2  b ln 3 
 2x  4
c
1
A. S  7 .
B. S  17 .
C. S  19 .
D. S  5 .
Lời gi i
Ch n C
0
0
0
2x  3
2x  2
1
dx   2
dx  
dx
Ta có:  2
2

2
x

2
x

4
x

2
x

4
1
1
1  x  1 
3
0

Câu 31. Cho

x

2

 

0

1

x 1 
1 
1


  ln x 2  2 x  4 
arctan
 arctan 0 
  ln 4  ln 3 
 arctan
3
3  1
3
3



 2ln 2  ln 3 

 3

.
18
Vậy a  2, b  1, c  18  S  19 .

11 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TỐN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

x 1
 ln 2
với a, b là các số nguyên. Tính S  a  b .
dx  
 2x  2
a
b
0
A. S  0 .
B. S  4 .
C. S  6 .
D. S  2 .
Lời gi i
Ch n A
1
1
1
1
1
(2 x  2)  2
x 1
1
2x  2
1
2
Ta có:  2
dx   2

dx   2
dx  2
dx
2
x  2x  2
x  2x  2
2 0 x  2x  2
0
0
0  x  1  1
1

Câu 32. Cho

x

2

1

1
 ln 2 
1

  ln x 2  2 x  2  2arctan  x  1    ln1  ln 2   2  arctan 0  arctan  1  
 .
2
2
2
0 2

Vậy a  2, b  2  S  0 .
1

Câu 33. Cho

x

2

0

3x  1
a
dx   b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
 4x  4
6

đúng?
A. abc  63 .

B. abc  42 .

C. abc  42 .
Lời gi i

D. abc  63 .

Ch n D

3

1
1
1
 2x  4  7
3x  1
3
2x  4
1
Ta có:  2
dx   2 2
dx   2
dx  7 
dx
2
x  4x  4
x  4x  4
2 0 x  4x  4
0
0
0  x  2
1

1

7 
3
3
 1 1  7
  ln x 2  4 x  4 
 3ln 2  3ln 3 .

   ln 9  ln 4   7    
x20 2
2
3 2 6
Vậy a  7, b  3, c  3  abc  63 .
3x  4
dx  a ln 2  b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 3x  2
0
A. ab  1 .
B. ab  2 .
C. ab  1 .
D. ab  2 .
Lời gi i
Ch n B
1
1
1
2  x  1   x  2 
3x  4
2 
 1
Ta có:  2
dx  
dx   
+
 dx
x

3

x

2
x

1
x

2
x

1
x

2





0
0
0
1

Câu 34. Cho

x

2

  ln x  1  2ln x  2    ln 2  ln1  2  ln 3  ln 2    ln 2  2ln 3 .
1

0

Vậy a  1, b  2  ab  2 .;
x

dx  với a là số nguyên dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
a
0
A. a  2 .
B. a  16 .
C. a  8 .
D. a  4 .
Lời gi i
Ch n C
1
1
1
d  x2 
x
1
1
1

2
 arctan  x    arctan1  arctan 0   .

Ta có:  4 dx  
2
2
2
x 1
2 0  x  1 2
2
8
0
0
1

Câu 35. Cho

x

4

Vậy a  8 .

12 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT
1

Câu 36. Cho

ỉ 1

ị çççè x + 1 +
0

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

ư
3 ÷
dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây
÷
ø
x + 2÷

đú ?
A. a + b = 1 .

B. a + b = 5 .

C. a + b = - 1 .
Lời gi i

D. a + b = 2 .

Ch n A
1

ổ 1

ũ ỗỗỗố x + 1 +
0

1
3 ư
÷
dx
=
ln
x
+
1
+
3ln
x
+
2
= - 2ln 2 + 3ln 3 = a ln 2 + b ln 3
(
)
÷
÷
0
x + 2ø

Suy ra: a = - 2; b = 3 Þ a + b = 1
1

Câu 37. Cho

òx

2x + 3
p
dx = a ln 2 + với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đú
+ 2x + 5
b

2

- 1

A. a - 4b = 0 .

B. 8a + b = 0 .

C. a + 4b = 0 .
Lời gi i

?

D. 8a - b = 0 .

Ch n D
1

ò
- 1

2x + 3
dx =
2

x + 2x + 5
1

Xét:

òx

2

- 1

ò
- 1

1

2x + 2 + 1
2x + 2
dx = ò 2
dx +
2
x + 2x + 5
x
+
2
x
+
5
- 1

1

1

ò (x + 1) + 4 dx
2

- 1

1
2x + 2
dx = ln (x 2 + 2 x + 5) = ln 2
- 1
+ 2x + 5

1

Xét:

1

1

ò (x + 1) + 4dx
2

- 1

ỉ p pư
2

Đặt x + 1 = 2 tan t , t ẻ ỗỗ- ; ữ
ữ
ữ, dx = 2(1+ tan t )dt
ỗố 2 2 ứ

p
i cn:
4
x = - 1ị t = 0
x = 1Þ t =

1

p
4

1

ị (x + 1) + 4dx = ò
2

- 1

0

1

Vậy:

