Chuyển pha lượng tử siêu chảy – điện môi Mott trên mô hình Bose – Hubbard trong gần đúng Bogoliubov (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
----------------------------

Họ và tên: Vũ Thị Thu Hằng

TÊN ĐỀ TÀI: CHUYỂN PHA LƯỢNG TỬ SIÊU CHẢY- ĐIỆN
MÔI MOTT TRÊN MÔ HÌNH BOSE-HUBBARD TRONG GẦN
ĐÚNG BOGOLIUBOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ

Hà Nội - 2019

1


BỘ GIÁO DỤC

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Họ và tên: Vũ Thị Thu Hằng
TÊN ĐỀ TÀI: CHUYỂN PHA LƯỢNG TỬ SIÊU CHẢY- ĐIỆN
MÔI MOTT TRÊN MÔ HÌNH BOSE-HUBBARD TRONG GẦN
ĐÚNG BOGOLIUBOV
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ : VẬT LÝ
NGƯỜI HD KHOA HỌC : GS.TS NGUYỄN TOÀN THẮNG

Hà Nội - 2019

2


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và sự hướng
dẫn của giáo viên hướng dẫn. Luận văn không có sự sao chép tài liệu, công
trình nghiên cứu của người khác mà không chỉ rõ trong mục tài liệu tham
khảo. Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chưa được ai công bố
dưới bất kỳ hình thức nào. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà
trường về sự cam đoan này.

Hà Nội, 10 - 2019
Học viên

Vũ Thị Thu Hằng

3


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập và làm việc tại Viện Vật lý, dưới sự hướng dẫn của
GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng, tôi đã học hỏi được rất nhiều kiến thức Vật lý,
Toán học. Để hoàn thành được Luận văn Thạc sĩ này và để có thể trở thành một
người có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến người thầy
hướng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu quý
cũng như lòng kính trọng của mình. Một lần nữa tôi xin cảm ơn các thầy và
GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung chính của luận
văn Thạc sĩ.
Tôi xin chân thành cảm ơn Học viện khoa học và công nghệ,Viện
Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại Viện,
phòng sau đại học đã hỗ trợ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được dành tất cả những thành quả trong học tập
của mình dâng tặng những người thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo
từng bước chân tôi.
Hà Nội, 10 - 2019
Học viên

Vũ Thị Thu Hằng

4


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ...........................................................................................................

1. Lý do chọn đề tài…………………………………………………………...1
2. Đối tượng nghiên cứu .....………………………………………………….1
3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu……………………………………..2
4. Cấu trúc luận văn...........................................................................................2
CHƯƠNG 1: CHUYỂN PHA NHIỆT ĐỘNG HỌC VÀ CHUYỂN PHA
LƯỢNG TỬ
1.1. Các khái niệm chung về chuyển pha
1.2. Thí dụ về chuyển pha nhiệt động học: ngưng tụ Bose Einstein và siêu
chảy.
1.3. Chuyển pha lượng tử
1.4. Mô hình Hubbard.
CHƯƠNG 2: CÁC PHA TRONG HỆ NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA SIÊU
LẠNH TRONG MẠNG QUANG HỌC.
2.1. Khái niệm mạng quang học các nguyên tử trung hòa
2.2. Ngưng tụ Bose – Einstein và siêu chảy trong mạng quang học.
2.3. Pha siêu tinh thể trong mạng quang học.
2.4. Chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott
CHƯƠNG 3: CHUYỂN PHA LƯỢNG TỬ SIÊU CHẢY- ĐIỆN MÔI
MOTT TRONG GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV
3.1. Gần đúng Bogoliubov
3.2. Chéo hóa Bogoliubov
3.3. Chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott trong gần đúng Bogoliubov.
KẾT LUẬN .....................................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................

5


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

Các hiện tượng chuyển pha và đồng tồn tại các pha đang là vấn đề thu hút sự
quan tâm của các nhà khoa học bởi hai lí do. Về mặt vật lý, các hiện tượng
này còn nhiều vấn đề bỏ ngỏ cần được làm rõ. Về mặt thực tiễn, hiệu ứng
chuyển pha là cơ sở cho việc chế tạo các vật liệu thông minh khi một tác
động nhỏ của môi trường có thể làm thay đổi một cách đáng kể tính chất của
vật liệu.
Trong thời gian gần đây, chuyển pha trong hệ các nguyên tử siêu lạnh đang
trở thành một hướng nghiên cứu nóng, thu hút sự quan tâm của các nhà
nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là các nhà vật lý [1,3,4], đặc biệt là
sau sự phát hiện bằng thực nghiệm hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein [5,6,7]
năm 1995 của các nhà khoa học E.A.Cornell, C.E.Wieman, và W. Keterle mà
sau đó được giải thưởng Nobel vào năm 2001. Hệ nguyên tử siêu lạnh trên
mạng quang học hấp dẫn các nhà nghiên cứu bởi sự tồn tại đa dạng các pha
khác nhau. Trước hết các nguyên tử trung hòa có thể cư trú trên các nút mạng
cấu trúc tuần hòa. Các nguyên tử trung hòa này ở nhiệt độ thấp có thể ngưng
tụ một cách vĩ mô ở trạng thái cơ bản (hiện tượng BEC trong các bẫy). Do
cấu trúc tuần hoàn của mạng và khả năng xuyên ngầm, các nguyên tử vừa có
thể nhảy từ nút nọ sang nút kia như một giả hạt Bloch [8,9]. Ở nhiệt độ thấp
các giả hạt này là boson nên có thể dịch chuyển không ma sát tức là có thể ở
trạng thái siêu chảy. Đồng thời do tương tác trên một nút, khi thế năng áp đảo
động năng chúng có thể định xứ. Như vậy, hệ nguyên tử siêu lạnh trong
mạng quang học có thể ở pha siêu chảy khi chúng là linh động, nhưng cũng
có thể ở pha định xứ [10], tương tự như electron có thể ở pha kim loại, nhưng
cũng có thể ở pha điện môi Mott trong các vật liệu đất hiếm hay kim loại
chuyển tiếp [1,11]. Hệ điện tử như thế được gọi là hệ điện tử tương quan
mạnh và được mô tả bằng mô hinh Hubbard [1,2,11]. Trong mạng quang học
các nguyên tử trung hòa được mô tả bằng Hamiltonian Bose - Hubbard và
thay vì chuyển pha kim loại điện môi- Mott [11] là chuyển pha siêu chảyđiện môi Mott [9,12,13]. (Thực ra là siêu chảy- định xứ, nhưng để tương ứng
với elctron người ta gọi là điện môi Mott cho dù ở pha siêu chảy thì hệ
nguyên tử trung hòa vẫn là điện môi). Với mục đích tìm hiểu vấn đề lý thú

này, tôi chọn đề tài luận văn là : Chuyển pha lượng tử siêu chảy- điện môi
Mott trên mô hình Bose-Hubbard trong gần đúng Bogoliubov

