Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp thể tích cho học sinh trung học phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 17-27
This paper is available online at

DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0161

DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG CÁCH
TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP "THỂ TÍCH"
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Nguyễn Anh Tuấn1 , Lại Văn Định2
1 Khoa
2 Bộ

Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
môn Toán-Tin, Trường Đại học Điều dưỡng Nam Định

Tóm tắt. Bài báo trình bày nghiên cứu về vấn đề dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ
một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp (PP) gián tiếp - thông qua thể tích của khối
chóp. Tác giả đã giải quyết vấn đề bằng cách tìm hiểu những khó khăn của học sinh (HS)
Trung học phổ thông (THPT) khi tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; xây dựng
quy trình và biện pháp dạy học để rèn luyện kĩ năng giải loại bài toán này bằng PP "thể
tích" cho HS. Kết quả nghiên cứu thể hiện ở biện pháp và ví dụ minh họa cụ thể việc dạy
học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian.
Từ khóa: Tìm khoảng cách, điểm, mặt phẳng, phương pháp thể tích.

1.

Mở đầu

Dạy học giải toán là một tình huống dạy học điển hình, giữ vai trò quan trọng hàng đầu
trong dạy học Toán ở trường phổ thông bởi lẽ đây là tình huống vận dụng tổng hợp các kiến thức

và kĩ năng có liên quan. Các tác giả Nguyễn Bá Kim [4], Bùi Văn Nghị [6], Đào Tam [12], ... đã
nghiên cứu rất sâu sắc từ góc độ cơ sở lí luận và phương pháp dạy học, đặc biệt là làm rõ yêu cầu
phát triển năng lực tìm tòi lời giải bài toán cho học sinh.
Tính khoảng cách trong không gian là một bài toán quan trọng trong Hình học không gian,
thường gặp trong các đề thi ở THPT và tuyển sinh vào đại học [1]. Trong đó bài toán tìm khoảng
cách từ một điểm đến một đường thẳng tương đối dễ giải vì có thể đưa về mặt phẳng và dựng
đường vuông góc. Với những bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, giữa hai
mặt phẳng, người ta thường đưa về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Nghiên cứu về dạy học giải toán về khoảng cách trong không gian đã được một số tác giả
đề cập đến trong những bài báo khoa học gần đây. Có thể kể đến những bài viết đăng tải trên tạp
chí Toán học và tuổi trẻ:
Tác giả Cao Thị Thanh Lê (2012, [5; 5-7]) xem xét vấn đề này từ một bài toán tính khoảng
cách trong sách giáo khoa hình học 11 để rèn luyện kĩ năng cho học sinh THPT.
Tiếp cận bài toán tính khoảng cách trong không gian, tác giả Hoàng Đức Nguyên (2009, [7;
4-5]) đã đưa ra một phương pháp giải quyết bài toán tìm khoảng cách thông qua việc đưa vào và
khai thác tính chất của tứ diện vuông.
Ngày nhận bài: 15/9/2015. Ngày nhận đăng: 25/10/2015.
Liên hệ: Nguyễn Anh Tuấn, e-mail:

17


Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định

Nhìn nhận vấn đề khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tác giả Đỗ Thanh Sơn
(2007, [11; 7-8]) đã xây dựng phương pháp xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống
một mặt phẳng.
Tiếp cận vấn đề phương pháp tính thể tích khối đa diện, tác giả Nguyễn Minh Nhiên (2009,
[8; 7-10]) đã xem xét vấn đề tính khoảng cách như một trong các bước của quy trình tính thể tích
khối đa diện trong không gian.

