Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Năm học 2018-2019.Ngày thi 04/01/2019
Thời gian làm bài :150 phút

Câu 1( 2,0 i m
a)Cho P 

x
xy  x  3



y
yz  y  1



3 z
và xyz  9 .Tính 10 P1
xz  3 z  3

b) Cho x,y,z > 0 thỏa mãn : x  y  z  xyz  4 .

Tính B= x(4  y)(4  z)  y(4  z)(4  x)  z(4  x)(4  y)

Câu 2( 2,0 i m
x2
 3  3x 2  6x
a)Giải phương trình
2
( x  2)
 x 2  y 2  xy  1  2x
b)Giải hệ phương trình 
2
2
 x ( x  y)  x  2  2 y
Câu 3( 2,0 i m
a)Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình x 2 +x +2y2  y  2xy2  xy  3
b)Chứng minh rằng a13  a23  a33  ...  an3 chia hết cho 3 biết a1 , a2 , a3 ,..., an là các
chữ số của 20192018
Câu 4 (3,0 i m Cho tam giác MNP có 3 M , N , P nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O
bán kính R. Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam
giác MNP cắt nhau tại H.
a) MH  2OQ
b) Nếu MN  MP  2 NP thì sin N  sin P  2sin M .
c) ME.FH  MF .HE  R 2 2 biết NP  R 2

Câu 5( 1 i m) Cho a, b, c dương thỏa mãn
của biểu thức

P

ab2
bc 2
ca2



ab bc ca

1
1
1


 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất
ab bc ca


BÀI LÀM
Câu 1( 2,0 i m
a)Ta có P 
Khi đó

x

xy  x  3
10 P1  3 .



y
yz  y  1



3 z
 1 vì xyz  9  xyz  3 .
xz  3 z  3

b)Ta có x  y  z  xyz  4  4(x  y  z)  4 xyz  16 .Khi đó ta có:
x(4  y)(4  z)  x(16  4y  4z  yz)
 x(yz  4 xyz  4x)  x. ( yz  2 x ) 2  xyz  2x (1).

Tương tự

y(4  z)(4  x)  xyz  2y (2) ,

z(4  x)(4  y)  xyz  2z (3) . Từ (1), (2), (3) suy ra
B  2(x  y  z  xyz)  2.4  8 .

Câu 2( 2,0 i m
x2
x2
2
 3  3x  6x 
 3( x  1)2  0
a)Điều kiện x  2 .Ta có
2
2
( x  2)
( x  2)
 x
 x



 3( x  1) 
 3( x  1)  0 .Từ đó ta có nghiệm phương trình
 ( x  2)
  ( x  2)

là

x

1  3  28  2 3
1  3  28  2 3
;x 
;
2 3
2 3

1  3  28  2 3
1  3  28  2 3
;x 
2 3
2 3
2
2
 x  y  xy  1  2x
2x( x  y)  2 y 2  4x  2  0
b)Ta có 

2
2
2

2
x
(
x

y
)

x

2

2
y

 x ( x  y)  x  2  2 y
x

x 2  y 2  xy  1  2x



.Từ đó suy ra kết quả.
2
x
(
x

y
)


2(
x

y
)

3

0


 


Câu 3( 2,0 i m
a)Ta có x 2 +x +2y2  y  2xy2  xy  3  ( x  1)( x 2  2 y2  y  2)  1 . Xét trường
hợp là xong.
b) Ta có (a13  a23  a33  ...  an3 )  (a1  a2  a3  ...  an ) chia hết cho 3.Theo đề ta có
a1 , a2 , a3 ,..., an là các chữ số của 20192018 nên suy ra (a1  a2  a3  ...  an ) chia hết
cho 3 .Từ đó suy ra a13  a23  a33  ...  an3 chia hết cho 3
Câu 4 (3,0 i m Cho tam giác MNP có 3 M , N , P nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O
bán kính R. Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam
giác MNP cắt nhau tại H.

a) MH  2OQ


b) Nếu MN  MP  2 NP thì sin N  sin P  2sin M .
c) ME.FH  MF .HE  R 2 2 biết NP  R 2

(rãnh gõ lời giải nhé ,gõ hình chán ).
1
1
1
Câu 5( 1 i m) Ta có


 3  a  b  c  3abc .Lúc đó
ab bc ca
ab2
bc 2
ca2
ab2 bc 2 ca2
ab2 bc 2 ca2
. Ta đặt 3 3
P


 33
.
.
.
.
Q.
ab bc ca
ab bc ca
ab bc ca
Nên ta có
3abc

abc
3
PQ

 .Vậy giá trị nhỏ nhất của
3 ab

 b  c  c  a  a  b  b  c  c  a 2
3
a  b  c  3abc
 2
3
bc 2
ca 2
 ab
P là .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 


 a  b  c  1.
2
a

b
b

c
c

a


a  b  b  c  c  a