Bồi dưỡng HSGT6 BC-BCNN

Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6
Tạ phạm hải
Bài giảng 4: BC và BCNN
A. Kiểm tra bài cũ : Tìm BCNN ( 24 ; 30 ) , từ đó tìm tập BC( 24; 30 )
Chú ý : Nếu số tự nhiên A chia cho số tự nhiên B ( B 0 ) đợc thơng là Q và d R
thì ta viết :
A = B.Q + R , ở đó 0 R < B
* Nếu R = 0 thì A = BQ , ta nói A chia hết cho B hay B chia hết A hoặc cũng
nói B là ớc của A hay A là bội của B
* Nếu R 0 thì A R = BQ chứng tỏ A R chia hết cho B
Ví dụ : 2007 chia cho 5 d 2 , vậy 2007 2 = 2005 chia hết cho 5
Kết luận 1 : Nếu A là bội của B thì A có dạng A = Bk , k N
Kết luận 2 : Nếu A chia cho B d R thì A R chia hết cho B
Bài tập 1 :
Tìm số tự nhiên A có 3 chữ số biết A chia cho 5 , 7 , 8 đều d 2 và biết
rằng A chia hết cho 3
Số học sinh của một trờng THCS là một số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số
chia cho 5 , hoặc 6 , hoặc 7 đều d 1 . Hỏi trờng đó có bao nhiêu học sinh ?
Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 400 mà khi chia số đó cho 2 , 3 , 4 , 5 , 6 đều d 1
nhng chia cho 7 thì không d .
Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng , mỗi hàng 20 ngời , hoặc 25 ngời , hoặc
30 ngời thì đều d 15 ngời , nhng nếu xếp mỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ ( không
có hàng nào thiếu ngời ,không còn ai ở ngoài hàng ) . Hỏi đơn vị đó có bao
nhiêu ngời ? Biết rằng đơn vị đó cha đến 1000 ngời
Tìm số tự nhiên xấp xỉ 1000 , biết số đó chia cho 12 , 18 , 21 đều d 5
Có 100 quyển vở và 90 bút chì đem thởng đều cho một số học sinh . Thởng
xong còn thừa lại 4 vở và 18 bút chì không đủ chia đều . Tính số học sinh đợc
thởng , và mỗi em đợc thởng bao nhiêu vở và bao nhiêu bút chì?
Xem lời giải câu :
áp dụng kết luận ta có A 2 chia hết cho 5 , 7, 8 . Vậy A 2 là bội chung của 5 ,
7 , 8 . Bội chung nhỏ nhất của 5 , 7 , 8 là 280 . Vậy BC ( 5 , 7 , 8 ) = 280.k với k

N .Vậy A 2 = 280.k với k N . Ta có bảng sau
k 1 2 3 4
A 2 280 560 840 1120
A 282 562 842 1122
Từ bảng trên chỉ có 282 là chia hết cho 3
Vậy đáp số : A = 282
Xem lời giải câu :
Gọi số phải tìm là A , áp dụng kết luận ta có A 1 chia hết cho 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
Vậy A 1 là bội chung của 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Ta có bội chung nhỏ nhất của 2 , 3 , 4
, 5 , 6 bằng 60 .
Vậy BC( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) = 60.k với k N . Vậy A 1 = 60.k với k N
Ta có bảng sau :
Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình 1
Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6
Tạ phạm hải
k 1 2 3 4 5 6 7
A
1
60 120 180 240 300 360 420
A 59 119 179 239 299 359 419
Từ bảng trên chỉ có số 119 là chia hết cho 7 . Vậy đáp số là 119
Câu hỏi :
1. Lời giải của câu và của câu có gì giống nhau và khác nhau ?
2. Để giải loại bài tập nh trên ta cần ghi nhớ điều gì ?
Hãy áp dụng cách giải trên để làm những câu còn lại
Kết luận 3 :
A = BQ + R thì A + n = BQ + ( R + n ) , nếu R + n B thì A + n B

B i tập : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chia cho 8 d 6 , chia cho 12 d 10 , chia cho 15
d 13 và chia hết cho 23

