Hình thành một số kiến thức của hình học cao cấp từ nền tảng kiến thức toán học phổ thông cho sinh viên sư phạm toán

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 64-70
This paper is available online at

DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0166

HÌNH THÀNH MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA HÌNH HỌC CAO CẤP
TỪ NỀN TẢNG KIẾN THỨC TOÁN HỌC PHỔ THÔNG
CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN
Trần Việt Cường và Đỗ Thị Trinh
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên
Tóm tắt. Bài báo đề cập tới việc hình thành một số kiến thức của Hình học cao cấp từ nền
tảng kiến thức toán học phổ thông cho sinh viên sư phạm toán, qua đó giúp cho sinh viên
thấy được mối quan hệ của nội dung Hình học cao cấp được học ở trường sư phạm với nội
dung kiến thức hình học trong chương trình phổ thông.
Từ khóa: Hình học cao cấp, sinh viên, khoảng cách, kiến thức.

1.

Mở đầu

Nghiên cứu mỗi quan hệ giữa toán cao cấp và toán sơ cấp đã được nhiều nhà nghiên cứu
giáo dục, nhà toán học trên thế giới cũng như ở Việt Nam hết sức quan tâm. Hai hướng chủ yếu
được nghiên cứu trong thời gian qua là: (1) Giải các bài toán sơ cấp bằng công cụ của toán cao
cấp và (2) Biên soạn giáo trình cơ sở của toán cao cấp dưới dạng một bài giảng và bằng một ngôn
ngữ đơn gian [5]. Theo hướng thứ nhất, vấn đề được giải quyết một cách đơn lẻ không khái quát
và không mang tính lí luận nhưng lại đáp ứng được nhu cầu mà thực tế dạy học ở bậc phổ thông
đòi hỏi. Nó giúp cho GV thông qua cách giải bài toán bằng toán cao cấp, tìm thấy lời giải phù
hợp với học sinh phổ thông. Theo hướng thứ hai, mỗi khái niệm có liên quan đến môn toán ở bậc
phổ thông đều được hình thành bằng con đường kiến tạo, xuất phát từ những khái niệm của toán
sơ cấp để khái quát hoá, trừu tượng hoá thành khái niệm của toán cao cấp. Các công trình nghiên

cứu mối quan hệ giữa toán cao cấp với toán sơ cấp trong dạy học ở nước ta phải kể đến các công
trình nghiên cứu của Ngô Thúc Lanh [8], Đào Tam [9], Nguyễn Thị Châu Giang [7], Nguyễn Văn
Dũng [5].
Thực tế dạy học hiện nay cho thấy, nhiều sinh viên (SV) khi học tập các môn Hình học cao
cấp (HHCC) chưa thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức của HHCC với nội dung kiến
thức hình học ở trường phổ thông. Một phần nguyên nhân đó là do các giảng viên (GV) khi dạy
học HHCC mới chỉ tập trung vào việc cung cấp nội dung kiến thức cho SV mà chưa chú trọng việc
phân tích cho SV thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức của HHCC với nội dung kiến thức
hình học ở trường phổ thông [10].
Ngày nhận bài: 10/7/2015. Ngày nhận đăng: 10/10/2015.
Tác giả liên lạc: Trần Việt Cường, địa chỉ e-mail:

64


Hình thành một số kiến thức của Hình học Cao cấp từ nền tảng kiến thức toán học phổ thông...

Để giúp cho SV phần nào thấy được mối quan hệ đó, chúng tôi minh họa việc hình thành
kiến thức HHCC xuất phát từ các kiến thức phổ thông cho SV thông qua việc hình thành kiến thức
khoảng cách từ một điểm đến một m-phẳng và một siêu phẳng trong chương trình Hình học Afin
và Hình học Euclide.

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Vai trò của việc hình thành kiến thức cho sinh viên

Trong dạy học môn Toán nói chung và dạy học Hình học cao cấp nói riêng, việc dạy học
các kiến thức Toán học (khái niệm, định lí, công thức, quy tắc...) cho SV bao gồm các hoạt động

như: tiếp cận kiến thức, hình thành kiến thức, vận dụng kiến thức và củng cố kiến thức.Trong các
hoạt động đó, hoạt động tiếp cận và hình thành kiến thức là một trong những bước quan trọng
trong hoạt động dạy học kiến thức cho SV, nhằm giúp cho SV nắm vững các đặc điểm đặc trưng
của kiến thức đó, từ đó phát triển tư duy cho bản thân.
Việc tổ chức các hoạt động cho SV tiếp cận các kiến thức Toán học nói chung và kiến thức
Hình học cao cấp nói riêng từ nên tảng kiến thức toán học phổ thông không những giúp cho SV
thấy được nội dung các kiến thức đó xuất hiện một cách tự nhiên, không bị gò ép, áp đặt mà còn
tạo điều kiện thuận lợi để SV hình thành nội dung các kiến thức đó, thấy được mối quan hệ giữa
nội dung kiến thức Hình học cao cấp được học ở trường sư phạm với nội dung kiến thức toán học
ở trường phổ thông. Từ đó, giúp cho SV nắm vững được hệ thống các kiến thứctoán học, làm cơ
sở cho việc học tập và nghiên cứu Toán học.

