Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2019-2020 - Trường THCS Nhĩa Đồng

PHềNG GD&T TN K
TRNG THCS NGHA NG

THI HC SINH GII
NM HC: 2019 - 2020
Mụn thi: TON 9
Thi gian: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao )

Cõu 1: ( 5,0 im ): Chobiểuthức:A=
a.RútgọnA.
b.TínhgiátrịcủaAbiết:

và

Cõu 2: ( 4,0 im )
a. Gii phng trỡnh:
b. Cho

l hai s dng tha món:

.

Chng minh:
Cõu 3: ( 4,0 im ): a). Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
b) Chng minh B = a5 - 5a3 + 4a chia ht cho 120.
c) Cho

. Chng minh giỏ tr biu thc sau khụng ph thuc
Bài

vo giỏ tr ca bin:

4:(5,0 im)

ChotamgiácABCvuôngtạiA(AC>AB),đờngcaoAH(H BC).TrêntiaHC
lấyđiểmDsaochoHD=HA.ĐờngvuônggócvớiBCtạiDcắtACtạiE.
a) ChứngminhrằnghaitamgiácBECvàADCđồngdạng.Tínhđộdàiđoạn

BEtheo

.

b) GọiMlàtrungđiểmcủađoạnBE.ChứngminhrằnghaitamgiácBHMvà

BECđồngdạng.TínhsốđocủagócAHM
c) TiaAMcắtBCtạiG.Chứngminh:

.

Cõu 5: ( 2,0 im ): Cho ABC cõn ti A, gi I l giao im ca cỏc ng phõn giỏc.
Bit IA = 2

cm, IB = 3cm. Tớnh di AB
Ht./.

H v tờn thớ sinh:....................................................SBD:.........................................


HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIOI MÔN TOÁN 9

Câu

Nội dung cần
đạt

Ý

Điểm

+  §KX§: a>0; b>0 vµ 
+ Ta cã 

1
0,5
0,5

a

0,5

1

0,5
1
1

Vậy:
Ta cã: 
b

5,0

 vµ b = 5

Suy ra 
Điều kiện:

0,5
0,5
0,5

a

2,0

0,5
Vậy nghiệm của pt là:
Với
là hai số dương ta có:

0,5

2
(Theo Bunhiacopski)

b
(Vì
3

a

Hay

Với điều kiện

).

ta có:

0,5
0,25

1,25

0,25

M=
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,
Ta có:

1,25

0,25


0,25

(vì x dương)
Và:

0,25
(vì y dương)

0,25

Suy ra: M =
Vậy giá trị lớn nhất của M là

b

x = 2, y = 8

B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4)
B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4)
B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2)
Mà 120 = 3.5.8. Mặt khác (3,5,8) = 1. Nên B chia hết cho 120

0,5
0,5
0,25

0,5
0,5

c

1,25

1,5

0,25

Giá trị biểu thức bằng 2. không phụ thuộc giá trị của x

0,5

+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:    chung. 
5

a

0,5

 (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB  ®ång d¹ng)
  Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). 
Suy ra:  
gi¶ thiÕt).
Nªn 
Suy ra: 

(v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo 

2,0

0,5
0,5

 do ®ã  tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i  A. 

b

0,5
Ta cã: 

 (do 
gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)

). mµ 

 (tam 
0,5

1,5


0,5
nªn 

 (do 

Do ®ã 

c

)

 (c.g.c), suy ra: 

Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc 
BAC.

0,5

Suy ra: 

0,5

, 

mµ 

1,5

0,5

Do ®ã: 
0,25

6

Kẻ AM AB ( M thuộc tia CI)
Chứng minh được ∆ AMI cân tại A
MI = AI = 2
Kẻ AH MI
HM = HI Đặt HM =
HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMB vuông tại A ta có AM2
=MH.MB
(2 )2 = x.(2x + 3)
2x2 + 3x – 30 = 0
( 2x – 5)(x +
4) = 0
x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MB = 8cm

Ta có AC2 = AB2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 )2 = 64 – 20 = 44
AC =
=2
cm
AB = 2
cm

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

2,0