Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Quang Trung

TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG
TỔ KHOA HỌC – TỰ NHIÊN

........................................................................

KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2018­2019

MÔN: TOÁN ­  Ngày thi: 10/4/2019
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a.      A = x 3 + 2019 x 2 + 2019 x + 2018
b.      B = x 4 − 5 x 2 + 4
c. Cho  a 5;   ab  10  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = a 2 + b 2
Bài 2. (6,0 điểm)
a. Cho a; b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:   M = a 5 + b5 − (a + b)M5 .
b. Tìm các giá trị  x và y thỏa mãn:  x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 5 = 0
c. Giải phương trình 

x − 2015 x + 2007 x + 2006 x − 2018
+
=
+
.
2010
2012
2011
2013

d. Giải phương trình bậc 4 sau:   x 4 − 11x 2 + 4 x + 21 = 0 .

Bài 3. (4,0 điểm)
a. Chứng minh  a 2 + b 2 + c 2
thực a, b, c.

ab + bc + ca   và  ( a + b + c )

2

3(ab + bc + ca ) . với mọi số 

b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. 
P = ( x+5 ) ( x+7 ) ( x + 9 ) ( x + 11)  +  16.

Bài 4. (6,0 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A  ( AC   AB) . Vẽ đường cao AH  ( H BC ) . Trên tia 
đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, 
cắt đường thẳng AC tại P.
a) Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.
b) Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC.
c) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn 
thẳng AK.
d) Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC.
                                                   ________________Hết________________
\


TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG
TỔ KHOA HỌC – TỰ NHIÊN

HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯƠNG

 LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2018­2019

MÔN: TOÁN 

Bài

Sơ lược lời giải
Bài 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

 Điêm

a.      A = x 3 + 2019 x 2 + 2019 x + 2018
b.      B = x 4 − 5 x 2 + 4
c. Cho  a 5;   ab  10  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = a 2 + b 2

1a 
(1,5)

1b
(1,5)

A = x 3 + 2019 x 2 + 2019 x + 2018  
A = x 3 − 1 + 2019( x 2 + x + 2019)
A = (x ­ 1)(x 2 + x + 1) + 2019( x 2 + x + 1)

0,5

A =  ( x 2 + x + 1) ( x − 1 + 2019)

0,5

A = (x 2  + x + 1 )(x + 2018)

0,5

B = x 4 − 5 x 2 + 4
B = x 4 − x 2 − 4 x 2 + 4
B = x 2 ( x 2 − 1) − 4( x 2 − 1)
B = (x 2 − 1)( x 2 − 4)
B = (x ­ 1)(x + 1)(x ­ 2)(x + 2)

0,5
0,5
0,25
0,25

 Cho  a 5;   ab  10  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = a 2 + b 2
Ta có:  ( x − y ) 2

0

x2 + y2

2 xy . với mọi x; y

4a 2 21a 2
Do đó:  P = a + b = b +
+
 
25

25
(2a)2 21a 2
2.b.2a 21a 2 4ab 21a 2
P = b 2 + 2 +
P
+
=
+
5
25
5
25
5
25
2
 Theo đề bài :  a 5  a 25 ; và   ab 10
4.10 21.25
  P
+
5
25
 
P 29  
2

1c
(1)

x 2 − 2 xy + y 2

0
2

0,25

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 29. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi
a = 5; b = 2.
Bài 2. (6,0 điểm)
a. Cho a; b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:   M = a 5 + b5 − (a + b)M5 .
b. Tìm các giá trị  x và y thỏa mãn:  x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 5 = 0  

0,25
0,25
0,25


c. Giải phương trình 

x − 2015 x + 2007 x + 2006 x − 2018
+
=
+
.
2010
2012
2011
2013

d. Giải phương trình  bậc bốn sau:  x 4 − 11x 2 + 4 x + 21 = 0 .
Ta có: a 5 + b5 − (a + b) = (a 5 − a ) + (b5 − b)  
Mặt khác:  (a 5 − a ) = a (a 4 − 1) = a( a 2 − 1)(a 2 + 1) = a (a − 1)(a + 1)(a 2 + 1)

= a (a − 1)(a + 1)(a − 4 + 5) = a ( a − 1( a + 1) (a − 2)(a + 2) + 5a (a − 1)(a + 1)
= (a − 2)(a − 1)a( a + 1)(a + 2) + 5a( a − 1)(a + 1) Do: 
(a − 2)(a − 1) a(a + 1)( a + 2)
 là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên:  (a − 2)(a − 1) a(a + 1)( a + 2)M5  và 
5a (a − 1)(a + 1)  là bội của 5 nên:  5a (a − 1)(a + 1)M5
Do đó:  a 5 − aM5 . Chứng minh tương tự:  b5 − bM5
M M5
2

2a
(1,5)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

2b
(1,5)

x2 + y 2 − 4x − 2 y + 5 = 0
( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 0
x = 2  và  y = 1

( x 2 − 4 x + 4) + ( y 2 − 2 y + 1) = 0

0,5
0,5
0,5

x − 2015 x + 2007 x + 2006 x − 2018
+
=
+
2010
2012
2011
2013
x − 2015
x + 2007
x + 2006
x − 2018
+1+
−1 =
−1+
+1
2010
2012
2011
2013
x − 2015 2010 x + 2007 2012 x + 2006 2011 x − 2018 2013
+
+
−
=

−
+
+
2010
2010
2012
2012
2011
2011
2013
2013
x −5 x −5 x −5 x −5
1
1
1
1
+
=
+
( x − 5)(
−
+
−
)=0
2010 2012 2011 2013
2010 2011 2012 2013
1
1
1
1

x=5    [do:  (
−
+
−
) > 0]
2010 2011 2012 2013

Ta có: 

2c
(1,5)
 

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.

