Bài tập tín hiệu và hệ thống

Bài tập môn học
EE2000 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG



PGS. Hoàng Minh Sơn
Bộ môn Điều khiển tự động
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội




Version: 1.0

03.12.2010

2
Chương 1: Khái niệm tín hiệu và hệ thống
1. Hãy chỉ ra rằng hàm mũ phức ( )
j
kt
xt e
ω
= biểu diễn một tín hiệu tuần hoàn với chu
kỳ 2Tkπω= .
2. Cho tín hiệu không liên tục dạng sin
()

cos
(
2
)
xn fnπ= .
(a) Hãy chỉ ra rằng tín hiệu chỉ tuần hoàn khi và chỉ khi tần số f là một số hữu tỷ.
(b) Tìm chu kỳ tuần hoàn của tín hiệu khi 2/5
f
= [chu kỳ/mẫu].
3. Hãy chỉ ra rằng các tín hiệu mũ phức không liên tục có tần số hơn kém nhau một số
nguyên lần 2π [rad/mẫu], tức
(2)
()
, 1,2,3
jkn
xn e k
ωπ+
==là hoàn toàn giống nhau.
4.
Hãy biểu diễn lại các tín hiệu phức dưới đây dưới dạng trên tọa độ cực:
(a)
1
()
1
xt
j
t
=
+
(b)

5.
Hãy chỉ ra các tín hiệu sau đây là tuần hoàn và xác định chu kỳ của chúng (T đối
với tín hiệu liên tục x(t) và N đối với tín hiệu không liên tục x(n)):
(a)
()
cos
(
13
)
2sin
(
4
)
xt t tππ=+ (b)
1.73
()
j
n
xn e
π
=
6.
Hãy chỉ ra rằng tổng hai tín hiệu tuần hoàn có cùng chu kỳ cơ sở T:
1111
2222
() ( )
,
() ( ),
xt xt kT k
xt xt kT k

=+ ∈
=+ ∈
`
`

lại cho một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ cơ sở T.
7.
Biểu diễn tín hiệu trên hình vẽ dưới đây bằng một biểu thức gọn sử dụng tín hiệu
bước nhảy đơn vị 1(t):

8.
Xác định xem các hệ sau đây là (1) hệ động học hay hệ tĩnh, (2) hệ dừng hay hệ
biến thiên, (3) tuyến tính hay phi tuyến, (4) nhân quả hay phi nhân quả:
(a)
() (
1
)
yn x n= −
(b)
()
()
1
(
1
)
xt
yt
xt
=
+ −

(c)
() ()
yt txt= (d)
0
() ( )
k
yn xn k
=−∞
= −
∑


0
1
2
1
x
(
t
)

t

0
0.5
1
1
y
(

t
)
t
-1
1.5
()
nj
xn nje
+
=

3
Chương 2: Mô tả tín hiệu và hệ thống trên miền thời gian
9. Cho một hệ tuyến tính dừng (LTI), khi đầu vào là một xung vuông thì đầu ra là
một xung tam giác như trên hình vẽ dưới đây:

Hãy vẽ tín hiệu đầu ra khi tín hiệu đầu vào của hệ thống có dạng dưới đây.


10.
Đáp ứng xung g(n) của một hệ LTI không liên tục thể hiện trên hình (a) và tín hiệu
vào u(n) thể hiện trên hình (b) dưới đây, hãy vẽ đáp ứng đầu ra y(n).

11.
Đáp ứng xung g(t) của một hệ LTI liên tục thể hiện trên hình (a) và tín hiệu vào
u(t) thể hiện trên hình (b) dưới đây, hãy tính toán và vẽ đáp ứng đầu ra y(t).

12.
Cho một hệ LTI liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân:
()

2
()
,0
dy du
ay t u t a
dt dt
+=− >
i)
Bậc của hệ thống là bao nhiêu?
ii)
Tính toán và vẽ phác đáp ứng xung của hệ thống cho trường hợp a = 2.
iii)
Hệ thống có ổn định không?
iv)
Xác định mô hình trạng thái của hệ thống.
0
1
2
1
u
(
t
)
t
0
1
1
y
(
t

)
t

Hệ thống
u
(
t
)

y
(
t
)
0
1
1
t

u
(
t
)

2
0
1
1
t

u

(
t
)
-1
(
a
)

(
b
)
0
1
n
g
(
n
)

u
(
n
)

(
a
)

(
b

)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4 -3 -2 -1
0
1
n
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
1
1
t
g
(
t
)

u
(
t
)

(
a
)

(
b
)

0
1

t
3
1
()
1
(
1
)
t
gt e t
−
= −

4
13.
Với mỗi mạch điện trên hình vẽ (a) và (b) dưới đây
i)
Hãy xây dựng phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa điện áp vào u(t) với điện
áp ra y(t).
ii)
Hãy xây dựng mô hình trạng thái tuyến tính của mạch điện.
iii)
Tính toán và vẽ phác đáp ứng xung của mạch điện (đáp ứng với tín hiệu vào là
xung Dirac)
iv)
Tính toán và vẽ phác đáp ứng quá độ của mạch điện (đáp ứng với tín hiệu vào là
bước nhảy đơn vị)
v)
Hệ thống có ổn định không? Tại sao?