1


2.Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang
học được mô tả bằng mô hình Bose – Hubbard.
Nghiên cứu hiện tượng chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott trong
gần đúng Bogoliubov.
3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu.
Đề tài đặt ra những mục tiêu sau đây:
Thu thập và lọc lựa tài liệu về chuyển pha nhiệt động học và chuyển pha
lượng tử, về các pha trong hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh, đặc biệt là
chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott. Thực hiện một số tính toán giải tích
nghiên cứu chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott dựa trên gần đúng
Bogoliubov khi thay số hạng tương tác chứa bốn toán tử bằng số hạng
chứa hai toán tử.
Phương pháp tính toán là sử dụng phương pháp lý thuyết trường
lượng tử áp dụng cho hệ nhiều hạt mà tôi được học trong chương trình cao
học [3].
Qua việc hoàn thành đề tài luận văn, tôi được rèn luyện kỹ năng tiếp
cận một vấn đề mới, mở rộng tầm hiểu biết về một vấn đề hiện đại, học
một số phương pháp tiếp cận hiện đại của vật lý lý thuyết và áp dụng trong
một bài toán cụ thể.
2. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn như sau:
Chương 1: Chuyển pha nhiệt động học và chuyển pha lượng tử
Chương 2: Các pha trong hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh trên

mạng quang học.
Chương 3: Chuyển pha lượng tử siêu chảy - điện môi Mott trong
gần đúng Bogoliubov.

2


Chương I : Chuyển pha nhiệt động học và chuyển pha lượng tử
1.1 Các khái niệm chung về chuyển pha
1.1.1 Khái niệm pha [14]:
Pha trong nhiệt động học và trong vật lý thống kê được định nghĩa như một trạng
thái của hệ đồng nhất. Thí dụ ta cứ thêm muối vào một bát nước ta ngoáy đều, ban
đầu ta sẽ có hệ đồng nhất nhất là nước muối. Sau khi nước muối bão hòa ta sẽ có
hai hệ đồng nhất trong bát còn gọi là hai pha: nước muối và muối tinh thể ở đáy.
Trong thí dụ này ta thay đổi tỷ lệ muối và nước để thay đổi pha. Dưới đây ta sẽ xét
sự chuyển pha do thay đổi một biến nhiệt động học nào đó của hệ như nhiệt đọ T,
áp suất P, thể tích V hoặc trường ngoài như điện trường, từ trường. Thí dụ ta xét hệ
có thành phần hóa học cố định là các phân tử nước H2O. Nước tùy thuộc nhiệt độ
có thể tồn tại ở ba trạng thái đồng nhất tức là ba pha khác nhau: khí, lỏng, rắn. Các
trạng thái này khác nhau về khối lượng riêng, nhiệt dung, các tính chất cơ và
quang học. Nếu ta tăng áp suất lên trạng thái rắn của nước ta có thể thu được một
vài pha rắn khác nhau với cấu trúc tinh thể khác nhau. Một cách tổng quát, cùng
môt hệ rắn hoặc lỏng có thể tồn tại một vài cách sắp xếp nguyên tử hoặc phân tử
tương ứng với các pha khác nhau. Chuyển pha là hiện tượng được quan sát từ rất
lâu trong tự nhiên (thí dụ các giọt nước trong mây), trong cuộc sống thường ngày
và trong 5 thuật ( thí dụ quá trình bốc hơi nước ở 100% trong các động cơ hơi
nước, quá trình chuyển pha rắn - lỏng trong công nghiệp luyện kim chuyển pha
phổ biến nhất là khi nhiệt độ thay đổi và được gọi là chuyển pha nhiệt động ở nhiệt
độ mà có sự thay đổi trạng thái đồng nhất của hệ được gọi là nhiệt độ chuyển pha
ký hiệu là Tc. Chuyển pha có thể kèm theo nhiệt ẩn: hệ thu nhiệt hay tỏa nhiệt trong

quá trình chuyển pha, nhưng cũng có thể có chuyển pha không kèm theo nhiệt ẩn.
Tại điểm chuyển pha đại lượng vật lý đặc trưng cho tính chất đặc trưng cho mỗi
pha có thể thay đổi một cách gián đoạn, nhưng cũng có thể thay đổi một cách liên
tục.
Người ta có thể mô tả một cách dễ hiểu các pha bằng giản đồ pha trên đó hai trục
x, y có thể là các biến nhiệt động học thí dụ áp suất P và nhiệt độ T. Các đường
cong trên mặt phẳng (P, T) sẽ mô tả các biên phân biệt các pha. Ta xét một ví dụ
cụ thể các điều đã nêu ở trên với hệ các phân tử nước H2O. Ta hãy xét khối lượng
riêng  (T) như là hàm của nhiệt độ T.
Nếu nhiệt độ tăng khi giữ áp suất không đổi và bằng một atmosphere (đường đứt
nét trên hình 1.1) thì ban đầu ở thể rắn, sẽ chuyển sang pha lỏng ở T=00 C với khối
lượng riêng ~ 1g/cm3 và khi T đạt 100o C sẽ là pha khi với mật độ cỡ 0,001g/cm3,
tức là mật độ thay đổi gián đoạn nếu đồng thời thay đổi cả áp suất P và nhiệt độ T,
thì hệ sẽ tồn tại ở hai trạng thái khác nhau dọc theo đường biên AB cho đến
Tc=3740C, Pc= 220 atm thì chỉ còn pha khi tồn tại. Tại điểm P khối lượng riêng

3


thay đổi một cách liên tục và chỉ có hệ số giãn nở nhiệt là đạo hàm bậc 2 của hệ
nhiệt động là thay đổi một cách liên tục.

