Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang) 

Bài 1
a) Cho các số thực khác 0 thỏa mãn a+b+c=2014 và 
M

1
2013



1
2013



1 1 1
1
  
Tính giá trị 
a b c 2014

1

2014

a
b
c
 
2
b) Tìm số tự nhiên n để  52 n 6 n 2  12  là số nguyên tố 
 
Bài 2
a)
Giải phương trình  x 2  2 x  2 2 x  1  2  0  
 x 2  y 2  4 z  5  2 xy
 
b)
Giải hệ phương trình  4
4
2
2 2
 x  y  9 z  5  4 z  2 x y
 
Bài 3 :
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=6 và  0  a, b, c  4 . Tìm giá trị lớn nhất của 
P  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac  
 
Bài 4 :
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) , tâm đường tròn nội tiếp (I) , tia AI cắt (O) ở M , kẻ 
đường kính MN , cắt BC tại P . 
a) Chứng minh các tam giác MIB và MIC là tam giác cân . 

BAC IP

 
2
IN
c) Giả sử ID và IE vuông góc với AB,AC sao cho D,E nằm lần lượt trên AB,AC . Gọi H,K 
lần lượt đối xứng với D,E qua I . Chứng minh rằng nếu AB+AC=3BC thì bốn điểm B, C, H, K 
nằm trên một đường tròn. 

b) Chứng minh  sin

Bài 5 :
a) Giải phương trình nghiệm tự nhiên  5 x  2 y  1   
b) Cho lục giác đều ABCDEF và điểm P nằm trong lục giác này . Các tia AP, BP, CP, DP, 
EP, FP cắt các cạnh đa giác ở  M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 . Biết rằng cạnh lục giác ABCDEF là 
1.Chứng minh lục giác  M 1M 2 M 3M 4 M 5 M 6 có ít nhất một cạnh không nhỏ hơn 1  
----------------- HẾT------------------- 




Họ và tên thí sinh: ……………...............................…………; Số báo danh: …..........……; Phòng thi
số:..........…
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị không giải thích gì thêm.