2.2.

Một số ví dụ về việc hình thành kiến thức của Hình học cao cấp từ nền tảng
kiến thức toán học phổ thông cho sinh viên sư phạm toán

* Hình thành kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một m-phẳng
Để giúp SV hình thành kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một m-phẳng, GV có thể tổ
chức các hoạt động như sau:
Hoạt động 1. GV tổ chức cho SV tiếp cận kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một
1-phẳng.
GV: Yêu cầu SV nhắc lại kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong
mặt phẳng.
SV: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 và điểm I(x0 ,
y0 ). Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(I, ∆) được tính theo công thức [1, 2]:
d(I, ∆) =

|ax0 + by0 + c|
√

a 2 + b2

(1)
GV: Tổ chức cho SV nghiên cứu kiến thức trên theo định hướng gắn với Hình học cao cấp:
Gọi n là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆. Khi đó, ta có n(a; b).
√
Gọi u(b; -a), ta có a2 + b2 = |u|2 = u2 .
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử b = 0. Khi đó, ta có
65


Trần Việt Cường và Đỗ Thị Trinh

∆: ax + by + c = 0 ⇔ ∆ :

y+ cb
−a :
S(0; cb ). Khi

x
b

Do đó, ta có thể chọn điểm

=

−
→
đó, ta có SI = x0 , y0 −

c
(ax0 + by0 + c)2 = b(y0 − 0) − a(x0 − )
a

c
a

và

2

c
c 2
=(a2 + b2 ) (x0 − 0)2 + (y0 − ) − a(x0 − 0) + b(y0 − )
b
b
→2
−
→2
2 −
=u .SI − (u.SI)

2

Do đó, ta có:
−−→
−
→2
−
→2

u2 .SI − (u.SI)
Gr(u, SI)
d (I, ∆) =
=
u2
Gr(u)
2

(1’)
GV: Tiếp theo, GV yêu cầu SV nhắc lại kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng trong không gian.
SV: Trong không gian, cho đường thẳng(∆) có phương trình dạng chính tắc
x − b1
y − b2
z − b3
=
=
a1
a2
a3
và điểm I(x0 , y0 , z0 ). Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng (∆), kí hiệu là d(I, (∆)) được tính
theo công thức:
−
→
SI, u
d(I, (∆)) =

|u|

(2),

trong đó u(a1 , a2 , a3 ) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (∆) và S(b1 , b2 , b3 ) là một điểm bất
kì mà đường thẳng ∆ đi qua [3].
GV: Tổ chức cho SV nghiên cứu kiến thức trên theo định hướng gắn với Hình học cao cấp:
Ta có
|u| =
−
→
và SI = (x0 − b1 , y0 − b2 , z0 − b3 )
66

a21 + a22 + a23


Hình thành một số kiến thức của Hình học Cao cấp từ nền tảng kiến thức toán học phổ thông...

Do đó, ta có:
−
→
SI, u =[a3 (y0 − b2 ) − a2 (z0 − b3 ); a1 (z0 − b3 ) − a3 (x0 − b1 ); a2 (x0 − b1 ) − a1 (y0 − b2 )]

−
→
SI, u

2

=[a3 (y0 − b2 ) − a2 (z0 − b3 )]2 + [a1 (z0 − b3 ) − a3 (x0 − b1 )]2

+[a2 (x0 − b1 ) − a1 (y0 − b2 )]2

=[a21 + a22 + a23 ][(x0 − b1 )2 + (y0 − b2 )2 + (z0 − b3 )2 ]

−[a1 (x0 − b1 ) + a2 (y0 − b2 ) + a3 (z0 − b3 )]2
−
→
−
→
=u2 .SI 2 − (u.SI)2
Do đó, ta có:

−−→
−
→2
−
→2
Gr(u, SI)
u2 .SI − (u.SI)
=
d (I, ∆) =
u2
Gr(u)
2

(2’)
GV: Chúng ta đã biết, đường thẳng là 1- phẳng. Do đó, công thức(1) và (2) chính là khoảng
cách từ một điểm đến một 1- phẳng tương ứng ở trong không gian 2 chiều và không gian 3 chiều.
Tổng quát, ta có công thức
d2 (I, ∆) =