Ngoài ra, vấn đề tính khoảng cách trong không gian còn được đề cập đến khi các tác giả
Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức (2001, [13]) nghiên cứu hệ thống hóa
các dạng toán và phương pháp giải toán hình học không gian. Hay được đưa vào tài liệu ôn tập thi
tuyển sinh vào đại học (Bùi Quang Trường, 2005, [14]), ...
Trong thực tế dạy và học Hình học không gian ở trường phổ thông, khái niệm khoảng cách
từ điểm M đến mặt phẳng (P) được định nghĩa "khá đơn giản" là khoảng cách giữa hai điểm M
và H, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P). Tuy nhiên việc xác định và tính được
khoảng cách là một bài toán gây ra nhiều khó khăn cho học sinh. Bởi lẽ, mặc dù bài toán này
thường có một vài cách giải quyết như sau:
1 - Một PP giải khá "chính tắc" là xác định trực tiếp hình chiếu H của điểm M trên mặt
phẳng (P), dựng đường vuông góc MH và tính độ dài MH dựa vào tam giác ...
2 - Theo con đường tính khoảng cách giữa một đường thẳng d đi qua M và song song với
mặt phẳng (P), ta có thể tìm cách dựng d, sau đó tìm trên d một điểm N (khác M) mà ta có thể xác
định được hình chiếu H của N trên mặt phẳng (P), tính độ dài NH dựa vào tam giác ... và đó cũng
là khoảng cách cần tìm.
3 - Dựa vào tính chất và tỉ số đồng dạng, ta có thể tìm một điểm trung gian N (khác M) mà
khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P) tỉ lệ với khoảng cách từ điểm M mặt phẳng (P), nhờ
việc tính được khoảng cách từ N đến (P) mà ta tìm được khoảng cách từ M đến (P).
Nhưng với những PP kể trên, ta đều cần xác định được hình chiếu của một điểm trên một
mặt phẳng mà việc này gây ra những khó khăn cho không ít HS. Bởi lẽ, do khả năng tưởng tượng
không gian và thao tác hình học còn hạn chế nên nhiều em rất ngại phải dựng, vẽ thêm hình phụ
trong hình học không gian.
Vấn đề đặt ra là: Làm như thế nào để khắc phục được những khó khăn nêu trên cho HS
trong dạy học giải bài toán tính khoảng cách trong không gian?
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng từ cách tiếp cận bằng con đường thông qua "thể tích của hình chóp". Xuất phát từ phương
pháp tính khoảng cách bằng cách đưa vào một hình chóp, xem khoảng cách như là độ dài đường
cao của hình chóp mà ta có thể tính được thể tích và diện tích đáy không quá khó khăn; chúng tôi
xây dựng quy trình bốn bước dạy tri thức phương pháp và luyện tập cho học sinh THPT kĩ năng
giải bài toán tính khoảng cách theo "phương pháp thể tích".

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Quy trình dạy học giải bài toán tính khoảng cách bằng phương pháp
"thể tích"

Bước 1: Trang bị và củng cố kiến thức nền cho HS.
Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ) là khoảng cách giữa hai điểm M
và H, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P ).
Định lí 1: Cho tam giác ABC có các cạnh là BC = a; AB = c; CA = b khi đó cosA =
18


Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp "thể tích"...

a2 + c2 − b2
a2 + b2 − c2
b2 + c2 − a2
; cosB =
; cosC =
.
2bc
2ac
2ab
Định lí 2: Cho tam giác ABC có các cạnh là BC = a; AB = c; CA = b, khi đó
1
1
1

S∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B
2
2
2
1
Định lí 3: Hình chóp đỉnh S, đáy là đa giác, đường cao SH có thể tích bằng diện tích đáy
3
nhân với đường cao.
Hệ quả 1: Khoảng cách từ đỉnh S của hình chóp đến mặt phẳng đáy bằng 3 lần thể tích chia
cho diện tích đáy của nó.
1
Hệ quả 2: Với hình chóp S.ABC, thể tích tính theo công thức VS.ABC = SH.S∆ABC ,
3
trong đó H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).
3VS.ABC
Hệ quả 3: d (S; (ABC)) = SH =
S∆ABC
Định lí 4: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm
trong mặt phẳng (P ) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P ).
Bước 2: Xây dựng quy trình giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm S đến mặt
phẳng bằng PP "thể tích".
1
Xuất phát từ công thức tính thể tích: Thể tích của hình chóp bằng diện tích đáy nhân với
3
1
đường cao, chẳng hạn với hình chóp tam giác S.ABC ta có: VS.ABC = SH.S∆ABC , với H là
3
hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).
Từ đó, ta dễ dàng rút ra được công thức tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy
3VS.ABC

