Ứng dụng kết quả của bài hình trong sgk vào giải bài tập

Phần II: Giải quyết vấn đề:
Trong phần này tôi xin nêu một ví dụ điển hình về ứng dụng kết quả của bài toán
trong sách giáo khoa hình học lớp 9:
Bài 1: (Bài 23-sgk-trang 76-hình học lớp 9-tập II)
Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ hai cát
tuyến MAB và MCD với đờng tròn.
Chứng minh rằng: MA.MB = MC.MD
D
C
O
B
A
M
GT: MAB và MCD là hai cát tuyến của (O)
KL: MA.MB = MC.MD.
Chứng minh:
Xét MAD và MCB có:
M là góc chung; MBC = MDA ( cùng chắn cung AC)

MAD ~ MCB
MDMCMBMA
MB
MD
MC
MA
..
==
(đpcm)
Bài 2:( Bài 33-sgk-trang 80-hình học lớp 9-tập II)
Cho đờng tròn (O) và một điểm M bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ tiếp tuyến
MT và cát tuyến MAB.

Chứng minh rằng MT
2
= MA.MB.
O
B
A
T
M
GT: (O) ; MT là tiếp tuyến (O)
MAB là cát tuyến.
KL: MT
2
= MA.MB
Chứng minh:
Xét MTA và MBT có
M chung;
MTA = TBM ( góc nội tiếp và góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AT)

MTA ~ MBT
MBMAMT
MT
MA
MB
MT
.
2
==
(đpcm)
Đây là hai bài toán khá đơn giản song kết luận của bài toán khá quan trọng giúp
chúng ta giải quyết đợc mộp lớp bài toán có liên quan đến kết luận của hai bài toán này.

Sau đây là các bài toán mà trong quá trình giải sử dụng kết quả của hai bài toán trên.
Bài 3:
Cho đờng tròn (O) và một điểm M cố định bên ngoài đờng tròn đó. Qua M kẻ cát
tuyến MAB với đờng tròn.
Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến.
Chứng minh:
Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT với đờng tròn (O)
Theo kết quả của bài toán 2. Ta có:
MTA ~ MBT
MBMAMT
MT
MA
MB
MT
.
2
==
Do M cố định nên đoạn thẳng MT không đổi

MA. MB không phụ thuộc vào vị trí của cát
tuyến MAB.
O
B
A
T
M
Nhận xét: Đây là bài toán không đơn giản đối với học sinh trung bình và khá nếu học
sinh cha biết đến hai bài toán trên. Bài toán 3 chẳng qua là cách phát biểu khác với bài
toán 1 và bài toán 2.
Bài 4: Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B . Kẻ tiếp tuyến chung MN của

hai đờng tròn ( M (O); N (O'); đờng thẳng AB cắt MN tại I.
Chứng minh rằng: I là trung điểm của MN.
Chứng minh:
Sử dụng kết luận của bài toán 2 .Ta có:
Xét (O)

IM
2
= IA . IB
Xét (O')

IN
2
= IA . IB

IM
2
= IN
2


IM = IN

I là trung điểm
của đoạn MN.
I
O'
O
M
N

B
A
Nhận xét: Bài toán 4 đợc tạo ra từ bài toán 2 song mức độ khó hơn nếu học sinh không
có t duy linh hoạt sáng tạo thì rất khó tìm ra ngay lời giải của bài toán 4. Tuy nhiên nếu
biết khai thác kết luận của bài toán 2 thì lời giải thật đơn giản.
Bài 5:
Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn.
Gọi BD là dây của đờng tròn song song với AC, E là giao điểm của AD với đờng tròn, I
là giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng I là trung điểm của AC.
Hớng dẫn HS dựa vào bài toán 2 tìm cách chứng
minh .
Ta cần chứng minh: IC = IA
Theo bài toán 2 ta có: IC
2
= IE . IB
Vậy ta chỉ cần chứng minh: IA
2
= IE . IB.
Để có IA
2
= IE. IB ta chứng minh IAE ~ IBA
I
E
D
C
O
B
A
Chứng minh:
Theo kết quả của bài toán 2 ta có: IC

2
= IE. IB (1)
Có : AC // BD

BDA = IAE ( so le)
Mà BDA = ABI ( Góc nội tiếp và góc tạo bởi 1tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE)


IAE = IBA.
Xét IAE và IBA có I chung; IAE = IBA.