òx

- 1

2

2 (1 + tan 2 t )dt
2

4 tan t + 4

p
4

=

1
p
dt =
ò
2 0
8

2x + 3
p
p
dx = ln 2 + = a ln 2 + Þ a = 1, b = 8 ; 8a - b = 0
+ 2x + 5
8
b

x 2  3x  2

a  b ln 2
a
với a , b , c là các số nguyên và
tối giản. Tính
0 x  1 dx  2
c
S  a bc.
A. S  15 .
B. S  11 .
C. S  13 .
D. S  18 .
Lời gi i
Ch n A
1

Câu 38. Cho

1

1
  x2

x 2  3x  2
4 
5  8ln 2

.
dx

x


2

dx


2
x

4ln
x

1


 


0 x  1
0 
x 1 
2

 2
1

0

Vậy a  5 , b  8 , c  2 và S  15 .
13 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN

DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT
1

Câu 39. Cho

x

2

0

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

1
ln 2
.
dx 
9
a

A. a  6 .

B. a  3 .

C. a  6 .
Lời gi i

D. a  3 .

Ch n C
1

1
1
 1 x 3 
1
1  1
1 
1
1
Ta có  2 dx  
dx   

  ln 2 .
dx   ln

x 9
6 0  x 3 x 3
x  3 x  3
6
 6 x3 0
0
0 
Vậy a  6
1
2 x  10
Câu 40. Cho  2

dx   a  ln b với a , b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x  x 1
0
A. a  b  0 .
B. a  b  7 .
C. a  b  9 .
D. a  b  1 .
Lời gi i
Ch n A
1
1
1
1
2 x  10
9
2x 1
9
 2x 1

dx


dx

dx

dx  I1  I 2 .
2
0 x2  x  1 0  x2  x  1 x2  x  1  0 x2  x  1 0
2



1
3


x  
2  2 

*Tính I1 .
1

I1  ln  x 2  x  1  ln 3 .
1

0

*Tính I 2 .
1
3
  

tan t với t    ;  .
2
2
 2 2

Đặt x 

3

 tan 2 t  1 dt ;
2

dx 

x 0t 



và x  1  t 

6

3

Khi đó I 2  

9.



6



2

x 1  3

x 1

A. a  2b  0 .
0

Ch n B
Ta có:
2 x 1  3



0

.


3
tan 2 t  1 dt

18 3 3
18 3 
2

dt 
 3 .

3
3 
3 6
2
tan
t


1


6
4

x
0

Câu 41. Cho

3

2 x  10
dx   3  ln 3  a  3 và b  3  a  b  0 .
2
 x 1

1

Vậy



x 1

dx  a ln 2  b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
B. a  4b  0 .

C. a  2b  0 .
Lời gi i

D. a  4b  0 .

2 x2
1 5
2
4 x
1 

dx  
dx  
 1 dx   1 
 dx 
0 x 1
1 x 1
0 x 1
1


 x 1 

dx 

1

14 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

1
2
  5ln x  1  x    x  ln x  1   5ln 2  1  2  ln 3  1  ln 2    4ln 2  ln 3 .
0
1
Suy ra: a  4; b  1  a  4b  0 .
Câu 42. Cho



3

x2 3

x2
A. S  11 .
0

Ch n C
Ta có:
3 x2 3



x2

0

dx  a ln 2  b ln 5  c với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c .
B. S  9 .

dx 

2

0

C. S  7 .
Lời gi i

D. S  13 .

3 x 1
2
3
5 x
7
1 

dx  
dx  
 1 dx   1 
 dx 
2 x2
0

2
x2
 x2 
 x2

2
3
  7 ln x  2  x    x  ln x  2    7 ln 4  2   7 ln 2    3  ln 5    2  ln 4  
0
2
 9 ln 2  ln 5  1
Suy ra: a  9; b  ; c  1  S  a  b  c  7 .
1 13
2

 4 x3  2 x 9  x 2  1 
 dx   a  ln b  6 c với a,b,c là các số nguyên dương.
 4
Câu 43. Cho  
 x4
x  x2  1 
1 

Tính S  a  b  c .
A. S  48 .
B. S  49 .
C. S  39 .
D. S  38 .
Lời gi i
Ch n D

Ta có:
1 13
2


1

1 13
2


1





1  13
 4 x3  2 x 
4
2
2  ln 22  6 13

 dx  ln x  x  1
4
 x

1



 9  x 2  1 
 4
 dx  9
 x  x2  1 



1 13
2


1

1

 1  x2

1
 x2  1  2
x






 dx



1

1
dx 
x
x


x  3 3 arctan 3  arctan 0   3
9 
 9 arctan
2
2
3
1
1 
x   3
x

Vậy a  3,b  22,c  13,S  38 .
1 13
2

 





x3  x 2  2
a  bln 2
a
dx 
,a,b,c là các số nguyên dương và
Cho 
tối giản. Tính
x 1
c
c
0
1

Câu 44.