14.
Cho mạch điện dưới đây, với đầu vào u(t) là điện áp nguồn, đầu ra y(t) là dòng qua
điện trở R
1
.
i)
Hãy xây dựng phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa điện áp đầu vào u(t) với
dòng điện đầu ra y(t).
ii)
Hãy xây dựng mô hình trạng thái tuyến tính của mạch điện.
iii)
Tính toán đáp ứng xung của mạch điện.
iv)
Tính toán đáp ứng quá độ của mạch điện.
v)
Khi nào thì hệ thống ổn định?




u(t)
u(t)
y(t)
y(t)
(a) (b)

5
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier
15. Hãy chỉ ra rằng đáp ứng một khâu trễ
(()) ( )
Dxt xt
τ
τ= − đối với tín hiệu vào liên
tục dạng sin (hoặc mũ phức) là một tín hiệu liên tục dạng sin (hoặc mũ phức) có
cùng biên độ và tần số như tín hiệu vào nhưng có góc pha chậm đi
ϕωτ= .
16.
Hãy chỉ ra rằng đáp ứng một khâu trễ
(()) ( )
M
Dxn xn M= − đối với tín hiệu vào
không liên tục dạng sin (hoặc mũ phức) là một tín hiệu không liên tục dạng sin
(hoặc mũ phức) có cùng biên độ và tần số như tín hiệu vào nhưng có góc pha chậm
đi
Mϕω=
.
17.
Cho mạch cầu chỉnh lưu diode với tín hiệu vào v
i
(t) là một xung răng cưa như trên
hình vẽ và tín hiệu ra v
o
(t) = |v
i
(t)|.

a)
Xác định chuỗi Fourier của tín hiệu vào v
i
(t). Vẽ phác đồ thị biên độ của các hệ
số chuỗi cho trường hợp A=1.
b)
Vẽ phác đồ thị tín hiệu ra v
o
(t) và xác định chuỗi Fourier của nó. Vẽ phác đồ thị
biên độ các hệ số chuỗi cho trường hợp A=1.

18.
Tính toán các hệ số chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn minh hoạ dưới đây. Vẽ
phác đồ thị biên độ và pha của các hệ số.

19.
Vẽ phác đồ thị của tín hiệu sau đây và tìm ảnh Fourier của nó:

0
00
00
22
22
sin ,
()
0,
tt
xt
t
ππ

ωω
ππ
ωω
ω −
−
⎧
⎡
⎤
⎪
∈
⎪
⎢
⎥
⎪
⎣
⎦
⎪
=
⎨
⎪
⎡
⎤
⎪
∉
⎢
⎥
⎪
⎣
⎦
⎪

⎩


20.
Với mỗi tín hiệu biểu diễn bên trái trong hình vẽ dưới đây, hãy tìm đồ thị biểu diễn
biên độ
ảnh Fourier tương ứng ở bên phải (vẽ đường nối giữa đồ thị thời gian bên
trái và đồ thị tần số tương ứng bên phải).
0
n
x
(
n
)
1 2 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -2 -1
1
2
t

v
i
(
t
)
2
-
T
-T
2
T

T
. . . . . .
-A
A

6

a)


b)


c)

21.
Cho 4 tín hiệu không liên tục x
1
(n) x
4
(n) như trên hình vẽ dưới đây:





a) Hãy điền Đ (đúng) hoặc S (sai) về những tính chất ảnh Fourier của từng tín hiệu
vào các ô trong bảng sau:
Tính chất ảnh Fourier
x

1
(n) x
2
(n) x
3
(n) x
4
(n)
0
()
0
j
Xe =


()
0
j
Xe d
π
ω
π
ω
−
=
∫


()
j

Xe
ω
là thuần ảo


b) Tính toán ảnh Fourier của chúng, vẽ phác đồ thị pha và biên độ ảnh Fourier
trong phạm vi tần số
[
-,
]
ωππ∈ .