H1.1 Giản đồ pha của hệ phân tử H20)
Một thí dụ khác là chuyển pha thuận từ - sắt từ ở một số vật liệu từ chứa sắt khi
nhiệt độ xuống thấp hơn nhiệt độ Tc nào đó cho mỗi vật liệu thì hệ từ chỗ có độ từ
hóa bằng 0 (thuận từ) chuyển sang trạng thái có độ từ hóa ≠0 (sắt từ) cho dù
không có trường ngoài. Chuyển pha sắt từ - thuận từ không phải do sự thay đổi
thành phần hóa học của vật liệu hay sự thay đổi của nồng độ hạt mà do sự tái định
hướng momen từ của các nguyên tử sắt.
Hai thí dụ trên là chuyển pha gắn với sự thay đổi trong không gian thực còn có N

⃗
chuyển pha xảy ra trong không gian xung lượng, thường được gọi là không gian 𝑘
(mặc dù các đặc tính của nó quan sát được trong không gian thực) như chuyển pha
siêu chảy – chất lỏng thông thường của He lỏng Tc= 2,2 K, hay ngưng tụ Bose –
Einstein trong hệ nguyên tử trung hòa trong các bẫy ở Tc ≈ 10−7 𝐾 mà ta xét
cụ thể sau.
1.1.2. Phân loại chuyển pha động học
1.1.2.1 Phân loại kiểu nhiệt động học của Ehrenfest [14,15]
Để mô tả chuyển pha ta phải sử dụng nhiệt động học và vật lý thống kê hệ nhiều
hạt trong nhiệt động học mỗi trạng thái của hệ đặc trưng bởi một năng lượng đặc
trưng nếu có. Nếu hệ xác được xác đinh bởi các biến nhiệt động học (P,T,V) thì
năng lượng đặc trưng sẽ là thế nhiệt động. Một phần năng lượng tự do là năng
lượng của hệ ở T = 0 K còn phần kia là phụ thuộc entropy và nhiệt độ. Nếu các
biến độc lập là P và T thì thể nhiệt động là năng lượng tự do Gibbs.

4


G=E - T S+ PV , còn nếu biến độc lập là T và V thì thế nhiệt động là năng lượng
tự do Helmoltz F=E- TS . Vi phân của của các thể nhiệt động là
dG  SdT  VdP
dF  SdT  PdV

(1.1)

⃗ ta thêm vào (1.1) số hạng MdH
nếu có từ trường ngoài 𝐻
⃗⃗ là moment từ còn nếu số hạt trong hệ thay đổi ta thêm vào 𝜇 dN,
trong đó 𝑀
trong đó 𝜇 là thế hóa học.

Năm 1933 Ehrenfest đã đề xuất phân loại chuyển pha dựa trên các hệ nhiệt động
học của hệ như sau:
i)

Chuyển pha bậc nhất là khi các đại lượng như mật độ, entropy …. liên
quan tới đạo hàm bậc nhất của các thế nhiệt động học là gián đoạn tại
điểm chuyển pha:

 G 
 G 
S  
 , V

 T P
 P T

(1.2)

Như vậy chuyển pha bậc nhất là chuyển pha kèm theo nhiệt ẩn vì nhiệt ẩn liên
quan tới tính gián đoạn của entropy, thí dụ chuyển pha lỏng khí ở đoạn AB
trên hình 1.1 ta thấy chuyển pha có kèm theo nhiệt ẩn và mật độ hạt thay đổi
đổi gián đoạn.
ii)

Chuyển pha bậc 2 là chuyển pha khi thế nhiệt động và đạo hàm bậc
nhất của chúng liên tục, nhưng đạo hàm bậc 2 theo biến của trạng thái
tiến tới 0 hay tiến tới vô cùng ở điểm chuyển pha. Ta xet:
  2G   S 
  2   
 T   T 

T



Cp

  2G 
 V 
kTV    c    

 p 
 p T

T

(1.3)

trong đó CP là nhiệt dung đẳng áp, KT là hệ số nén đẳng nhiệt. Thí dụ các đại lượng
này tiến tới vô cùng ở chuyển pha lỏng-khí ở điểm B và ở TC= 217K ở chuyển pha
siêu chảy của Helium 4.
Chuyển pha bậc hai không kèm theo nhiệt ẩn vì entropy là liên tục.
Phân loại chuyển pha của Ehrenfest có thể được mở rộng cho chuyển pha bậc n
cao hơn là khi thế nhiệt động học và đạo hàm tới bậc n-1 là liên tục, nhưng đạo
hàm bậc n là liên tục gián đoạn. Các phân loại như của Ehrenfest khá thuận lợi,

5


nhưng chưa đầy đủ cho một số các loại chuyển pha,thí dụ chuyển pha ở
T=0K.Vì vậy theo Landau đã đề xuất một cách phân loại khác dựa vào khái

niệm tham số trật tự .
1.1.2.2. Phân loại theo Landau [14]
Năm 1937 Landau đã chú ý rằng chuyển pha khi không kèm theo tỏa hoặc thu
nhiệt luôn kèm theo sự thay đổi tính chất đối xứng của hệ, ngoại trừ chuyển pha
khí lỏng ở điểm B trên hình 1.1. Thí dụ xét chuyển pha thuận từ - sắt từ khi nhiệt
độ lớn hơn nhiệt độ của T > TC thì các moment từ có hướng lộn xộn và độ từ
hóa của vật liệu bằng 0. Hệ moment từ có đối xứng đẳng hướng. Khi T≤ TC thì
các moment từ sẽ cùng theo một hướng. Như vậy tính chất đối xứng quay xung
quanh một trục bất kỳ trong không gian ở pha thuận từ bị phá vỡ mặc dù không
có tác dụng của từ trường ngoài được gọi là phá vỡ đối xứng tự phát. Ở pha sắt
từ đối xứng quanh một trục bất kì đã giảm xuống chỉ còn đối xứng quay quanh
một trục trùng với hướng của moment từ tự phát. Landau đã đưa vào khái niệm
tham số trật tự liên quan tới sự phá vỡ đối xứng tự phát này. Nói chung tham số
trật tự là một đại lượng vật lý bằng 0 ở pha đối xứng cao và khác 0 ở pha trật tự
(đối xứng thấp hơn).
Cho chuyển pha sắt từ - thuận từ thì tham số trật tự là độ từ hóa tự phát, còn
chuyển pha sắt điện – thuận điện thì tham số trật tự là độ phân cực điện tự phát
của hệ. Như vậy nếu sử dụng khái niệm tham số trật tự ta có thể phân loại
chuyển pha theo Landau như sau:
i) Chuyển pha mà không có tham số trật tự đúng nghĩa (tức là đại lượng vật lý
liên quan trực tiếp với tính đối xứng của hệ) thì được gọi là chuyển pha bậc nhất
giống như trong phân loại của Ehrenfest.
ii) Chuyển pha trong đó có thể xác định tham số trật tự gắn liền với tính đối
xứng của hệ: nhóm đối xứng của pha trật tự là nhóm con của nhóm đối xứng của
hệ ở pha mất trật tự. Nếu tham số trật tự thay đổi một cách gián đoạn ở điểm
chuyển pha thì chuyển pha đó được gọi là không liên tục, còn nếu nó liên tục
còn được gọi là chuyển pha liên tục.
1.1.3. Trật tự tầm gần và tầm xa, trật tự chéo và không chéo [4]
1.1.3.1. Khái niệm trật tự tầm xa chéo (Diogonal Long Range Order - DLRO)
[24]

