Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Sơn La

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
SƠN LA
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Năm học 2018-2019.Ngày thi 18/03/2019
Thời gian làm bài :150 phút

Câu 1 (3 điểm).Cho biểu thức A 

6x  4

3x
.Tìm x nguyên để A nhận
3 3x  8 3x  2 3x  4
3



giá trị nguyên.
Câu 2 (4 điểm). Cho phƣơng trình x2  2(m 1) x  3m  3  0 (1).
a)Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1;x 2 thỏa mãn M  x12  x22  5x1x 2
đạt giá trị nhỏ nhất.
b)Xác định m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Câu 3 (4 điểm).
2x
13x
 2

6
x  5x  3 2x  x  3
 x3  2xy 2  12 y  0
b)Giải hệ phƣơng trình 
2
2
 8 y  x  12

a)Giải phƣơng trình

2

Câu 4 (6 điểm).Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đƣờng thẳng d (B nằm giữa A
và C). Vẽ đƣờng tròn tâm O thay đổi nhƣng luôn đi qua B và C (O không thuộc đƣờng
thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đƣờng tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung
điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đƣờng tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O),
BC cắt MN tại K.
1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đƣờng tròn.
2. Chứng minh điểm K cố định khi đƣờng tròn tâm O thay đổi.
3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đƣờng thẳng vuông góc với MD cắt đƣờng
thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.

Câu 5 (2 điểm). Cho hình vuông ABCD và 2019 đƣờng thẳng phân biệt thỏa mãn
mỗi đƣờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và chia hình vuông thành 2
phần có tỉ số diện tích là 0,5.Chứng minh rằng trong 2019 đƣờng thẳng trên có ít nhất
505 đƣờng thẳng đồng quy.
Câu 1 (3 điểm).Cho biểu thức A 

6x  4

3x
.Tìm x nguyên để A nhận
3 3x 3  8 3x  2 3x  4


giá trị nguyên.
Điều kiện x  0 .Ta có A 

6x  4

3x
1

.Để A nguyên thì
3x  2
3 3x  8 3x  2 3x  4
3



x  3
 3x  2  1


1 .Vậy x  3 là thỏa đề
 3x  2  1  x 

3

Câu 2 (4 điểm). Cho phƣơng trình x2  2(m 1) x  3m  3  0 (1).

m 1
.
m  4

a)Để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1;x 2 thì  '  (m  1)(m  4)  0  
Khi đó M  x12  x22  5x1x 2  ( x1 + x 2 )2  3x1x 2
2

1
81
81
.Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi
 4(m2  2m  1)  9m  9  4m2  m  5   m     
8  16
16

1
m .
8

b) Để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì
 '  (m  1)(m  4)  0

x1  x2  2
 m  3.


x1 x2  1



Câu 3 (4 điểm).
2x
13x
 2
6
x  5x  3 2x  x  3
2x
13x
5  13
5  13
ĐKXĐ: x 2  5x  3  0  x 
.Ta có 2
;x 
 2
 6 .Nhận thấy
2
2
x  5x  3 2x  x  3
x  0 không là nghiệm của phƣơng trình. Khi x  0 thì Phƣơng trình đã cho

a)Giải phƣơng trình

2

3
 6  0. Đặt t  x  , ta đƣợc phƣơng trình biểu thị theo t là
3
3

x
x 5
x 1
x
x
11
3
2
13

 6  t  1; t  . Với t  1  x   1  x 2  x  3  0 (vô nghiệm)
2
x
t  5 t 1
11
3 11
11  73
 x    2 x 2  11x  6  0  x 
Với t 
(thỏa mãn). Vậy phƣơng trình đã
2
x 2
4
11  73 
cho có tập nghiệm là S  
.
4




2



13

 x3  2xy 2  12 y  0
 x  2 y
 x  2 y
.Từ đó suy ra nghiệm hệ là




2
2
2
2
2
2
8 y  x  12
8 y  x  12
 8 y  x  12

b)Ta có 

(-2;1) và (2;-1).
Câu 4 (6 điểm).Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đƣờng thẳng d (B nằm giữa A
và C). Vẽ đƣờng tròn tâm O thay đổi nhƣng luôn đi qua B và C (O không thuộc đƣờng

thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đƣờng tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung
điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đƣờng tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O),
BC cắt MN tại K.
1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đƣờng tròn.
2. Chứng minh điểm K cố định khi đƣờng tròn tâm O thay đổi.
3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đƣờng thẳng vuông góc với MD cắt đƣờng
thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.


M

A

H

P

B

O

Q

D

K
I

E
N

C

d

a)I là trung điểm của BC (Dây BC không đi qua O)
 OI  BC  OIA = 900 . Ta có OMA = 900 nên ANO = 900 . Suy ra 4 điểm O, M, N, I
cùng thuộc đƣờng tròn đƣờng kinh OA.

b)Gọi I là trung điểm của BC suy ra IO  BC
ABN đồng dạng với ANC (Vì ANB  ACN , CAN chung)
AB AN
 AB.AC = AN2 . ANO vuông tại N, đƣờng cao NH nên AH.AO =


AN AC
AN2  AB.AC = AH.AO (1). AHK đồng dạng với AIO (g.g)
AH AK
Nên

 AI  AK  AH  AO (2)
AI AO
AB  AC
Từ (1) và (2) suy ra AI.AK  AB.AC  AK 
.Ta có A, B, C cố định nên I cố
AI
định  AK không đổi.
Mà A cố định, K là giao điểm của BC và MN nên K thuộc tia AB
 K cố định (đpcm)
ME MH


c)Ta có: MHE đồng dạng QDM (g.g) 
MQ DQ
MP MH MH
MP 1 ME



 .
 ME = 2
và PMH đồng dạng MQH (g.g) 
MQ QH 2DQ
MQ 2 MQ
MP  P là trung điểm ME.

Câu 5 (2 điểm). Cho hình vuông ABCD và 2019 đƣờng thẳng phân biệt thỏa mãn
mỗi đƣờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và chia hình vuông thành 2
phần có tỉ số diện tích là 0,5.Chứng minh rằng trong 2019 đƣờng thẳng trên có ít nhất
505 đƣờng thẳng đồng quy.


Gọi MN; EF là đƣờng nối trung điểm
hai cạnh đối của hình vuông (hình vẽ)
Giả sử đƣờng thẳng d1 cắt cạnh AB tại
A1 cắt MN tại I và cắt cạnh CD tại B1.
Ta có các tứ giác AA1B1D và BCB1A1
là hình thang và có MI, NI lần lƣợt là
các đƣờng trung bình của hai hình
thang đó.

d1
A

A1

E

B

K
M

I

J

N

H

D

F

B1

C

1
AD  AA1  DB1 

2IM IM 1
2
Khi đó



 (theo GT)
1
SA1BCB1
2IN
IN
2
BC  A1B  B1C 
2
MI 1
1
Suy ra
 nên MI  MN vậy điểm I cố định. Lập luận tƣơng tự ta tìm đƣợc các
MN 3
3
điểm H; J; K cố định (hình vẽ). Có 4 điểm cố định mà có 2019 đƣờng thẳng đi qua nên theo
nguyên lý Đirichlet ít nhất phải có 505 đƣờng thẳng đồng quy.
SAA1B1D