(1)
(2)
(3)
(4)
x
1
(n)
x
2
(n)
x
3
(n) x
4
(n)

7
22.

Cho hệ LTI với đáp ứng xung
5
()
sin
(
10
)
1
()
t
gt e t tπ
−
=
. Đầu vào u(t) của hệ thống là
một sóng xung vuông tuần hoàn chu kỳ T = 2s minh họa trên hình vẽ.

a)
Tính đáp ứng tần số của hệ thống
b)
Xác định chuỗi Fourier của tín hiệu vào
c)
Xác định chuỗi Fourier của tín hiệu ra.


t

u
(
t
)

-T/3
. . . . . .
0
1
T
T/3

8
Chương 4: Đáp ứng tần số và lọc tín hiệu
23. Với mỗi mạch điện trên hình vẽ (a) và (b) dưới đây, cho điện áp vào u(t) = cos(t)
với mọi giá trị t.




Hãy chỉ ra đồ thị nào trên hình vẽ dưới đây biểu diễn điện áp ra của mạch điện.


u(t)
u(t)
y(t)
y(t)
(a) (b)

9
24.
Cho mạch điện dưới đây, với đầu vào u(t) là điện áp nguồn, đầu ra y(t) là dòng qua
điện trở R
1
.

a)
Hãy xác định đáp ứng tần số (hàm đặc tính tần) của mạch điện.
b)
Biểu diễn đáp ứng tần số của mạch điện trên đồ thị Bode.
25.
Xác định đáp ứng tần số của mỗi mạch điện trong bài tập 23 bằng 3 cách:
a) Dẫn xuất trực tiếp từ phương trình vi phân
b) Dẫn xuất từ đáp ứng xung
b) Dẫn xuất từ mô hình trong không gian trạng thái
Vẽ đồ thị Bode để thể hiện đáp ứng tần số của mỗi mạch điện.
26.
Đáp ứng tần số của một hệ liên tục được biểu diễn trên đồ thị Bode trên hình bên
trái dưới đây. Đồ thị đáp ứng thời gian của hệ với tín hiệu vào u(t)=sin(2t) được
biểu diễn ở hình bên phải.
Nghiên cứu kỹ mối liên hệ giữa đồ thị đáp ứng tần số và đồ thị đáp ứng thời gian đã
được phác hoạ trên hình vẽ và qua hai biểu thức:
420
0
10 0.63
(160 360) * (2 2) 1.4 ( )
y
tsπ
−
= ≈
Δ = ≈

a) Thực hiện tương tự như ví dụ trên, hãy kẻ thêm các đường nét cần thiết và đưa ra
hai biểu thức liên hệ giữa đặc tính tần và đặc tính thời gian cho từng trường hợp tín
hiệu vào là:

i)
() sin(0.5)ut t=

10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
-45
0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequenc y (rad/ s ec )
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitude (dB)
10 15 20 25 30
-1

-0.5
0
0.5
1
Time(sec)
System response to sinusoidal input sin(2t)
input u(t)
output y(t)
-4
-160
2
y
0

Δt

10
ii)
() 2sin()ut t=

iii)
() 1.5sin(10)ut t=

b) Vẽ phác đồ thị biểu diễn tín hiệu ra y(t) cho từng trường hợp trong câu a).
c) Những tín hiệu vào dạng sin nằm trong dải tần số nào thì được hệ thống cho qua
với hệ số khuếch đại xấp xỉ bằng nhau (và bằng bao nhiêu)?
d) Tín hiệu vào dạng sin có tần số bao nhiêu thì khi tín hiệu ra tiến tới trạng thái
dao động điều hoà thì biên độ tín hiệu ra xấp xỉ bằng biên độ tín hiệ
u vào? Tín hiệu
vào dạng sin có tần số bao nhiêu thì được hệ thống khuếch đại lên nhiều nhất?