Trước hết xét trong không gian tọa độ liên tục. Gọi


và

là các toán tử

trường (hủy và sinh hạt tại r ). Tùy theo hệ boson hay fermion mà
và
thỏa mãn các hệ thức giao hoán hay phản giao hoán. Ma trận mật độ một hạt của
hệ được định nghĩa như sau:

6


(1.4)
Trong đó < > là lấy u bình nhiệt động học (khi N, V   thì N/V  hữu hạn
không đổi, N là số hạt, V là thể tích). Trung bình của toán tử Aˆ tương ứng với
đại lượng vật lý A định nghĩa là

ˆ  Tr ˆ A
ˆ
A

(1.5)

trong đó ˆ là ma trận mật độ ứng với Hamiltonian đã cho (1.4) được gọi là ma
 

trận vì nếu coi r và r’ là hai chỉ số thì n(1) (r , r ' ) là yếu tố ma trận của ma trận nij

(∞∞), các chỉ số i, j của nij là biến liên tục.


 



 



Nếu r  r ' thì ma trận mật độ một hạt n(1) (r , r ' )  n(r , r )  n(r ) được gọi là mật độ


chéo hay phân bố một hạt. Nếu n(r ) thỏa mãn:
n(r  a  )  n(r)

(1.6)



trong đó a là bộ các vecto bất kỳ, khác không, thì người ta nói rằng hệ có trật
tự tầm xa chéo. Ta thấy pha tinh thể của vật liệu là hệ có trật tự tầm xa chéo. Pha


lỏng là khi mật độ hạt n(r ) là hằng trong toàn chất lỏng, nên không phá vỡ đối
xứng tịnh tiến và không có DLRO, nhưng có trật tự tầm gần, còn pha khí không
có trật tự gì.
Xét hệ hạt phân bố sẵn trên mạng xác định bởi các vecto cơ sở




và các nút



mạng Ri . Mật độ hạt n(r ) chỉ phụ thuộc Ri tức là n(r ) = n( ). Hệ được gọi là
có trật tự tầm xa chéo, nếu:
 

n Ri  C  n( Ri )







(i  1, 2... N )

với điều kiện C không trùng với các vectơ cơ sở

(1.7)


của mạng Ri .

1.1.3.2. Khái niệm trật tự tầm xa không chéo (Off Diogonal Long Range
Order – ODLRO) [4]

7


Ma trận mật độ một hạt được định nghĩa theo (1.4) nếu thỏa mãn n(1)(r,r’)

 no0 khi |r-r’|  ∞ thì ta nói rằng hệ có trật tự tầm xa không chéo. Ý nghĩa
của ODLRO là sự có mặt của hạt ở r ' tương quan với sự có mặt của hạt ở r .
Mở

rộng

cho

trường

hợp

các

hạt

phân

bố

trên

mạng,

nếu

 
n ij(1)  aˆ i aˆ j  n o  0 khi độ lớn của Ri  R j   thì nói rằng hệ hạt trên mạng

có trật tự tầm xa không chéo (ODLRO). Các pha BEC và siêu chảy là các pha có
trật tự tầm xa chéo.
1.2. Thí dụ về chuyển pha nhiệt động học: ngưng tụ Bose Einstein và siêu
chảy.
1.2.1. Ngưng tụ Bose-Einstein trong khí boson lý tưởng [3,4,8]
Ngưng tự Bose –Einstein (Bose-Einstein Condensation: BEC) là khi hệ các
boson ở nhiệt độ rất thấp thì có một số rất lớn (gọi là lớn vĩ mô) các boson ở
cùng một trạng thái lượng tử với mức năng lượng nhỏ nhất. Ta cần chú ý là ở
trạng thái lượng tử chứ không phải là ngưng tụ ở một vùng nào đó trong không
gian, mặc dù nếu trong các bẫy thì cũng tập trung ở một vùng không gian nhỏ.
Ta chỉ giới hạn hệ các boson không tương tác, tự do trong không gian.
Xét hệ hạt boson lý tưởng không tương tác, khi đó Hamiltonian là tổng các
Hamiltonian độc lập của từng hạt.
ˆ  H
ˆ (1)
H
i

(1.8)

i

Các vecto riêng k lúc này là tập hợp ni  các số lấp đầy ni của trạng thái
một hạt i. Tổng thống kê hệ boson không tương tác



Z  ,     1  e     i 



1

(1.9)

i

Tổng số hạt của hệ :
N 
i

1
  ni (1.10)
exp  i     1 i

ni là số hạt trung bình (số lấp đầy trung bình của trạng thái i).

ni  



ln Z  exp   ( i   )   1
 i

8

1

(1.11)


Vế phải (2.16) chính là hàm phân bố Bose-Einstein quen thuộc.
Từ (2.16) suy ra điều kiện ràng buộc quan trọng cho thể hóa học của hệ
boson lý tưởng:  < o với o là mức năng lượng thấp nhất của Hamiltonian một
hạt H(1), vì nếu không, số lấp đầy sẽ là âm. Khi  < o- (tiến từ phía dưới) thì số
lấp đầy trạng thái thấp nhất là lớn.
No  no  exp ( o   )  1

1

(1.12)

Nhưng No không thể là vô cùng vì còn điều kiện (1.10)
N = No + NT
NT  NT T,    ni T ,  

với

(1.13)
(1.14)

i o

Các công thức (2.17) và (2.19) là bản chất của hiện tượng ngưng tụ Bose Einstein (Bose Einstein Condensation - BEC). No là số hạt ngưng tụ còn NT
là số hạt ở ngoài ngưng tụ. Khi T tăng, NC tăng, nhiệt độ TC xác định từ điều

kiện:
N T  TC ,   0   N

(1.15)

và được gọi là điều kiện tới hạn của ngưng tụ BE.
Ý nghĩa của nó là: khi T < TC thì NC < N, vì vậy No = N – NT > 0 và có độ lớn vĩ
mô (cùng bậc với N), còn số hạt ở các mức khác bậc đơn vị ~1. Người ta dùng
khái niệm khí để mô tả hệ loãng (delute) không có tương tác.
Trong mô hình hình hộp ba cạnh cùng có độ dài L; thể tích V = L3, thì hàm
riêng của Hamiltonian là sóng phẳng:
p 

Và năng lượng là  



1 ip r / 
e
V

p2
 2 
n với
; xung lượng p 
2m
L




n  nx , ny , nz  0,  1,  2,... .