(ABC) là d (S; (ABC)) = SH =
.
S∆ABC
Như vậy, nếu ta biết được thể tích và diện tích đáy của một hình chóp thì việc tính khoảng
cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt phẳng đáy trở nên đơn giản.
Mặt khác, với đáy là một tam giác thì việc tính diện tích nhiều khi cũng không nhất thiết
phải tính chiều cao của tam giác mà có thể tính được ngay nếu biết góc và cạnh tam giác nhờ công
1
1
1
thức S∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B. Cũng cần chú ý rằng: khi đáy là đa giác, ta
2
2
2
có thể đưa về bài toán tính diện tích của các tam giác.
Như vậy, để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có thể gián tiếp thông qua
PP "thể tích" như trên. Đặc biệt là với những bài toán mà ở đó giả thiết đã cho chứa đựng những
yếu tố liên quan đến thể tích của hình chóp ...
Từ đó rút ra PP "thể tích" để giải bài toán tính khoảng cách gồm năm bước sau:
1 - Đầu tiên ta chọn một khối chóp với là đỉnh chính là điểm S đó, đáy là đa giác (nói riêng
là ∆ABC, hoặc tứ giác ABCD) nằm trong mặt phẳng cần tìm khoảng cách từ S đến đó.
2 - Sau đó dựa vào giả thiết để tính thể tích của hình chóp. Trong trường hợp cần thiết, ta
có thể chọn một đỉnh khác sao cho dễ tính được thể tích nhất.
3 - Tính diện tích đa giác đáy (∆ABC, tứ giác ABCD, ...). Ta có thể sử dụng định lí cosin
và các kiến thức hình học phẳng để tính toán các cạnh ... Chẳng hạn: Tính diện tích của ∆ABC
1
1
nhờ công thức S = b.c. sin A = a.c. sin B;...
2
2

19


Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định

4 - Áp dụng công thức ở hệ quả 1 để tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy.
5 - Trả lời kết quả theo yêu cầu của bài toán.
Bước 3: GV thể hiện việc vận dụng quy trình trên thông qua ví dụ minh họa.
Bước 4: GV tổ chức HS luyện tập vận dụng quy trình trên bằng cách hướng dẫn giải
những bài tập tương tự.

2.2.

Ví dụ và bài tập minh họa
Bài toán 1. (Trích đề thi tuyển sinh môn Toán khối A, A1 năm 2014)

3a
, hình chiếu
2
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBD).
Hướng dẫn tìm lời giải bài toán
Với bài toán này việc xác định chiều cao của hình chóp là dễ dàng vì đầu bài cho hình chiếu
của S là trung điểm của AB. Nhưng việc xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBD) tương
đối khó khăn. Thậm chí nhiều HS còn không vẽ được hình. Trong khi suy nghĩ của chúng ta luôn
luôn làm sao cho phải vẽ bằng được hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBD) dẫn đến không giải
được bài toán.
Trong trường hợp này các em chú ý H là trung điểm AB gợi cho ta nghĩ đến khoảng cách
từ A đến (SBD) gấp 2 lần khoảng cách từ H đến (SBD). Khi đó việc vẽ khoảng cách từ H đến
(SBD) dễ dàng hơn nhiều.

