Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2011-2012 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
———————————— 

Câu 1 (3,0 điểm).
1.   Cho  f  x  

x3
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 
1  3x  3x 2
 1 
 2 
 2010 
A f 
 f 
  ...  f 
 f
 2012 
 2012 
 2012 

 2011 

 
 2012 

x2 x
x 1
1  2x  2 x


 
x x 1 x x  x  x
x2  x
Tìm tất cả các giá trị của  x  sao cho giá trị của P là một số nguyên. 
Câu 2 (1,5 điểm).
2.   Cho biểu thức  P 

3

2

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương   x ;  y   thỏa mãn   x  y    x  y  6  .

 

Câu 3 (1,5 điểm).
Cho  a,  b,  c,  d  là các số thực thỏa mãn điều kiện:  
abc  bcd  cda  dab  a  b  c  d  2012  
Chứng minh rằng:   a 2  1 b 2  1 c 2  1 d 2  1  2012 . 
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho ba đường tròn   O1  ,    O2   và   O   (kí hiệu   X   chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử 

 O1  ,    O2   tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và   O1  ,    O2  lần lượt tiếp xúc trong với   O   tại 
M 1 , M 2 .  Tiếp  tuyến  của  đường  tròn   O1   tại  điểm  I  cắt  đường tròn   O    lần  lượt tại  các  điểm 

A,  A ' . Đường thẳng  AM 1  cắt lại đường tròn   O1   tại điểm  N1 , đường thẳng  AM 2  cắt lại đường 
tròn   O2   tại điểm  N 2 . 
1.  

Chứng minh rằng tứ giác  M 1 N1 N 2 M 2  nội tiếp và đường thẳng  OA  vuông góc với đường 

thẳng  N1 N 2 . 
2.  

Kẻ đường kính  PQ  của đường tròn   O   sao cho  PQ  vuông góc với  AI  (điểm  P  nằm 

trên cung  AM 1  không chứa điểm  M 2 ). Chứng minh rằng nếu  PM 1 ,   QM 2  không song song thì 
các đường thẳng  AI ,  PM1  và  QM 2  đồng quy. 
Câu 5 (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, 
đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm 
của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu. 
—Hết—  
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.