Bài giảng Trường điện từ: Lecture 1 - Trần Quang Việt

EE 2003: Trường điện từ

Lecture 1
Giải tích vectơ

Electromagnetics Field

 Tran Quang Viet – FEEE – HCMUT

Đại số vectơ




Vectơ đơn vị: độ lớn bằng 1, ký hiệu: a (along unit vector)
Tập vectơ đơn vị trực giao: 3 vectơ đơn vị chỉ phương trực
giao nhau dùng để biễu diễn cho một vectơ bất kỳ

a3
Thuận

a1


a2

a2


a3

Nghịch

a1

Chỉ dùng trực giao thuận!
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

1
CuuDuongThanCong.com

/>

Đại số vectơ


Biểu diễn vectơ trong tập vectơ đơn vị trực giao thuận

A3 a3



a3

a1


A1 a1

P


a2





A  A1 a1  A2 a 2  A3 a 3

A2 a 2



A1 a1  A2 a 2

 
Độ lớn của A : | A | A12  A22  A32
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Đại số vectơ


Các phép toán trên vectơ:








A  A1 a1  A2 a 2  A3 a 3 B  B1 a1  B2 a 2  B3 a 3


Cộng trừ vectơ:
 







A  B  A1 a1  A2 a 2  A3 a3  B1 a1  B2 a 2  B3 a3



  A1  B1  a1   A2  B2  a 2   A3  B3  a3
 






A  B  A1 a1  A2 a 2  A3 a 3  B1 a1  B2 a 2  B3 a 3



  A1  B1  a1   A2  B2  a 2   A3  B3  a 3


   


Ví dụ: A  2a1  4a 2  a3 ; B  a1  2a 2  3a3
 



A  B  3a1  2a 2  4a 3
   



A  B  a1  6a 2  2a 3



 





 



EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

2
CuuDuongThanCong.com

/>

Đại số vectơ
Nhân, chia vectơ với vô hướng:







m A  m A1 a1  A2 a 2  A3 a 3  mA1 a1  mA2 a 2  mA3 a3




B 
B B1 a1  B2 a 2  B3 a 3 B1  B2 

 a1  a 2  3 a 3
m
m
m
m
m

 Vectơ đơn vị theo hướng A:



A 
A 
A 
A
a A    1 a1  2 a 2  3 a 3
| A| | A|
| A|
| A|




Ví dụ: A  2a1  4a 2  4a 3




2a1  4a 2  4a3 1  2  2 
 aA 
 a1  a 2  a 3
3
3
22  (4) 2  42 3







EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Đại số vectơ


    
Tích vô hướng của 2 vectơ: A.B  AB | A || B | cos 
 
ai .a j  1; i  j
  
(i  1, 2,3; j  1,2,3)
a
.
a

0;
i

j
 i j

 






 A.B  ( A1 a1  A2 a 2  A3 a 3 )( B1 a1  B2 a 2  B3 a 3 )
 A1 B1  A2 B2  A3 B3


   


Ví dụ: A  2a1  4a 2  a 3 ; B  a1  2a 2  3a 3
 
 A.B  2  8  3  3

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

3
CuuDuongThanCong.com

/>

Đại số vectơ


Tích hữu hướng (tích vectơ) của 2 vectơ:
   

A  B | A || B | sin  a n
 
 

a1  a1  0
a1  a 2  a 3
 

 
 a 2  a1   a 3 a 2  a 2  0
  
 

a3  a1  a 2
a 3  a 2  a1
  
a1 a 2 a 3
 
 

 A  B   B  A  A1 A2 A3

 

a1  a3  a 2
 

a 2  a3  a1
 
a3  a3  0


a3


an


a2

a1

B1 B2 B3

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet

Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Hệ tọa độ
Không gian để biểu diễn trường vô hướng & trường vectơ


Mặt tọa độ: 3 mặt chuẩn biết trước



Đường tọa độ: giao của 2 mặt tọa độ



Tọa độ: giao của 3 mặt tọa độ



Vectơ đơn vị trong tập trực giao: tiếp tuyến với đường
tọa độ tại điểm khảo sát, độ lớn bằng 1 đơn vị và hướng
theo chiều tăng của tọa độ tương ứng.

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

4
CuuDuongThanCong.com

/>

Hệ tọa độ Đề-các

VH :    (x,y,z)





VT : A=A x (x,y,z)a x +A y (x,y,z)a y +A z (x,y,z)a z
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT

HCMUT

Tran

Hệ tọa độ trụ

VH :    (r, ,z)





VT : A=A r (r, ,z)a r +A (r, ,z)a  +A z (r, ,z)a z
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

5
CuuDuongThanCong.com

/>

Hệ tọa độ cầu

VH :    (r,θ, )