Lời giải bài toán:
Cách 1: Gọi H là trung điểm của AB, suy ra
SH⊥ (ABCD). Do đó ∆SHD là tam giác vuông. Ta
có
√
1 2
=
a
DH = AD 2 + AH 2 =
a2 +
2
√
√
a 5
nên SH = SD2 − DH 2 = a
2
ABCD là hình vuông nên S∆ABD
=
1
1 2
1
1
AB.AD =
a và HB =
AB =
a ⇒
2
2
2
2

3
a
1 1
VS.ABD = a. a2 =
3 2
6
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BD
và E là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta
có BD⊥HK và BD⊥SH nên BD⊥ (SHK). Suy ra
1
BD⊥HE. Mà HE⊥SK do đó HE⊥ (SBD). Ta có HK = HB. sin KBH = a. sin 450 =
2
√
1
1
1
HS.HK
a
a 2
. Trong tam giác vuông SHK có
=
+
⇒ HE =
= .
2
2
2
4
HE
HK

SH
3
HS2 + HK 2
2a
Do đó d (A, (SBD)) = 2d (H, (SBD)) = 2HE = .
3
Tuy nhiên, thực tế cho thấy: Khi giáo viên đã định hướng nhận xét H là trung điểm của AB
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =

20


Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp "thể tích"...

thì HS vẫn khó nhận ra khoảng cách từ A đến (SBD) bằng hai lần khoảng cách từ H đến (SBD).
Ngay cả khi biết khoảng cách từ A đến (SBD) bằng hai lần khoảng cách từ H đến (SBD) thì
vẫn có HS gặp khó khăn khi không hình dung tưởng tượng được nên không vẽ được hình. Từ đó
các em lúng túng trong việc xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Thậm chí có HS
đã vẽ hình, nhưng sai lầm khi nghĩ là hình chiếu của A nằm trên SO.
Khi đó chúng ta còn một công cụ nữa là tính khoảng cách thông qua thể tích của hình chóp
mà một đỉnh chính là điểm A và đáy là mặt phẳng (hoặc một phần của mặt phẳng) mà ta có thể
tính khoảng cách tới mặt phẳng. Chiều cao của hình chóp có đỉnh là điểm A đáy là ∆SBD chính
là khoảng cách từ điểm A đến (SBD). Nhờ vậy, ta không cần phải xác định hình chiếu của A trên
mặt phẳng (SBD). Công việc sẽ là tính thể tích hình chóp A.SBD và diện tích ∆ đáy SBD.
Cách 2: Chọn khối chóp A.SBD với A là đỉnh.
1
Khi đó VA.SBD = d (A; (SBD)) .S∆SBD nên
3
3VA.SBD
d (A; (SBD)) =

S∆SBD
Mặt khác ta lại coi S là đỉnh, mặt phẳng (ABD)
là đáy. Gọi H là trung điểm của AD, khi đó chiều cao
1
hình chóp là SH và VS.ABD = SH.S∆ABD
3
Có ABCD là hình vuông nên S∆ABD =
1
1
1
1
AB.AD = a2 và HB = AB = a
2
2
2
2
Mà ∆SHD vuông tại √
H nên SH
=
√
SD 2 − DH 2 mà DH =
AD 2 + AH 2 =
√
2
1
a
5
=
a
⇒

SH
=
a2 +
2
2
√ 2
1 1
a3
a 5
3a 2
= a ⇒ VS.ABD = a. a2 =
−
2
2
3 2
6
Vì SH là chiều cao của hình chóp nên SH⊥ (ABD) ⇒√SH⊥HB. Vậy tam giác SHB
√
a 2 a 5
=
vuông tại H. Khi đó SB = HS 2 + HB 2 = a2 +
2
2
√
√
√
2
2
ABCD là hình vuông cạnh a suy ra BD = AB + AD = a2 + a2 = a 2
Áp dụng định lí cos trong tam giác SBD ta có

√ 2
√ 2
3a 2
a 5
+ a 2 −
2
2
1
SB 2 + BD 2 − SD 2
√
=√ .
cosB =
=
2SB.BD
a 5 √
10
2.
.a 2
2
2
9
1
2
2
2
2
√
=
Áp dụng công thức sin B + cos B = 1 ⇒ sin B = 1 − cos B = 1 −
10

10
3
nên sin B = √
10
√
3
1
1 a 5 √
3a2
Áp dụng công thức S∆SBD = SB.BD. sin B = .
.a 2. √ =
.
2
2 2
4
10
21


Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định

a3
6 = 2a .
Vậy d (A; (SBD)) =
3
3a2
4
Khi tính thể tích hình chóp A.SBD thì ta đã chọn lại đỉnh khác để có thể tính được thể tích.
Còn khi tính diện tích ∆SBD thì ta không cần quan tâm đó là tam giác đặc biệt hay không. Nhiều
HS thấy tam giác này không đặc biệt là một khó khăn nên không tính được diện tích đáy do đó

cũng không tính được khoảng cách từ A đến (SBD).
Phân tích hai lời giải của bài toán và so sánh ưu, nhược điểm:
Ta thấy cách thứ hai HS không phải kẻ thêm hình. Cách thứ nhất các em phải kẻ thêm hình,
mà trong hình học không gian, việc vẽ thêm hình thường gây khó khăn đối với HS. Bởi lẽ việc này
đòi hỏi HS phải có khả năng tưởng tượng tốt và nắm chắc các định lí cơ bản của hình học không
gian. Nhiều em không biết ta nên bắt đầu vẽ hình từ đâu để có thể vẽ được hình chiếu của A đến
mặt phẳng (SBD). Vì vậy các em không giải được bài toán. Nhưng với cách 2 ta không phải kẻ
thêm hình và việc đưa khoảng cách đó vào một hình chóp một cách khá rõ ràng, thuận lợi.
Bài toán 2. (Trích đề thi tuyển sinh môn Toán khối B năm 2014)
Cho hình lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
′
A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A′ C và mặt đáy bằng
600. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC ′ A′ ).
Hướng dẫn tìm lời giải bài toán.
HS thường mắc sai lầm của bài toán này là từ
B kẻ đường thẳng BK vuông góc với AC và xác định
BK là đường cao luôn. Có HS kẻ thêm từ B vuông
góc xuống A′ K và coi đó là đường cao. Nguyên nhân
là do các em chưa vận dụng được định lí 4 một cách
chính xác. Để khắc phục khó khăn đó chúng ta không
cần kẻ thêm hình mà sử dụng tính khoảng cách qua
thể tích.
Thuận lợi với bài toán này là giả thiết đã gợi ý
cho chúng ta chiều cao của hình chóp là đường thẳng
nối A′ với trung điểm của AB. Do đó ta có thể tính dễ
dàng thể tích hình chóp A′ .ABC. Nên ta phải chọn
hình chóp B.A′ AC để tính khoảng cách từ B đến
(A′ C ′ CA) mà (A′ AC) là một phần mặt phẳng của
(A′ C ′ CA).
- Ta có d (B; (ACC ′ A′ )) = d (B; (ACA′ ))

- Gọi H là trung điểm của AB. Theo giả thiết A′ H⊥ (ABC). Chọn khối chóp B.ACA′
3VB.ACA′
. Cũng với khối chóp trên nhưng ta chọn A′ là đỉnh khi đó
khi đó d (B; (ACA′ )) =
S∆ACA′
1
VA′ .ABC = A′ H.S∆ABC .
3
√
√
1
a2 3
a 3
và S∆ABC = CH.AB =
- Ta có ∆ABC là tam giác đều cạnh a nên CH =
2
2
4
′H
3a
A
⇒ A′ H = CH. tan 600 =
- Trong tam giác vuông A′ HC có tan A′ CH =
CH
2
3.

22

Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp "thể tích"...

- Vậy VA′ .ABC

√
√
a3 3
1 3a a2 3
.
=
.
=
3 2
4
8

1
AA′ .AC sin A.
2
Muốn vậy ta phải biết độ dài các cạnh của tam giác. Việc tính độ dài các cạnh của tam giác hoàn
toàn dựa vào các tam giác vuông nên rất dễ dàng. Sau đó muốn tính sin A thì ta vận dụng định lí
cosin trong tam giác để tính cos A.
√
√
3a 2
a 2 a 10
′
′
2
2

Ta có AC = a; AA = A H + AH =
=
+
2
2
2
Đến đây ta sẽ tính diện tích tam giác ACA′ qua công thức S∆ACA′ =