IAE ~ IBA


IA
IE
IB
IA
=


IA
2
= IE . IB (2)
Từ (1) và (2)

IC
2
= IA
2

IC = IA

I là trung điểm của AC.
Nhận xét: Trong bài toán này nhờ có kết quả của bài toán 2 nên con đờng tìm dến lời
giải dễ dàng mạch lạc hơn.
Bài 6:
Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 2cm. Tính bán kính của đờng tròn đi qua A
và B biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đờng tròn đó bằng 4cm.
Chứng minh:
Gọi F là giao điểm của DA với đờng tròn (O)
Có FAB = 90
0


FB là đờng kính.
áp dụng bài toán 2 ta có:
DE
2
= DA. DF = DA( DA + AF )

16 = 2.( 2 + AF ) => AF = 6 (cm)
ABF có A = 90
0
Ta có:
BF
2
= AB
2

+ AF
2
= 2
2
+ 6
2
= 40

BF = 2
10
Vậy bán kính đờng tròn là
10
cm.
O
F
E
D C
BA
Bài 7:
Qua điểm A nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ cát tuyến ABC với đờng tròn. Các tiếp
tuyến của đờng tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đờng vuông góc với AO, cắt
AO tại H và cắt đờng tròn (O) tại E và F ( E nằm giữa K và F ). Gọi M là giao điểm của
OK và BC. Chứng minh rằng tứ giác EMOF nội tiếp đờng tròn.
Hớng dẫn học sinh tìm lời giải.
Để tứ giác EMOF nội tiếp ta cần chứng minh
F
1
= M
1
muốn vậy ta chỉ ra KME ~ KFO

cần có thêm KE . KF = KM . KO
theo bài toán 2 thì KE . KF = KC
2
nên ta chỉ cần
chứng tỏ
KM . KO = KC
2

Chứng minh:
1
1
H
M
K
O
F
E
C
B
A
Từ kết luận của bài toán 2 ta có : KC
2
= KE . KF (1)
KCO có C = 90
0
, CM OK

KC
2
= KM. KO (2)

Từ (1)(2)

KE . KF = KM . KO


KF
KM
KO
KE
=
KEM và KOF có K là góc chung;
KF
KM
KO
KE
=

KEM ~ KOF

M
1
= F
1
mà M
1
+ EMO = 180
0


F

1
+ EMO = 180
0


Tứ giác EMOF nội tiếp đợc đờng tròn.
Bài 8:
Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao AD, trực tâm H. Gọi AM, AN là các tiếp
tuyến với đờng tròn (O) đờng kính BC ( M, N là các tiếp điểm ) Chứng minh rằng
a/ AMDN là tứ giác nội tiếp.
d/ M,H,N thẳng hàng.
Hớng dẫn tìm cách chứng minh M,H,N thẳng
Ta cần chứng tỏ AHN + AHM = 180
0
trong khi biết AND + AMD = 180
0
Ta cần chứng tỏ: AHN =AND;
AHM = AMD
Để chứng tỏ: AHN =AND; ta cần chứng minh
AHN ~ AND cần có thêm AN
2
= AH.AD
Theo bài toán 2 ta có: AN
2
= AE. AC
Ta cần chỉ ra AH. AD = AE.AC điều này có đợc từ
bài toán 1 do DHEC là tứ giác nội tiếp.
N
H
M

O
E
D
C
B
A
Chứng minh:
a/ Dễ chứng minh đợc các điểm A,M,D,N thuộc đờng tròn đờng kính AO.
b/ Có AN là tiếp tuyến; AEC là cát tuyến của đờng tròn (O) nên theo bài toán 2
ta có : AN
2
= AE. AC (1)
Dễ thấy tứ giác DHEC nội tiếp (E + D =180
0
) nên AHD và AEC là hai cát tuyến
theo bài toán 1 ta có: AH.AD = AE.AC (2)