Bài giảng Đặc tả hình thức: Chương 2 - PGS.TS. Vũ Thanh Nguyên

Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG-HCM
Khoa Công Nghệ Phần Mềm

Chương 2: Cơ sở Toán học
trong Đặc tả Hình thức
Giảng viên: PGS.TS. Vũ Thanh Nguyên

1
CuuDuongThanCong.com

/>

Nội dung
 Lý thuyết tập hợp
 Phép toán vị từ
 Lượng từ
 Luật suy diễn

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
2


Lý thuyết Tập hợp

3

CuuDuongThanCong.com

/>

Lý thuyết tập hợp
 Định nghĩa tập hợp
 Trong toán học, tập hợp có thể hiệu tổng quát là sự tụ tập
của một số hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó có
cùng tính chất. Các đối tượng này được gọi là các phần tử
của tập hợp
 Trong đặc tả hình thức, chúng ta còn có thể định nghĩa tập
hợp là tập các đối tượng dùng để xác định rõ các đối tượng
khác. Các đối tượng trong tập hợp có thể là số, con người,
kí tự, ngày…

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
4


Lý thuyết tập hợp
 Tính chất của Tập hợp
 Các phần tử trong tập hợp không có thứ tự
 Không có phần tử trùng nhau
 Các phần tử có cùng kiểu dữ liệu

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
5


Lý thuyết tập hợp
 Kích thước tập hợp
 Tập hợp không giới hạn kích thước.
 Nếu tập hợp đó là tập hợp hữu hạn, thì chúng ta có thể biểu
diễn tập hợp đó bằng cách liệt kê các phần tử trong tập hợp,
hay nói cách khác tập hợp hữu hạn là tập mà các phần tử có
thể đếm được.
 Các phần tử trong tập hợp được đặt trong cặp dấu “{}” hay
“[]” .

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
6

Lý thuyết tập hợp
 Xác định tập hợp dạng tường minh
 Ví dụ:
{1, 3, 5}
{1, 5, 3}
{3, 5, 1}
{3, 1, 5}
{5, 3, 1}
{5, 1, 3}
 Ví dụ:
{6, …,10} tương đương với {6, 7, 8, 9, 10}

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
7


Lý thuyết tập hợp
 Xác định tập hợp dạng tường minh
 {1, 3, 5} = {1, 5, 3} = {3, 5, 1} = {3, 1, 5} = {5, 3, 1} =
={5, 1, 3}
 {a} ≠ a





4/5/2019

Ví dụ: {6, …,10} tương đương với {6, 7, 8, 9, 10}
{i Z| 1 ≤ z ≤ 3} = {1,2,3}
{2,…,2} = {2}

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
8


Lý thuyết tập hợp

 Thuộc tập hợp:


Ví dụ:

3

{1, 3, 5}

 Không thuộc tập hợp:
Ví dụ: 2 {1, 3, 5}
 Tập rỗng, ký hiệu {}

 Lưu ý: j

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
9


Lý thuyết tập hợp

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
10


Lý thuyết tập hợp
 {f(i) | p(i)}, ở đó f xác định đầy đủ trên D, khi đó nó có nghĩa
là:
x {f(i) | p(i)}
i D p(i) x= f(i)

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
11


Lý thuyết tập hợp
 Giả sử S1 = {a,b,c}, S2 = {c,d}
 Phép hội: S1
S2 = {a,b,c,d}. Nó có thể định nghĩa
e1 e2 = {x| x e1 x e2}
 Phép hội nhiều tập
Uss = {x | e ss x e}
Ví dụ:
U{S1,{e},S2,{}}= {a,b,c,d,e}


4/5/2019

Phép giao: S1 S2 = {c}. Nó có thể định nghĩa
e1 e2 = {x| x e1 x e2}

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
12


Lý thuyết tập hợp
Phép hiệu: S1 – S2 = {a,b}. Nó có thể định nghĩa
e1 – e2 = {x| x e1 x e2}
Đôi khi: S1 – S2 S1\ S2 = S2 (phần bù của S2)
 Tập con
Ví dụ: {c} S1


S1
S1

S1
(S1 S2)

S1
Nó có thể định nghĩa:
{}

e1
4/5/2019

e2 = { x e1 x e2}

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
13


Lý thuyết tập hợp
Tập con nghiêm ngặt
Ví dụ: {} S1


{a,b} S1
(S1 S2)
Nó có thể định nghĩa:
e1

e2

e1

e2

e1 = e2

e1

e2

(e2

e1)

Suy luận

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

e2

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

e1

/>
14


Lý thuyết tập hợp
 Giả sử P T, Q T, và R T

là phản xạ: P P

là bắc cầu: (P Q Q R) P R

là phản đối xứng: (P Q Q P) P = Q

[T] là nhỏ nhất của T: [T] P

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
15


Lý thuyết tập hợp


là giá trị lớn nhất của cận dưới của
R P R Q
R (P Q)
(P Q) cũng là tập con lớn nhất của cả hai P và Q

là không thay đổi: P P = P

là đối xứng:
P Q=Q P

là giao hoán:
(P Q) R = P (Q R)

là tính tăng:
P Q (R P) (R Q)