VT : A=A r (r,θ,  )a r +Aθ (r,θ,  )a θ +A (r,θ,  )a 

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Chuyển đổi hệ tọa độ

x  rc cos  rc  x 2  y 2
y  rc sin    tan 1
zz

zz

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

y
x

x  rs sin  cos 

rs  x 2  y 2  z 2

y  rs sin  sin 

  tan 1

z  rs cos

  tan 1

y
x

x2  y2
z

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT


Tran

6
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuyển đổi hệ tọa độ

a

az


az

ay




a rs

 
a


a rc


a rc


a
 
 
 
a rc .a y  sin 
a rc .a z  0
a rc .a x  cos 
 
 
 
a .a z  0
a .a x   sin 
a .a y  cos 
 
 
 
a z .a x  0
a z .a z  1
a z .a y  0
 
 
 
a rs .a x  sin  cos  a rs .a y  sin  sin  a rs .a z  cos
 
 
 

a .a x  cos cos  a .a y  cos sin  a .a z   sin 
 
 
 
a .a y  cos 
a .a z  0
a .a x   sin 

ax

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Chuyển đổi hệ tọa độ
Đề các

Trụ

 A r   cos
 A    sin
  

 A z   0

sin
cos 
0

0 A x 
0   A y 
1   A z 

 A x  cos
 A    sin
 y 
 A z   0

sin
cos 

0  Ar 
0   A 
1   A z 

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

0

TranQuang
QuangViet

Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

7
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuyển đổi hệ tọa độ
Đề các

Cầu

 A r   sin cos
  
 A     cos  cos 
 A    sin 
 

sin sin
cos  sin 
cos 

cos   A x 
 sin    A y 
0   A z 

 A x   sin cos
 A   sin  sin 
 y 
 A z   cos 

cos cos
cos  sin 
 sin 

sin   A r 
 
cos    A 
0   A 

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Yếu tố vi phân




dS x   dydza x




d   dxa x  dya y  dza z



dS z   dxdya z



dS y   dxdza y

dV  dxdydz

Cartesian coordinate system

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

8
CuuDuongThanCong.com

/>

Yếu tố vi phân

dV  rdrd dz



dS    drdza





d   dra r  rd a  dza z


dS r   rd dza r



dS z   rdrd a z

Cylindrical coordinate system

EEElectromagnetics

2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Yếu tố vi phân

dV  r 2 sin  drd  d 



dS  r sin drd a





d   dra r  rd a  r sin  d a



2
dS r  r sin d dar



dS  rdrd a
Spherical coordinate system

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

9
CuuDuongThanCong.com

/>

Yếu tố vi phân
Coordinate
system

Coordinate

Range

Cartesian

u1=x

-∞ to +∞

u2=y

-∞ to +∞

u3=z

-∞ to +∞

u1=r

0 to ∞

u2=

0 to 2

u3=z

-∞ to +∞

u1=r

0 to ∞

u2=

0 to 

u3=

0 to 2

Cylindrical

Spherical

Unit
vectors



a1  a x


a2  a y


a3  az


a1

a2

a3


a1


 ar

 a

 az

 ar



a 2  a


a 3  a

Length
element

Coordinate surfaces

dx = h1du1

Plane

x = constant

dy = h2du2

Plane

y = constant

dz = h3du3

Plane

z = constant

dr = h1du1

Cylinder r = constant

rd = h2du2

Plane

 = constant

dz = h3du3

Plane

z = constant

dr = h1du1

Sphere r = constant

rd = h2du2

Cone

 = constant

rsind = h3du3

Plane

 = constant

Cartesian : h1  1; h2  1; h3  1 Cylindrical : h1  1; h2  r ; h3  1
Spherical : h1  1; h2  r ; h3  r sin 
EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Yếu tố vi phân
Differential elements





d   h1du1 a1  h2du2 a2  h3du3 a3


dS1  h2h3du2du3 a1 (u1  const )


dS 2  h1h3du1du3 a2 (u2  const )


dS 3  h1h2du1du2 a3 (u3  const )
dV  h1h2h3du1du2du3

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

10

CuuDuongThanCong.com

/>

Tích phân đường


B 
W AB   F d    F d 
C



C

 
F d

(công)

A

C: Đường kín (lưu số)

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet

Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Tích phân đường
Ví dụ:




F=xya x  2xa y



EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

B
A


Fdl= ?

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT

HCMUT

Tran

11
CuuDuongThanCong.com

/>

Tích phân mặt


F


dS
S

Thông lượng gửi qua mặt S:

 

S


F dS

Nếu S là mặt kín:

EEElectromagnetics

2015 : Signals &Field
Systems

  

S


F dS

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

Tích phân mặt
Ví dụ:

 5

F= a r +2za z
r

 F dS  ?
S

EEElectromagnetics

2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

12
CuuDuongThanCong.com

/>

Tích phân khối

Q   v dV
V

Dùng để tính tổng của một đại lượng khi biết phân bố của nó
trong thể V. Ví dụ: mật độ khối lượng (kg/m3); mật độ điện
tích khối (C/m3); mật độ năng lượng (J/m3); mật độ công suất
tổn hao nhiệt (W/m3); ….
Ví dụ:….

EEElectromagnetics
2015 : Signals &Field
Systems

TranQuang
QuangViet
Viet–– FEEE
FEEE -– HCMUT
HCMUT

Tran

13
CuuDuongThanCong.com

/>