A′ C

√
= A′ H 2 + CH 2 =

3a
2

Trong tam giác ACA′ có

cos A =

A′ A2 + AC 2 − A′ C 2
=
2A′ A.AC

⇒ sin A =

√
a2 39
8

1−

cos2 A

=

1−

2

+

√
a 3
2

√
a 10
2

2

2.
1
√
2 10

2

√

=a 3

√
+ a2 − a 3
√

a 10
.a
2

2

=

2

1
= √
2 10

√
1 a 10
39
⇒ S∆ACA′ = .
.a.
40
2 2

39
=

40

√
a3 3
√
3.
3a 13
8
′
Vậy d (B; (ACA )) = 2 √
=
.
13
a 39
8
Bài toán 3. (Trích đề thi thử môn Toán THPT
quốc gia 2015, Trường THPT Chuyên Đại học Sư
phạm Hà Nội)
Cho lăng trụ đứng ABCD.A′ B ′ C ′ D ′ , có đáy
ABCD là hình thoi cạnh a với góc BAD = 600 . Gọi
O, O1 lần lượt là tâm của hai đáy, OO1 = 2a. Gọi S
là trung điểm của OO1 . Tính khoảng cách từ điểm O
đến mặt phẳng (SAB).
Hướng dẫn tìm lời giải bài toán.
Trong thực tế, có khá nhiều HS nhầm khi dựng
hình chiếu của O trên (SAB) dù đã được hướng dẫn
rất kĩ là phải vận dụng cho đúng định lí 4. Tuy nhiên,
vẫn có nhiều HS dựng hình như sau: Nối O với trung
điểm H của AB, sau đó kẻ OK⊥SH và coi OK là
khoảng cách cần tìm (!).

23


Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định

Sử dụng PP tính khoảng cách thông qua thể tích sẽ hạn chế những sai lầm đó cho các HS.
Ở bài toán này, giả thiết cũng khá thuận lợi cho HS thấy chọn hình chóp S.OAB là hình
chóp cần sử dụng vào việc tính khoảng cách từ O đến (SAB).
Có SO = a, AB = AD = a; BAD = 600 ⇒ ∆BAD là tam giác đều nên
√
√
√
a 3
a
1
a2 3
1
a3 3
AO =
; BO = ⇒ S∆BAO = OA.OB =
⇒ VS.ABO = SO.S∆BAO =
2
2
2
8
3
24
√
√ 2

√
√
a 5
a 2
a 3
=
=
;SA = SO 2 + OA2 = a2 +
SB = SO 2 + OB 2 = a2 +
2
2
2
√ 2
√ 2
a 5
a 7
2
+a −
√
2
2
a 7
1
SB 2 + AB 2 − SA2
√
= √ ⇒
⇒ cos ABS =
=
2
2SB.AB

2 5
a 5
2.a.
2
√
√
2
1
1
a2 19
19
√
= √ ⇒ S∆SAB = AB.SB. sin SBA =
⇒
sin ABS =
1−
2
8
2 5
2
5
√
a3 3
√
3.
3VS.ABO
a 57
24
d (O; (SAB)) =
=

.
= 2√
S∆SAB
19
a 19
8
Với đường lối giải bài toán như trên, HS sẽ có thể giải được nhiều bài toán hơn và khắc phục
được khó khăn khi phải vẽ thêm các đường phụ khác. Cũng với cách giải này ta vận dụng vào tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng cũng sẽ thuận lợi
hơn cho HS.
Bài toán 4.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC là tam giác đều tâm O. Hình chiếu
vuông góc C ′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O. Biết khoảng cách từ O đến đường thẳng
CC ′ bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ACC ′ A′ ) và (BCC ′ B ′ ) bằng 60◦ . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng CC ′ và OB ′ .

24


Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp "thể tích"...

