góc nhìn bậc của phương trình

MỘT GÓC NHÌN VỀ SO SÁNH
BẬC TRONG PHƯƠNG TRÌNH
*
1. Xét phương trình x
2
−mx−m=0 (1), ta biến đổi x
2
=mx+m (2).
2. Ở phương trình (2) ta nhìn nghiệm x của (1) có tính chất x
2
(bậc hai) quy về mx+m
(bậc nhất).
3. Ví dụ 1: Cho hàm số f(x)=x
3
+3mx
2
−3x. Chứng minh hàm số luôn có 2 cực trị và
viết phương trình đường thẳng qua 2 cực trị đó.
HD: f’(x)=3x
2
+6mx−3, vì ∆’=9m
2
+9>0 với mọi m nên hàm số luôn có 2 cực trị.
Tọa độ các cực trị thỏa:
2
3 2
1 2
3 3
x mx
y x mx x


= −


= + −


2
2
1 2
( 3 ) 3
x mx
y x x m x

= −

⇔

= + −


2
1 2
(1 2 )( 3 ) 3
x mx
y mx x m x

= −
⇔

= − + −


2
2 2
1 2
2 6 2 3
x mx
y mx m x x m

= −

⇔

= − − − +


2
2
1 2
2 (1 2 ) 6 2 3
x mx
y m mx m x x m

= −

⇔

= − − − − +


2

2
1 2
( 4 2)
x mx
y m x m

= −

⇔

= − − +


Vậy phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là
2
( 4 2)y m x m= − − +
4. Ví dụ 2: Cho hàm số
1
( )f x x
x m
= +
+
. Chứng minh hàm số luôn có 2 cực trị và
viết phương trình đường thẳng qua 2 cực trị đó.
HD:
2 2
2 2
1 2 1
( ) 1
( ) ( )

x mx m
f x
x m x m
+ + −
′
= − =
+ +
, vì ∆’=1>0 và x=−m không thỏa
phương trình x
2
+2mx+m
2
−1=0 nên: với mọi m, hàm số luôn có 2 cực trị. Tọa độ
các cực trị thỏa:
2 2
2
2 1
1
x mx m
x mx
y
x m

= − − +


+ +
=

+


2 2
2
2 1
2
x mx m
mx m
y
x m

= − − +

⇔

− − +
=

+

( ) 2 2
(*)
m x m
y m
x m x m
− + +
⇒ = = − +
+ +
Mà
1 2
2 2y x y x

x m x m
= + ⇔ = −
+ +
nên thế vào (*) ta có:
2 2y m y x= − + − 2y x m⇒ = +
Vậy phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là
2y x m= +
5. Ghi chú: a) Chúng ta cũng có thể giải VD1 bằng phương pháp chia đa thức
f(x)=x
3
+3mx
2
−3x cho f’(x)=3x
2
+6mx
b) Chúng ta có thể giải VD2 bằng phương pháp
u u
y
v v
′
= =
′
vì
0u v v u
′ ′
− =
Nhưng ở đây ta không bàn phương pháp đó mà nhìn vấn đề ở một góc khác, “vui”
hơn…