Từ (2.19) ta có số hạt ngoài ngưng tụ:

9

(1.16)


NT 

1



(

p 0

e

p2
 )
2m

3


1

 mk T  2 2
NT  V  B 2  .

 2 

 2 2 2 

Trong đó: T  

mk
T
B 


1


dp

V

2 3 

(

e


p2

 )
2m

1

1

x2
V
dx
o e  . e x  1  T3 g 32 ( z )

(1.17)

2

(1.18)

là bước sóng nhiệt còn gọi là bước sóng de Broglie tương ứng chuyển động
nhiệt
còn

g 3 ( z) 
2

2





 dx
o

x

1

2

z 1e x  1

(1.19)

là trường hợp riêng của lớp hàm Bose:


 l
1
x p 1
z
g p ( z) 
dx


( p) o z 1e x  1 l 1 l p

(1.20)

với ( p)  ( p  1)! ; z  e được gọi là fugacity.

Nhiệt độ tới hạn TC tìm từ điều kiện (1.15) và công thức (1.17) khi đặt

 =0, z = 1, T = TC, NT = N
N

V

T3C

g 3 (1)

(1.21)

2

Thay Tc từ (1.18) có:
2 2  n 
k BTC 


m  g 3 2 (1) 

2

3

 h2  2
 3,31  n 3
m

(1.22)

vì g 3 2 (1)  2,612 . TC đủ lớn để quan sát được nếu n lớn và /hoặc m nhỏ.
Nhưng n quá lớn thì boson không còn là lý tưởng, thường trong BEC: 1013 –

10


1015 cm-3, và là 4He vì m nhỏ. Sự phụ thuộc của số hạt trong ngưng tụ vào nhiệt
độ khi T < TC là:
3 

2


T
No (T )  N 1    
  TC  



(1.23)

Để tính nhiệt dung ta cần tính năng lượng từ phương trình:
E
i

Ta có:

T < TC :

E

i
exp ( i   )  1

3
V
k BT 3 g 5 (1) , còn khi T > TC :
2
T 2

(1.24)

E

3
V
k BT 3 g 5 ( z )
2
T 2

(1.25)
Vì vậy nhiệt dung riêng: Cv 

E
T

+ T < TC:

cv
15 v

g 5 (1)
k B N 4 T3 2

(1.26)

+ T > TC:

g ( z)
cv
15 v
9 32

g 5 ( z) 
2
k B N 4 T3
4 g 1 ( z)

(1.27)

2

Với:

g 5 ( z) 
2

4

3 



x

3

2

 dx z 1e x  1

(1.28)

o

Từ đây suy ra tại nhiệt độ chuyển pha TC nhiệt dung riêng Cv có mũi nhọn,
nhưng vẫn liên tục.
1.2.2. Trật tự tầm xa chéo và phá vỡ đối xứng tự phát trong BEC [4]
Ma trận mật độ (1.4) có thể viết lại dưới dạng sau:
n (1) (r, r ')   n i*i (r) i (r ')

(1.29)

i

Trong đó {i} là hệ hàm riêng với giá trị riêng ni của toán tử số hạt. Ta sẽ thấy ở
pha BEC thì n(1)(r,r’)  no0 khi |r-r’|  ∞ tức là hệ có trật tự tầm xa không

11

chéo . Hệ ở BEC khi trạng thái thấp nhất (ta gọi là i=0) bị chiếm một cách vĩ mô
ni=0  No  N, còn các trạng thái khác được lấp đầy cỡ đơn vị. Tách riêng mức 0
trong (1.28):
n(1) (r , r ' )  N oo* (r ) o (r ' )   nii* (r ) i (r ' )

(1.30)

i 0

Ký hiệu o  N o o  o (r) eiS(r ) . Hàm o (r ) được coi là hàm sóng của ngưng
tụ và đóng vai trò là tham số trật tự. Đây là đại lượng phức :
o (r )  o (r ) eiS ( r )

(1.31)

o xác định phần đóng góp của ngưng tụ vào mật độ chéo, còn thừa số pha S(r)

sau này ta sẽ thấy đóng vai trò chính trong hiện tượng kết hợp và siêu chảy. Ở
pha BEC thì ni=0  No  N tức là số hạng đầu tiên trong (1. ) luôn khác không,
hệ có ODLRO. Ở T > TC thì o (r )  0 và không còn ODLRO. Tương ứng nếu
viết Hamiltonian qua các toán tử trường thì khi toán tử trường

xác định

chính xác tới thừa số pha ei sẽ không làm thay đổi gì tính chất của hệ
(Hamiltonian không thay đổi), nghĩa là hệ ban đầu có đối xứng gauge. Nhưng
khi chọn tham số trật tự với pha xác định thì vectơ trạng thái không còn đối
xứng gauge nữa tức là đã phá vỡ đối xứng gauge. Như vậy sự tồn tại của

ODLRO liên quan tới phá vỡ đối xứng gauge tự phát. (Tự phát theo nghĩa không
cần một trường ngoài trực tiếp làm mất đối xứng ban đầu của hệ). Nếu ban đầu
pha chọn bất kỳ thì mỗi hạt đều có pha bất kỳ, có thể khác nhau. Nhưng khi phá


vỡ đối xứng tự phát là ta đã chọn S (r ) chung cho cả hệ, tức là có sự kết hợp pha
cho cả hệ (the phase coherence throughout the system).
1.2.3. Siêu chảy [8]
Siêu chảy là khi các hạt ở pha lỏng và có thể chảy không có ma sát với vận tốc
nhỏ hơn vận tốc tới hạn vc nào đó, khi nhiệt độ nhỏ hơn một nhiệt độ tới hạn nào
đó (thường là rất thấp). Hiện tượng siêu chảy được phát hiện với He từ giữa thế
kỷ trước do nhà khoa học người Nga Kapitsa. Hiện tượng siêu chảy ở Heli có
những tính chất cơ bản sau:

12


-

4

He lỏng ở nhiệt độ không tuyệt đối T = 0K thì không chuyển sang thể

rắn ở áp suất khí quyển. Nó ở thể rắn khi áp suất cao (ở T = 0K thì cần áp
xuất P = 25 atm).
-

Ở TC = 2.18K, gọi là điểm , chuyển pha bậc hai sang pha siêu chảy (do
Kapitza phát hiện năm 1938). Siêu chảy là hiện tượng chất lỏng chảy
trong một ống nhỏ không có ma sát (độ nhớt bằng 0) khi vận tốc v < vC

nào đó (vC gọi là vận tốc tới hạn hay vận tốc siêu chảy). (Pha siêu chảy
này được gọi là pha He II).