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
16


Lý thuyết tập hợp




4/5/2019

Cardinality (Card) của một tập là số phần tử trong một tập
Ví dụ
Card S1 = 3
Card S2 = 2
Card {} = 0

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
17


Lý thuyết tập hợp

 Tích Descartes
P x Q = {p : P; q : Q (p,q)}
 Tổng quát
T1 x T2 x T3 x…x Tn = {x1:T1,x2:T2,x3:,…,xn:Tn
(x1,x2,x3,…,xn)}
Lưu ý:
A x B ≠ B x A và
(A x B) x C ≠ A x (B x C)

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
18


Lý thuyết tập hợp
 Tập hợp lũy thừa (Power set)
Cho tập hợp a, thì tập hợp tất cả các tập con của a gọi là
tập hợp lũy thừa của a. Ký hiệu là Pa. Ví dụ tập hợp a ==
{x, y} thì:
Pa = { , {x}, {y}, {x, y}}
Vậy Tập hợp mới có 4 phần tử: tập hợp rỗng, tập hợp a,
và 2 tập con của a.
 Như vậy, nếu tập hợp a có n phần tử thì tập hợp lũy thừa Pa có
2n phần tử.

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
19


Lý thuyết tập hợp

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
20


Lý thuyết tập hợp
 Sơ đồ của các phép toán trên tập

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
21


Các hàm và thao tác trên tập hợp

t

S

Phần tử t thuộc tập S

13 {0, 5, 11, 13, 19}
Kết quả: true

t

S

Phần tử t không thuộc tập S

13 {0, 5, 11, 19}
Kết quả: true

S1

S2

S1 là tập con (nghiêm ngặt) của S2

{„r‟, „e‟} {„d‟, „e‟, „r‟}
Kết quả: true
{„r‟, „e‟} {„e‟, „r‟}
Kết quả: false

S1

S2

S1 là tập con của S2

{„r‟, „e‟} {„d‟, „e‟, „r‟}
Kết quả: true
{„r‟, „e‟} {„e‟, „r‟}
Kết quả: true

Số lượng phần tử (cardinality) của
tập S

card {1, 2, 8, 9} = 4

card S
4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>

22


Các hàm và thao tác trên tập hợp

S1

S2

Phép hội 2 tập hợp

{„r‟, „e‟} {„d‟}
Kết quả: {„d‟, „e‟, „r‟}

U{S1,
S2,…}
S1 S2

Phép hội nhiều tập hợp U {{„r‟, „e‟},{„d‟},{}, {„d‟, „s‟}}
Kết quả: {„d‟, „e‟, „r‟, „s‟}
Phép giao

{1, 2, 3, 5, 7}
Kết quả: {2}

S1 – S2

Phép trừ

{1.5, 3.6, 7.4} – {3.6}

Kết quả: {1.5, 7.4}

S1

Tích Descartes

{1, 2, 3} {6, 8}
Kết quả: { (1, 6), (1, 8), (2, 6),
(2, 8), (3, 6), (3, 8) }

4/5/2019

S2

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

{2, 4, 6, 8}

/>
23


Các tập hợp được định nghĩa sẵn
Tập số nguyên
ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Tập số tự nhiên
ℕ = {0, 1, 2, 3, …}
Tập số nguyên dương

ℕ1 = {1, 2, 3, …}
Tập số thực
ℝ
Tập số hữu tỉ
ℚ
Tập boolean
B = {true, false}
Tập ký tự (gồm chữ cái hoa/thường, số, phép toán, dấu câu)
Char = {„a‟, „b‟, „c‟, „d‟, „e‟, „f‟, „g‟, „h‟, „i‟, „j‟, „k‟, „l‟, „m‟,
„n‟, „o‟, „p‟, „q‟, „r‟, „s‟, „t‟, „u‟, „v‟, „w‟, „x‟, „y‟, „z‟,
„A‟, „B‟, „C‟, „D‟, „E‟, „F‟, „G‟, „H‟, „I‟, „J‟, „K‟, „L‟, „M‟,
„N‟, „O‟, „P‟, „Q‟, „R‟, „S‟, „T‟, „U‟, „V‟, „W‟, „X‟, „Y‟, „Z‟,
„0‟, „1‟, „2‟, „3‟, „4‟, „5‟, „6‟, „7‟, „8‟, „9‟, „+‟, „-‟, „=„, „<„, „>‟,
„*‟, „/‟, „(„, „)‟, „[„, „]‟, „{„, „}‟, „.‟, „,‟, „?‟, „!‟, …}
4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
24


Xác định tập hợp thông qua tính chất
 Xác định tập hợp một cách không tường minh dựa vào tính
chất của các phần tử trong tập hợp
 Hình thức tổng quát của định nghĩa tập có thể lấy theo hình
thức sau:
{x: kiểu dữ liệu (type) | Vịtừ (x) (predicate(x))}

hoặc tổng quát:
{ ký hiệu (signature)| Vị từ (predicate)}, ở đó ký hiệu có
thể bao gồm nhiều biến
 Vậy cách biểu diễn là
{ x P(x) } hay { x : S P(x) }

4/5/2019

CuuDuongThanCong.com

Prof.Dr.Vu Thanh Nguyen

/>
25