0,5
0,25

0,25
0,25
0,25

2d
(1,5)

x 4 − 11x 2 + 4 x + 21 = 0

0,25

x 4 − 10 x 2 + 25 − ( x 2 − 4 x + 4) = 0

( x 2 − 5) 2 − ( x − 2) 2 = 0  

( x 2 + x − 7)( x 2 − x − 3) = 0

0,25

( x 2 + x − 7) = 0  Hoặc    ( x 2 − x − 3) = 0

TH 1.  ( x 2 + x − 7) = 0
2

[(2 x + 1) 2 − 29 ] = 0
x=

(4 x 2 + 4 x − 28) = 0

(2 x + 1 − 29)(2 x + 1 + 29] = 0

−1 + 29
−1 − 29
 Hoặc  x =
.
2
2

2

[(2 x) 2 + 2.2 x + 1) − 29 ] = 0

0,25

TH 2.  ( x 2 − x − 3) = 0

(4 x 2 − 4 x − 12) = 0

2

[(2 x − 1) 2 − 13 ] = 0
x=

2

[(2 x) 2 − 2.2 x + 1) − 13 ] = 0

(2 x − 1 − 13)(2 x − 1 + 13] = 0

0,25

1 + 13
1 − 13
 Hoặc x =
.
2
2

Vậy tập nghiệm của PT là: S =

−1 − 29 −1 + 29 1 + 13 1 − 13 
;

;
;
�
2
2
2
2

0,25

0,25
Bài 3. (4,0 điểm)
a. Chứng minh  a 2 + b 2 + c 2
với mọi số thực a, b, c.

ab + bc + ca   và  ( a + b + c )

2

3(ab + bc + ca ) . 

b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính 
phương.                      P = ( x+5 ) ( x+7 ) ( x + 9 ) ( x + 11)  +  16.
3a

2.0

a. Chứng minh  a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca   và 
2
( a + b + c ) 3(ab + bc + ca) . với mọi số thực a, b, c.

Ta có:  a 2 + b 2 2ab ;  b 2 + c 2 2bc ;  c 2 + a 2 2ac  Với mọi a, b, c.
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
2(a 2 + b 2 + c 2 ) 2(ab + bc + ca )
a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca  (ĐPCM).
ab + bc + ca
a + b + c + 2(ab + bc + ca ) 3( ab + bc + ca )
(a + b + c)2 3(ab + bc + ca ) (ĐPCM).

0,5
0,5

Ta có:  (a 2 + b 2 + c 2
2

3b
2.0

2

2

Ta có:  P = ( x+5 ) ( x+7 ) ( x + 9 ) ( x + 11)  +  16.

P = ( x + 5)( x + 11)( x + 7)( x + 9) +  16.
P = ( x 2 + 16 x + 55)( x 2 + 16 x + 63)+ 16.
P = ( x 2 + 16 x + 55) 2 + 8( x 2 + 16 x + 55)+ 16.
P = ( x 2 + 16 x + 55) 2 + 2( x 2 + 16 x + 55).4+ 42 .
P = ( x 2 + 16 x + 59) 2 . Vơi x là số nguyên thì P là một số CP.

Bài 4. (6,0 điểm)       

Cho tam giác ABC vuông tại A  ( AC   AB) . Vẽ đường cao AH 
( H BC ) . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K 
kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5


a. Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.
b.Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC.
c.Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung 
trực của đoạn thẳng AK.
d. Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC.
0.5

0.5

I
K

B

1

H

Q
P

4.a
1 đ
4b
1.5

1

S

C

A

1

 Chứng minh:  ∆ ABC      ∆ KPC ( G.G)

 Chứng minh:  ∆SAKC      ∆ BPC 
Ta có:  ∆S ABC      ∆ KPC ( Cmt) 

AC BC
=
KC PC

AC KC
ﾷ

  Và  ﾷACB = BCK
=
BC PC

Do đó:  ∆S AKC      ∆ BPC  ( C.G. C)
4c

. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của 

1.5

Ta có:  AQ = KQ =

PB
 (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam 
2

Lại có:  HK = HA  (Giả thiết). Do đó: QH là đường trung trực của AK.
d. Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC.

(1.5)

0.5

đoạn thẳng AK.

giác vuông).

4d

1

0,75
0,75

S
ﾷ
Ta có:  ∆ AKC      ∆ BPC (cmt)  BPC
= ﾷAKC
ﾷ
mà  ﾷAKC = 450 ( Do tam giác HKC vuông cân tại H)  BPC
= 450
0,25
ﾷ
ﾷ
Mặt khác:  BHQ
= KHQ
= 450 (HQ là đường trung trực của đoạn thẳng AK)
ﾷ
ﾷ
BHQ
= BPC
= 450
Xét :  ∆ BHQ  và  ∆ BPC có.

ﾷ
ﾷ
   HBQ
 (  Q
= PBC

BP; H

BC )

ﾷ
ﾷ
BHQ
= BPC
= 450 . Do đó:  ∆SBHQ     ∆ BPC  ( G.G)

S

S

0,5

S
S

0.5

S

0.25

S