e) Những tín hiệu (không nhất thiết dạng sin) có dải tần số (tức phạm vi tần số của
các thành phần trong chuỗi Fourier/ảnh Fourier) như thế nào thì khi qua hệ thống
bị suy giảm ít nhất 10 lần?
27.
Đáp ứng tần số của một hệ liên tục được biểu diễn trên đồ thị Bode dưới đây.
a)
Tần số gãy của hệ thống (tần số mà tại đó độ dốc của đường đặc tính biên độ có
thay đổi lớn – hay chính là điểm uốn của đường đặc tính pha) là bao nhiêu?
b)
Những tín hiệu vào dạng sin có tần số nhỏ hơn tần số gãy thì được hệ thống cho
qua với hệ số khuếch đại bằng bao nhiêu?
c)
Cho tín hiệu vào dạng sin có tần số bằng bao nhiêu thì khi tín hiệu ra tiến tới
trạng thái dao động điều hoà biên độ tín hiệu ra xấp xỉ bằng biên độ tín hiệu
vào?
d)
Cho tín hiệu vào
( ) sin(0.01 ) sin(0.6 )ut t t t=+∀
, hãy xác định (một cách xấp xỉ)
và vẽ đồ thị tín hiệu ra y(t).
e)
Có thể nhận biết/khẳng định qua đồ thị những tính chất nào của hệ thống:
i) Bậc của hệ thống?
ii) Thời gian trễ?
iii) Hệ số khuếch đại tĩnh?
iv) Tính tuyến tính?
v) Tính ổn định?

-15
-10

-5
0
5
10
10
-2
10
-1
10
0
-90
-45
0
Pha (
O
)
Biên độ (dB)
Tần số (rad/s)

11
Chương 5. Phép biến đổi Laplace và hàm truyền hệ liên tục
28. Một hệ liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân:
() ()
0.5
()
2
()
dy t du t
yt ut
dt dt

+=−

trong đó u(t) là tín hiệu vào và y(t) là tín hiệu ra.
a)
Xác định hàm truyền của hệ thống
b)
Xác định hệ số khuếch đại tĩnh của hệ thống (tức tỉ số giữa tín hiệu ra và tín
hiệu vào khi hệ thống ở trạng thái xác lập).
c)
Xác định đáp ứng y(t) của hệ thống khi tín hiệu vào

0
()
00
t
et
ut
t
−
⎧
⎪
≥
⎪
=
⎨
⎪
<
⎪
⎩

29.
Hãy xác định hàm truyền cho mỗi sơ đồ mạch điện trong bài 23 và 24. Xác định và
vẽ đồ thị vị trí các điểm cực-điểm không của mạch điện.
30.
Với mỗi hệ thống có đồ thị điểm cực-điểm không dưới đây:

Hãy tính toán và vẽ đồ thị biểu diễn đáp ứng bước nhảy đơn vị của hệ (tín hiệu ra
của hệ khi tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị) biết rằng đáp ứng này tiến tới 1 khi
t →∞
. Vẽ đồ thị Bode biểu diễn đáp ứng tần số của hệ thống.
31.
Một hệ tuyến tính liên tục có đáp ứng bước nhảy đơn vị minh họa trên hình bên trái
và đồ thị điểm cực-điểm không trên hình bên phải. Biết rằng tất cả điểm cực và
điểm không đều là đơn lẻ.
Im
(
s
)

-
4
0
-
1
Re
(
s
)
Im
(

s
)
0
-1
Re
(
s
)

(
a
)

(
b
)
1
-1
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 1 2 3 4 5 6
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6

Pole-Zero Map
Real Axis
Imag Axis
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

12

a) Dựa vào các đồ thị, có thể nói gì về các tính chất của hệ thống:
- Hệ số khuếch đại tĩnh?
- Bậc của hệ thống?
- Tính ổn định?
b) Xác định hàm truyền của hệ thống
c) Vẽ phác đồ thị Bode thể hiện đáp ứng tần số của hệ thống (kẻ các đường tiệm cận
và vẽ đường cong xấp xỉ).
32.
Một hệ tuyến tính liên tục có đồ thị điểm cực-điểm không dưới đây, biết rằng không
có điểm cực, điểm không nào là bội. Cho biết hệ số khuếch đại tĩnh của hệ thống là
2 và hệ không có trễ.

a) Xác hàm truyền của hệ thống.
b) Vẽ phác đáp ứng xung và đáp ứng bước nhảy của hệ thống.
c) Vẽ phác
đồ thị Bode thể hiện đáp ứng tần số của hệ thống.
d) Vẽ phác lại đáp ứng xung và đáp ứng bước nhảy của hệ thống cho trường hợp hai
điểm cực liên hợp phức của hệ thống:
- được dịch sang trái 1 đơn vị
- được dịch sang phải 1 đơn vị.

