Đề thi học kì 2 lớp 10 năm 2008-2009

Trường THPT Vinh Xuân
Tổ Toán Tin KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008-2009
MÔN TOÁN LỚP 10
( Thời gian làm bài: 90 phút )
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 8 điểm )
Câu I ( 2 điểm )
1. Giải bất phương trình
( ) ( ) ( )
2
3 1 2 1 4 3 0x x x− + − − ≥
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:

( ) ( )
2
2 2 1 4 3 0m x m x m− + + − + =

Câu II ( 3 điểm )
1. Cho
3
sin
5
x =
và
0
2
x
π
< <
. Hãy tính giá trị của
cos
4

x
π
 
+
 ÷
 
2. Chứng minh đẳng thức:
1 cos2 sin 2
sin 2 1 cos2
x x
x x
−
=
+
( khi các biểu thức có nghĩa )
3. Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào x:

2
sin cos .cos
6 6
A x x x
π π
   
= + + −
 ÷  ÷
   
Câu III ( 3 điểm )
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm
( ) ( )
7;11 , 5; 3A B −

và đường
thẳng d có phương trình
4 3 11 0x y+ − =
.
1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
2. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường tròn có tâm I
và tiếp xúc với đường thẳng d.
3. Tìm tọa độ của điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác MAB cân tại M.
II. PHẦN RIÊNG ( 2 điểm )
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương
trình đó ( phần 1 hoặc phần 2 ).
Phần 1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu IV.a ( 1 điểm ) Giải bất phương trình
1 1
2
1
x x
x x
+ −
+ <
−
Câu V.a ( 1 điểm ) Viết phương trình chính tắc của Elip (E), biết rằng (E) đi qua điểm

3
; 3
2
M
 
 ÷
 

và có độ dài trục bé bằng 4.
Phần 2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu IV.b ( 1 điểm ) Giải bất phương trình
2 2
8 7 8 8 0x x x x+ + + + ≥
Câu V.b (1 điểm ) Viết phương trình chính tắc của Hypebol (H), biết rằng (H) có tâm
sai
5
3
e =
và đi qua điểm
( )
3 2;4M
.
------------------HẾT------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 10
KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8 điểm )
Câu Nội dung Điểm
I.1.
1,00 đ
Giải bất phương trình
( ) ( ) ( )
2
3 1 2 1 4 3 0x x x− + − − ≥
Bpt
2 2
6 3 2 1 16 24 9 0x x x x x⇔ + − − − + − ≥

2

10 25 10 0x x⇔ − + − ≥

2
1
2 5 2 0 2
2
x x x⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
1
;2
2
S
 
=
 
 
0,25
0,25
0,25
0,25
I.2.
1,00 đ
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:

( ) ( )
2
2 2 1 4 3 0m x m x m− + + − + =

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
0ac

<


( ) ( )
2 4 3 0m m⇔ − − + <

2
4 11 6 0m m⇔ − + − <

3
4
m⇔ <
hoặc
2m
>
0,25
0,25
0,50
II.1.
1,00 đ
Cho
3
sin
5
x =
và
0
2
x
π

< <
. Hãy tính giá trị của
cos
4
x
π
 
+
 ÷
 
Từ công thức
2 2
sin cos 1x x+ =
, suy ra
2 2
cos 1 sinx x= −

9 16
1
25 25
= − =
Vì
0
2
x
π
< <
nên
cos 0x
>

, do đó
4
cos
5
x =
.
Ta có
cos
4
x
π
 
+
 ÷
 

cos .cos sin .sin
4 4
x x
π π
= −

4 2 3 2 2
. .
5 2 5 2 10
= − =
0,25
0,25
0,25
0,25

II.2.
1,00 đ
Chứng minh đẳng thức:
1 cos2 sin 2
sin 2 1 cos2
x x
x x
−
=
+

Ta có VT =
1 cos2
sin 2
x
x
−
=
( ) ( )
( )
1 cos 2 1 cos2
sin 2 1 cos2
x x
x x
− +
+

( )
2
1 cos 2

sin 2 1 cos2
x
x x
−
=
+

( )
2
sin 2
sin 2 1 cos2
x
x x
=
+

sin 2
1 cos2
x
x
=
+
= VP
0,25
0,25
0,25
0,25
II.3.
1,00 đ
Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào x:

2
sin cos .cos
6 6
A x x x
π π
   
= + + −
 ÷  ÷
   
Ta có
2
1
sin cos cos2
2 3
A x x
π
 
= + +
 ÷
 
0,25

2
1 1
sin cos2
2 2
x x
 
= + +

 ÷
 

2 2
1 1
sin 1 2sin
2 2
x x
 
= + + −
 ÷
 

3
4
=
( không phụ thuộc vào x )
0,25
0,25
0,25
III.1.
1,00 đ
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm
( ) ( )
7;11 , 5; 3A B −
và
đường thẳng d có phương trình
4 3 11 0x y+ − =
.
1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

Đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận
( ) ( )
2; 14 2 1;7AB = − − = −
uuur
làm
véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:

7
11 7
x t
y t
= +


= +


7 49 7
11 7
x t
y t
= +

⇒

= +


7 38x y⇒ − =
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB là

7 38 0x y− − =
.
0,25
0,25
0,25
0,25
III.2.
1,00 đ
2. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường tròn có
tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d.
Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
( )
6;4I
Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:
( )
24 12 11
, 5
16 9
d I d
+ −
= =
+
Đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d có bán kính
( )
, 5R d I d= =
.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
( ) ( )
2 2
6 4 25x y− + − =

.
0,25
0,25
0,25
0,25
III.3.
1,00 đ
3. Tìm tọa độ của điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác MAB cân tại
M.
Vì tam giác MAB cân tại M nên
MA MB=
, do đó M thuộc đường trung trực
∆
của đoạn thẳng AB , suy ra M là giao điểm của
∆
và d.
Đường trung trực
∆
của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I của AB và nhận
( )
2 1;7AB = −
uuur
làm véctơ pháp tuyến , suy ra phương trình đường thẳng
∆

là:
( ) ( )
1 6 7 4 0x y− + − =
hay
7 34 0x y+ − =

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình

4 3 11 0
7 34 0
x y
x y
+ − =


+ − =


1
5
x
y
= −

⇔

=

Vậy tọa độ điểm M cần tìm là
( )
1;5M −
.
0,25
0,25
0,25
0,25

II. PHẦN RIÊNG ( 2 điểm )
Phần 1. Theo chương trình chuẩn
IV.a
1,00 đ
Giải bất phương trình
1 1
2
1
x x
x x
+ −
+ <
−
Điều kiện :
0x
≠
và
1x
≠
Bpt
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2 1 1
0
1
x x x x x
x x
+ + − − −
⇔ <

−

2
2
2 1
0
x x
x x
+ −
⇔ <
−
0,25
0,25
Từ Bảng xét dấu
2
2
2 1x x
VT
x x
+ −
=
−
, suy ra
1 0
0
1
1
2
x
VT

x
− < <


< ⇔

< <

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
( )
1
1;0 ;1
2
S
 
= −
 ÷
 
U
0,25
0,25
V.a
1,00 đ
Viết phương trình chính tắc của Elip (E), biết rằng (E) đi qua điểm
3
; 3
2
M
 
 ÷

 
và có độ dài trục bé bằng 4.
Phương trình chính tắc của Elip (E) có dạng
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
( với
0a b> >
)
Elip đi qua điểm
3
; 3
2
M
 
 ÷
 
nên ta có
2 2
9 3
1
4a b
+ =
Elip có độ dài trục bé bằng 4, do đó
2 4 2b b= ⇒ =
.
Giải hệ phương trình:

2 2
9 3
1
4
2
a b
b

+ =



=

ta được
3
2
a
b
=


=

Vậy phương trình chính tắc của Elip là
2 2
1
9 4
x y
+ =

.
0,25
0,25
0,25
0,25
Phần 2. Theo chương trình Nâng cao:
IV.b
1,00 đ
Giải bất phương trình
2 2
8 7 8 8 0x x x x+ + + + ≥
Đặt
2
8 8y x x= + +
, điều kiện
0y ≥
.
Khi đó, bất phương trình trở thành

2
7 8 0y y+ − ≥

( )
8 0
1
y y
y
 ≤ − ≥
⇔


≥

lo¹i do
Với
1y ≥
ta có
2
8 8 1x x+ + ≥

2
8 7 0x x⇔ + + ≥

7
1
x
x
≤ −

⇔

≥ −

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
(
] [
)
; 7 1;S = −∞ − − +∞U
0,25
0,25
0,25

0,25
V.b
1,00 đ
Phương trình chính tắc của Hypebol (H) có dạng
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
(
, 0a b >
)
Hypebol đi qua điểm
( )
3 2;4M
nên ta có
2 2
18 16
1
a b
− =
Hypebol có tâm sai
5
3
e =
, suy ra
5
3
c

a
=

5
3
a
c⇒ =
Từ công thức
2 2 2
a b c+ =
, suy ra
2
2 2
25
9
a
a b+ =

2
2
16
9
a
b⇒ =
Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
18 16
1

16
9
a b
a
b

− =




=


ta được
2
2
9
16
a
b

=


=


Vậy phương trình chính tắc của Hypebol (H) là
2 2

1
9 16
x y
− =
0,25
0,25
0,25
0,25