-

Ở dưới nhiệt độ tới hạn TC 4He không sôi, nghĩa là độ dẫn nhiệt là lớn vô
cùng.

- Ở một số điều kiện, độ nhớt không bằng không, tức là tồn tại hai chất lỏng:
một loại với mật độ số ρs là siêu chảy, còn loại kia với mật độ ρn là chất lỏng
thông thường.
- Nhiệt dung riêng ở điểm chuyển pha có dạng sau (H.10). Vì sự phụ thuộc
nhiệt độ của nhiệt dung riêng có dạng chữ  nên đôi khi chuyển pha này được
gọi là chuyển pha .
1.2.4. Mối liên hệ giữa siêu chảy và BEC [8]
Trước hết ta thấy siêu chảy xảy ra với 4He, tức là chỉ có cho hệ boson. Siêu chảy
cũng là trạng thái kết hợp lượng tử , có thể liên quan tới BEC vì nếu đánh giá
1

bước sóng De Broglie nhiệt từ (2.25) tại T = TC ta có Tc  22mk B .T 

2

, thay

số liệu cho He ta có
erg


Tc  2 1,05.10 erg sec. 8 1,68 1024 g 1, 4.1016

 2,18K 
K


27

1/2

o

 10 A

Như vậy trong một bước sóng de Broflie có một vài nguyên tử 4He, đây chính
là điều kiện để hiệu ứng kết hợp lượng tử lên tiếng , có thể liên quan tới BEC.
Nếu ta so sánh với nhiệt độ chuyển pha BEC tính từ lý thuyết cho hệ 4He
TC 

2
 2
1
.3,31.   n 2/3  3,31 2  3, 07 K
kB
ma k B
m

13

(1.32)

Ta thu được nhiệt độ TC chuyển pha BEC cho hệ boson lý tưởng cũng khá gần
nhiệt độ chuyển pha TC siêu chảy đo thực nghiệm là 2,18K. Cuối cùng ta xem
lại công thức mật độ ngưng tụ BEC cho hệ 4He.1
3 

 T  2

N o (T )  N 1   
 N  NT
  TC  



(1.33)

Và nếu coi siêu chảy gồm 2 thành phần: với số hạt No (tương ứng siêu chảy) và
với số hạt NT (chất lỏng bình thường) thì công thức trên cũng gần với dáng điệu
đường thực nghiệm siêu chảy.
Các phân tích trên đây cho thấy định tính có sự phù hợp giữa BEC và siêu chảy
của 4He, để chính xác hơn ta cần các mô hình tinh hơn, thí dụ cần tính tới tương
tác giữa các boson hay sự giam cầm của các boson.
1.2.5. Pha của hàm sóng và vận tốc siêu chảy [4,8]
Như đã nói trong phần 1.2.3, hàm

được coi là hàm sóng

của ngưng tụ và đóng vai trò là tham số trật tự của BEC. Nếu công nhận mối
liên hệ giữa siêu chảy và BEC theo các chứng cứ ở trên, ta có thể coi o (r ) cùng
là hàm sóng – tham số trật tự của siêu chảy, trong đó pha S(r) là pha mà BEC
chọn, thể hiện sự phá vỡ đối xứng tự phát. Từ cơ học lượng từ; vận tốc


 p  
v   k của hạt bằng tác dụng của toán tử vận tốc
m m

lên hàm sóng
(1.34)

Trong pha BEC thì coi o (r )  no ; nên số hạng đầu bằng không. Vậy suy ra:
(1.35)
Công thức (2.7) có thể dẫn ra chặt chẽ hơn bằng các lý thuyết vi mô khác, vẫn
đang tiếp tục được phát hiện. Công thức (2.7) cho thấy mối liên hệ trực tiếp giữa
vận tốc siêu chảy và pha của hàm sóng BEC.

14


1.3 Chuyển pha lượng tử [16]
Chuyển pha nhiệt động học còn được gọi là chuyển pha cổ điển, mặc dù các
hiệu ứng lượng tử là nguyên nhân dẫn tới sự tồn tại của tham số trật tự, thí dụ
siêu chảy và siêu dẫn đều phải xét trong lý thuyết lượng tử. Nguyên nhân của tên
gọi “cổ điển” là bởi vì tính thăng giáng nhiệt cổ điển đã quyết định tính chất của
hệ ở gần đúng sóng dài. Ở gần nhiệt độ chuyển pha TC thì các biểu hiện của hệ
không phụ thuộc vào tính chất vĩ mô của từng hệ do ở đó độ dài kết hợp phân
kỳ.
Và hệ thể hiện tính trung bình theo tất cả các thang độ dài nhỏ hơn độ dài kết
hợp. Kết quả là lân cận nhiệt độ chuyển pha, tính chất cuả hệ có thể được mô tả
bằng lý thuyết hiện tượng luôn bán cổ điển kiểu lý thuyết Girzburg - Landau.
Chuyển pha xảy ra ở nhiệt độ T=0K được gọi là chuyển pha lượng tử và được
điều khiển bởi một biến nhiệt động không phải là nhiệt độ, thí dụ áp suất hay từ

trường ở nhiệt độ T=0K không còn thăng giáng nhiệt và lúc này thăng giáng
lượng tử có nguồn gốc từ nguyên lý bất định Heisenberg đóng vai trò quyết
trong việc tái tổ chức lại hệ nhiều hạt.
Về mặt định tính, chuyển pha lượng tử có thể hiểu được từ bức tranh phổ năng
lượng của hệ nhiêù hạt. Giả sử phổ năng lượng của hệ có mức cơ bản và mức
kích thích thống nhất cách mức cơ bản một khe ∆. Độ lớn của khe ∆ phụ thuộc
tham số g điều khiển chuyển pha khi g thay đổi đến một hóa trị gC tới hạn thì
khe biến mất ∆= 0 và ta có chuyển pha. Tính chất của hệ nhiều hạt sẽ khác nhau
ở hai phía của gC do tham số trật tự khác không pử một phá và bằng không ở
phía bên kia.
Thực ra, chuyển pha lượng tử chỉ xảy ra ở T=0K. Điểm chuyển pha gC ngăn
cách mất trật tự lượng tử khi tham số trật tự bằng không với pha trật tự lượng tử
khi tham số trật tự khác không. Khi nhiệt độ tăng pha trật tự sẽ chuyển pha cổ
điển sang pha mất trật tự ở nhiệt độ chuyển pha TC. Ngay cả khi nhiệt độ khác
không thì dấu hiệu của chuyển pha lượng tử vẫn còn, nếu năng lượng đặc trưng
cho thăng giáng lượng tử ℏ𝜔 > 𝑘𝐵 𝑇. Vùng lân cận gC ở T≠ 0K được gọi là
vùng tới hạn lượng tử.
Ví dụ điển hình của chuyển pha lượng tử là chuyển pha linh động – định xứ của
hệ nhiều hạt fermion hoặc boson phân bố trên mạng. Giả sử trên mỗi nút mạng
có một hạt tích điện spin 1/2 hoặc một số nguyên các boson trung hòa. Các hạt
có thể tăng giữa các nút, còn trên một nút thì các hạt tương tác đẩy do thể
Coulomb (nếu là hạt tích điện) hoặc hiệu lực Vander Walls (nếu là hạt trung
hòa). Động năng của hạt do sự nhảy nút quyết định tính linh động của hạt còn
thế năng của hạt do tương tác trên mỗi nút sẽ quyết định tính định xứ của hạt.
Nếu là hệ các điện tích thì ở trạng thái linh động hệ sẽ là kim loại dẫn điện còn ở
trạng thái định xứ thì hệ là điện môi. Đây chính là bức tranh vật lý của chuyển