−−→

−
→2
−
→2
u2 .SI − (u.SI)
Gr(u, SI)
=
u2
Gr(u)

(*)
được gọi là khoảng cách từ một điểm đến một 1-phẳng bất kì. Chúng ta cũng dễ dàng thấy được:
1
2
Nếu trong mục tiêu trực chuẩn cho 1 – phẳng (đường thẳng) α có phương trình x1a−b
= x2a−b
=
1
2
xn −b2
... = an và điểm
I(x01 , x02 , ..., x0n )
thì ta có [6]

d2 (I, α) =

i
ai (x0j − bj ) − (aj (x0i − bi )
n

i=1

a2i

Hoạt động 2. GV tổ chức cho SV tiếp cận kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một
2-phẳng.
Với cách xây dựng tương tự như ở hoạt động 1, GV dễ dàng giúp cho SV thấy được kiến
thức khoảng cách từ một điểm bất kì đến một mặt phẳng trong chương trình Hình học lớp 12 chính
là khoảng cách từ một điểm bất kì đến 2 phẳng trong không gian 3 chiều.
Tổng quát, ta có khoảng cách từ một điểm I bất kì đến 2 - phẳng α trong không gian n
chiều là:
67


Trần Việt Cường và Đỗ Thị Trinh

−−→
Gr(u1 , u2 , SI)
d (I, α) =
Gr(u1 , u2 )
2

(**),
trong đó S là điểm thuộc α và u1 , u2 là hai véc tơ thuộc α [6].
Hoạt động 3. Hình thành kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một m phẳng.
GV: Yêu cầu SV dự đoán công thức tính khoảng cách từ một điểm đến m-phẳng trong không
gian n chiều.
SV: Từ các công thức (*) và (**), dự đoán trong không gian n chiều ta có công thức tính
khoảng cách từ một điểm I bất kì đến một m-phẳng (α) bất kì là
−−→

Gr(u1 , u2 , ...un , SI)
d (I, α) =
Gr(u1 , u2 , ...un )
2

GV: Chính xác hóa câu trả lời của SV và hướng dẫn SV nghiên cứu nội dung khoảng cách
từ một điểm đến một m-phẳng trong không gian n chiều trong giáo trình Hình học Afin và Hình
học Euclide.
* Hình thành kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng
Để giúp SV hình thành kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng, GV có thể
tổ chức các hoạt động như sau:
GV: Yêu cầu SV nhắc lại kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong
mặt phẳng.
SV: Trong mặt phẳng, chúng ta đã biết công thức tính khoảng cách từ một điểm I(x0 , y0 )
đến đường thẳng ∆: a1 x + a2 y + a3 = 0 được tính theo công thức:
d(I, ∆) =

|a1 x0 + a2 y0 + a3 |
a21 + a22

(1)
GV: Chúng ta đã biết, trong không gian 2 chiều thì đường thẳng là siêu phẳng. Do đó, công
thức (1) chính là khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng trong không gian 2 chiều.
GV: Yêu cầu SV nhắc lại kiến thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong
mặt phẳng.
SV: Trong không gian, chúng ta đã biết công thức tính khoảng cách từ một điểm I(x0 , y0 ,
z0 ) đến mặt phẳng (α): a1 x + a2 y + a3 z + a4 = 0 được tính theo công thức [4]:
d(I, (α)) =

|a1 x0 + a2 y0 + a3 z0 + a4 |

a21 + a22 + a23

(2)
GV: Tương tự như trên, trong không gian 3 chiều thì mặt phẳng là siêu phẳng. Do đó, công
thức (2) chính là khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng trong không gian 3 chiều.
68


Hình thành một số kiến thức của Hình học Cao cấp từ nền tảng kiến thức toán học phổ thông...