Hướng dẫn giải bài toán.
Từ tâm O kẻ đường thẳng KM song song AB, khi đó O là trung điểm của KM . Vì ∆ABC
đều nên CO⊥AB ⇒ CO⊥KM, C ′ O là đường cao nên C ′ O⊥KM , do đó KM ⊥ (CC ′ O) ⇒
C ′ C⊥HM
KM ⊥C ′ C. Gọi H là hình chiếu của O trên C ′ C. Nên C ′ C⊥ (HKM ) ⇒
suy
C ′ C⊥HK
ra góc giữa (ACC ′ A′ ) và (BCC ′ B ′ ) là góc giữa HK và HM .
Nếu KHM = 600 ta có suy ra ∆KHM đều. Mà ∆KCM cũng có C = 600 nên cũng là

tam giác đều. Do đó HO = CO. Mà tam giác ∆COH vuông, suy ra vô lí. Vậy góc KHM =
1200 .
Vì KM ⊥ (CC ′ O) ⇒ KM ⊥HO; O là trung điểm của KM do vậy HO vừa là trung tuyến
vừa là đường cao nên ∆KHM là tam giác cân.
√
√
3
Suy ra KM = 2KO = 2HO. tan 600 = 2a 3 ⇒ AB = KM = 3a 3 ⇒ CI =
2
√
AB 3
9a
=
.
2
2
√
27a2 3
2
1
, CO = CI = 3a, tam giác COC ′ vuông nên
Do đó S∆ABC = CI.AB =
2
3
√ 4
1
1
3a
2
1

=
+
⇒ C ′O =
.
OH 2
CO 2 C ′ O2
4
- Ta có CC ′ //BB ′ ⇒ CC ′ // (OBB ′ ) nên d (CC ′ ; OB ′ ) = d (CC ′ ; (OBB ′ )) =
d (C; (OBB ′ ))
3VC.OBB ′
- Xét hình chóp C.OBB ′ có d (C; (OBB ′ )) =
SOBB ′
′
′
′
′
- Mặt khác VC.OBB = VB .OBC ,vì (A B C ′ ) // (ABC) nên d (B ′ ; (BCO)) =
′
d (C ; (BCO)) = C ′ O
√
1 1
9a2 3
1
1
⇒ VB ′ .OBC = C ′ O.SOBC =
S∆CBO = S∆ABC = . CI.AB =
3
3 2
4
3

√
√
9a3 6
9a3 6
⇒ VC.OBC ′ =
16
16
- Tính diện tích tam giác BB ′ O:
√
√
9a 2
′
′
2
′
2
Ta có BB = CC = CO + C O =
;BO = CO = 3a; tam giác OB ′ C ′
4
√
3a 5
. Vận dụng định lí cosin trong tam giác OBB’
vuông tại C’ nên OB ′ = C ′ O2 + C ′ B ′ 2 =
2 √
√
5 2
31
BO2 + BB ′ 2 − B ′ O2
′
′

=
⇒ sin OBB =
⇒ S∆OBB ′ =
ta được cos OBB =
′
2BO.B B
9
9
√
9a3 6
√ √
√
3
1
1
9a 2 31
3a2 62
16
√
=
BO.BB ′ . sin OBB ′ = .3a.
.
=
⇒ d (C; (OBB ′ )) =
2
2
2
4
9
8

3a 62
8
√
√
9a 3
9a
3
√ . Vậy d (CC ′ ; OB ′ ) = √ .
2 31
2 31
Nhận xét
PP tính khoảng cách một điểm đến một mặt phẳng thông qua thể tích hình chóp đã giúp
25


Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định

cho HS khắc phục được một số khó khăn thường gặp, bởi lẽ các em không cần phải xác định hình
chiếu của điểm đó trên mặt phẳng. Mặt khác, HS có thể tính được diện tích tam giác nhờ vận dụng
định lí cosin mà không cần phải xác định tam giác có dạng như thế nào.
Hạn chế của PP này là lời giải trình bày có phần dài dòng, nhưng ưu điểm quan trọng là
giúp HS giải được nhiều bài toán khó liên quan đến khoảng cách trong không gian.
Bài tập tương tự (dành cho HS tự luyện tập ở nhà)
Bài toán 5. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là
trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC,
mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc 60◦ . Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB)
theo a.
Bài toán 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB =
′
a, AA = 2a, A′ C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A′ C ′ , I là giao điểm của AM và

