Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2016-2017 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
———————————— 

Bài 1:   
a) Rút gọn biểu thức  B  13  30 2  9  4 2  
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0;  a 2  b 2  c 2 ; b 2  c 2  a 2 ; c 2  a 2  b 2 . 

a2
b2
c2


Tính giá trị biểu thức   P  2
 
a  b2  c2 b2  c 2  a2 c2  a 2  b2
Bài 2:   
a) Trong hệ trục tọa độ Oxy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm M(x; y) sao 
cho  y 2  5 y x  6 x  0  
a b c
b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn     0  . Chứng minh rằng phương 
6 5 4
2
trình  ax  bx  c  0  luôn có nghiệm. 
 

Bài 3:   
a) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:   
8
8
8
8
8
8


 a 2  b2  c2 


  
2
2
2
(a  b)  4abc (b  c )  4abc (c  a)  4abc
a3 b3 c3
b) Tìm các số nguyên tố a, b, c và số nguyên dương k thỏa mãn phương 
trình  a 2  b 2  16c 2  9k 2  1  
 
Bài 4:  
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa 
đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm O’ đường kính AO. Điểm M thay đổi 
trên nửa đường tròn (O’) (M khác A và O), tia OM cắt đường tròn (O) tại C. Gọi D là giao điểm 
thứ hai của CA với đường tròn (O’). 
a) Chứng minh rằng tam giác ADM cân. 
b) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OD tại E. Chứng minh EA là tiếp tuyến chung 
của hai đường tròn (O) và (O’). 

c) Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn (O) 
tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng. 
d) Tính độ dài đoạn OM theo a biết ME song song với AB 
Bài 5:   
a) Cho hình vuông MNPQ và điểm A nằm trong tam giác MNP sao 
cho  AM 2  AP 2  2 AN 2 . Tính góc  PAN   
b) Cho các đa thức  P( x)  x3  ax 2  bx  c; Q ( x)  x 2  2016 x  2017  thỏa mãn P(x) = 0 có 
ba nghiệm thực phân biệt và   P  Q ( x)   0  vô nghiệm. Chứng minh rằng  P(2017)  10086  
----------------- HẾT------------------- 
Họ và tên thí sinh: ……………...............................…………; Số báo danh: …..........……; Phòng thi



số:......