S  a bc ?
A. S  15 .

B. S  11 .

C. S  10 .

D. S  18 .

15 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân
Lời gi i

Ch n C
1
 x3
 1 1  6 ln 2
x3  x 2  2
2 
 2
dx

x

dx

0 x  1
0  x  1   3  2 ln x  1  0  3 .
1

Ta có :

Vậy a  1,b  6,c  3,S  10 .

x2  x  2
0 x2  3x  2  a  bln 2  c ln 3
1

Câu 45. Cho

A. S  4 .

 a,b,c   . Tính

B. S  11 .

S  a bc ?

C. S  10

D. S  3 .

Lời gi i
Ch n D
Ta có:

1
1
 4  x  1  2  x  2  
x2  x  2
2x


dx

1

dx

0 x2  3x  2 0  x 2  3x  2  0 1   x  1 x  2   dx



1

1
1
4
2 

  1 

 dx   x  4 ln x  2  2 ln x  1  0  1  6 ln 2  4 ln 3
x  2 x 1
0
Vậy a  1,b  6,c  4 ,S  3 .

1

Câu 46. [2D3-3] Cho

x

2

0

3x  1
a  b.ln 2
a
dx 

, với a, b, c là các số nguyên dương,
là phân số tối
 4x  4
c
c

giản. Tính S  a  b  c .
A. S  13 .
B. S  11 .

C. S  1 .
Lời gi i

D. S  4 .

Ch n A
Ta có

3 x  2  5
3x  1
3
5



2
x  4x  4
x  2  x  2 2
 x  2
2

1

1
 3
3x  1
5 
5 

 2
dx   

dx   3ln x  2 

2 
x  4x  4
x  2 ( x  2) 
x20

0
0
1

5 5  6ln 2

2
2
 a  5, b  6, c  2  S  13 .
 3ln1  5  3ln 2 

2

Câu 47. [2D3-3] Tính tích phân



 x  2

1

A.

32018  22018
.
2018

B.

2017

x 2019

dx

32018  22018
.
4036

C.

32017 22018

.
4034 2017

D.

32020  22020
.
4040

Lời gi i
Ch n B
2

Ta có


1

 x  2
x

2017

2019

 x2
dx   


x 
1
2

2017

dx
.
x2

16 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

x2
2
dx
du
 du   2 dx  2  
x
x
x
2
Với x  1  u  3 .
Với x  2  u  2 .

Đặt u 

2

 I  u

3

du 1 2017
u 2018
32018  22018
.
  u du 

2
22
2.2018 2
4036
3

2017

3

1

Câu 48. [2D3-3] Cho





 dx  a  b ln 2  c ln 3 , với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c .

3x x 2  1
x2

0

A. S  13 .
Ch n A
Ta có

B. S  60 .



  3x

3x x 2  1
x2
1

I 
0



 6 x  15 

 dx 

3x x 2  1
x2

2

C. S  73 .
Lời gi i

D. S  47 .

30
x2

30 
 2
3
2
0  3x  6 x  15  x  2  dx  x  3x  15x  30ln( x  2)
1





1
0

 13  30ln 3  30ln 2

 a  13, b  30, c  30  S  13

3
trên khoảng  1;  
x 1
và F  0   1 . Hỏi số nghiệm thực của phương trình F  x   0 trên  1;   là?

Câu 49. [2D3-4] Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   6 x  6 

A. 4 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Lời gi i
Ch n D
3 

2
F  x     6x  6 
 dx  3x  6 x  3ln x  1  C
x 1 


Trên khoảng  1;   ta có F  x   3x 2  6 x  3ln  x  1  C và F  0   1  C  1
Vậy F  x   3x 2  6x  3ln  x 1  1, x  1;  

F   x   f  x   6x  6 

3
6 x2  3

x 1
x 1

Bảng biến thiên

17 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ


ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân

 1 
 1 
Ta có F 
  0  F 
 nên phương trình F  x   0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
2
 2

Câu 50. [2D3-4] Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 
Hỏi số nghiệm thực của phương trình F  x   0 là?
A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

2x 1
và F  0   3 .
x  x 1
2

D. 0 .

Lời gi i
Ch n C

2x 1 
2x 1

2
+) F  x     3x 2  2  2
dx
 dx   3x  2 dx   2
x  x 1 
x  x 1








  3x  2 dx  
2



 x

d x2  x  1
x  x 1
2

+) F  0   3  C  3



3







 2 x  ln x 2  x  1  C



+) F  x   x3  2 x  ln x 2  x  1  3
+) F   x   f  x   3x 2  2 

2x 1
3x 4  3x3  5 x 2

x2  x  1
x2  x  1

3x 4  3x3  5 x 2  0  x 2  3x 2  3x  5   0  x  0

Bảng biến thiên

Vậy phương trình F  x   0 có 1 nghiệm.

18 | ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHIỀU CÂU VẬN
DỤNG CAO CÁC EM NHÁ