GV: Yêu cầu SV dự đoán công thức tính khoảng cách từ một điểm đến siêu phẳng trong
không gian Afin n chiều.
SV: Từ công thức (1) và (2), dự đoán trong không gian Afin n chiều ta có công thức tính
khoảng cách từ một điểm bất kì I(x01 ; x02 ; ...; x0n ) đến một siêu phẳng (α): a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 +
an xn + a0 = 0 là
n

d(I, (α)) =

a1 x01

+

a2 x02 + a3 x03 + ... + an x0n
a21 + a22 + a23 + ... + a2n

+ a0

=

i=1

ai x0i + a0
n
i=1

a2i

GV: Chính xác hóa câu trả lời của SV và hướng dẫn SV nghiên cứu nội dung khoảng cách
từ một điểm đến một siêu phẳng trong không gian n chiều trong giáo trình Hình học Afin và Hình
học Euclid.
* Hình thành kiến thức phép đối xứng qua m-phẳng
Để giúp SV tiếp cận kiến thức phép đối xứng qua m-phẳng, GV có thể dẫn dắt SV tiếp cận
kiến thức như sau:
Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã được làm quen các phép biến hình như: phép đối
xứng tâm (trong mặt phẳng và trong không gian), phép đối xứng trục (trong mặt phẳng và trong
không gian) và phép đối xứng qua mặt phẳng (trong không gian). Mặt khác, chúng ta đã biết khái
niệm 0-phẳng là một điểm, 1 phẳng là đường thẳng và 2 phẳng là mặt phẳng trong không gian
Afin. Do đó, phép đối xứng qua một điểm chính là phép đối xứng qua 0-phẳng, phép đối đối xứng
trục chính là phép đối xứng qua 1-phẳng, phép đối xứng qua mặt phẳng là phép đối xứng qua 2
phẳng trong không gian Afin. Hôm nay, chúng ta cùng nhau đi nghiên cứu nội dung phép đối xứng
qua m-phẳng và liệu rằng các tính chất của phép đối xứng qua m-phẳng có tương tự như các tính
chất mà chúng ta đã biết trong phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục và phép đối xứng qua mặt
phẳng mà chúng ta đã biết hay không?
Tương tự như trên, GV có thể giúp SV dễ dàng hình thành được các khái niệm khác trong
Hình học cao cấp xuất phát từ nền tảng kiến thức toán học ở trường phổ thông như: khoảng cách
giữa hai cái phẳng, đường vuông góc chung của hai cái phẳng.

3.

Kết luận

Trong dạy học, việc GV tổ chức các hoạt động nhằm hình thành các kiến thức của Hình học
cao cấp từ nền tảng kiến thức toán học ở trường phổ thông không những giúp cho các SV giảm
bớt những khó khăn khi tiếp thu các kiến thức mà còn nắm vững nội dung các kiến thức của Hình
học cao cấp ở trường sư phạm, thấy được mối quan hệ của nội dung kiến thức Hình học cao cấp ở
trường sư phạm với nội dung kiến thức hình học ở phổ thông, qua đógóp phần nâng cao chất lượng
đào tạo cho SV ở các trường sư phạm hiện nay.
69


Trần Việt Cường và Đỗ Thị Trinh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]

Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2006. Hình học 10 nâng cao. Nxb Giáo dục.
Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2006. Hình học 10, Nxb Giáo dục.
Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2008. Hình học 12 nâng cao, Nxb Giáo dục.
Bộ Giáo dục và Đào tạo (2008), Hình học 12. Nxb Giáo dục.
Nguyễn Văn Dũng, 2012. Dạy học Đại số cao cấp ở các trường sư phạm theo hướng gắn với
chương trình môn Toán ở trường phổ thông.
[6] Văn Như Cương, Tạ Mân, 1998. Hình học Afin và hình học Euclid. Nxb Đại học Quốc gia
Hà Nội.
[7] Nguyễn Thị Châu Giang, 2009. Tăng cường mối liên hệ sư phạm giữa nội dung dạy học Lý
thuyết tập hợp và logic, cấu trúc đại số với nội dung dạy học Số học trong môn Toán cấp tiểu

học cho sinh viên khoa giáo dục tiểu học trong các trường đại học. Luận án Tiến sỹ Giáo
dục học, Trường Đại học Vinh.
[8] Ngô Thúc Lanh, 1987. Đại số và Số học. Nxb Giáo dục.
[9] Đào Tam, 2001. Phát triển năng lực chuyển tải tri thức toán học cao cấp, hiện đại sang ngôn
ngữ trung học phổ thông cho sinh viên sư phạm. Tạp chí Giáo dục, Số 7, tr. 38-40.
[10] Đỗ Đức Thái, Nguyễn Anh Tuấn, 2011. Về việc dạy học TSC ở Khoa Toán các trường Đại
học Sư phạm. Tạp chí Giáo dục, Số 263, tr. 36-38.
ABSTRACT
Gaining knowledge of advanced geometry
based on a basic high school mathematical understanding for Maths student teachers
In this paper, we discuss the acquisition of knowledge of advanced geometry by university
students based on a basic school mathematical understanding in the case of Maths teacher students,
thereby helping them to see the relationship between advanced geometry at the pedagogical
university and the math learned in high school.
Keywords: Advanced geometry, students, distance, knowledge.

70