A′ C. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
√ Bài toán 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC =
2a 2. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác ABC. Góc giữa đường thẳng
SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60◦ . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài toán 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
√ BD = 2a ; tam giác
SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a 3. Tính khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAD) theo a.
Bài toán 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B ′ C ′ có đáy là tam giác cân, AB = AC = a,
BAC = 1200 . Mặt phẳng (AB ′ C ′ ) tạo với đáy góc 60◦ . Gọi M là trung điểm của BC. Tính
khoảng cách từ điểm C ′ đến mặt phẳng (AM B ′ ) theo a.
Bài toán 10. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = a và BC = 2a ,
mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc
2a
bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng √ . Tính khoảng cách giữa
6
hai đường thẳng SC và BD.

3.

Kết luận

Tiếp cận bài toán tính khoảng cách bằng PP "thể tích", chúng tôi đã xây dựng một quy trình
bốn bước dạy học giải bài toán từ một điểm đến mặt phẳng, vận dụng đối với một số bài toán hình
học không gian trong các kì thi quốc gia bậc THPT.
Những kết quả nghiên cứu trên đây đã giúp cho HS THPT khắc phục được những khó khăn
thường gặp, rèn luyện cho các em không chỉ kĩ năng giải loại bài toán này mà còn phát triển tư duy
sáng tạo và năng lực giải quyết vấn đề thông qua nội dung Hình học không gian trong môn Toán ở
trường phổ thông.
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
26

Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2011; 2012; 2013; 2014). Đề thi tuyển sinh đại học môn Toán.
Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, 2008. Hình học 11. Nxb Giáo Dục.
Phan Huy Khải, 2012. Hình học không gian. Nxb Giáo Dục.
Nguyễn Bá Kim, 2015. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm.
Cao Thị Thanh Lê, 2012. Từ một bài toán tính khoảng cách trong sách giáo khoa hình học
11. Tạp chí Toán học tuổi trẻ, số 416, tr. 5-7.


Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp "thể tích"...

[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]

Bùi Văn Nghị, 2008. Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nxb Đại học
Sư phạm.

Hoàng Đức Nguyên, 2009. Tính khoảng cách nhờ tính chất của tứ diện vuông. Tạp chí Toán
học tuổi trẻ, số 384, tr. 4-5.
Nguyễn Minh Nhiên, 2009. Phương pháp tính thể tích khối đa diện. Tạp chí Toán học tuổi
trẻ, số 387, tr. 7-10.
Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, 2006. Hình học 10. Nxb Giáo Dục.
Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, 2008. Hình học 12. Nxb Giáo Dục.
Đỗ Thanh Sơn, 2007. Phương pháp xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuồng
một mặt phẳng. Tạp chí Toán học tuổi trẻ, số 356, tr. 7-8.
Đào Tam, Trương Thị Dung, 2013. Tạo nhu cầu bên trong và cơ hội để học sinh phát hiện
các kiến thức mới. Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Vol. 58, No.4, trang
3-10.
Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức, 2001. Phân loại và PP giải toán
hình học không gian. Nxb Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh.
Bùi Quang Trường, 2005. Những dạng toán điển hình trong các kì thi đại học và cao đẳng.
Nxb Hà Nội.

ABSTRACT

Teaching the problem of finding the distance from a point to a plane by means of "volume"
for high school students
This paper presents research on teaching problem solving to find the distance from a point
to a plane by the indirect method through the volume of the frustum.
The author has solved the problem by understanding the difficulties of high school students
to find the distance from one point to the plane; developing procedures and teaching methods
to train the skill for solving this kind of problem by means of "volume" for students. The study
results demonstrated in measures and specific examples in order to teach the problem of finding
the distance from a point to a plane in space.
Keywords: Teaching solve puzzles to find the distance, the method of "volume " .

27