15

pha lượng tử kim loại – điện môi Mott do ngài Mott đề xuất tham số điều khiển
chuyển pha ở đây là tỷ số giữa biên độ nhảy nút và thế tương tác trên một nút.
Nếu hệ gồ các boson trung hòa thì các hạt là linh động, ở nhiệt độ T=0K hệ sẽ ở
pha ngưng tụ Bose-Einstein kéo theo tính chất siêu chảy, còn ở pha định xứ
người ta vẫn gọi là điện môi Mott mặc dù ngay cả ở pha siêu chảy thì các hạt
trung hòa cũng không dẫn điện. Đây là bức tranh vật lý của hiện tượng chuyển
pha siêu chảy - điện môi Mott trong hệ nguyên tử trung hòa trên mạng.
1.4 Mô hình Hubbard [1,11]
Từ phần 1.3 ta thấy rằng để có chuyển pha linh động – định xứ thì mô hình cần
mô tả các hạt trên mạng tinh thể và có ít nhất hai số hạng : số hạng động năng
và số hạng thế năng . Hubbard là người đầu tiên đưa ra mô hình có dạng tương
đối đơn giản , nhưng lại có thể mô tả đầy đủ quá trình chuyển pha kim loại –
điện môi Mott cho hệ các electron tương quan mạnh.
Trong một số vật liệu tương tác Coulomb giữa các hạt tải nhỏ hơn nhiều so với
động năng của chúng và trong nhiều trường hợp được coi là hệ các hạt tải tự do
với khối lượng được tái chuẩn hoá (khối lượng hiệu dụng). Trong các vật liệu họ
kim loại chuyển tiếp và kim loại đất hiếm thì thế năng của mỗi điện tử có độ lớn
cùng bậc với động năng của nó. Hệ điện tử như vậy được gọi là hệ điện tử tương
quan mạnh. Mô hình đơn giản nhất mô tả hệ điện tử tương quan mạnh là mô
hình Hubbard được đề xuất năm 1953 với Hamiltonian có dạng sau [11]:
H  t

cic j  Hc   U  ni ni u  ni

 i, j



(1.36)

i

 

Trong đó ci c j

là các toán tử sinh (huỷ) điện tử trên nút i (nút j).

n i  cic j là toán tử số hạt trên nút I. Tương tác Coulomb trên một nút ký hiệu

là U. Tích phân nhảy nút ký hiệu là t mô tả tính chất động của điện tử. Vì độ lớn
của tích phân nhảy nút phụ thuộc sự phủ nhau của hai hàm sóng Wannier trên
hai nút I, j nên tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa hai nút. Vì vậy người ta
thường giới hạn trong gần đúng hai nút lân cận gần nhất <ịj>. Như vậy số hạng
đầu tiên mô tả động năng của hệ còn số hạng thứ hai liên quan tới thế năng của
hạt. Nếu đóng góp của hai số hạng này là cùng bậc thì ta người ta gọi là hệ
tương quan mạnh.
Ngoài tham số nhảy nút và tương tác trên một nút, Hamiltonian Hubbard còn
đặc trưng bởi số lấp đầy và cấu trúc mạng tinh thể. Số lấp đầy n là trung bình
của số hạt trên mỗi nút.

16


n


i

n i

N

;0  n  2

Vì nguyên lý Pauli nên trên mỗi nút không thể có hơn hai electron. Trường hợp
đặc biệt quan trọng là khi n=1, được gọi là lấp đầy một nửa.
Mô hình Hubbard tuy có dạng đơn giản nhưng được áp dụng khá rộng rãi. Có
thể kể ra một số trường hợp cụ thể áp dụng mô hình Hubbard như sau
• Nghiên cứu tính chất điện từ của tinh thể với vùng năng lượng hẹp (kim loại
chuyển tiếp).
• Nghiên cứu tính chất từ do hạt tải linh động (band magnetism) trong các vật
liệu chứa Fe, Co, Ni…
• Siêu dẫn nhiệt độ cao và các vật liệu siêu dẫn mới.
• Nghiên cứu các phương pháp tiếp cận và ý tưởng mới trong vật lí thống kê.
Cần lưu ý là giá trị cụ thể của t và U là tính chất nội tại của vật liệu và khó thay
đổi bằng các điều kiện bên ngoài, thí dụ thường bằng thay đổi áp xuất bên ngoài.
Đây là điều khác biệt lớn khi so sánh với mô hình Bose- Hubbard trong siêu
mạng sẽ trình bày ở chương 2 khi t và U dễ dàng thay đổi bằng cường độ chùm
laser.
Hamiltonian Hubbard được nghiên cứu rất nhiều, tuy nom đơn giản nhưng
không có lời giải chính xác cũng như không áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn
truyền thống khi xét tương quan mạnh vì số hạng thế năng chứa bốn số hạng.