33.
Cho 6 hệ tuyến tính liên tục được mô tả bởi các hàm truyền dưới đây:
123
2
456
22
222
() , () , ()
2s+1 10s+1 10s 11s+1
112
() , () , ()
1110s1
Gs Gs Gs
Gs Gs Gs
ss s
===
+
===
++ + − +

Pole-Zero Map

Real Axis
Imag Axis
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

13
Đồ thị đáp ứng bước nhảy đơn vị của mỗi hệ và đồ thị đáp ứng tần số của một số hệ

được thể hiện trên các hình vẽ dưới đây. Hãy liên hệ các đồ thị này với các hàm
truyền tương ứng (ghi tên hàm truyền tương ứng ô phía dưới các đồ thị thích hợp).
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 10 20 30 40 50 60
0
0.5
1
1.5
2
Step Response

Time (sec)
Amplitude
0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0


0 10 20 30 40
0
0.5
1
1.5
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 10 20 30 40 50 60
0
0.5
1
1.5
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude

0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 2 4 6 8 10 12
0
0.5
1
1.5
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude







14

-100
-50
0
50
Magnitude (dB)
10
-2
10
0
10
2
-180
-90
0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-20
-10
0
10
Magnitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1

-90
-45
0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)



-100
-50
0
50
Magnitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-90
0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)

-40
-20
0
20
Magnitude (dB)
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-90
-45
0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequenc y (rad/ sec )




15
Chương 6. Trích mẫu và khôi phục tín hiệu
34. Âm thanh con người nghe được nằm trong phạm vi tần số từ 20Hz đến 20.000Hz. Để
số hoá âm nhạc, ta cần trích mẫu với chu kỳ tối đa bằng bao nhiêu?
35.

Để trích mẫu các tín hiệu sau đây ta cần chọn chu kỳ trích mẫu tối đa bằng bao
nhiêu để tránh hiện tượng trùng phổ:
a)
sin
()
() cos(10 )
2
t
xt t
t
π
π=

b)
4
sin
()
() 1()
t
t
xt e t
t
π
π
−
= ∗

36.
Một tín hiệu điện áp liên tục v(t) có dải tần giới hạn
ω

< 5 rad/s bị nhiễu bởi một
tín hiệu dạng sin
()
sin
(
120
)
dt tπ=
.

a) Nếu trích mẫu tín hiệu bị nhiễu
v
d
(t) với tần số
13 rad/s
s
ωπ=
thì có xảy ra ở đây
hiện tượng trùng phổ hay không (giải thích). Nếu có xảy ra hiện tượng trùng phổ thì
tín hiệu nhiễu có thể lẫn với thành phần tín hiệu tần số bao nhiêu?
b) Trước khi trích mẫu ta cho tín hiệu bị nhiễu v
d
(t) qua một mạch RC như sau đây

Hãy tính toán giá trị RC sao cho nhiễu d(t) được lọc với hệ số suy giảm bằng 60dB.
+
+
v
(
t

)

d
(
t
)
v
d
(
n
)

Trích mẫu
v
d
(
t
)

16
Chương 7: Phép biến đổi Z và hàm truyền hệ không liên tục
37. Xác định ảnh Z của các tín hiệu không liên tục sau đây:
a)
1
1
2
() ()1( 3)
n
xn n= −

b)
1
2
3
() (1 )()1()
n
xn n n=+

c)
||
1
3
2
() ()
n
xn n=

d)

38.
Xác định và vẽ phác đồ thị hàm gốc của các ảnh Z sau đây:
a)
1
1
()
1
Xz
z
=
−

b)
2
2
1
()
(1)
Xz
zz
=
−

c)
3
2
1
()
1
Xz
zz
=
++

d)
2
2
4
1
()
z

Xz
z
⎛⎞
−
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

39.
Cho đồ thị điểm không-điểm cực của các hệ không liên tục như sau:


a)
Những đồ thị nào biểu diễn hệ ổn định?
b)
Những đồ thị nào biểu diễn hệ nhân quả?
c)
Những đồ thị nào biểu diễn hệ nhân quả và ổn định?

40.
Cho hệ không liên tục được mô tả bởi hàm truyền:
2
(0.8)
()
( 0.8 0.64)( 2)

zz
Gz
zz z
−
=
− ++
với miền hội tụ 0.8 < |z| < 2
G
1
(
z
)

G
2
(
z
)
G
3
(
z
)
G
4
(
z
)

0

n
x
4
(
n
)

1 2 3 4
-2 -1
1
-
1

17
a)
Vẽ đồ thị điểm cực-điểm không của hệ thống.
b)
Xác định tính ổn định và tính nhân quả của hệ thống
c)
Xác định đáp ứng xung của hệ thống.
41.
Cho hệ không liên tục được mô tả bởi hàm truyền:
2
2
2
()
0.5
zz
Gz
zz

+ −
=
++

a)
Vẽ đồ thị điểm cực-điểm không của hệ thống.
b)
Xác định tính ổn định và tính nhân quả của hệ thống
c)
Xác định phương trình sai phân tương ứng mô tả hệ thống.