Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2016-2017 - Sở GD&ĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2016-2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
———————————— 

Câu 1:
a) Rút gọn :  Q 

2 3  5  13  48

 
6 2
a
b
c
1
1
1
 2
 2
 0 
 2
 2
 0 . Chứng minh  2
b) Cho  2

2
2
(a  bc ) (b  ca) (c  ab)2
a  bc b  ca c  ab
Câu 2:
a) Giải phương trình  ( x  1)2  ( x  2) x 2  1  0  

 x 2  xy  5 x  3 y  6  0
b) Giải hệ pt : 
. 
x 2  xy  y 2  3

 
Câu 3:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Đường thẳng d là tiếp tuyến tại A của (O). M,N lần 
lượt trên d sao cho A nằm giữa M và N. Nối BM, BN cắt (O) lần lượt tại D, E. 
a) Chứng minh tứ giác DMNE nội tiếp đường tròn. 
IA AM . AN

 ( với I là giao DE và AB). 
b) Chứng minh 
IB
AB 2
c)  Chứng minh ĐỂ luôn đi qua một điểm cố định khi M,N thay đổi thỏa mãn AM.AN 
không đổi và A luôn nằm giữa M và N. 
 
Câu 4:
a) Có tồn tại số tự nhiên chia hết cho 2017 và có tổng các chữ số là 2017 không? 
b) Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn  :

x2  y
y
  
2
x
8x  y

Câu 5 :
a) Cho a,b thuộc R thỏa mãn :  4a 2  3ab  4b 2  6 . Chứng minh rằng  2a  4b  3ab  11    
1 1 1
1
b)  Trên bảng có 2017 số:  ; ; ;...
.Thực hiện trò chơi : xóa hai số u,v bất kì và thay 
1 2 3 2017
bởi số u+v+uv . Sau hữu hạn lần biến đổi , trên bảng còn một số duy nhất. Chứng minh số đó 
không phụ thuộc vào đại lượng u,v. Số đó là số nào? 
 
 
----------------- HẾT------------------



Họ và tên thí sinh: ……………...............................…………; Số báo danh: …..........……; Phòng thi
số:..........…
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị không giải thích gì thêm.