17


Chương 2. Các pha trong hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh trong mạng
quang học
2.1 Mạng quang học các nguyên tử trung hòa [17]
Mạng quang học các nguyên tử trung hòa là hệ các nguyên tử trong đó các

nguyên tử bị bắt giữ trên các nút mạng được tạo bởi các chum laser tạo ra . Nếu
ta cho hai chùm laser truyền theo cùng phương nhưng hướng vào nhau thì sẽ tạo
nên được các sóng đứng. Các điểm cực trị của sóng đứng tạo nên các nút mạng
với hằng số mạng bằng một nửa bước sóng laser. Các nguyên tử trung hòa sẽ bị
bắt giữ tại cực đại hay cực tiểu của trường laser tùy theo tham số điều
chỉnh(detuning).
2.1.1 Thế lưỡng cực quang học
Khi nguyên tử trung hòa đặt trong trường laser thì tương tác giữ nguyên tử và
trường điện từ của laser có hai thành phần: tiêu tán và bảo tồn năng lượng.
Thành phần tiêu tán là do quá trình hấp thụ photon của nguyên tử kèm theo ngay
sau đó là phát xạ photon một cách tự phát, trong đó xung lượng của nguyên tử
thay đổi kéo theo năng lượng thay đổi. Thành phần tương tác này được lợi dụng
để làm lạnh bằng laser. Thành phần bảo toàn do tương tác lưỡng cực điện của
trường laser với nguyên tử. Vì nguyên tử là trung hòa nên không có tương tác
Comlomb nhưng nguyên tử bị phân cực trong trường laser nên có tương tác
lưỡng cực giữa trường laser với lưỡng cực điện cảm ứng của nguyên tử. Tương
tác này gây nên dịch chuyển trong thế năng, gọi là dịch chuyển stock. Ta có thể
xét trong mô hình đơn giản sau.Trong trường điện từ
tần số   2V thì
lưỡng cực điện d phụ thuộc E và độ phân cực () như sau:
(2.1)
Thế tương tác lưỡng cực d với điện trường E ( r ) lấy trung bình theo thời gian
là
(2.2)

1
2
Trong đó I   0 c E là cường độ laser .Hệ số 1/2 là 0 , đây là lưỡng cực điện
2
cảm ứng.

Trong mô hình bán cổ điển Lorentz thì phân cực của lưỡng cực điện có thể mô
hình hóa bằng một dao động tử điều hòa có tần số sóng là 0 , hệ số tắt dần  .
18


 / w 02
(w)  6 0 c
 w3 
2
2
w0  w  i  2  
w 
 0
3

(2.3)

Thay (3.3) vào (3.2), trong gần đúng khi tần số laser gần cộng hưởng  gần
bằng 0 thì ta có
Vdip (r)

3c2 
230

I(r)

(2.4)

Trong đó     0 được gọi là tham số điều chỉnh. Nếu   0 thì giờ ta gọi là
điều chỉnh xanh và thể gram cần là dương và nguyên tử bị bắt giữ ở cực tiểu của

trường còn nếu   0 (điều chỉnh đỏ) thì thể gram cần là âm và nguyên tử bị bắt
giữ ở cực đại của trường laser.
Để bắt giữ nguyên tử ta cần Vdip càng lớn càng tốt, những xác suất tán xạ tự phát
(phần tương tác tiêu tán) sc càng nhỏ càng tốt . Xác suất tán xạ được tính như
sau

sc  

dE
1

Im()I

 0c

(2.5)

(Xác suất này là số photon tán xạ trên một đơn vị thời gian)
Thay (2.3) vào (2.5) ở gần đúng cộng hưởng ta có
2

3c2   
sc 
  I(r)
2 n 30   
Từ (3.5) và (3.6) ta có sc 

(2.6)



Vdip (2.7)


Như vậy để có lợi khi tạo mạng quang học ta cần chọn tham số điều chỉnh 
càng lớn càng tốt nhưng lại không được để quá lớn để sao cho điều kiện   0
vẫn sử dụng được . Nếu ta đặt hai chùm laser cùng tần số, cùng phương và
hướng vào nhau ta sẽ có sóng đứng và như vậy ta có thể tuần hoàn trong không
gian để giam giữ các nguyên tử trung hòa.
V(r)  V0x sin 2 kx  V0y sin 2 ky  V0z sin 2 kz

19

(2.8)


Trong hố V0 là chiều sâu hố thế tỷ lệ với cường độ trường laser ,còn k  2 T
và  là bước sóng laser . Nếu ở gần tâm hố thế x y z  0 thì thế gram cần có
dạng hố thế của dao động tử điều hòa (nếu ta phân tích sin 2 kx

k 2x 2 ).

Từ các điều trình bày ở trên ta thấy mạng quang học có các đặc trưng sau:
i)

ii)
iii)

iv)

Dạng hình học ở mạng có thể thay đổi được bằng cách bố trí các chùm

laser tạo sóng đứng. Ta có thể thay đổi số chiều: 1,2,3 chiều; thay đổi
hình dạng : mạng hình vuông,mạng tam giác…

Hằng số mạng d  có thể thay đổi do thay đổi 
2
Nguyên tử có thể nhảy từ nút mạng này sang nút kia qua cơ chế chui
ngầm. Vì thế tham số nhảy nút có thể điều chỉnh bằng cách thay đổi độ
sâu và khoảng cách hai hố thế.
Tương tác trên một nút.Mặc dù khi làm thí nghiệm là loãng (

1013  1015 cm3 ) những vẫn không thể bỏ qua tương tác trên một nút hoặc giữa
các nút lân cận gần nhất . Độ lớn của tương tác này cũng có thể điều chỉnh được
dựa vào hiệu ứng cộng hưởng Feshback trong từ trường.
2.1.2 Mô hình Bose-Hubbard [4,8,9]
Tương tự như mô hình Hubbard được đưa ra cho hệ điện tử tương quan mạnh thì
trong mạng quang học của các nguyên tử trung hòa ta cũng đưa ra mô hình
Bose-Hubbard.
Ta có thể suy ra mô hình Bose-Hubbard thì mô hình Hubbard bằng lập luận sau.
Thể giam cầm nguyên tử là thế tuần hoàn giống như thế trường tinh thể đối với
các điện tử cho nên ta cũng đưa vào khái niệm vùng Bloch cho các nguyên tử, từ
đó cũng đưa vào được khái niệm hệ hàm cơ sở Wannier xác định trên mỗi nút
thông qua các hàm Bloch của các vùng Bloch. Trong gần đúng một vùng Bloch,
chỉ xét nhảy nút giữa các lân cận gần nhất và chỉ xét tương tác trên một nút ta có
H   t  aˆ iaˆ j  nˆ i 
ij

i

U
 nˆ i  nˆ i  1

2 i

(2.9)

trong đó t là tham số nhảy nút, U là tương tác trên một nút ,  là thế hóa học
a i ,a i là các toán tử sinh hủy boson trên nút I ,còn n i  a i a i là toán tử số hạt

trên nút I . Tuy hình thức giống nhau, nhưng mô hình Bose – Hubbard khác với
Hubbard một số điều sau:
i)

Toán tử sinh hủy là boson, chứ không phải là fecmion
20