Gợi ý :
Gọi A là số cần tìm . A = 8n + 6 , A = 12m + 10 , A = 15 x + 13
Suy ra A + 2 chia hết cho 8 , 12 , 15 nên A + 2 là BSC ( 8 , 12 , 15 ) = ?
Kết hợp với A chia hết cho 23 , A nhỏ nhất trong các số có tính chất nh vậy để lập
bảng tìm A
Bài tập 2
1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 18 ; 30 ; 45
thì có d lần lợt là 8 ; 20 ; 35 .
2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chia cho 8 d 6 , chia cho 12 d 10 , chia cho 15 d 13 và
chia hết cho 23
Giải câu 1
Gọi số phải tìm là A , ta có :
A = 18.n + 8 A + 10 = 18.n + 18 chia hết cho 18
A = 30.m + 20 A + 10 = 30.m + 30 chia hết cho 30
A = 45.k + 35 A + 10 = 45.k + 45 chia hết cho 45
( Với n , m , k là các số tự nhiên )
Vậy A + 10 là bội số chung của 18 , 30 , 45 .
Mà BCNN ( 18,30,45) = 90 , nên BC ( 18, 30, 45 ) = 90 x , với x N
*
Do đó ta có A + 10 = 90x. Vì A là số nhỏ nhất có 3 chữ số nên 1 < x <
3 .Vậy x = 2 A + 10 = 180 A = 170
Đáp số : Số phải tìm là 170
Gợi ý câu 2 :
Gọi A là số cần tìm . A = 8n + 6 , A = 12m + 10 , A = 15 x + 13
Suy ra A + 2 chia hết cho 8 , 12 , 15 nên A + 2 là BSC ( 8 , 12 , 15 ) = ?
Kết hợp với A chia hết cho 23 , A nhỏ nhất trong các số có tính chất nh vậy để lập
bảng tìm A

Hãy áp dụng cách giải trên để giải những bài tập sau :
Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình 2

Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6
Tạ phạm hải
1. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 4 d 3 , chia cho 5
d 4 , chia cho 6 d 5 .
2. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số , sao cho số đó chia cho 30 thì d 7 và chia cho
40 thì d 17
3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8 , 10 , 15 , 20 theo thứ tự d 5 , 7 , 12 , 17 và chia
hết cho 41
Bài tập 3 : Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 131 thì d
112 , chia cho 132 thì d 98 .
Giải :
Cách 1 : Gọi số phải tìm là B , ta có :
B = 131.n + 112
B = 132.m + 98 ; với n , m N
*

132.B = 132.( 131.n + 112 ) = 132.132.n + 14784
131.B = 131.( 132.m + 98 ) = 131.132.m + 12838
132.B 131.B = 131.132.( n m ) + ( 14784 12838 )
B = 131.132.( n m ) + 1946
Do B chỉ là số có 4 chữ số nên n m = 0 . Vậy B = 1946
Đáp số : Số phải tìm là 1946
Cách 2 : Gọi số cần tìm là B , ta có :
B = 131.n + 112
B = 132.m + 98 ; với n , m N
*

131.n + 112 = 132.m + 98 131.n + 14 = 132.m 131.n = 132.m 14
131.n = 131.m + ( m 14 ) ( m 14 )

131 . Vậy : m 14 = 131.k ,
với k N
*
, hay m = 131.k + 14 , với k N
*
Do B = 132.m + 98 nên thay m = 131.k + 14 vào ta đợc :
B = 132.( 131.k + 14 ) + 98 = 132.131.k + 132.14 + 98
Hay : B = 132.131.k + 1946
Do B chỉ là số có 4 chữ số nên k = 0 và B = 1946
Đáp số : Số phải tìm là 1946
Ap dụng cách làm trên để giải các bài tập sau :
1.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 11 thì d 5 ; chia
cho 13 thì d 8
2.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 17 thì d 5 , chia cho 19 thì d 12
3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 29 thì d 5 , chia cho 31 thì d
28
4. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 8 thì d 7 ; chia cho 125
thì d 4

Bổ xung kiến thức : Cho các số tự nhiên a và b , nếu a = km và b = kn thì khi đó :
BCNN(a,b) = kBCNN(m,n)
Ví dụ : Cho a = 4.15 và b = 4.21 , khi đó BCNN( 60 , 84) = 420 và BCNN( 15 , 21) =
105 rõ ràng 420 = 4.105 , ở đây k = 4
Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình 3
Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6
Tạ phạm hải
Vậy từ kiến thức trên ta cũng có : nếu a k và [ a,b ] k thì b k
Bài tập về nhà :
1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho 12 thì d 10 , chia cho 18 thì d 16
và chia cho 27 thì d 25 .

2. Nếu xếp một số sách vào từng túi 10 cuốn thì vừa hết ,vào từng túi 12 cuốn thì
d 2 cuốn , vào từng túi 18 cuốn thì d 8 cuốn . Tìm số sách đó biết rằng số sách đó
trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn
3.Ba con tàu cập bến theo lịch nh sau : Tàu 1 cứ 15 ngày cập bến một lần , Tàu 2
cứ 20 ngày cập bến một lần , tàu 3 cứ 12 ngày cập bến một lần . Lần đầu cả 3 tàu
cùng cập bến vào ngày thứ 6. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày , cả 3 tàu lại cùng cập
bến vào ngày thứ 6 ?
4. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 18 , 30 , 45
thì d lần lợt là 8 , 20 , 35
5. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 4 thì d 3 , cho
5 thì d 4 , cho 6 thì d 5
6. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho số đó chia cho 30 thì d 7 và chia
cho 40 thì d 17
Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình 4